Солитоны и вихри

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Солитоны

СОЛИТОН - это уединенная волна в средах различной физической природы, сохраняющая неизменной свою форму и скорость при распространении. От англ. solitary - уединенная (solitary wave - уединенная волна), «-он» - типичное окончание терминов такого рода (например, электрон, фотон, и т.д.), означающее подобие частицы.

Понятие солитон введено в 1965 американцами Норманом Забуски и Мартином Крускалом, но честь открытия солитона приписывают британскому инженеру Джону Скотту Расселу (1808-1882). В 1834 им впервые дано описание наблюдения солитона («большой уединенной волны»). В то время Рассел изучал пропускную способность канала Юнион близь Эдинбурга (Шотландия). Вот как сам автор открытия рассказывал о нем: «Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась; но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась; вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешенного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с огромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, т.е. округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не меняя своей формы и не снижая скорости. Я последовал за ним верхом, и когда я нагнал его, он по-прежнему катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час, сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати футов и высотой от фута до фута с половиной. Его высота постепенно уменьшалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала. Так в августе 1834 мне впервые довелось столкнуться с необычайным и красивым явлением, которое я назвал волной трансляции…».

Впоследствии Рассел экспериментальным путем, проведя ряд опытов, нашел зависимость скорости уединенной волны от ее высоты (максимальной высоты над уровнем свободной поверхности воды в канале).

Возможно, Рассел предвидел ту роль, которую играют солитоны в современной науке. В последние годы своей жизни он завершил книгу Волны трансляции в водном, воздушном и эфирном океанах, опубликованную посмертно в 1882. Эта книга содержит перепечатку Доклада о волнах - первое описание уединенной волны, и ряд догадок о строении материи. В частности, Рассел полагал, что звук есть уединенные волны (на самом деле это не так), иначе, по его мнению, распространение звука происходило бы с искажениями. Основываясь на этой гипотезе и используя найденную им зависимость скорости уединенной волны, Рассел нашел толщину атмосферы (5 миль). Более того, сделав предположение, что свет это тоже уединенные волны (что тоже не так), Рассел нашел и протяженность вселенной (5·10¹⁷ миль).

По-видимому, в своих расчетах, относящихся к размерам вселенной, Рассел допустил ошибку. Тем не менее, результаты, полученные для атмосферы, оказались бы правильными, будь ее плотность равномерной. Расселовский же Доклад о волнах считается теперь примером ясности изложения научных результатов, ясности, до которой далеко многим сегодняшним ученым.

Реакция на научное сообщение Рассела наиболее авторитетных в то время английских механиков Джорджа Байделя Эйри (1801-1892) (профессора астрономии в Кембридже с 1828 по 1835, астронома королевского двора с 1835 по 1881) и Джорджа Габриэля Стокса (1819-1903) (профессора математики в Кембридже с 1849 по 1903) была отрицательной. Много лет спустя солитон был переоткрыт при совсем иных обстоятельствах. Интересно, что и воспроизвести наблюдение Рассела оказалось не просто. Участникам конференции «Солитон-82», съехавшимся в Эдинбург на конференцию, приуроченную к столетию со дня смерти Рассела и пытавшимся получить уединенную волну на том самом месте, где ее наблюдал Рассел, ничего увидеть не удалось, при всем их опыте и обширных знаниях о солитонах.

В 1871-1872 были опубликованы результаты французского ученого Жозефа Валентена Буссинеска (1842-1929), посвященных теоретическим исследованиям уединенных волн в каналах (подобных уединенной волне Рассела). Буссинеск получил уравнение:

,

Описывающее такие волны (u - смещение свободной поверхности воды в канале, d - глубина канала, c₀ - скорость волны, t- время, x - пространственная переменная, индекс соответствует дифференцированию по соответствующей переменной), и определил их форму (гиперболический секанс, см. рис. 1) и скорость.

Исследуемые волны Буссинеск называл вспучиваниями и рассмотрел вспучивания положительной и отрицательной высоты. Буссинеск обосновал устойчивость положительных вспучиваний тем, что их малые возмущения, возникнув, быстро затухают. В случае отрицательного вспучивания образование устойчивой формы волны невозможно, как и для длинного и положительного очень короткого вспучиваний. Несколько позже, в 1876, опубликовал результаты своих исследований англичанин лорд Рэлей.

Следующим важным этапом в развитии теории солитонов стала работа (1895) голландцев Дидерика Иоганна Кортевега (1848-1941) и его ученика Густава де Вриза (точные даты жизни не известны). По-видимому, ни Кортевег, ни де Вриз работ Буссинеска не читали. Ими было выведено уравнение для волн в достаточно широких каналах постоянного поперечного сечения, носящее ныне их имя - уравнение Кортевега-де Вриза (КдВ). Решение такого уравнения и описывает в свое время обнаруженную Расселом волну. Основные достижения этого исследования состояли в рассмотрении более простого уравнения, описывающего волны, бегущие в одном направлении, такие решения более наглядны. Из-за того, что в решение входит эллиптическая функция Якоби, эти решения были названы «кноидальными» волнами.

В нормальной форме уравнение КдВ для искомой функции и имеет вид:

.

Способность солитона сохранять при распространении свою форму неизменной объясняется тем, что поведение его определяется двумя действующими взаимно противоположно процессами. Во-первых, это, так называемое, нелинейное укручение (фронт волны достаточно большой амплитуды стремится опрокинуться на участках нарастания амплитуды, поскольку задние частицы, имеющие большую амплитуду, движутся быстрее впереди бегущих). Во-вторых, проявляется такой процесс как дисперсия (зависимость скорости волны от ее частоты, определяемая физическими и геометрическими свойствами среды; при дисперсии разные участки волны движутся с разными скоростями и волна расплывается). Таким образом, нелинейное укручение волны компенсируется ее расплыванием за счет дисперсии, что и обеспечивает сохранение формы такой волны при ее распространении.

Отсутствие вторичных волн при распространении солитона свидетельствует о том, что энергия волны не рассеивается по пространству, а сосредоточена в ограниченном пространстве (локализована). Локализация энергии есть отличительное качество частицы.

Еще одной удивительной особенностью солитонов (отмеченной еще Расселом) является их способность сохранять свои скорость и форму при прохождении друг через друга. Единственным напоминанием о состоявшемся взаимодействии являются постоянные смещения наблюдаемых солитонов от положений, которые они занимали бы, если бы не встретились. Есть мнение, что солитоны не проходят друг через друга, а отражаются подобно столкнувшимся упругим шарам. В этом также проявляется аналогия солитонов с частицами.

Долго считалось, что уединенные волны связаны только с волнами на воде и изучались они специалистами - гидродинамиками. В 1946 М.А. Лаврентьев (СССР), а в 1954 К.О. Фридрихс и Д.Г. Хайерс США опубликовали теоретические доказательства существования уединенных волн.

Современное развитие теории солитонов началось с 1955, когда была опубликована работа ученых из Лос Аламоса (США) - Энрико Ферми, Джона Пасты и Стена Улама, посвященная исследованию нелинейных дискретно нагруженных струн (такая модель использовалась для изучения теплопроводности твердых тел). Длинные волны, бегущие по таким струнам, оказались солитонами. Интересно, что методом исследования в этой работе стал численный эксперимент (расчеты на одной из первых созданных к этому времени ЭВМ).

Открытые теоретически первоначально для уравнений Буссинеска и КдВ, описывающих волны на мелкой воде, солитоны к настоящему времени найдены также как решения ряда уравнений в других областях механики и физики. Наиболее часто встречающимися являются (ниже во всех уравнениях u - искомые функции, коэффициенты при u - некоторые константы) нелинейное уравнение Шредингера (НУШ)

.

Уравнение было получено при изучении оптической самофокусировки и расщепления оптических пучков. Это же уравнение применялось при исследовании волн на глубокой воде. Появилось обобщение НУШ для волновых процессов в плазме. Интересно применение НУШ в теории элементарных частиц.

Уравнение sin-Гордона (СГ)

,

описывающее, например, распространение резонансных ультракоротких оптических импульсов, дислокации в кристаллах, процессы в жидком гелии, волны зарядовой плотности в проводниках.

Начиная с 1960, на развитие теории солитонов повлиял ряд физических задач. Была предложена теория самоиндуцированной прозрачности и приведены экспериментальные результаты, ее подтверждающие.

В 1967 Крускалом и соавторами был найден метод получения точного решения уравнения КдВ - метод так называемой обратной задачи рассеяния. Суть метода обратной задачи рассеяния состоит в замене решаемого уравнения (например, уравнения КдВ) системой других, линейных уравнений, решение которых легко находится.

Этим же методом в 1971 советскими учеными В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом было решено НУШ.

Приложения солитонной теории в настоящее время находят применение при исследованиях линий передачи сигналов с нелинейными элементами (диоды, катушки сопротивления), пограничного слоя, атмосфер планет (Большое красное пятно Юпитера [16]), волн цунами, волновых процессов в плазме, в теории поля, физике твердого тела, теплофизике экстремальных состояний веществ, при изучении новых материалов (например, джозефсоновских контактов, состоящих из разделенных диэлектриком двух слоев сверхпроводящего металла), при создании моделей решеток кристаллов, в оптике, биологии и многих других. Высказано мнение, что бегущие по нервам импульсы - солитоны.

В настоящее время описаны разновидности солитонов и некоторые комбинаций из них, например:

антисолитон - солитон отрицательной амплитуды;

бризер (дублет) - пара солитон - антисолитон, мультисолитон - несколько солитонов, движущихся как единое целое; флюксон - квант магнитного потока, аналог солитона в распределенных джозефсоновских контактах;

кинк (монополь), от английского kink - перегиб.

Формально кинк можно ввести как решение уравнений КдВ, НУШ, СГ, описываемое гиперболическим тангенсом (рис. 3). Изменение знака решения типа «кинк» на противоположный дает «антикинк».

Кинки были обнаружены в 1962 англичанами Перрингом и Скирмом при численном (на ЭВМ) решении уравнения СГ. Таким образом, кинки были обнаружены раньше, чем появилось название солитон. Оказалось, что столкновение кинков не привело ни к их взаимному уничтожению, ни к последующему возникновению других волн: кинки, таким образом, проявили свойства солитонов, однако название кинк закрепилось за волнами такого рода.

Солитоны могут быть также двумерными и трехмерными. Изучение неодномерных солитонов осложнялось трудностями доказательства их устойчивости, однако в последнее время получены экспериментальные наблюдения неодномерных солитонов (например, подковообразные солитоны на пленке стекающей вязкой жидкости, изучавшиеся В.И.Петвиашвили и О.Ю.Цвелодубом). Двумерные солитонные решения имеет уравнение Кадомцева - Петвиашвили, используемое, например, для описания акустических (звуковых) волн:

.

2. Неодномерный солитон

Среди известных решений этого уравнения - нерасплывающиеся вихри или солитоны-вихри (вихревым является течение среды, при котором ее частицы имеют угловую скорость вращения относительно некоторой оси). Солитоны такого рода, найденные теоретически и смоделированные в лаборатории, могут самопроизвольно возникать в атмосферах планет. По своим свойствам и условиям существования солитон-вихрь подобен замечательной особенности атмосферы Юпитера - Большому Красному Пятну.

Солитоны являются существенно нелинейными образованиями и столь же фундаментальны, как линейные (слабые) волны (например, звук). Создание линейной теории, в значительной мере, трудами классиков Бернхарда Римана (1826-1866),Огюстена Коши (1789-1857), Жана Жозефа Фурье (1768-1830) позволило решить важные задачи, стоявшие перед естествознанием того времени. С помощью солитонов удается выяснить новые принципиальные вопросы при рассмотрении современных научных проблем.

3. Вихри: энергия в движении

Самый простой вихрь представляет собой круг, в котором начало сходится с концом. Движущаяся материя ` в форме воды, ветра или пыли, в форме любой энергии, такой как электричество в проводке или даже магнитные поля, -- может двигаться кругами. Когда же движение этой энергии начинает переходить в спираль, образуется особый вихрь (хорошим примером здесь является ураган), и характер спирального вихря определяется тем, как он движется.

Сначала можно подумать, что спираль и есть спираль. Но при ближайшем рассмотрении оказывается, что спираль может быть более сложной, чем мы думали. Например, спиральное движение по направлению к центру отличается от расширяющегося движения, то есть движения, направленного от центра. Кроме того, важным фактором является направление, в котором движется спираль: по часовой стрелке, или против. Некоторые учёные считают, что вихри бывают либо мужские, либо женские -- в зависимости от направления их вращения. Как правило, движение по часовой стрелке рассматривается как «женское», а против часовой стрелки -- как«мужское».

Но так ли это просто? Ибо, разве не справедливо, что направление вращения вихря зависит от того, где вы находитесь по отношению к нему? Когда мы смотрим на Землю с Северного полюса, кажется, что она движется с востока на запад, и это было бы «мужское» вращение. Но если смотреть с Южного полюса, то кажется, что Земля движется с запада на восток, и тогда вращение «женское». Так какое же оно? Возможно, что вы видите, то и имеете.

Вот ещё некоторые соображения: если вы находитесь над разбрызгивателем для полива, который вращается, чтобы заставить воду двигаться по спирали, то имеют место сразу два направления. Может показаться, что вода вращается, скажем, по часовой стрелке. Но если вы посмотрите только на объект, который вращается и создаёт вихрь, вы увидите, что он вращается в противоположном направлении.

Для меня это означает следующее: если кажется, что вихрь движется в некоем направлении, то сила, создающая его, будет двигаться в противоположном направлении. Очень часто исследователи вихрей забывают об этой идее, и поэтому, описывая тот или иной вихрь, путают представления о мужском и о женском. Однако при сравнении одного вихря с другим возникает проблема, если оба исследователя не используют для идентификации вихрей одну и ту же систему. Например, японцы считают «северным» полюсом магнита полную противоположность того, что под ним понимают американцы. Мы считаем это «южным» полюсом.

4. Бесконечное или конечное движение энергии

солитон вихрь энергия

В своём движении вихри подчиняются также определённым математическим законам. Два таких примера -- это вихрь Золотого Сечения и вихрь Фибоначчи. Они кажутся почти одинаковыми, однако они абсолютно разные по своей природе.

Вихрь Золотого Сечения будет бесконечно вращаться по направлению к центру или от центра, никогда не достигая центра и никогда не прекращая своего расширения вовне. Вихрь Фибоначчи также бесконечно раскручивается вовне от центра. Однако вихрь Фибоначчи абсолютно конечен в своём стремлении внутрь, к центру. Он, в конце концов, достигает своего начала, и там он должен либо остановиться, либо изменить направление на противоположное. Если он меняет направление, то появляется спираль Фибоначчи, создающая совершенно новый вихрь, вращающийся вовне -- в противоположном направлении!

Вихрь другого типа -- тороидный, -- войдя точно в центр, также меняет направление своего вращения на противоположное. Вихрь этого типа вращается, на самом деле, в трёх измерениях, следуя контурам формы тора.

Поэтому если кто-либо описывает движение вихря или говорит, что вихрь мужской или женский, мы должны осознавать не только то, что природа вихря определяется нашим положением относительно него, но и то, что ничто не является таким простым, каким может казаться.

5. Известные вихри

Масса Земли, вращающейся вокруг своей оси, создаёт два гигантских вихря, которые исходят из Северного и из Южного полюса. Не менее поразительны два вихря, выходящие из магнитных полюсов. Это четыре основных вихря Земли. Однако существуют и миллионы меньших вихрей.

В Калифорнии, например, существует вихрь, который носит название «Таинственное Место», поскольку, хотя он реален, и это можно доказать, никто не понимает, как такое может быть.

Таинственное Место имеет диаметр примерно в два или три квартала, и край его чрезвычайно чётко очерчен. Это похоже на гигантский мыльный пузырь, который наполовину находится в земле, а наполовину на её поверхности. По краю этого вихря Департамент парков штата Калифорния проложил совершенно гладкую бетонную границу, посередине которой проведена непрерывная линия -- в точности там, где проходит край вихря. В эту бетонную границу встроен инструмент, который доказывает, что она действительно совершенно ровная. И департамент парков поощряет людей привозить свои собственные уровни, чтобы люди сами могли в этом убедиться. Потому что без этого доказательства совершенно невозможно поверить, что земля на этом участке не имеет сильного уклона!

Чтобы ощутить таинственность этого вихря два человека встают по обе стороны от линии -- так, что один из них находится внутри, а другой вне вихря. Затем смотрители парка спрашивают каждого из этих двоих, кажется ли ему рост другого человека таким же, как прежде, до того, как они заняли свои позиции. И человек внутри вихря всегда кажется примерно на 10 сантиметров ниже, чем несколько минут назад. Это потрясающе. Я проделал это сам, и человек внутри вихря действительно кажется намного ниже. Когда же эти два человека меняются местами, то ниже кажется другой из них.

Таинственное Место не является единственным в своём роде. Друзья привезли мне два камня из другого вихря в Соединённых Штатах, имеющего такое же действие. И мы обнаружили, что если просто держать в руке один из этих камней, проявляется тот же самый феномен: человек, держащий камень, кажется ниже ростом! Ему не нужно быть в самом вихре. Этот опыт настолько реален, что все те, кто попробовал сделать это, успешно достигли того же результата.

Список литературы

1. Солитоны. Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. М., «Мир», 1983

2. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М., «Мир», 1989

3. Кившарь Ю.С., Агравал Г.П. Оптические солитоны. От волоконных световодов до фотонных кристаллов. М.: Физматлит, 2005.

Размещено на Allbest.ru