Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Метод векторных диаграмм

ток индуктивность резонанс

1. Метод теории

Этот математический метод является способом визуализации любых колебательных процессов, но особенно он удобен для описания цепей переменного тока. В методе каждому колебанию ставится в соответствие вектор, длина которого пропорциональна (в любом удобном масштабе) амплитуде колебания. Среди колебаний выбирают колебания, не имеющие начальной фазы, начальные фазы других колебаний отсчитываются от них. Такие колебания называются базисными. Пример базисного колебания А=АО . Базисному колебанию ставится в соответствие в методе векторных диаграмм вектор, расположенный горизонтально и направленный слева направо вектор АО (рис 1). Всем остальным колебаниям ставится в соответствие вектор, изображённый в том же масштабе, но повёрнутый относительно базисного против часовой стрелки на угол ц, равный начальной фазе колебания. Вектор, поставленный в соответствие колебанию В=ВО также изображён на рис 1.

Рис. 1

Метод векторных диаграмм удобен тем, что в нем алгебраическое сложение колебаний заменяется сложением векторов, поставленных в соответствие этим колебательным процессам. Сложение векторов производить проще, кроме того, оно является наглядным.

Наличие в цепях переменного тока реактивной нагрузки (конденсаторов, катушек индуктивности) вносит сдвиг по фазе между током, текущем в нагрузке, и напряжением на ней.

Рассмотрим, как ведут себя в этих цепях различные нагрузки.

Если в цепи с переменным током

I=IО cost (1)

присутствует только омическое-активное сопротивление R, то напряжение на этом участке по закону Ома будет

Рис. 2

UR= IR=IОR cos t,

UOR=IOR,

UR= UOR cos t, (2)

то есть на активном сопротивлении ток и напряжение совпадают по фазе. Это можно изобразить с помощью векторной диаграммы.

Рис. 3

Если в качестве нагрузки используется идеальный конденсатор емкости С, по которому протекает изменяющийся во времени по закону косинуса ток

I = IО cos t,

напряжение на конденсаторе будет

U===== =

=,(3)

где UOС = , a Xc = - называют емкостным сопротивлением.

Таким образом, на конденсаторе напряжение тоже меняется по закону косинуса, но при этом ток опережает по фазе напряжение на угол , что можно изобразить с помощью векторной диаграммы.

Рис. 4

Физика этого фазового сдвига проста и понятна из рис. 2, на котором изображена зависимость силы тока, питающего конденсатор от времени.

Рис. 5

В момент времени to конденсатор начинает заряжаться, заряд на обкладках и напряжение между ними увеличивается. К моменту времени t1 сила тока достигла максимального значения и начинает уменьшаться, но ток течёт в прежнем направлении. Заряд на обкладках и напряжение между ними продолжают увеличиваться. Своего максимума они достигают к моменту времени t2 перед сменой направления тока. С момента t2 заряд и напряжение убывают. Именно описанные физические процессы и приводят к фазовому сдвигу между током конденсатора и напряжением на нем.

Если в цепи с переменным током

I=IО cost

присутствует катушка с индуктивностью L, напряжение на ней будет

UL= L= L IО (cost)= L IОcos(t+)=ULO cos(t+), (4)

где амплитуда напряжения на индуктивности

ULO= L IО.

Величина L называется индуктивным сопротивлением и обозначается

XL= L.

Из уравнения (4) видно, что напряжение на индуктивном сопротивлении тоже меняется по закону косинуса, но опережает ток по фазе на угол , что можно отобразить на векторной диаграмме. Этот фазовый сдвиг объясняется тем обстоятельством, что индукционные токи, текущие через катушку, в соответствии с правилом Ленца противодействуют изменениям тока генератора. В результате ток, текущий через катушку индуктивности, отстает по фазе от напряжения на катушке.

Рис. 6

Рассмотрим цепь, содержащую активное сопротивление, индуктивность L и емкость С в последовательном соединении.

Рис. 7

Нужно отметить, что для мгновенных значений переменного тока, который мы считаем квазистационарным, справедливы законы постоянного тока, в том числе закон Ома и правила Кирхгофа.

Для получения мгновенного значения приложенного к цепи напряжения, мгновенные значения напряжений, на отдельных последовательно соединённых участках цепи, должны быть сложены алгебраически, а именно

U = Ua + UL + Uc = I r + L + .

Суммарное напряжение на индуктивности и ёмкости при их последовательном соединении называется реактивным напряжением, оно будет

UP= UL + UC = IOL cos(t+)+ =

= IO L cos(t+) - =

= IO(L - ) cos(t+)= IO XP cos(t+),

где XР = (L - ) - реактивное сопротивление цепи, содержащей L и С в последовательном соединении.

Для получения амплитуды приложенного напряжения амплитудные значения напряжений на этих участках необходимо сложить геометрически, так как при одном и том же токе напряжение на различных участках цепи достигают амплитудных значений в разное время.

Построим векторную диаграмму для цепи, содержащей последовательно соединённые R, L, C, откладывая в виде векторов амплитудные значения тока и напряжений. Так как ток одинаков на всех участках данной цепи, построение начнём с вектора тока.

Отложим из произвольной точки вектор, равный в масштабе тока амплитудному значению тока в цепи. Уравнение тока написано с начальной фазой тока, равной нулю, поэтому вектор тока IО откладываем в направлении горизонтальной оси. Принято при построении векторных диаграмм отсчёт углов в положительном направлении производить против движения часовой стрелки.

Вектор UAO=IR, изображающий напряжение на активном сопротивлении, должен совпадать по направлению с вектором тока. Вектор ULO = IOXL, изображающий напряжение на индуктивности, строим из начала координат (точки О) вертикально вверх, так как напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на . Вектор, равный напряжению на ёмкости UCO = IOXC, строим также из начала координат, но вертикально вниз, так как напряжение на ёмкости отстает по фазе от тока на . Таким образом вектора ULO и UCO оказались направленными в противоположные стороны, что соответствует противофазности колебаний.

Рис. 8

Вектор суммарного напряжения на индуктивности и ёмкости может быть найден как геометрическая сумма векторов:

=.

При построении диаграммы амплитуда напряжения на индуктивности ULO выбрана большей, чем амплитуда напряжения на ёмкости ULO. Это соответствует тому, что в исследуемой цепи XL > XC. Реально может быть и наоборот. Сложив геометрически вектор AO с вектором , получим вектор, изображающий амплитуду приложенного к цепи напряжения Uo.

Для исключения из векторной диаграммы вспомогательных построений векторы ULO и ULO можно строить не изначала координат, а из конца вектора UAO, как показано на топографической диаграмме.



Рис. 9

Рассматривая треугольник напряжений, находим амплитуду напряжения, приложенного ко всей цепи:

U0= ,

здесь UAO - амплитуда активного напряжения,

UPO - амплитуда реактивного напряжения.

Подставляя в последнее равенство значения Uao и UPO ,получим

U₀===,(5)

где Х=ХL-Xc - реактивное сопротивление цепи.

Полное сопротивление цепи

Z =.(6)

Из треугольника напряжений можно найти угол сдвига фаз между током и напряжением, приложенным к цепи:

tg= .(7)

Отсюда видно, что угол сдвига фаз между напряжением на зажимах последовательной цепи и током в этой цепи зависит только от соотношения между сопротивлениями отдельных элементов этой цепи.

При изменении частоты приложенного напряжения индуктивное XL=L и ёмкостное XC= сопротивления также изменяются, а вместе с ними изменится и угол .

Следует подчеркнуть, что сопротивления R, XL, XC - величины положительные. Реактивное же сопротивление X = XL - XC может быть и положительным, и отрицательным. Фазовый угол тоже может быть положительным и отрицательным.

2. Резонанс напряжений

Ранее получено значение тока, протекающего по цепи, состоящей из последовательно соединённых ёмкости, индуктивности и активного сопротивления

IО=. (6)

Из этой формулы видно, что величина переменного тока в цепи существенно зависит от его частоты . Если , то и полное сопротивление z, а амплитуда тока IО. При увеличении реактивное сопротивление XP=L - cначала уменьшается, а Io увеличивается. При частоте =, определяемом условием

,

реактивное сопротивление обращается в нуль, а полное сопротивление цепи становится равным активному.

Рис. 10

Сила тока при этом достигает максимума.

При > реактивное сопротивление снова увеличивается c возрастанием , а амплитуда тока IО уменьшается, асимптотически приближаясь к нулю при увеличении . Зависимость IО от изображена на рисунке.

Частота =называется резонансной.

При этом сдвиг фаз между током и напряжением равен нулю, что видно из формулы (7). Выше предполагалось, что изменяется частота тока , а параметры цепи остаются неизменными. Однако ясно, что для получения резонанса можно изменять индуктивность или ёмкость, оставляя частоту постоянной.

Найдем теперь, чему равны амплитуды напряжения на конденсаторе и катушке индуктивности при резонансе. Амплитуда тока при резонансе

IО=.

Амплитуда напряжения на емкости:

UOC= IОXС ===.

Амплитуда напряжения на индуктивности:

.

Рис. 11

Таким образом, при резонансе амплитуды напряжений на конденсаторе и катушке индуктивности равны по величине, но они сдвинуты по фазе на , так что их сумма равна нулю, а амплитуда напряжения на резисторе равна амплитуде напряжения подаваемого на всю цепь от генератора.

Соотношение амплитуд напряжений UCO , ULO, URO, изображено на векторной диаграмме.

При этом надо подчеркнуть, что в момент резонанса напряжение на активном сопротивлении равно входному напряжению, а напряжения UCO и ULO могут быть много больше входного напряжения.

3. Резонанс токов

Рассмотрим цепь, состоящую из двух ветвей, соединенных параллельно. Одна из ветвей содержит конденсатор емкости С, а другая - катушку, индуктивностью L, которая обладает ещё и активным сопротивлением r. К концам цепи приложено переменное напряжение

U=UO sin t.

Для рассмотренной выше последовательной цепи L, C, R сила тока для всех элементов цепи была одинакова, напряжения на элементах цепи откладывались на векторной диаграмме напряжений.

В нашем случае для параллельной цепи общим является напряжение между точками А и В, а сила тока в ветвях IC и IL различна.

Рис. 12

Полная сила тока

I = IC + IL

и задача сводится к сложению колебаний тока на векторной диаграмме токов.

Пусть колебания напряжения между токами А и В изображаются вектором, направленным вдоль линии U.

Рис. 13

Тогда колебания тока в катушке индуктивности изображаются вектором ILO, длина которого определяется как

ILO=.

Этот вектор повёрнут относительно оси напряжений на угол в отрицательном направлении, так как ток в катушке отстаёт по фазе от напряжения

.

Это можно увидеть, если построить векторную диаграмму напряжений.

Начать построение векторной диаграммы напряжений надо с более сложной ветви. Возьмём за основу ток в этой ветви IL. С направлением IL по фазе совпадает напряжение на активном сопротивлении r. Напряжение на катушке опережает ток IL на . Отложим вертикально вверх вектор UL. Сумма векторов Ur и UL даёт нам напряжение между точками A и B, которое также равно UC, так как они соединены параллельно. Ток IC опережает напряжения на UC угол , поэтому отложим из точки О вектор IC UC.

Сумма векторов ICO и ILO даёт нам полный ток IO.

Рис. 14

Угол сдвига фаз между полным током IO и напряжением UO равен .

Колебания тока в конденсаторе изображаются вектором ICO, ток в конденсаторе опережает напряжение на угол . А величина тока равна

ICO = UO.

Амплитуда полного тока IO определяется векторной суммой токов ICO и ILO.

Угол определяет сдвиг фаз между полным током и напряжением.

Полный ток

.

Если в рассмотренной цепи изменить частоту подаваемого переменного напряжения или изменять параметры цепи L и С, то будут изменяться амплитуда полного тока и сдвиг фаз между током и напряжением.

Так как под резонансом понимается такой режим, при котором общий ток IO совпадает по фазе с приложенным напряжением UO, то условие резонанса токов может быть найдено из равенства .

При некотором соотношении L, C, R и это возможно, тогда наступит резонанс токов. Векторная диаграмма токов для резонанса изображена следующим образом (рис. 3). Обычно в катушках индуктивности ; и угол близок к . Ток IC опережает напряжение на +. Таким образом токи IC и IL обладают разностью фаз, близкой к , то есть находятся в противофазах. Поэтому полный ток (ток генератора) I равен приблизительно разности токов IL и IC. При резонансе полный ток становится наименьшим, а сопротивление всей цепи достигает наибольшего значения.

Рис. 15

Если предположить, IL IC и r<<

,

то для резонансной частоты опять получаем значение , как и для резонанса напряжений.

Таким образом, если активное сопротивление цепи стремится к нулю, то и ток в подводящих проводах будет стремиться к нулю, а токи IL и IC могут иметь весьма большие значения, компенсируя друг друга, при протекании через генератор.

Задача 1.

Дроссель с индуктивностью L, активным сопротивлением r и активное сопротивление R присоединены параллельно друг к другу и к сети переменного тока с напряжением U. Если известна частота переменного тока и сдвиг фаз между полным током и напряжением U, найти токи в ветвях цепи и полный ток.

Дано

Рис. 16

Электрическая схема имеет вид рис. 16

Построим векторную диаграмму токов и напряжений.

Отложим по горизонтали вектор тока I2. В фазе с этим током находится напряжение на сопротивлении r, отложим его на этой же линии Ur.

Напряжение UL опережает ток I2 на угол , поэтому вектор UL отложим вертикально вверх. Полное напряжение на концах участка АВ будет векторная сумма векторов UL и Ur, это же напряжение равно UR , так как они соединены параллельно. Ток I1 через активное сопротивление R совпадает по фазе с напряжением UR, поэтому откладываем вектор I1 в направлении вектора U. Полный ток находится, как сумма векторов I1 и I2, получаем вектор I. На диаграмме получим угол между полным током I и напряжением U.

Рис. 17

Применяя теорему косинусов к треугольнику токов, получим

.

Из этого квадратного уравнения можно найти полный ток I, зная I1 и I2.

,

.

Значения токов I1 и I2. найдем, применяя закон Ома для каждого участка цепи, то есть

; .

Задача 2.

Дроссель соединен последовательно с активным сопротивлением R. Они присоединены к сети с переменным напряжением U. Падение напряжение на дросселе U2, на сопротивлении R - U1. Чему равно активное сопротивление r дросселя?

Дано

Рис. 18

Нарисуем электрическую схему рис. 18

Решение задачи станет ясным, если нарисуем векторную диаграмму напряжений.

В горизонтальном направлении отложим вектор тока I, он одинаков для всех элементов цепи. С этим током по фазе совпадают напряжения на сопротивлении R- вектор U1 и на сопротивлении r - вектор Ur. Чисто реактивное напряжение на катушке L будет UL, оно опережает ток на , поэтому вектор UL Ur. Векторная сумма векторов Ur и UL даёт нам вектор напряжения на дросселе U2. Складывая вектора U2 и U1, получим вектор U полного напряжения на входе. Сопротивление r можно найти из закона Ома для участка цепи

.

Ток . Из треугольника напряжений, вводя угол , можно найти

.

Рис. 19

Применяя теорему сложения векторов

,

можно найти cos:

.

Тогда для активного сопротивления дросселя получим

.

Задача №3.

Для существенно разветвленной электрической цепи векторные диаграммы токов и напряжений становятся громоздкими. Тем не менее, рассмотрим один из примеров построения такой диаграммы. Исследуемая цепь переменного тока изображена на рис. 4.

Рис. 20

Для удобства построения диаграммы расставим токи в цепи и пронумеруем некоторые её точки. Напряжение между точками 1 и 2 - это напряжение на резисторе R1, между точками 2 и 3 - на катушке L (катушку считаем идеальной), между точками 1 и 3 - это одновременно напряжение на R1 L и С1, напряжение между точками 3 и 4 - напряжение на R2, а между точками 4 и 5 - на конденсаторе С2, напряжение между точками 1 и 5 - это напряжение генератора. Ток I - это ток в неразветвленной части цепи (ток генератора), протекание токов I1 и I2 ясно из рисунка 4. Построение диаграммы надо начинать с наиболее разветвленного участка цепи. Выберем, например, в качестве базового колебания колебание силы тока I1. Это будет означать, что все фазовые сдвиги будут отсчитываться от этого колебания. Напряжение на R1 синфазно с током I1. Этот же ток течет через L, создавая на нем напряжение U23, это напряжение опережает I1 и U12 на , вектор повернут относительно базисного против часовой стрелки на . Напряжение на R1L (оно же на С1) описывает вектор, соединяющий начало вектора U12 и конец вектора U23. Ток, который течет через С1, опережает напряжение на С1 (U13) на . Вектор I20 перпендикулярен к U13, но начинается в конце вектора I10. Результирующий ток I находится как сумма векторов I10 и I20. Напряжение на R2 синфазно с I. Вектор U34 параллелен I0, но начинается в конце вектора U13. Вектор U45 описывает колебание, отстающее от I на , начинается он в конце вектора U34. Напряжение генератора U15 мы найдем, соединив начало диаграммы с концом вектора U45. Это и есть U0. Сдвиг фаз между током генератора и его напряжением на диаграмме обозначен как ц.

Рис. 21

Разумеется, диаграмма нарисована качественно без соблюдения пропорций между напряжениями, т.к. величины нагрузок не заданы. Количественно обсчитать такую диаграмму трудно, поэтому для математического описания сложных цепей используются иные методы.

Список литературы

1. Савельев И.В. Курс общей физики, т. 2, М., Астерель, 2011.

2. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма, М., Высшая школа, 2003.

3. Калашников С.Г. Электричество. М., Наука, 2007.

4. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. 3, Электричество. М., Наука, 2007.

Размещено на Allbest.ru