Квантовая физика

Подставим в это выражение волновую функцию

Проинтегрируем это выражение. Используем подстановку

.

Задача №5

Частица движется вдоль оси x и встречает на своём пути высокий потенциальный барьер бесконечной ширины (рисунок а). Решение уравнения Шредингера для областей I и II имеет вид и . Используя непрерывность Ш-функции и их первых производных на границе барьера, найти отношение амплитуд A2/A1.

Решение.

Проанализируем условие задачи. Функция ШI представляет собой суперпозицию падающей слева направо на барьер волны де-Бройля и отражённой от барьера. Функция ШII представляет собой волну де-Бройля, прошедшую сквозь барьер и распространяющуюся в области II. Эта волна убывает по экспоненте. Изобразим графически волны на рисунке б.

Из условия непрерывности Ш-функций и их первых производных следует

(1)

(2)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Подставляя условие (1) в функции ШI(x) и ШII(x), получаем

(3)

Применяя условие (2) к этим же пси-функциям, получаем

,

при x=0

(4)

Перепишем уравнения (3) и (4) в виде

(5)

Обозначим ; , тогда система (5) будет иметь вид

Выразим y из первого уравнения и подставим во второе

.

Отсюда находим x

Поскольку A1 - амплитуда падающей на барьер волны де-Бройля, A2 - амплитуда прошедшей сквозь барьер в область II волны де-Бройля, полученное нами соотношение характеризует вероятность проникновения частицы сквозь барьер в область II.

Задача №6

На пути электрона с дебройлевской длиной волны л1=0,1нм находится потенциальный барьер высотой U=120 эВ. Определить длину волны де-Бройля л2 после прохождения барьера.

Дано: Решение

л1=0,1нм =

U=120 эВ

л2=?

Коэффициент преломления волн де-Бройля на границе барьера определяется

; ,

где p1, p2 - импульсы электрона в первой и второй областях, соответственно, m - масса электрона. Тогда коэффициент преломления

, (1)

где E - энергия электрона в первой области. Выразим энергию электрона E из формулы для л1

(2)

Из выражения (1) найдём л2

В это выражение подставим равенство (2) для E

Полученное выражение не зависит от разности энергий (E-U) и поэтому будет справедливым как для случая E>U, так и для случая E<U.

Произведём вычисления

Мы видим, что длина волны де-Бройля электрона во второй области увеличилась, по сравнению с первой областью. Это связано с уменьшением энергии частицы во второй области.

Задача №7

Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1нм. Определить в электрон-вольтах разность энергий U-E, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99.

Решение.

Дано:

?=0,1нм

W=0,99

U-E=?

Изобразим потенциальный барьер на рисунке. Частица движется слева направо вдоль оси x и с определённой вероятностью проходит сквозь барьер при условии, что энергия частицы E меньше высоты барьера (E<U).

Вероятность прохождения электрона сквозь прямоугольный барьер определяется коэффициентом пропускания (прозрачности) барьера D.

, (1)

где m - масса электрона, ? - ширина барьера.

Из выражения (1) найдём разность U-E

Произведём вычисления

.

Задача №8

Частица массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Координаты x и y частицы находятся в интервалах соответственно (0,a) и (0,b), где a и b - стороны ямы. Найти собственные значения энергии E и нормированные ш-функции частицы.

Решение.

Изобразим условно двумерную потенциальную яму следующим образом (рисунок). В пределах ямы мы считаем, что U=0. Уравнение Шредингера в этом случае запишем в виде

(1)

Обозначим (аналогично тому, как мы это делали для одномерной ямы)

(2)

Из условия непрерывности Ш-функции на границах ямы Ш-функция должна обращаться в нуль (за пределами ямы Ш=0). Ш-функцию внутри ямы в этом случае удобно искать в виде произведения двух синусов, потому что на двух сторонах ямы (x=0 и y=0) функции Ш(x,0) и Ш(0,y) автоматически равны нулю

, (3)

где A - произвольная константа.

На стороне ямы с координатами (a,y) также Ш(a,y)=0 (из условия непрерывности)

sink2y?0 для произвольного y?b, поэтому

,

(n=0 отпадает, так как в этом случае Ш=0 - частицы вообще нет)

(4)

Для стороны ямы с координатами (x, b) имеем

для произвольного x?a, поэтому

,

(5)

Подставим теперь выражение (3) в (1)

Подставим в полученное уравнение выражения (2), (4) и (5) для k1, k2 и k.

Отсюда получим выражение для энергии частицы, зависящее от двух чисел n1 и n2 (имеющих смысл главного квантового числа)

Для записи функции (3) в явном виде необходимо определить постоянную A. Найдём её из условия нормировки Ш-функции

.

Вычислив этот интеграл, получим

.

Тогда нормированная Ш-функция, описывающая поведение микрочастицы в двумерной потенциальной яме, будет иметь вид

.

Литература

1. Савельев И.В. Курс физики, т.3.-М.:Гл.ред.физ.-мат.лит.,1989.

2. Блохинцев Д.И.Основы квантовой механики, - М.: Гл.ред. из.мат. лит., 1983.

3. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики,т.3.-М.:Высшая школа, 1989.

4. Трофимова Т.И. Курс физики, -М.: Высшая школа,1998.

5. Орир Дж.Физика, - М.: Мир, 1981.

6. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике, -М.: Наука. Физматлит, 1996.

7. Кузьмичёв В.Е.Законы и формулы физики. Справочник, Киев: Наукова думка, 1989.

8. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике, т.8.-М.: Мир,1977.

9. Купер Л.Физика для всех. 2.Современная физика.-М.:Мир,1974.

10. Пономарёв Л.И.Под знаком кванта,- М.: Гл.ред. физ-мат. лит., 1989.

11. Физический энциклопедический словарь.--М.: Советская энциклопедия, 1984.

12. Фритьоф Капра. Дао физики /Пер.с англ.под ред. В.Г. Трилиса. -- К.: “София”, М.: ИД Гелиос, 2002.

13. Чертов А.Г., Воробьёв А.А. Задачи по физике..--М.: Высшая школа, 1981.

Размещено на Allbest.ru