Принципы квантовой механики

где

Общее решение дифференциального уравнения

Из граничных условий получим

Общее решение имеет вид

Размещено на http://www.allbest.ru/

.

Для электрона на отрезке 10 см (электрон в куске металла) получим

Дж = 10 ^{- 16}п эВ,

т.е. энергетический спектр можно считать почти непрерывным. Если в качестве l взять размеры атома, то получим эВ - явно дискретные значения энергии. Эффект квантования энергии проявляется только для тел малой массы, ограниченных в микроскопических объемах.

4. Прохождение частицы через потенциальный барьер

Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного движения частицы.

В классической механике частица, имеющая энергию , не может проникнуть за барьер - она отразится от него. В квантовой механике существует определенная вероятность проникновения частицы через барьер. Для описания движения частицы в рамках квантовой механики запишем уравнения Шредингера для каждой из областей

, где

, где

Решая эти уравнения и сшивая полученные решения на границах, получим выражения для ? - функций во всех областях. Решение показывает, что в области I существуют падающая и отраженная волны различной амплитуды, в области 3 - существует одна распространяющаяся волна, а в области 2 функция ?(x) монотонно убывает с ростом х. Условный график функции ?(х) показан на рисунке.

В рамках квантовой механики частица может проникать через барьер. Это явление называется туннельным эффектом. Для характеристики туннельного эффекта вводят понятие коэффициента прозрачности.

Коэффициентом прозрачности D называется отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волн

.

Коэффициент прозрачности определяет вероятность прохождения частицы через барьер. Можно показать, что для D справедливо выражение

.

Туннельный эффект является чисто квантовым эффектом. Он связан с тем, что в квантовой механике нельзя однозначно разделить энергию на кинетическую и потенциальную. Кинетическая энергия связана с импульсом частицы, а потенциальная - с координатами. В силу принципа неопределенности эти величины не определяются однозначно, поэтому нельзя утверждать, что внутри барьера частица имеет отрицательную кинетическую энергию. Соответственно из соотношения следует, что в течение малых интервалов времени может нарушаться закон сохранения энергии.

Туннельный эффект играет важную роль в описании различных процессов, происходящих на атомном уровне. Процессы радиоактивного распада, термоядерные реакции, многие свойства твердого тела объясняются существованием туннельного эффекта.

5. Атом водорода в квантовой механике

Используя уравнение Шредингера, можно описать основные свойства атома водорода. Рассмотрим водородоподобный атом, т.е. атом, состоящий из положительно заряженного ядра и связанного с ним одного электрона. Это может быть атом водорода Н, однократно ионизованный атом гелия Не⁺, двукратно ионизованный атом лития Li⁺⁺ и др.

Потенциальная энергия взаимодействия ядра с электроном

.

Графическая зависимость U(r) имеет вид

Запишем для такой системы стационарное уравнение Шредингера

.

Это уравнение обычно решают в сферической системе координат. Опуская математические выкладки, проанализируем результаты решения уравнения и выводы, которые из него вытекают:

1) При положительных значениях энергии (E > 0) электрон не связан жестко с ядром, он может удаляться от ядра на бесконечное расстояние. Значения Е > 0 соответствуют электронам, пролетающим вблизи ядра и не образующим с ним атом.

2) При Е < 0 решения уравнения Шредингера существуют только для дискретных значений энергии

.

Эта формула совпадает с аналогичной формулой, полученной с использованием постулатов Бора. Соответствующие уровни энергии Е_п показаны на графике. Случай E < 0 соответствует электрону, связанному с атомом, т.к. для каждого п значения конечные - это радиус атома.

Нижний уровень энергии Е₁ называется основным, остальные уровни называют возбужденными. При E_n <0 движение электрона является связанным, при E_n>0 - свободным. Энергия ионизации водорода

эВ.

Можно показать, что уравнению Шредингера для атома водорода в сферических координатах удовлетворяют функции , зависящие от трех квантовых чисел: n, l и m. Эти числа определяют положение электрона в атоме и имеют определенный физический смысл.

Главное квантовое число п определяет энергетические уровни электрона и принимает значения п=1, 2, 3,…

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l определяет момент импульса электрона

.

Параметр l может принимать значения l = 0, 1, …, п-1. Отсюда следует, что для каждого состояния п момент импульса электрона может принимать п различных значений.

Состояния с заданным моментом импульса обозначаются малыми латинскими буквами:

Магнитное квантовое число m определяет проекцию момента импульса электрона на заданное направление

.

Параметр может принимать значения , т.е. импульс электрона в атоме может принимать 2l+1 различных ориентаций.

Схематически положения электрона можно представить с помощью векторной модели.

Здесь предполагается, что в точке О расположено ядро, вокруг которого по круговой орбите вращается электрон. Радиус орбиты и энергия электрона зависят от главного квантового числа п. Для каждого п существуют различные формы орбит, которые различаются величиной и направлением момента импульса при различных значениях орбитального квантового числа l. Проекции момента импульса на выделенную ось z имеют дискретные значения , которые определяются магнитным квантовым числом . Итак, состояние электрона описывается различными ?-функциями. Простейшие случаи показаны в таблице

Можно показать, что во внешнем магнитном поле, направленном вдоль оси z, происходит прецессия орбиты электрона. Следует иметь в виду, что эта схема условна. На самом деле ни орбит, ни траекторий для электронов не существует, в частности, они запрещены принципом неопределенности. Правильной является лишь математическая форма описания, даваемая уравнением Шредингера.

Энергия электрона определяется одним квантовым числом п, поэтому различным волновым функциям с одним и тем же значением п, но различными l или m_l , соответствуют одинаковые значения энергии. Нетрудно посчитать, что для каждого п существует

различных ? - состояний.

6. Состояния электрона в атоме водорода

Состояние электрона в атоме водорода определяется четырьмя квантовыми числами: , где - спиновое квантовое число. Из уравнения Шредингера наличие спина не вытекает, поэтому мы здесь его не будем учитывать.

Вероятность появления в данной точке пространства электрона, обладающего заданными значениями квантовых чисел, определяется квадратом модуля волновой функции. Положение электрона в атоме можно представить в виде облака, плотность которого пропорциональна вероятности появления электрона в данной точке.

В атомной физике, химии, спектроскопии для описания состояния электрона используются специальные обозначения:

l=0, s - состояние, s - электрон;

l=1, p - состояние, p - электрон;

l=2, d - состояние,

l=3, f - состояние.

Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального квантового числа. Например,

запись 2s означает, что п=2, l=0; запись 3p означает, что п=3, l=1.

Возможны следующие состояния электрона:

1s

2s, 2p

3s, 3p, 3d

4s, 4p, 4d, 4f

и т.д.

Рассмотрим более детально положения электронов в различных состояниях. При этом будем использовать упрощенные представления о движении электронов по заданным орбитам.

Энергия электрона определяется главным квантовым числом . Можно считать, что каждому значению энергии соответствует свой радиус орбиты, на которой располагается электрон. Положение орбиты (ее наклон к выбранной оси ) определяется квантовыми числами . Рассмотрим простейшие электронные состояния и соответствующие орбиты.

-состояние соответствует значению . При этом магнитное число принимает единственное значение . Можно показать, что плотность вероятности найти электрон на расстоянии от ядра является радиально-симметричной и определяется функцией , показанной на графике.

В -состоянии области существования электрона ограничены сферами определенных радиусов (сферически симметричный слой). С увеличением толщина слоя возрастает.

р-состояние соответствует значению . При этом магнитное число принимает три значения , . В этом случае плотность вероятности найти электрон на расстоянии от ядра зависит от угла между выбранной осью z и радиус-вектором и определяется функцией .

Если рассматривать электрон вращающимся по орбите, то можно считать, что электрон обладает моментом импульса. Для момент импульса перпендикулярен оси z и его проекция равна нулю. Для проекции момента импульса направлены вдоль оси z в различных направлениях (электрон вращается в различных направлениях).

Радиальная зависимость определяется величиной п и соответственно накладывается на угловую зависимость. Т.о. можно считать, что на заданном расстоянии r существуют различные орбиты для электрона. Положения этих орбит определяются квантовыми числами .

7. Излучение атома водорода

Анализ решения уравнения Шредингера для атома водорода позволяет исследовать спектр излучения водорода. При этом в рамках квантовой механики удается полностью описать все особенности излучения и поглощения водорода.

В квантовой механике доказывается, что существуют правила отбора, ограничивающие возможные переходы электронов в атомах.

Для атома водорода возможны только такие переходы, которые удовлетворяют условиям:

изменение орбитального квантового числа удовлетворяет условиям

;