Исследование моделей на основе фундаментальных законов природы
Построение и численное решение моделей на основе фундаментальных законов природы (законов Ньютона, Закона всемирного тяготения). Модель движения лодки. Движение точки под действием центральных сил. Исследование движения планеты в системе двух звезд.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.05.2013 |
| Размер файла | 5,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Размещено на http://www.allbest.ru
Министерство транспорта Российской Федерации
Федеральное агентство железнодорожного транспорта
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Дальневосточный государственный университет путей сообщения»
Кафедра «Оптические системы связи»
Построение и исследование моделей на основе фундаментальных законов природы
Хабаровск
2013
- Содержание
- Модель движения лодки
- 1. Цель работы
- 2. Содержательная постановка
- 3. Концептуальная постановка
- 4. Математическая постановка
- 5. Аналитическое решение
- 6. Численное решение
- 7. Расчет
- Движение точки под действием центральных сил
- 1. Цель работы
- 2. Исходные данные
- 3. Математическая постановка задачи
- 4. Расчет
- Исследование движения планеты в системе двух звез
- 1. Цель работы
- 2. Исходные данные
- 3. Математическая постановка задачи
- 4. Расчет
Модель движения лодки
1. Цель работы
Построение и численное решение моделей на основе фундаментальных законов природы (законы Ньютона, Закон всемирного тяготения).
2. Содержательная постановка
Лодку оттолкнули от берега с некоторой начальной скоростью. Необходимо исследовать движение лодки (рис.2.1).
Рисунок 2.1 - Схема движения лодки
3. Концептуальная постановка
Рассматривается движение лодки в воде с начальной горизонтальной скоростью под действием силы тяжести, архимедовой выталкивающей силы и силы сопротивления движению , приложенных к центру масс. Так как лодка держится на плаву (движение по вертикали отсутствует), то архимедова выталкивающая сила уравновешивает силу тяжести . Разработку модели будем выполнять при следующих предположениях:
· объектом исследования является лодка, совершающая поступательные движения в горизонтальной плоскости;
· лодку принимаем за материальную точку массы , положение которой совпадает с центром масс;
· движение лодки под действием приложенной системы сил подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона);
· Величина силы сопротивления воды прямо пропорциональна скорости лодки и противоположна по направлению: , где - коэффициент пропорциональности (величина постоянная).
Требуется определить скорость лодки как функцию времени и графически отобразить эту зависимость.
4. Математическая постановка
Уравнение движения лодки в направлении оси х согласно 2-му закону Ньютона и начальное условие имеют вид:
; (4.1)
. (4.2)
Найти .
5. Аналитическое решение
Уравнение решается методом разделения переменных.
; (5.1)
; (5.2)
. (5.3)
6. Численное решение
Подставим производную от скорости ее приближенным разностным значением:
. (6.1)
Уравнение принимает вид:
, (6.2)
Отсюда
. (6.3)
модель закон ньютон всемирное тяготение
Это соотношение решает поставленную задачу, поскольку позволяет вычислить скорость в произвольный момент времени, зная ее значение в предыдущий. То есть, начиная с начального значения, можно определить, какова будет скорость через время и так далее.
7. Расчет
Зададимся следующими данными: , . Уравнения принимают в этом случае вид:
· аналитическое: ;
· численное: , .
Выберем в качестве конечного момента времени . Аналитическое (практически точное) значение скорости в этот момент времени: .
Определим значение этой скорости численным методом, используя различные значения шага, и сведем полученные результаты в таблицу 7.1.
Таблица 7.1
|
0,001 |
9,990000000 |
0,1 |
9,000000000 |
0,01 |
9,900000000 |
|
|
0,002 |
9,980010000 |
0,2 |
8,100000000 |
0,02 |
9,801000000 |
|
|
0,003 |
9,970029990 |
0,3 |
7,290000000 |
0,03 |
9,702990000 |
|
|
0,004 |
9,960059960 |
0,4 |
6,561000000 |
0,04 |
9,605960100 |
|
|
0,008 |
9,920279441 |
0,8 |
4,304672100 |
0,08 |
9,227446944 |
|
|
0,009 |
9,910359161 |
0,9 |
3,874204890 |
0,09 |
9,135172475 |
|
|
0,01 |
9,900448802 |
1 |
3,486784401 |
0,1 |
9,043820750 |
|
|
0,011 |
9,890548353 |
1,1 |
3,138105961 |
0,11 |
8,953382543 |
|
|
0,012 |
9,880657805 |
1,2 |
2,824295365 |
0,12 |
8,863848717 |
|
|
0,013 |
9,870777147 |
1,3 |
2,541865828 |
0,13 |
8,775210230 |
|
|
… |
… |
… |
… |
… |
… |
|
|
7,299 |
0,006737497 |
6,9 |
0,006961986 |
7,26 |
0,006778776 |
Как следует из таблицы 7.1, при численном решении верные три значащие цифры получены для шага . Это означает, что при уменьшении шага численное решение приближается к точному. Наглядно это демонстрируется на рисунке 7.1.
Рис.7.1 - Построение графика для разных шагов интегрирования.
Движение точки под действием центральных сил
1. Цель работы
Определить координаты и компоненты вектора скорости космического корабля вблизи планеты как функции времени, а также траекторию его движения.
2. Исходные данные
Задается шаг интегрирования с и проводятся расчеты при следующих данных: кг (масса Земли), космический корабль находится в начальной точке с координатами м, м, Н.м2/кг2 - гравитационная постоянная. Начальная скорость направлена по горизонтали вправо.
3. Математическая постановка задачи
Найти решение задачи Коши для следующей системы уравнений движения космического корабля:
(2.1)
при начальных условиях .
Строятся разностные уравнения движения космического корабля:
(2.2)
(2.3)
3. Расчет
Результат вычисления представлен на рисунке 3.1 в виде траектории движения корабля при разных начальных скоростях:
=7500м/с, =7923м/с, =10000м/с, =11206м/с. Все результаты вычислений сведены в таблицу 3.1.
Таблица 3.1
|
=7500м/с |
|||||
|
0 |
6400000 |
6400000 |
7500 |
-9,7734375 |
|
|
75 |
6399999,902 |
6399999,903 |
7499,999999 |
-19,5468753 |
|
|
150 |
6399999,707 |
6399999,709 |
7499,999997 |
-29,32031368 |
|
|
225 |
6399999,414 |
6399999,418 |
7499,999993 |
-39,09375296 |
|
|
299,9999999 |
6399999,023 |
6399999,03 |
7499,999989 |
-48,86719341 |
|
|
374,9999998 |
6399998,534 |
6399998,545 |
7499,999983 |
-58,64063534 |
|
|
449,9999996 |
6399997,948 |
6399997,963 |
7499,999976 |
-68,41407903 |
|
|
524,9999994 |
6399997,263 |
6399997,285 |
7499,999968 |
-78,18752479 |
|
|
599,999999 |
6399996,482 |
6399996,51 |
7499,999959 |
-87,96097291 |
|
|
674,9999986 |
6399995,602 |
6399995,638 |
7499,999948 |
-97,73442368 |
|
|
749,9999981 |
6399994,625 |
6399994,669 |
7499,999937 |
-107,5078774 |
|
|
824,9999975 |
6399993,55 |
6399993,603 |
7499,999924 |
-117,2813344 |
|
|
899,9999967 |
6399992,377 |
6399992,44 |
7499,999911 |
-127,0547948 |
|
|
974,9999958 |
6399991,106 |
6399991,18 |
7499,999896 |
-136,8282592 |
|
|
1049,999995 |
6399989,738 |
6399989,824 |
7499,99988 |
-146,6017276 |
|
|
1124,999994 |
6399988,272 |
6399988,371 |
7499,999863 |
-156,3752005 |
|
|
29849,87953 |
6392236,696 |
6392306,391 |
7499,908895 |
-3902,723355 |
|
|
29924,87861 |
6392197,669 |
6392267,714 |
7499,908437 |
-3912,520344 |
|
|
29999,8777 |
6392158,543 |
6392228,941 |
7499,907977 |
-3922,317451 |
|
|
=7923м/с |
|||||
|
0 |
6400000 |
6400000 |
7923 |
-9,7734375 |
|
|
79,23 |
6399999,902 |
6399999,903 |
7922,999999 |
-19,5468753 |
|
|
158,46 |
6399999,707 |
6399999,709 |
7922,999996 |
-29,32031368 |
|
|
237,69 |
6399999,414 |
6399999,418 |
7922,999993 |
-39,09375295 |
|
|
316,9199999 |
6399999,023 |
6399999,031 |
7922,999988 |
-48,8671934 |
|
|
396,1499998 |
6399998,534 |
6399998,546 |
7922,999982 |
-58,64063532 |
|
|
475,3799996 |
6399997,948 |
6399997,965 |
7922,999975 |
-68,41407901 |
|
|
554,6099993 |
6399997,263 |
6399997,287 |
7922,999966 |
-78,18752476 |
|
|
633,839999 |
6399996,482 |
6399996,513 |
7922,999956 |
-87,96097286 |
|
|
713,0699985 |
6399995,602 |
6399995,642 |
7922,999946 |
-97,73442361 |
|
|
792,299998 |
6399994,625 |
6399994,674 |
7922,999933 |
-107,5078773 |
|
|
871,5299973 |
6399993,55 |
6399993,609 |
7922,99992 |
-117,2813342 |
|
|
950,7599965 |
6399992,377 |
6399992,447 |
7922,999906 |
-127,0547947 |
|
|
1029,989996 |
6399991,106 |
6399991,189 |
7922,99989 |
-136,828259 |
|
|
1109,219994 |
6399989,738 |
6399989,834 |
7922,999873 |
-146,6017274 |
|
|
1188,449993 |
6399988,272 |
6399988,382 |
7922,999855 |
-156,3752002 |
|
|
1267,679992 |
6399986,708 |
6399986,834 |
7922,999835 |
-166,1486777 |
|
|
1346,90999 |
6399985,047 |
6399985,188 |
7922,999815 |
-175,9221602 |
|
|
1426,139988 |
6399983,287 |
6399983,446 |
7922,999793 |
-185,6956481 |
|
|
30978,80933 |
6392507,148 |
6392582,211 |
7922,907115 |
-3834,143035 |
|
|
31058,0384 |
6392468,807 |
6392544,254 |
7922,906639 |
-3843,939169 |
|
|
31137,26747 |
6392430,367 |
6392506,201 |
7922,906162 |
-3853,735418 |
|
|
31216,49653 |
6392391,83 |
6392468,05 |
7922,905683 |
-3863,531783 |
|
|
31295,72559 |
6392353,194 |
6392429,803 |
7922,905204 |
-3873,328265 |
|
|
31374,95464 |
6392314,461 |
6392391,458 |
7922,904723 |
-3883,124864 |
|
|
31454,18369 |
6392275,63 |
6392353,017 |
7922,904241 |
-3892,92158 |
|
|
31533,41273 |
6392236,701 |
6392314,479 |
7922,903757 |
-3902,718414 |
|
|
31612,64177 |
6392197,674 |
6392275,843 |
7922,903273 |
-3912,515366 |
|
|
31691,8708 |
6392158,548 |
6392237,111 |
7922,902787 |
-3922,312435 |
|
|
=10000м/с |
|||||
|
0 |
6400000 |
6400000 |
10000 |
-9,7734375 |
|
|
100 |
6399999,902 |
6399999,903 |
9999,999998 |
-19,54687529 |
|
|
200 |
6399999,707 |
6399999,71 |
9999,999995 |
-29,32031368 |
|
|
299,9999999 |
6399999,414 |
6399999,421 |
9999,999991 |
-39,09375293 |
|
|
399,9999998 |
6399999,023 |
6399999,035 |
9999,999985 |
-48,86719336 |
|
|
499,9999997 |
6399998,534 |
6399998,554 |
9999,999977 |
-58,64063525 |
|
|
599,9999995 |
6399997,948 |
6399997,976 |
9999,999968 |
-68,41407889 |
|
|
699,9999991 |
6399997,263 |
6399997,302 |
9999,999957 |
-78,18752457 |
|
|
799,9999987 |
6399996,482 |
6399996,532 |
9999,999945 |
-87,96097259 |
|
|
39599,84178 |
6392314,489 |
6392437,146 |
9999,879747 |
-3883,097094 |
|
|
39699,84058 |
6392275,658 |
6392398,936 |
9999,879139 |
-3892,8936 |
|
|
39799,83937 |
6392236,729 |
6392360,63 |
9999,878529 |
-3902,690221 |
|
|
39899,83815 |
6392197,702 |
6392322,227 |
9999,877917 |
-3912,48696 |
|
|
39999,83693 |
6392158,577 |
6392283,728 |
9999,877304 |
-3922,283815 |
|
|
=11206м/с |
|||||
|
0 |
6400000 |
6400000 |
11206 |
-9,7734375 |
|
|
112,06 |
6399999,902 |
6399999,903 |
11206 |
-19,54687529 |
|
|
224,12 |
6399999,707 |
6399999,711 |
11205,99999 |
-29,32031367 |
|
|
336,1799999 |
6399999,414 |
6399999,422 |
11205,99999 |
-39,09375292 |
|
|
448,2399998 |
6399999,023 |
6399999,038 |
11205,99998 |
-48,86719334 |
|
|
560,2999997 |
6399998,534 |
6399998,559 |
11205,99997 |
-58,6406352 |
|
|
672,3599994 |
6399997,948 |
6399997,983 |
11205,99996 |
-68,41407881 |
|
|
784,419999 |
6399997,263 |
6399997,312 |
11205,99995 |
-78,18752444 |
|
|
896,4799986 |
6399996,482 |
6399996,544 |
11205,99994 |
-87,9609724 |
|
|
1008,539998 |
6399995,602 |
6399995,681 |
11205,99992 |
-97,73442297 |
|
|
1120,599997 |
6399994,625 |
6399994,723 |
11205,99991 |
-107,5078764 |
|
|
1232,659996 |
6399993,55 |
6399993,668 |
11205,99989 |
-117,2813331 |
|
|
44151,46537 |
6392391,875 |
6392544,348 |
11205,8666 |
-3863,485643 |
|
|
44263,52404 |
6392353,24 |
6392506,489 |
11205,86593 |
-3873,281772 |
|
|
44375,5827 |
6392314,507 |
6392468,534 |
11205,86525 |
-3883,078017 |
|
|
44487,64135 |
6392275,677 |
6392430,483 |
11205,86456 |
-3892,874377 |
|
|
44599,7 |
6392236,748 |
6392392,336 |
11205,86388 |
-3902,670853 |
|
|
44711,75864 |
6392197,721 |
6392354,093 |
11205,8632 |
-3912,467445 |
|
|
44823,81727 |
6392158,596 |
6392315,754 |
11205,86251 |
-3922,264153 |
Рис. 3.1 - Траектория движения корабля при разных начальных скоростях
Исследование движения планеты в системе двух звезд
1. Цель работы
Определить координаты и скорость планеты как функции времени, а так же траекторию ее движения.
2. Исходные данные
Построение модели выполним при следующих допущениях:
· объектом исследования является планета, принимаемая за материальную точку;
· параметрами модели являются координаты и скорость планеты;
· движение планеты происходит в одной плоскости и подчиняется основному уравнению динамики (второму закону Ньютона): ;
· величина (модуль) силы притяжения к центру звезды определяется законом всемирного тяготения , где - гравитационная постоянная, - расстояние между центром планеты и центром звезды.
3. Математическая постановка задачи
Найти решение задачи Коши для следующе системы уравнений:
(3.1)
где при начальных условиях
Для решения задачи используется численный метод. Заменяя производные разностными аналогами, получаем следующую систему разностных уравнений:
(3.2)
При проведении расчетов принимаем, что первый центр притяжения кг находится в начале системы координат , второй центр притяжения расположен в точке м, м, планета находится в начальной точке с координатами м, м и имеет начальную скорость м/с, направленную по горизонтали вправо . Шаг интегрирования во времени c.
4. Расчет
Результат решения задачи - вычисление и построение траектории движения планеты при разной начальной скорости и разных массах звезд сведен в таблицу 4.1 и представлен на рисунке 4.1.
Таблица 4.1
|
0 |
4800000 |
6400000 |
8000000 |
3847076,812 |
1400 |
0 |
|
|
1 |
4801400 |
6400000 |
8000840,078 |
3847732,054 |
1395,655201 |
-8,131100201 |
|
|
2 |
4802795,655 |
6399991,869 |
8001671,202 |
3848378,475 |
1395,654062 |
-8,127016304 |
|
|
3 |
4804191,309 |
6399983,742 |
8002502,486 |
3849025,296 |
1395,652927 |
-8,122932658 |
|
|
4 |
4805586,962 |
6399975,619 |
8003333,929 |
3849672,517 |
1395,651794 |
-8,118849267 |
|
|
5 |
4806982,614 |
6399967,5 |
8004165,531 |
3850320,139 |
1395,650665 |
-8,114766137 |
|
|
6 |
4808378,265 |
6399959,385 |
8004997,294 |
3850968,16 |
1395,649539 |
-8,110683269 |
|
|
7 |
4809773,914 |
6399951,275 |
8005829,215 |
3851616,581 |
1395,648416 |
-8,106600669 |
|
|
8 |
4811169,563 |
6399943,168 |
8006661,296 |
3852265,402 |
1395,647296 |
-8,102518341 |
|
|
9 |
4812565,21 |
6399935,066 |
8007493,537 |
3852914,623 |
1395,646179 |
-8,098436288 |
|
|
10 |
4813960,856 |
6399926,967 |
8008325,937 |
3853564,242 |
1395,645066 |
-8,094354514 |
|
|
11 |
4815356,501 |
6399918,873 |
8009158,496 |
3854214,261 |
1395,643955 |
-8,090273024 |
|
|
12 |
4816752,145 |
6399910,782 |
8009991,214 |
3854864,678 |
1395,642848 |
-8,086191821 |
|
|
13 |
4818147,788 |
6399902,696 |
8010824,092 |
3855515,494 |
1395,641744 |
-8,082110909 |
|
|
14 |
4819543,43 |
6399894,614 |
8011657,128 |
3856166,708 |
1395,640644 |
-8,078030292 |
|
|
9986 |
18760747,12 |
6385164,185 |
19817566,81 |
16120188,79 |
1399,465779 |
-0,118781224 |
|
|
9987 |
18762146,59 |
6385164,067 |
19818891,61 |
16121557,02 |
1399,465866 |
-0,118751571 |
|
|
9988 |
18763546,06 |
6385163,948 |
19820216,43 |
16122925,27 |
1399,465953 |
-0,118721929 |
|
|
9989 |
18764945,52 |
6385163,829 |
19821541,25 |
16124293,52 |
1399,46604 |
-0,118692296 |
|
|
9990 |
18766344,99 |
6385163,711 |
19822866,09 |
16125661,77 |
1399,466128 |
-0,118662673 |
|
|
9991 |
18767744,45 |
6385163,592 |
19824190,93 |
16127030,03 |
1399,466215 |
-0,118633059 |
|
|
9992 |
18769143,92 |
6385163,473 |
19825515,78 |
16128398,3 |
1399,466302 |
-0,118603456 |
|
|
9993 |
18770543,39 |
6385163,355 |
19826840,65 |
16129766,57 |
1399,466389 |
-0,118573862 |
|
|
9994 |
18771942,85 |
6385163,236 |
19828165,52 |
16131134,85 |
1399,466476 |
-0,118544278 |
|
|
9995 |
18773342,32 |
6385163,117 |
19829490,41 |
16132503,13 |
1399,466563 |
-0,118514703 |
|
|
9996 |
18774741,79 |
6385162,999 |
19830815,31 |
16133871,42 |
1399,466651 |
-0,118485139 |
|
|
9997 |
18776141,25 |
6385162,88 |
19832140,21 |
16135239,71 |
1399,466738 |
-0,118455584 |
|
|
9998 |
18777540,72 |
6385162,762 |
19833465,13 |
16136608,01 |
1399,466825 |
-0,118426039 |
|
|
9999 |
18778940,19 |
6385162,644 |
19834790,05 |
16137976,31 |
1399,466912 |
-0,118396504 |
|
|
10000 |
18780339,65 |
6385162,525 |
19836114,99 |
16139344,62 |
1399,466999 |
-0,118366978 |
Рис.4.1 - Траектория движения планеты при разной начальной скорости и разных массах звезд
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Демонстрация первого закона Ньютона о сохранении телом состояния покоя или равномерного движения при скомпенсированных действиях на него других тел. Формулирование и математическое представление основных законов, лежащих в основе классической механики.
презентация [588,4 K], добавлен 05.10.2011Изучение законов Ньютона, лежащих в основе классической механики и позволяющих записать уравнения движения для любой механической системы. Анализ причин изменения движения тел. Исследование инерциальных систем отсчета. Взаимодействие тел с разной массой.
презентация [531,3 K], добавлен 08.11.2013Основная задача динамики, применение законов Ньютона. Применение основного закона динамики и дифференциальных уравнений движения материальной точки при решении задач. Основные свойства внутренних и внешних сил механической системы. Вычисление работы сил.
курсовая работа [347,8 K], добавлен 11.05.2013Движение тела по эллиптической орбите вокруг планеты. Движение тела под действием силы тяжести в вертикальной плоскости, в среде с сопротивлением. Применение законов движения тела под действием силы тяжести с учетом сопротивления среды в баллистике.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 17.06.2011История открытия Исааком Ньютоном "Закона всемирного тяготения", события, предшествующие данному открытию. Суть и границы применения закона. Формулировка законов Кеплера и их применение к движению планет, их естественных и искусственных спутников.
презентация [2,4 M], добавлен 25.07.2010Границы применимости классической и квантовой механики. Исследование одиночных атомов. Сила и масса. Международная система единиц. Определение секунды и метра. Сущность законов Ньютона. Инерциальные системы отсчета. Уравнение движения материальной точки.
презентация [1,7 M], добавлен 29.09.2013Законы движения планет Кеплера, их краткая характеристика. История открытия Закона всемирного тяготения И. Ньютоном. Попытки создания модели Вселенной. Движение тел под действием силы тяжести. Гравитационные силы притяжения. Искусственные спутники Земли.
реферат [339,9 K], добавлен 25.07.2010Запись второго закона Ньютона в векторной и скалярной форме. Определение пути прохождения тела до остановки при заданной начальной скорости. Расчет времени движения данного тела, если под действием силы равной 149 Н тело прошло путь равный 200 м.
презентация [390,9 K], добавлен 04.10.2011Классификация средств измерений и определение их погрешностей. Рассмотрение законов Ньютона. Характеристика фундаментальных взаимодействий, сил тяготения и равнодействия. Описание назначений гравиметров, динамометров, прибора для измерения силы сжатия.
курсовая работа [323,0 K], добавлен 28.03.2010Применение машины Атвуда для изучения законов динамики движения тел в поле земного тяготения. Принцип работы механизма. Вывод значения ускорения свободного падения тела из закона динамики для вращательного движения. Расчет погрешности измерений.
лабораторная работа [213,9 K], добавлен 07.02.2011
