Динамика перепутанных атомов в идеальном резонаторе

,

.

После простых алгебраических вычислений получаем:

,

,

.

Видно, что только одно (синглетное) состояние Белла инвариантно при произвольных преобразованиях базиса. ботах рассмотрены некоторые интересные особенности специфических поляризационных преобразований состояний Белла и предложена экспериментальная процедура томографии таких состояний.

Частным случаем преобразований является поворот линейного базиса на угол . Матрица D описывает поворот координат, если . Пусть a и b - декартовы оси нового базиса. Тогда

,

.

.

.

Замечательно, что при этом типе преобразований появляется еще один инвариант - состояние (25), а два других преобразуются друг в друга при ориентации .

2. Динамика перепутанных атомов, взаимодействующая с двухмодовым тепловым полем

Рассмотрена динамика двух первоначально перепутанных атомов с вырожденными двухфотонными переходами, взаимодействующих с тепловым двухмодовым полем в идеальном резонаторе. Исследовано влияние атомной когерентности на степень атомного перепутывания.

Разработка эффективных схем контроля за перепутыванием кубитов является в настоящее время одной из фундаментальных проблем физики квантовых вычислений [1]. Одним из направлений таких исследований является изучение особенностей перепутывания систем кубитов за счет взаимодействия с тепловыми полями. П. Найт с соавторами [19] показали, что одномодовый тепловой шум может индуцировать атом-атомное перепутывание в системе двух двухуровневых атомов, взаимодействующих с тепловым полем в идеальном резонаторе. Позднее результаты работы [19] были обобщены на случай двухкубитных систем с вырожденным двухфотонным взаимодействием [20] и невырожденным двухфотонным взаимодействием [21]. При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии степень перепутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия.

При этом особый интерес к одно и двухатомным (двухкубитным) моделям инициирован их экспериментальной реализацией на атомах и ионах в резонаторах и ловушках, индивидуальных молекулах в органических кристаллах, искусственных атомах на квантовых точках, сверхпроводящих системах [22]-[26], а также возможностью использования таких систем в качестве логических элементов квантовых компьютеров. Недавно в работе [27] было показано, что степень перепутывания кубитов, индуцированная двухмодовым тепловым шумом, может быть увеличена за счет начальной атомной когерентности атомов. Кроме того было доказано, что перепутыванием атомов можно управлять, изменяя начальные параметры системы, такие как амплитуды поляризованных атомов и их фазы. При этом авторы ограничились рассмотрением только неперепутанных начальных состояний атомов. Вместе с тем в нашей работе [21] получен явный вид оператора эволюции, который позволяет вычислить поведение параметра перепутывания кубитов для перепутанных когерентных начальных состояний атомов. Поэтому в данной главе рассмотрим влияние начальной атомной когерентности на степень атомного перепутывания в случае начальных когерентных перепутанных состояний атомов в рамках двухатомной модели Тависа-Каммингса с невырожденными двухфотонными переходами. Мы ограничимся исследованием влияния атомной когерентности на атомное перепутывание в случае низких температур резонатора, так как в экспериментах с одноатомными мазерами и лазерами, а также сверпроводящими искусственными атомами резонаторы охлаждаются до температур ниже 1 К.

2.1 Гамильтониан и оператор эволюции модели

Рассмотрим систему двух идентичных двухуровневых атомов с частотами атомных переходов , взаимодействующих с двумя модами электромагнитного поля с частотами и посредством невырожденных двухфотонных переходов в идеальном резонаторе. Для простоты мы не будем учитывать штарковский сдвиг энергетических уровней и диссипацию энергии из резонатора. Будем считать, что для атом-фотонного взаимодействия имеет место двухфотонный резонанс, т.е. выполняется условие . Обозначим через и возбужденное и основное состояние в двухуровневом атоме (Рис.1). Тогда двухатомный вектор состояния может быть записан в виде , где .

Рис. 1 Схема атомных невырожденных двухфотонных переходов

В представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны гамильтониан такой модели можно представить в виде:

где и -- операторы рождения и уничтожения фотонов -ой резонаторной моды (), и -- повышающий и понижающий операторы в -ом атоме, -- константа эффективного двухфотонного взаимодействия атомов и поля.

В двухатомном базисе оператор эволюции атом-полевой системы может быть записан в виде

где

Пусть в начальный момент времени резонаторное поле находится в двухмодовом тепловом поле

Где

и -- среднее число тепловых фотонов в -ой моде, а атомы находятся в некотором когерентном суперпозиционном перепутанном состоянии. В таком случае начальная атомная матрица плотности атомов при использовании двухатомного базиса можем быть записана в виде

Явный вид матричных элементов будет определяться выбором начального состояния атомов. Для определения степени атом-атомного перепутывания будем использовать параметр Переса Хородецких, который определим стандартным образом [28],[29]

где -- отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита (атома) редуцированной матрицы плотности. Для перепутанных состояний . Для неперепутанных состояний . Максимальной степени перепутывания соответствует значение . С использованием оператора эволюции мы можем вычислить стандартным образом редуцированную атомную матрицу плотности

В результате для частично транспонированной по переменным одного атома матрицы плотности получаем

Используя явный вид элементов частично транспонированной по переменным одного кубита матрицы (4), мы получили аналитические выражения для параметра перепутывания (3). Однако указанные формулы является достаточно громоздкими и по этой причине не приведены в настоящей работе. Далее мы представим результаты численного моделирования параметра перепутывания (3) для различных начальных состояний двух двухуровневых атомов.

2.2 Численное моделирование параметра перепутывания и обсуждение результатов

1. Выберем начальное перепутанное когерентное атомное состояние вида

где -- параметр когерентности и -- относительная фаза. Отличные от нуля матричные элементы начальной матрицы плотности (2), соответствующие состоянию (5), есть

Результаты численного моделирования параметра перепутывания (3) для начального чистого атомного состояния (5) представлены на рис. 2,3. На рис. 2 показано влияние параметра атомной когерентности на поведение атомной перепутанности. Из рисунка хорошо видно, что степень перепутывания для любых значений среднего числа фотонов всегда выше для когерентного состояния, чем для некогерентного состояния. Кроме того степень перепутывания возрастает по мере приближения параметра к значению . Для белловских начальных атомных состояний степень перепутывания остается наибольшей для всех моментов времени, т.е. чем выше начальная степень когерентности атомов, тем больше их перепутывания в процессе эволюции. На рис. 3 показано влияние относительной фазы на степень атомного перепутывания. Хорошо видно, что при любой степени начальной атомной когерентности степень атомного перепутывания возрастает при увеличении относительной фазы от до . Таким образом использование когерентных начальных атомных состояний позволяет добиться значительной степени атомного перепутывания в процессе эволюции системы. Кроме того выбирая определенным образом параметры когерентности атомов, мы можем добиться эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов.

Рис.2.

Временная зависимость параметра перепутывания для атомов, приготовленных в состояниях: (точечная линия), (штриховая линия); (сплошная линия). Среднее число фотонов в модах .

А.

Б.

Рис.3

Временная зависимость перепутывания для начальных состояний: (a) (б) . Относительная фаза состояний равна: (точечная линия), (штриховая линия), (сплошная линия). Среднее число фотонов в модах . Выберем теперь другое начальное перепутанное когерентное атомное состояние вида

где как и в предыдущем случае -- параметр когерентности и -- относительная фаза. В рассматриваемом случае отличные от нуля матричные элементы в (2) есть

Результаты численного моделирования параметра перепутывания (3) для начального чистого атомного состояния (6) представлены на рис. 4. На рисунке показано влияние параметра атомной когерентности на поведение атомной перепутанности. Хорошо видно, что как и для первого состояния, степень перепутывания для любых значений среднего числа фотонов всегда выше для когерентного состояния, чем для некогерентного состояния. Для рассматриваемого случая степень перепутывания также возрастает по мере приближения параметра к значению . Для некогерентного начального состояния атомов перепутывание атомов не возникает не при каких значениях параметров модели. Для некогерентного начального состояния перепутывание атомов чрезвычайно мало и быстро уменьшается при увеличении интенсивности теплового шума. Таким образом в рассматриваемом случае высокая степень перепутывания может быть получена только для атомов, приготовленных в начальном когерентном состоянии. Отметим, что в отличие от состояния (5), степень атомного перепутывания для состояния (6) практически не зависит от относительной фазы .

Рис. 4

Временная зависимость параметра перепутывания для атомов, приготовленных в состояниях: (точечная линия), (штриховая линия); (сплошная линия). Среднее число фотонов в модах

Таким образом, в данной главе нами исследовано влияние атомной когерентности на перепутывание двух атомов, взаимодействующих с тепловым полем в идеальном резонаторе посредством вырожденных двухфотонных переходов. При этом было показано, что атомная когерентность может быть использована для эффективного контроля за степенью перепутанности кубитов, необходимой при квантовой обработке информации.

3. Влияние диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности на перепутывание двухатомной системы с однофотонными переходами при малых температурах резонатора

Перепутанность зависит как от начальной когерентности перепутанных состояний атомов, так и от диполь-дипольного взаимодействия

В работе [30] было рассмотрено влияние диполь - дипольного взаимодействия и атомной когерентности на перепутывание двух двухуровневых атомов с однофотонными переходами, взаимодействующих с модой квантового электромагнитного поля в идеальном резонаторе, при наличии диполь-дипольного взаимодействия. Однако авторы ограничились рассмотрением высоких температур резонатора. Вместе с тем, во во всех известных прообразах квантовых компьютеров [29] система поддерживается при низких температурах, что обеспечивает высокое время когерентности.

Например для нейтральных атомов резонаторы поддерживают температуру менее 0.1 К, а для сверхпроводимых кубитов характер температуры образца менее 0.05 К. Поэтому представляет большой интерес изучить перепутывание в обсуждаемой модели для низких температур резонатора (малы значений ).

Для простоты мы рассмотрим систему из двух двухуровневых атомов одного типа связанных посредством диполь-дипольного взаимодействия.

(1)

где ? параметр диполь-дипольного взаимодействия кубитов

Обозначим через и возбужденное и основное состояние двухуровневого искуственного атома. Тогда двухатомная волновая функция может быть представлена в виде комбинации волновых векторов вида , где . Атом-полевая система в идеальном резонаторе обладает унитарной динамикой, которая в представлении взаимодействия описывается оператором эволюции . В двухатомном базисе оператор эволюции для модели с гамильтонианом (1) записан как

(2)

Здесь

Где

и

Пусть в начальный момент поле находится в тепловом состоянии

где и ? среднее число тепловых «фотонов» в моде, а атомы в когерентных состояниях

(3)

Здесь и обозначают амплитуды поляризованных атомов и и ? относительные фазы состояний двух атомов.

Для вычисления критерия перепутанности атомов необходимо найти редуцированную атомную матрицу плотности

(4)

В результате с использованием явного вида оператора эволюции (2) для матричных элементов (4) получаем

Обсуждение результатов

Для определения степени атом-атомного перепутывания будем использовать параметр Переса Хородецких [28,29], который определяется как

(5)

где -- отрицательные собственные значения частично транспонированной по переменным одного кубита (атома) матрицы (4). Для неперепутанных состояний . Для перепутанных состояний . Максимальной степени перепутывания соответствует значение .

Результаты численного моделирования временной зависимости параметра перепутывания (5) для различных значений параметров модели представлено на следующих рисунках.

Рис. 5

Временная зависимость параметра перепутывания для атомов, приготовленных в некогерентном состоянии:|+,?>, б=0 (точечная линия), б=0 (штриховая линия), б=1 (сплошная линия). Среднее число фотонов в модах = 0.1.

Рис. 6

Временная зависимость параметра перепутывания для атомов, приготовленных в когерентном состоянии: 1/ (|+,?> + | ?,+>), б=0 (точечная линия), б=0 (штриховая линия) б=1 (сплошная линия). Среднее число фотонов в модах =0.1.

Рис. 6

Временная зависимость параметра перепутывания для атомов, приготовленных в когерентном состоянии: 1/ (|+,?> ? |?,+>), б=0 (точечная линия), б=0 (штриховая линия), б=1 (сплошная линия). Среднее число фотонов в модах =0.1.

Из рисунков хорошо видно, что для атомов находящихся в резонаторах с низкой температурой, диполь-дипольное взаимодействие приводит к заметному увеличению степени атомного перепутывания, как для некогерентных, так и для когерентных начальных атомных состояний. Это позволяет использовать такое взаимодействия для контроля над степенью атомного перепутывания индуцированного тепловым шумом.

Заключение

Сформулируем основные выводы и результаты дипломной работы:

В настоящей дипломной работе было исследовано влияния диполь - дипольного взаимодействия между атомами и атомной когерентности на особенности атом - атомного перепутывания состояний в двухатомных моделях Тависа - Каммингса с однофотонными и вырожденными двухфотонными переходами индуцированного тепловым шумом.

1. Исследовано влияние атомной когерентности на динамику атомного перепутывания двухатомной модели Тависа - Каммингса с невырожденными двухфотонными переходами для начальных когерентных перепутанных состояний атомов.

2. Изучена роль диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности на атомное перепутывание, индуцированным тепловым шумом, в однофотонной модели Тависа-Каммингса для начальных когерентных не перепутанных состояний атомов.

Список использованной литературы

1.Schumacker D., Westmoreland M.D. Quantum Processes, Systems, and Information - New York: Cambridge University Press, 2010.

2.Blatt R and Wineland D J 2008 Entangled states of trapped atomic ions Nature 453 1008-15

3.Clarke J and Wilhelm F K 2008 Superconducting quantum bits Nature 453 1031-42

4.You J Q and Nori F 2005 Superconducting circuits and quantum information Phys. Today 58 42-7

5.Hanson R and Awschalom D D 2008 Coherent manipulation of single spins in semiconductors Nature 453 1043-9

6.Vandersypen L.M.K., Chuang I.L. 2005 NMR techniques for quantum control and computation Rev. Mod. Phys. 76 1037-69

7.Baugh J et al 2007 Quantum information processing using nuclear and electron magnetic resonance: review and prospects arXiv:0710.1447v1

8.Kane B E 1998 A silicon-based nuclear spin quantum computer Nature 393 133-7

9.Morton J.J.L. et al. 2008 Solid-state quantum memory using the 31P nuclear spin Nature 455 1085-8

10.Gisin N and Thew R 2007 Quantum communication Nature Photon. 1 165-71

11.Kok P. et al. 2007 Linear optical quantum computing with photonic qubits Rev. Mod. Phys. 79 135

12./ M.B Plenio, S.F. Huelda, A. Beige A., P.L Knight. . Cavity-loss-induced generation of entangled atoms // Phys. Rev., 1999. - Vol. A59. - №. 3. - P. 2468 - 2475.

13.S. Bose, I. Fruentes-Guridi., P.L. Knight, V. Vedral.Subsystem purity as an enforcer of entanglement / // Phys. Rev. Lett., 2001. - Vol. 87. - 050401.

14.M.S. Kim, J. Lee, D. Ahn, P.L. Knight.. Entanglement induced by a single-mode heat environment / // Phys. Rev., 2002. - Vol. A65. - 040101.

15.Zhou, L. Entanglement induced by a single-mode thermal field and criteria for entanglement / L. Zhou, H.S. Song // J. Opt., 2002. - Vol. B4. - P. 425 - 429.

16.Bashkirov, E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise / E.K. Bashkirov // Laser Physics Letters, 2006. - Vol. 3. - №. 3. - P. 145-150.

17.Aguiar, L.S. The entanglement of two dipole-dipole coupled in a cavity interacting with a thermal field / L.S. Aguiar, P.P. Munhoz, A. Vidiella-Barranco, J.A. Roversi // J. Opt., 2005. - Vol. B7. - P. S769-771.

18.Башкиров, Е.К., Ступацкая М.П. Перепутывание двух атомов, взаимодействующих с тепловым электромагнитным полем / Компьютерная оптика. 2011. Т. 35. З 243-249.

19.Kim M.S., Lee J., Ahn D., Knight P.L. Entanglement induced by a single-mode heat environment // Phys. Rev. 2002. V.A65. 040101.

20.Zhou L., Song H.S. Entanglement induced by a single-mode thermal field and criteria for entanglement // J. Opt., 2002. V.B4. P. 425-429.

21.Bashkirov E.K. Entanglement induced by the two-mode thermal noise // Laser Physics Letters. 2006. V.3. 3. P. 145-150.

22.Haroche S., Raimond J.-M. Exploring the Quantum. Atoms, Cavities and Photons. New York: Oxford University Press, 2006. 606 p.

Размещено на Allbest.ru