Динамика перепутанных атомов в идеальном резонаторе

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика перепутанных атомов в идеальном резонаторе

атомный перепутывание квантовый теория



Введение

На сегодняшний день в квантовой оптике особое внимание уделяется изучению перепутанных состояний. Перепутанные состояния являются фундаментом квантовой информатики, квантовой криптографии, квантовых вычислений, квантовых телекоммуникаций (передача информации на расстоянии) [1]. Перепутанными называются состояния систем, между которыми имеют место квантовые корреляции. Такие перепутанные состояния возникают в результате взаимодействия квантовых подсистем.

В настоящее время активно обсуждаются различные типы физических систем, которые можно было бы использовать в качестве кубитов квантовых компьютеров: атомы в оптических резонаторах и ловушках [1] и ионы в магнитных ловушках Пауля [2], сверхпроводящие системы на джозефсоновских переходах [3,4], примесные спины в твердых телах [5], ядерные спины в молекулах кристаллах [6] другие. Одним из наиболее перспективных направлений в физике квантовых вычислений является изучение джозефсоновских кубитов.

Для большинства систем удалось экспериментально наблюдать долгоживущие атом-атомные перепутанные состояния, что является принципиальным для физики квантовых вычислений. Но в реальных условиях квантовые системы всегда взаимодействуют с окружением. Такое взаимодействие обычно приводит к декогерентности, так что исследуемая система эволюционирует в смешанное перепутанное состояние, которое оказывается непригодным для целей квантовых вычислений. Поэтому с практической точки зрения основная задача при получении и использовании атомных перепутанных состояний заключается в том, чтобы предотвратить, минимизировать или использовать влияние шума.

Ранее в целом ряде работ была высказана идея о том, в некоторых случаях диссипация и шум могут являться источником перепутывания. Впервые такая идея была предложена в работе [12]. В ней авторы показали, что за счет диссипации два атома (два кубита) в оптическом резонаторе могут перейти в максимально перепутанное состояние, в то время как в отсутствии диссипации редуцированное состояние двухатомной системы представляет собой несепарабельную смесь атомных состояний в любой момент времени, но только без максимального перепутывания. Возможность генерация перепутанных состояний в системе двух и более атомов в резонаторе за счет различных механизмов диссипации рассматривалась позднее в большом количестве работ. В работе [13] рассмотрено возникновение атомного перепутывания в системе двух двухуровневых атомов в резонаторе при наличии диссипации за счет утечки фотонов и спонтанного излучения при наличии белого шума.

Ряд работ в последнее время был посвящен исследованию возможности генерации перепутывания в атомных системах в резонаторах, индуцированного тепловым шумом. Идея о возможности возникновения перепутывания при взаимодействии атомов в резонаторах с тепловым полем принадлежит Питеру Найту с соавторами. Для теоретического описания таких систем используется модель Джейнса-Каммингса и ее простейшие обобщения. Модель Джейнса-Каммингса и ее простейшие обобщения играют фундаментальную роль в квантовой оптике, поскольку позволяют описать все основные квантовые эффекты взаимодействия излучения с веществом. В частности на примере двухатомной модели Джейнса-Каммингса, которую также часто называют моделью Тависа-Каммингса, можно исследовать особенности атомного перепутывания за счет взаимодействия атомов с различными бозонными полями. В работе [13] впервые было показано, что перепутывание всегда возникает при взаимодействии произвольной системы с большим числом степеней свободы в смешанном состоянии и одиночного кубита в чистом состоянии, и общие результаты проиллюстрированы на примере модели Джейнса-Каммингса одиночного атома в чистом состоянии, взаимодействующего с модой теплового поля в идеальном резонаторе. В своей следующей работе Питер Найт с соавторами [14] показали, что одномодовый тепловой шум может также индуцировать атом-атомное перепутывание в системе двух двухуровневых атомов в идеальном резонаторе. Перепутывание в двухатомной системе с вырожденным двухфотонным взаимодействием, индуцированное одномодовым тепловым шумом, было рассмотрено в работе [15], а влияние двухмодового теплового шума на перепутывание двух двухуровневых атомов с невырожденными переходами и переходами рамановского типа - в работе [16]. При этом было показано, что при двухфотонном взаимодействии степень перепутывания атомных состояний может значительно превосходить соответствующую величину для однофотонного взаимодействия.

Как известно, диполь-дипольное взаимодействие атомных систем является естественным механизмом возникновения атомного перепутывания. Наличие диполь-дипольного взаимодействия атомов может привести к значительному увеличению степени перепутывания двух атомов, взаимодействующих с модой теплового поля в идеальном резонаторе [17]. Физически диполь-дипольное взаимодействие можно увеличить, уменьшая относительное расстояние между атомами. Преимущество этой схемы заключается в том, что относительное расстояние между атомами можно легко контролировать. В настоящее время в атомы и ионы в оптических ловушках, ионы в магнитных ловушках Пауля, а также искусственные атомы на джозефсоновских переходах и квантовых точках могут быть заперты на расстояниях порядка длины волны излучения. В этом случае параметр диполь-дипольного взаимодействия становится сравнимым с константой диполь-фотонного взаимодействия. В итоге, такие экспериментальные установки могут быть использованы для генерации значительной степени перепутывания атомов, даже при наличии шума.

Особенности динамики перепутывания в двухкубитных атомных системах, взаимодействующих с тепловыми полями в резонаторах посредством однофотонных переходов, при наличии прямого диполь-диполь взаимодействия исследовалась в большом количестве работ (см. ссылки в [18]). Однако, как уже указывалось выше, для атомных систем с вырожденными и невырожденными переходами степень атомного перепутывания, индуцированная тепловым шумом, может быть значительно больше степени перепутывания в системах с однофотонными переходами. Такой вывод был сделан при исследовании систем двух кубитов без учета диполь-дипольного взаимодействия.

Представляет поэтому большой интерес исследование влияния диполь-дипольного взаимодействия и начальной атомной когерентности на динамику перепутавания состояний двух кубитов с одно- и двухфотонными переходами.

Целью настоящей работы является исследование влияния диполь - дипольного взаимодействия между атомами и атомной когерентности на особенности атом - атомного перепутывания состояний в двухатомных моделях Тависа - Каммингса с однофотонными и вырожденными двухфотонными переходами.

Для реализации поставленной цели решаются основные задачи:

1. Исследовать влияние атомной когерентности на динамику атомного перепутывания двухатомной модели Тависа - Каммингса с невырожденными двухфотонными переходами для начальных когерентных перепутанных состояний атомов.

2. Изучить роль диполь-дипольного взаимодействия и атомной когерентности на атомное перепутывание, индуцированным тепловым шумом, в однофотонной модели Тависа-Каммингса для начальных когерентных не перепутанных состояний атомов.



1. Литературный обзор

Перепутанные состояния

Впервые понятие «перепутанных» состояний было введено Э.Шредингером в его работе от 29 ноября 1935г «Cовременное состояние квантовой механики». Известно, что появление этой статья было вызвано работой А.Эйнштейна, Б.Подольского и Н.Розена «Может ли квантово-механическое описание реальности быть полным?» (15 мая 1935г.) с дополнением, написанным Н.Бором. Русскоязычный перевод статьи Э.Шредингера появился в журнале Успехи химии в 1936г. Шредингер ввел понятие перепутанных состояний для описания состояния совокупной или составной системы, которая состоит из нескольких частей. Причем части общей системы могут быть пространственно разнесены.

Рассмотрим источник, испускающий пары частиц так, что одна из них (присвоим ей индекс 1) летит налево, а другая (индекс 2) - направо. Потребуем, чтобы сохранялась сумма импульсов частиц. Введем дополнительную параметризацию. Каждая частица может полететь и вверх (назовем это состоянием ) и вниз (). Но всякий раз сумма импульсов сохраняется. Если первая частица полетела налево вниз, то вторая полетит направо вверх. Или если первая частица полетела налево вверх, то вторая - направо вниз.

Рис.



Полное состояние, которое приготавливает источник, записывается в виде суперпозиции двух «возможностей»:

Коэффициенты с_i (i = 1, 2) - это (комплексные) амплитуды двух «альтернатив». Их физический смысл состоит в том, что соответствующие квадраты модулей определяют вероятности обнаружить пару частиц в состояниях , либо . Состояние (1.1) - пример перепутанного состояния двух частиц. Позже будет дано четкое определение таких состояний и рассмотрены количественные меры перепутывания. Мы будем оперировать с разными видами перепутанных состояний. Например - ионы в ловушках, ядерные спины в молекуле при электронном парамагнитном резонансе, состояния атом-поле в резонаторе и др.

По определению перепутанными считаются состояния составной системы, которые не могут быть представлены в виде произведения волновых функций, описывающих ее части по отдельности. Так, для двухкомпонентной системы перепутанное состояние:

Примером ПС служат состояния Белла. Они замечательны тем, что проецирование одной части системы в одно из двух возможных состояний, другая часть «мгновенно» приобретает определенное значение, несмотря на то, что она могла быть удалена на произвольное расстояние. Этот факт и был основной причиной, побудившей Эйнштейна к переосмыслению основных положений квантовой механики. Определение (1.2) не очень хорошо тем, что оно не содержит позитивного утверждения. Перед тем как перейти к физической стороне проблемы, следует отметить важное свойство ПС. Оно состоит в том, что для чистых перепутанных состояний (т.е. тех, которые описываются ВФ) полное знание состояния составной системы не предполагает полного знания состояний подсистем. Т.е. иногда вообще бессмысленно говорить о ВФ подсистем, поскольку они представляют собой некогерентную смесь, т.е. их можно описать классически в терминах статистической физики. Например, рассмотрим состояние Белла

(1.3)

системы, рассмотренной в начале, когда . Чтобы найти матрицу плотности какой-нибудь подсистемы надо взять след по индексам другой системы от совместной матрицы плотности:

(1.4)

Получаем:

Тогда

,

т.е. представляет собой взвешенную смесь. Следовательно, состояние второй подсистемы нельзя описывать волновой функцией; оно не является полностью определенным. Аналогично, матрица плотности первой подсистемы находится как следующий по индексам второй подсистемы:

.

Говоря о перепутанных состояниях, мы, таким образом, выделяем следующие их атрибуты:

наличие параметра, принимающего ряд фиксированных значений для каждой из подсистем;

наличие корреляций между двумя подсистемами по этому параметру, или в более общем случае - синхронности флуктуаций этого параметра;

Сформулируем еще одно определение перепутанных состояний для двух подсистем:

Перепутанными называются две подсистемы между которыми существуют квантовые корреляции по параметру, принимающему по крайней мере два значения для каждой из подсистем. Измерение состояния одной из подсистем однозначно определяет (проецирует) состояние другой. Совместное состояние двух подсистем тогда называется перепутанным.

Обращаем внимание, что корреляции должны носить квантовый характер, их нельзя описать классически. В противном (классическом) случае даже полные (100%-ые) корреляции не дают результатов, к которым ведет использование истинных перепутанных состояний - например, нарушение неравенств Белла.

Заметим также, что для трех подсистем однозначного определения перепутанных состояний ввести не удается. Связано это с тем, что в случае измерения состояния одной из подсистем две оставшиеся могут либо принять определенные значения (определение 1), либо оказаться в перепутанном состоянии (определение 2).

Рассмотрим оптическую реализацию ПС. На сегодняшний день именно оптические ПС удается приготовить с высоким качеством. Здесь под качеством мы понимаем те признаки по которым можно судить о перепутанных состояниях в определенных экспериментах. Конкретно, имеются в виду эксперименты по двухфотонной интерференции, где видность интерференции четвертого по полю порядка непосредственно связана с качеством перепутанных состояний.

Для оптических систем различают ПС между отдельными фотонами и между квадратурными компонентами электромагнитного поля. В первом случае говорят о дискретных переменных, во втором - о непрерывных. Оба случая реализуются в процессе параметрического рассеяния света. В случае дискретных переменных используется спонтанный режим, когда пары фотонов излучаются в широком спектральном диапазоне (5-20нм) и практически не перекрываются в пространстве-времени. В случае непрерывных переменных используется режим параметрического усиления: кристалл, генерирующий пары фотонов помещается в резонатор, который работает как элемент обратной связи, т.е. и как фильтр частот.

Наиболее качественные ПС получаются при спонтанном режиме, для дискретных переменных.

В результате спонтанного параметрического рассеяния в нелинейной среде возникают пары коррелированных фотонов. Закон сохранения импульса (в нелинейно-оптических экспериментах его иногда называют условием фазового синхронизма) приводит к пространственной корреляции фотонов. Закон сохранения энергии дает жесткую корреляцию между частотами родившихся фотонов. Анизотропия среды накладывает строгие ограничения на поляризацию фотонов. Понятие «корреляция» нужно уточнять в каждом конкретном эксперименте. Так, в нестационарном режиме, т.е. при использовании коротких импульсов накачки, когда ширина спектра накачки сравнима с шириной спектра СПР уже нет смысла говорить об однозначной связи частот сигнального и холостого фотонов - эта связь определена лишь с точностью до ширины спектра накачки:

где W_p - центральная частота в спектре накачки.

Аналогично, при рассеянии в ограниченных (в поперечном, либо в продольном направлениях) средах, импульс сохраняется с точностью до расстройки, обратно пропорциональной соответствующему масштабу среды. Поэтому игнорирование частотной или угловой формы линии параметрического рассеяния может привести к заметным погрешностям в процессе приготовлении перепутанных состояний. Иногда для их предотвращения используют процедуры т.н. пространственной или частотной пост-селекции, когда часть состояний отфильтровывается, не принимается в рассмотрение.

(1.8)

где - вакуумное состояние, величина называется амплитудой бифотона, а - состояние с одним (сигнальным) фотоном в моде k и одним (холостым) фотоном в моде kў. Смысл величины состоит в том, что квадрат ее модуля дает вероятность регистрации двух фотонов в двух поляризационных модах k и kў. Видно, что состояние (1.8) не факторизуется, а если рассматривать лишь два слагаемых в сумме (1.8), получим двух-компонентную (bipartite) систему из которой можно приготовить состояния Белла. Итак, опираясь на пример спонтанного параметрического рассеяния света, рассмотрим разные типы перепутанных состояний, которые можно получить при рассмотрении разных мод k и kў.



1.1 Состояния, перепутанные по времени (энергия -время)

Такой тип ПС был впервые предложен Дж. Фрэнсоном. Он основан на том, что сигнальный и холостой фотоны рождаются практически одновременно, с точностью до ширины спектра накачки. Однако каждый из них имеет конечный спектр, определяемый дисперсией и размерами кристалла. Сумма частот сигнального и холостого фотонов равна частоте накачке, т.е. остается постоянной для всех сопряженных спектральных компонент бифотонного поля. Суть схемы, предлженной Фрэнсоном состоит в следующем. Бифотоны генерируются в частотно-вырожденном неколлинеарном режиме при синхронизме типа I. При этом на пути сигнального и холостого фотона помещается по одинаковому разбалансированному интерферометру Маха-Цандера. Разность длин плеч должна превышать длину когерентности излучения СПР, которая при синхронизме типа I определяется второй производной закона дисперсии в окрестности половины частоты накачки:

(1.9)

Интерференция в каждом из каналов не возникает, поскольку задержка превышает длину когерентности. Однако, при регистрации совпадений между детекторами, стоящими в разных плечах возможно наблюдение интерференции (четвертого порядка по полю). Это ясно из вида волновой функции, которая описывает состояние пары фотонов:

(1.10)



Здесь символы S и L обозначают короткое и длинное плечо соответствующего интерферометра. Состояние (1.19) - факторизованное, поскольку представляет собой прямое произведение состояний сигнального и холостого фотонов:

(1.11)

Но если регистрировать только факт одновременного прихода сигнального и холостого фотонов, что можно сделать, выбрав окно схемы совпадения меньше, чем задержка, возникающая между S и L путями в интерферометре, то последние два слагаемых в (1.10) исчезнут. Это - т.н. временная пост-селекция, когда отфильтровываются события, не принадлежащие определенному интервалу времени. В итоге состояние пары фотонов принимает нефакторизованный вид и отвечает суперпозиции

Такое ПС есть когерентная суперпозиция двух вкладов, когда оба фотона прошли по коротким плечам интерферометров, либо оба - по длинным плечам. Варьируя фазовые задержки, можно наблюдать интерференцию четвертого порядка.

1.2 Частотно-пространственные ПС (или перепутывание по импульсу)

Частотно-угловые ПС. Рассмотрим неколлинеарный невырожденный режим СПР, когда поляризация обоих фотонов одинакова (синхронизм типа I). Для малых частотных отстроек сигнального и холостого фотонов от половины частоты накачки:

(1.13)

можно выделить такие направления рассеяния q, qў, в которых излучаются как сигнальный фотон с частотой , так и холостой фотон с частотой . При этом двухфотонная часть вектора состояния будет иметь вид

(1.14)

Это состояния Белла Y^±, где перепутанными являются частотные и угловые степени свободы. Такие состояния (Белла) еще не были реализованы в эксперименте. Манипуляции с частотно-пространственными ПС осуществлялись в работах Д.Рарити и П. Тапстера.

1.3 Поляризационно-частотные ПС

В этом случае будем говорить о нефакторизованных состояниях вида

(1.15)

(1.16)

где перепутаны частотные и поляризационные моды.

В каждом плече интерферометра Маха-Цандера генерируется СПР в частотно-невырожденном, коллинеарном режиме, с синхронизмом типа I . В левом плече поляризация обоих фотонов поворачивается на 90⁰ при помощи полу-волновой пластинки. Таким образом бифотоны, поступающие на поляризационный светоделитель, имеют ортогональные поляризации, что позволяет совместить их в одном пучке без потерь. Состояние света после светоделителя имеет вид (1.15). Фаза между компонентами состояния определяется задержкой , вносимой смещением зеркала М. Для получения состояния Белла необходимо выполнить унитарные преобразования состояний состоящие в повороте базиса.

Синглетное состояние не имеет аналога в вырожденном по частоте режиме, так как оно антисимметрично по отношению к перестановке фотонов в паре. Это значит, что состояние

(1.17)

- единственное из состояний Белла, которое меняет знак при перестановке индексов 1 и 2. Оставшиеся три состояния - триплетные - симметричны к перестановке индексов. Для приготовления этого состояния в эксперименте использовалась специальная фазовая пластинка из кристаллического кварца (QP), толщина которой удовлетворяла следующему условию: набег фаз между обыкновенной и необыкновенной волной на частоте отличается от соответствующего набега фаз на частоте на . Если на входе в такую пластинку имеется состояние , а ее оптическая ось ориентирована вертикально или горизонтально, то состояние после пластинки, с точностью до несущественной общей фазы, будет . Для получения состояния фаза в интерферометре устанавливалась равной , так что на выходе из интерферометра получалось состояние . В базисе XY, повернутом на /4 относительно базиса HV, как уже говорилось, состояние переходит в : . Пластинка QP устанавливалась на выходе из интерферометра так, что ее оптическая ось была ориентирована по направлению X. После пластинки состояние в базисе XY превращалось в . Забегая вперед, отметим, что синглетное состояние Белла инвариантно к любым преобразованиям базиса.

1.4 Поляризационно-угловые ПС

Этот тип ПС является в настоящее время самым распространенным. Сигнальный и холостой фотоны излучаются под различными углами , к волновому вектору накачки, причем для каждого из них поляризация не задана, однако имеется корреляция (перепутывание) между поляризациями. Двухфотонная часть вектора состояния имеет при этом вид

Или

где символы H и V обозначают горизонтальную и вертикальную поляризацию. Такие состояния были впервые реализованы за счет использования неколлинеарного частотно-вырожденного синхронизма типа II . Специфика ПС, приготавливаемых таким методом состоит в том, что в излучение СПР необходимо вносить групповую задержку между фотонами V и H поляризациями.

Связано это с тем, что из-за дисперсии кристалла, в котором происходит генерация бифотонов, фотоны с обыкновенной поляризацией распространяются быстрее, чем с необыкновенной.

Обратная ширина спектра СПР как раз и определяется этой величиной



.

Здесь в скобках стоит разница обратных групповых скоростей необыкновенной и обыкновенной волн в нелинейном кристалле. Чтобы состояние (1.18) на выходе из кристалла было чистым, необходимо уничтожить возникшую в кристалле задержку, сделать вклады V и H поляризаций «неразличимыми», т.е. добиться того, чтобы задержка между ними не превышала времени когерентности (1.20). Добиться этого можно, вводя после кристалла двулучепреломляющий элемент (пластинку из кристаллического кварца, например), которая компенсирует задержку:

(1.21)

Впоследствии была предложена более удобная схема , при которой аналогичные состояния получались при интерференции бифотонов, рождающихся в двух последовательно расположенных кристаллах с синхронизмом типа I. На выходе такой схемы генерируется ПС вида (1.19), которое легко можно преобразовать ко всем четырем состояниям Белла. В частности, переход к состояниям вида (1.18) осуществляется с помощью полу-волновой пластинки, ориентированной под углом 45⁰, помещенной в одну из угловых мод.

1.5 Перепутанные состояния квадратурных компонент поля

В заключение, рассмотрим оптический метод получения ПС непрерывных переменных. Типичные представители квантовых непрерывных переменных являются координата и импульс (частицы). Мы будем использовать тот факт, что одна поперечная мода квантованного электромагнитного поля излучения формально описывается так же, как и гармонический осциллятор.

Гамильтониан классического гармонического осциллятора имеет вид:

(1.22)

При квантово-механическом рассмотрении переменным x и p ставятся в соответствие операторы:

которые удовлетворяют коммутационному соотношению:

(1.24)

Гамильтониан квантованного гармонического осциллятора принимает вид:

(1.25)

где использована связь между операторами координаты, импульса и повышающим (а⁺) и понижающим (а) операторами:

(1.26)



(1.27)

Для операторов а⁺ и а действуют обычные коммутационные соотношения:

(1.28)

(1.29)

(1.30)

(1.31)

Символ обозначает n-ое возбужденное состояние осциллятора, N - оператор числа частиц. Спектр собственных значений осциллятора дискретен:

Оператор электрического поля в точке r связан с операторами рождения и уничтожения фотонов. Если интересоваться только одной поперечной модой с частотой и одной поляризацией, то оператор электрического поля принимает вид:

где L - размер ящика квантования. В общем виде, если рассматривать поле в начале координат (r = 0) и объединяя несущественные коэффициенты в один - Е₀, получаем оператор поля в виде:

(1.33)



При квантовании поля по аналогии с гармоническим осциллятором, вводятся операторы X и P:

(1.34)

.

Соответственно, обратные преобразования дают

(1.36)

.

В терминах операторов X и P, оператор поля приобретает вид

Собственные значения X и P оператора поля называются квадратурными компонентами. Их часто интерпретируют как синфазная и противофазная компоненты по отношению к фазе локального генератора (осциллятора). Коммутационные соотношения для них имеют вид:

.

Отсюда сразу следуют соотношения для флуктуация квадратурных компонент:

,



из которых следует, что квадратурные компоненты не могут быть измерены одновременно и с произвольной точностью.

У сжатых состояний поля неопределенность одной из квадратурных компонент больше, чем у другой. На фазовой плоскости такие состояния изображаются эллипсами, вытянутыми вдоль X или Y осей.

Рис.

Наконец, рассмотрим способ получения перепутанных состояний в непрерывных переменных. Пусть во входные моды неполяризационного светоделителя поступают поля Е₁ и Е₂, соответственно сжатые в X и P направлениях. Представим идеальную ситуацию, когда сжатие максимально, т.е. X₁ = P₂ = 0. Коэффициент сжатия определяется как отношение радиуса когерентного кружка к короткой полуоси эллипса неопределенности. В настоящее время (Mlynek) рекордное значение коэффициента сжатия составляет 20 (если не учитывать квант. эффективность детектора) и 30 (если учитывать). Для поляризационного сжатия коэффициент равен 3 (Bohar).

Поля на входе светоделителя



Поля на выходе светоделителя

(1.41)

Тогда .

Из последнего соотношения следует условие перепутанности состояний координат и импульсов (квадратурных компонент) в выходных модах светоделителя:

(1.42)

Из (1.42) следует, что свойства частиц (полей) не определены. Вместо этого определены их совместные свойства. Заметим, что хотя операторы X и P не коммутируют, операторы коммутируют из-за знака «-»! Поэтому для перепутанного состояния совместные свойства могут быть измерены одновременно с любой точностью (как и для операторов ).

Если же исходные поля были приготовлены не в максимально-сжатом состоянии, то условие (1.42) не выполняется. Таким образом качество приготовления сжатых состояний существенно определяет качество конечного перепутанного состояния в непрерывных переменных.

Меры перепутывания: Математические аспекты

Фундаментальной единицей квантовой теории информации является кубит. Напомню, что кубит представляет собой состояние двухуровневой системы, например, частицу со спином 1/2 или произвольная суперпозиция двух фоковских состояний. В представлении двух ортогональных состояний, таких как «0» и «1» кубит отличается от классического бита тем, что он может существовать в произвольной (комплексной) суперпозиции своих базисных состояний:

.

Кроме того, кубит может оказаться в состоянии, которые мы назвали перепутанным и которое не имеет классической аналогии. Рассмотрим теорему Б.Шумахера об эффективном сжатии квантовых данных. Эта теорема утверждала, что для оптимального сжатия необходимо определенное количество кубитов, которое требуется для успешной передачи через квантовый канал неизвестных чистых состояний, полученных из источника, приготавливающего известный ансамбль состояний. Другими словами - энтропия фон Неймана ансамбля является просто средним числом кубитов, необходимых для кодирования состояний ансамбля при помощи идеальной кодирующей системы.

В некоторых протоколах квантовой информации речь идет о других квантовых ресурсах - не о кубитах, а о перепутанных состояниях. Например - в протоколах сверхплотного кодирования, квантовой телепортации, протоколе Экерта квантовой криптографии и многих других. В них речь идет о максимально перепутанных парах кубитов, которые распределены между излучателем и приемником, которые связаны между собой, в общем случае, и классическим и квантовым каналом связи. Так же как и Шумахер, определим ebit(!) как количество перепутывания содержащейся в максимально перепутанной паре двухуровневых систем, например, в паре частиц со спином 1/2, находящихся в синглетном состоянии:



(2.2)

Возникает вопрос, сколько ебитов (прости господи) необходимо для реализации того или иного протокола.

Замечание: Предлагается произносить ebit как «пебит»! (от «перепутывание» и «бит»)

Заметим, что кубиты являются прямыми ресурсами канала связи. Они посылаются в определенном направлении (от источника к приемнику). В то же время пебиты относятся к непрямым ресурсам - они распределены между источником и приемником. Например, если Алиса приготовила две частицы в синглетном состоянии (2.2) и отправила одну частицу Бобу, то результат будет таким же, как если бы Боб приготовил две частицы в таком же состоянии и послал одну из них Алисе.

В некотором смысле пебиты - более слабые ресурсы квантовой информации, чем кубиты, поскольку, передача одного кубита может быть использована для создания одного пебита перепутывания. Однако распределение между пользователями одного или нескольких пебитов само по себе не достаточно для передачи произвольного состояния двухуровневой (квантовой) системы или кубита в любом направлении. Для осуществления такой передачи необходимо дополнить пебит битами классической информации, как это имеет место при квантовой телепортации.

Возникает естественный вопрос. Можно ли в протоколах квантовой информации пользоваться частично перепутанными состояниями, например, в виде:

вместо максимально ПС (2.2). А если можно, то сколько таких пар необходимо использовать вместо одной максимально перепутанной пары? Для ответа на эти вопросы нам необходимо количественно охарактеризовать перепутывание.

1.6 Разложение Шмидта

Предположим, что у нас имеется две подсистемы А (размерности N) и В (размерности М Ј N). Тогда утверждается, что совместное состояние этих двух подсистем может быть записано в виде ПС:

где |a_i> = |a₁>, |a₂>,..|a_М> -базис для подсистемы А, |b_i> = |b₁>, |b₂>,…|b_М>- базис для подсистемы В. Коэффициенты с_i - действительные, положительные числа. Мы включили фазы в определение базисных состояний для удобства. Из разложения Шмидта следует, что с точки зрения каждого из двух наблюдателей перепутанные состояния являются смешанными состояниями. Так для наблюдателя А:

.

Аналогично, для другого наблюдателя:

.

Для количественного описания перепутывания в чистом состоянии двух подсистем вводят следующую «меру» перепутывания.



1.7 Энтропия перепутывания

Энтропией частично перепутанного чистого состояния - это энтропия фон Неймана

(2.7)

либо подсистемы А (r_А) либо В (r_В):

(2.8)

Последнее равенство легко проверить на примере двух кубитов:

.

Замечание. Мы включили фазы в определение базисных состояний. Если этого не делать, то очевидно, последнее и предпоследнее соотношения будут записаны в виде:

(2.10)

Замечание. Представление энтропии в виде натурального логарифма содержит некий произвол. Можно встретить ее определение через логарифм по основанию «2».

Тогда энтропия будет достигать единицы (1 пебит) в максимуме.

Величина Е, которую часто называют просто «перепутывание», меняется от нуля (для факторизованных состояний, когда ) до 1 пебита для максимально перепутанных состояний пары двух частиц (когда ).

В более общем случае эта величина максимальна для равномерно распределенных коэффициентов , где M - число базисных векторов в разложении (2.5) или размерность гильбертова пространства для меньшей подсистемы. Так для двухуровневых систем имеем только два члена в разложении Шмидта (2.5)

и для системы двух кубитов получаем:

.

Здесь нужно сделать важное замечание о том, что разложение Шмидта нельзя осуществить более чем для двух перепутанных систем. Например, рассмотрим три перепутанных системы.

Мы хотим записать их общее состояние так, чтобы при фиксации (скажем, в результате измерения) состояния одной из подсистем, этот результат достоверно указывал о состоянии каждой их двух оставшихся подсистем. Это происходит, например, в состоянии ГХЦ:

В этом состоянии, измерив состояние первой частицы, которое оказалось, скажем мы достоверно узнаем, что вторая и третья окажутся в состояниях , соответственно.

Но в общем случае этого сделать нельзя, поскольку при измерении состояния первой частицы два других окажутся в перепутанном состоянии.



(2.13)

Тогда (2.12) имеет вид:

(2.14)

Из (2.14) видно, что задавая состояние первой частицы, две другие проецируются в перепутанное белловское состояние .

Частично перепутанными называются подсистемы, для которых величина Е < 1. Оказывается, что использование таких состояний в протоколе квантовой телепортации приводит к неудачной передаче неизвестного состояния, т.е. с качеством (fidelity) F < 1. В протоколе сверхплотной кодировки их использование проявится в зашумленности классического канала связи.

1.8 Степень перепутывания. (degree of entanglement)

Запишем перепутанное состояние в виде (сравним с (2.3), где использовалась другая параметризация перепутывания):

.

Величина e называется степенью перепутывания. Для максимально перепутанных состояний e = 1. Вычислим, чему равна энтропия перепутывания состояния (2.15).



(2.16)

Тогда по Беннету,

(2.17)

Если e = 1, то Е(e) - максимально. Если e = 0, Е(e) =0

Говоря о физической реализации состояния (2.15), следует упомянуть работы группы П.Квиата, подразумевая под состояниями пару кубитов, получающихся при неколлинеарном вырожденном по частоте параметрическом рассеянии типа I из двух кристаллов, оптические оси которых составляют друг с другом угол 90 град:

Вклад той или иной компоненты в общее состояние (2.15) регулируется поворотом полуволновой пластинки, установленной перед парой кристаллов ББО.

В этом случае вероятность регистрации совпадений зависит от ориентации поляризационных призм, уставленных перед детекторами по закону:



.

Фаза f регулируется задержкой между двумя поляризациями накачки.

От параметра e будет меняться глубина модуляции в зависимости числа совпадений от фазы f. Если при максимальной степени перепутывания минимум (в идеальном случае он равен нулю) должен наблюдаться при одинаковых ориентациях поляроидов , то изменение параметра e приводит не только к уменьшению видности, но к асимметрии зависимости положения минимума от ориентаций поляроидов. Этот эксперимент наглядно демонстрирует влияние степени перепутывания на экспериментально наблюдаемые величины - число совпадений как функция относительной фазы (пространственно-временная интерференция) и ориентации поляроидов (поляризационная интерференция).

1.9 Смешанные перепутанные состояния

До сих пор речь шла только о чистых перепутанных состояниях. Смешанные ПС возникают при воздействии шума на отдельные подсистемы, образующие составную систему, когда нарушается когерентность суперпозиции (2.3). В начальный момент времени в некоторой участке пространства две квантовые системы А и В взаимодействуют друг с другом. Затем они пространственно разделяются, одна подсистема направляется к Алисе, другая - к Бобу. Совместное состояние обеих подсистем принадлежит гильбертовому пространству , которое представляет собой тензорное произведение пространств подсистем. Однако само состояние составной системы не факторизуется - оно является перепутанным . Впоследствии состояние системы испытывает воздействие шумовых процессов N_A и N_B, которые действуют независимо на составные части А и В системы, что переводит ее в смешанное состояние. Физически это происходит в зашумленных каналах. Для предотвращения таких процессов разрабатываются методы очищения перепутывания и соответствующие коды, исправляющие ошибки. Фундаментальной мерой перепутывания, которую мы по-прежнему будем обозначать символом Е, является перепутывание формирования или перепутывание создания или перепутывание приготовления (entanglement of formation).

Итак, рассмотрим ансамбль чистых состояний, которые образуют смешанное состояние М. Вообще говоря таких ансамблей для выбранного смешанного состояния может быть несколько. Ансамбль характеризуется двумя наборами:

.

Определение 1. Перепутыванием создания чистого двухчастичного состояния называется энтропия фон Неймана:

(2.19)

редуцированной матрицы плотности Алисы или Боба (т.к. они совпадают).

Определение 2. Перепутыванием создания ансамбля двухчастичных чистых состояний называют усредненное по ансамблю «перепутывание создания» всех чистых состояний, составляющих ансамбль:

(2.20)

Определение 3. Перепутыванием создания смешанного состояния М - Е(М) называется минимальное значение по всем ансамблям , которые могут реализовать данное смешанное состояние .

Другими словами «перепутывание создания» - это мера перепутывания, определяемая как по крайней мере ожидаемое перепутывание любого ансамбля чистых состояний, реализующих М.

Замечание. Можно доказать, что локальные операции и классические сообщения не могут увеличить значения Е(М).

Перепутывание создания для смеси состояний Белла (пример)

Итак, ансамбль чистых состояний с минимальным средним перепутыванием по чистому состоянию и реализующим данную матрицу плотности определяет наиболее оптимальный способ создания или приготовления этой матрицы плотности.

Замечание. Считается, что в общем случае неизвестно как найти такой ансамбль минимально перепутанных состояний для данной матрицы плотности.

Однако в некоторых частных случаях это удается сделать, например, для подкласса ансамбля чистых состояний частиц со спином 1/2 , а именно - смешанному состоянию, которое диагонализуется в Белловском базисе.

Рассмотрим т.н. состояния Вернера. Это состояние, которое представляет ансамбль F частей чистых синглетов и (1-F) частей других состояний Белла:

(2.21)

Такое представление состояния Вернера эквивалентно другому, когда частей - это синглеты, а частей - т.н. полностью смешанное состояние, тождественное единичному оператору:



.

Именно в таком виде это состояние было определено Вернером. В представлении (2.21) фигурирует величина F, которая является качеством (fidelity) или чистотой состояния по отношению к идеальному синглету:

.

Действительно, доля чистых синглетов в (2.21) составляет , а доля синглетов в единичном операторе составляет . Итого в состоянии Вернера имеется синглетов, из которых чистых - ровно x.

Найдем, например, перепутывание создания для состояния Вернера W_5/8.

Это состояние представляет собой 5/8 на 3/8 - синглет-триплетную смесь. Его можно приготовить, смешав равные порции синглетов и случайных некоррелированных спинов. На языке поляризаций - это равновзвешенная смесь синглетных пар и некоррелированных по поляризации пар частиц. Другими словами - состояние (2.24) получается при прохождении пары фотонов синглетном состоянии через 50%-ый зашумленный канал. (т.е. который каждую вторую коррелированную по поляризации пару делает некоррелированной).

Замечание. Вообще, по определению х-деполяризующим каналом связи называют такой канал, который пропускает входное состояние с вероятностью и заменяет его полностью случайными кубитами с вероятностью х.

Состояние Вернера (2.24) замечательно тем, что чистое перепутанное состояние может быть выделено из него с помощью двусторонних протоколов, но не может быть выделено с попощью односторонних протоколов

Видно, что для приготовления смешанного состояния W_F=5/8 необходимо чистых синглетов; эта величина непосредственно входит в определение состояния Вернера. Казалось бы, что величина перепутывания создания составляет 0.5x1=0.5 пебит, поскольку на чистый синглет (максимально перепутанное состояние приходится по 1 пебиту). Однако численный расчет, производящий минимазацию по всем возможным ансамблям, составляющим состояние W_5/8 дает значение 0.117 пебит! Это значение дает смесь четырех чистых состояний с одинаковой вероятностью. Это означает, что равновероятная смесь чистых состояний, дающих W_5/8, более экономична.

1.10 Очищение перепутывания. (entanglement purification)

Под очищением перепутывания понимают асимптотическое создание (выделение) произвольного числа чистых синглетов, которые могут быть приготовлены локально из смешанного состояния М.

- является одной из главных алгоритмических задач теории квантовой информации. Кратко рассмотрим два основных протокола.

Наиболее мощный протокол - двустороннего обмена классическими сообщениями.

Алиса и Боб имеют распределенное двухчастичное перепутанное смешанное состояние , состоящее из n перепутанных пар частиц. Каждая пара описывается матрицей плотности М. Протокол состоит в повторении трех операций:

Алиса и Боб выполняют унитарные преобразования над имеющимися у них состояниями (частицами);

Алиса и Боб выполняют измерения некоторых имеющихся у них частиц;

Алиса и Боб обмениваются результатами своих измерений. Они используют эту информацию для выбора следующего унитарного преобразования, которое они должны выполнить на следующем этапе.

Видно, что в этом протоколе приходится жертвовать некоторыми частицами, в то время как оставшиеся частицы переводятся в чистое максимально перепутанное состояние, например, в т.е. тензорное произведение m синглетов, причем .

Протокол одностороннего обмена классическими сообщениями.

Здесь участникам протокола разрешается выполнять лишь одно действие, состоящее в унитарной операции и измерении, сопровождаемым классическим, односторонним сообщением. Алиса выполняет унитарное преобразование U₁ и измерение Mes. Затем, она посылает результат измерения в виде классического сообщения Бобу. Боб использует этот результат в комбинации с результатом своего измерения для контроля за окончательным унитарным преобразованием U₃. Главное преимущество этого протокола состоит в том, что компоненты итогового очищенного максимально перепутанного состояния (обозначенного звездочкой *) могут быть разнесены и в пространстве, и во времени!

Замечание. Иногда под очищением «purification» понимают процедуру, в которой увеличивается чистота состояния, т.е. уменьшается энтропия. Этот случай не относится к рассмотренной процедуре выделения чистых синглетов из смешанного состояния. Под энтропией здесь понимается мера чистоты состояния - энтропия матрицы плотности :



,

где - собственные значения матрицы плотности

Замечание. Distillation = purification = дистилляция = очищение- это увеличение перепутывания состояния в смысле выделения синглетов. Иногда под Distillation понимают увеличение степени перепутывания состояния.

Определение. Concentration - это одновременное увеличение чистоты и перепутывания состояния. Изначально вводилось только для чистых перепутанных состояний вида (2.3)

1.11 Критерий Переса-Хородецки

Для того чтобы использовать перепутывание в протоколах квантовой информации, необходимо иметь их в чистой (например, синглетной) форме. Процедура преобразования смешанного перепутанного состояния в синглетную форму называется дистилляцией или очищением (локальные операции + классические сообщения).

Смешанное состояние квантовой системы, состоящей из двух подсистем, является перепутанным, если оно несепарабельно, т.е. его нельзя записать в виде:

где - (смешанные) состояния двух подсистем.

Замечание. Часто говорят, что сепарабельные состояния являются «распутанными» (disentangled).

А.Перес доказал, что необходимым условием сепарабельности двух подсистем, состоит в том, что некая дополнительная матрица , полученная путем частичной перестановки индексов в , имеет только неотрицательные собственные значения. Физический смысл критерия состоит в том, что он более чувствителен для распознавания (квантовой) несепарабельности, чем неравенства Белла.

В полном виде матрица плотности двухкомпонентной системы имеет вид:

(А2)

Здесь латинские индексы относятся к подсистеме А, а греческие - к подсистеме В.

Замечание - напоминание. Прямым произведением двух матриц размерностью 2х2 называется матрица размерности 4х4:

Такая матрица плотности описывает, в частности, совместное состояние двух кубитов:

Замечание. Выражение (А2) напоминает таковое для классической функции Лиувилля, где дискретные индексы заменены на канонические переменные q и p. Однако функция Лиувилля должна быть неотрицательной, а мы требуем от матрицы плотности лишь неотрицательных собственных значений, что является более мягким условием.



Определим новую матрицу:

где латинские индексы в были переставлены (матрица транспонирована), а греческие - нет. Такое преобразование не является унитарным, тем не менее, матрица - эрмитова. Если условия А1(или А2) выполняются, то

(А4)

Поскольку транспонированные матрицы -это неотрицательные матрицы с единичным следом, то они также могут выступать как матрицы плотности. Отсюда следует, что ни одно из собственных значений не может быть отрицательным. Это необходимое условие выполнения А1.

Пример. Рассмотрим пару частиц со спином 1/2 в состоянии Вернера, состоящем из части х синглетов и случайной части (1-х). Мы помним, что в случайной части

(1-х) также присутствует равновероятная доля синглетов наряду с триплетами:

. (А2)

Оказывается, что дополнительная матрица имеет четыре собственных значения: три из них вырождены и равны , а четвертое равно . Наименьшее собственное значение положительно, если



(А3)

тогда условие сепарабельности выполняется. Этот результат можно сравнить с другим условием - выполнение неравенства Белла для тех же состояний. Оказывается, что неравенство Белла выполняется, если

.

Это условие, очевидно, гораздо менее строгое, чем то, которое дается условием несепарабельности.

Таким образом, состояние может быть несепарабельным, но в то же время не нарушать неравенств Белла.

Замечание

В рассмотренном случае состояний Вернера условие также является достаточным условием сепарабельности - т.е. если , то возможно записать как смесь неперепутанных состояний. Этот результат предполагает, что необходимое условие, полученное выше (неотрицательность собственных значений матрицы )может также быть достаточным для любого состояния . Для систем с размерностью выше 2Х2 необходимое условие сепарабельности не является достаточным.

Можно показать (Хородецки 1997), что любое несепарабельное двух-кубитовое состояние представляет собой перепутанное состояние, которое может быть дистиллировано в синглетную форму.

Это утверждение оправдывает с операциональной точки зрения введение термина «(не)сепарабельность».

Казалось бы, что из этого утверждения можно высказать гипотезу о том, что «любое несепарабельное состояние можно дистиллировать в синглетную форму».

Оказывается, что это не так! Существуют несепарабельные состояния, которые нельзя очистить.

Любое состояние, которое может быть очищено должно нарушать критерий сепарабельности А.Переса. Дело в том, что существует два качественно разных типа перепутывания. Первый из них - «свободное» перепутывание, т.е. такое, которое может быть очищено в синглетную форму. Второй тип перепутывания - невозможно очистить. Его можно рассматривать по аналогии с термодинамикой как «граничное» перепутывание. Его нельзя использовать для выполнения «информационной работы», т.е. как подходящий ресурс для передачи квантовых данных или телепортации.

1.12 Состояния Белла. Их преобразования при смене базисов

Под состояниями Белла понимают совместные двухмодовые состояния двухуровневых систем. Иногда их рассматривают как собственные состояния некого оператора, названного оператором Белла. Можно показать, что существует лишь четыре базисных ортогональных состояния, по которым можно разложить любую двухмодовую двухуровневую систему. Выпишем эти состояния, применительно к системе двух одинаковых фотонов в линейном поляризационном базисе (аналогично записывается состояние двухмодовой системы двух одинаковых частиц со спином 1/2):

,

,

,

.



Видно, что состояния Белла являются максимально перепутанными состояниями, поскольку определенным совместным волновым функциям не отвечают определенные волновые функции отдельных систем. Термин «максимально перепутанный» формально возникает из-за условия нормировки, когда общее состояние представляется равновесовой суперпозицией двух компонент.

По иронии судьбы состояния Белла, впервые введенные в 1992 году А.Мэнном, М.Ривзеном и У.Шлейчем, по смыслу являлись прямо противоположными тем, которые широко используются в настоящее время (25-28). Изначально они определялись, как чистые квантовые состояния квантованного поля излучения, которые обладают фундаментальными атрибутами классических состояний (т.е. не приводят к квантовым корреляциям), и факторизуются на выходе светоделителя, а значит, никогда не нарушают неравенств Белла.

Рассмотрим, к примеру, состояние (индексы 1,2 будем опускать там, где это не ведет к непониманию). Оно означает, что и сигнальный и холостой фотоны всегда имеют оба либо вертикальную, либо горизонтальную поляризации, причем вероятность зарегистрировать Н- или V- поляризацию в каждой моде одинакова и равна 1/2. Другими словами, при совершенно неопределенной поляризации в каждой из мод, существует полная корреляция одинаковых поляризаций двух мод.

Рассмотрим преобразования состояний Белла при смене поляризационного базиса. Для этого перепишем их в более общем виде:

,

,

где В и C обозначают две частицы, x и y - компоненты линейного поляризационного базиса, а запись означает двукратное действие соответствующих операторов рождения на вакуум: . Пусть при произвольном преобразования поляризационного базиса его компоненты определяются элементами матрицы преобразования

, ,

т.е. в матричном виде , и . Комплексные параметры t и r можно интерпретировать как коэффициенты пропускания и отражения, а матрицы являются эрмитово-сопряженными . Тогда, компоненты базисов преобразуются следующим образом: