Геометрическая оптика и дисперсия света

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрическая оптика и дисперсия света

Введение

Свет представляет собой электромагнитную волну и, как и любое электромагнитное взаимодействие, может быть описан в рамках теории электромагнитного поля, с использованием уравнений Максвелла. При распространении света в веществе электромагнитная волна взаимодействует с атомами вещества, что приводит к зависимости скорости распространения света от электрических и магнитных свойств вещества.

В этой главе рассмотрим распространение световых волн в различных средах. При этом будем использовать как волновую, так и геометрическую оптику. Волновые свойства света можно описать, используя волновое уравнение для напряженностей электрического и магнитного полей. Для немонохроматических волн вводятся понятия групповой и фазовой скоростей волн. Для описания зависимости показателя преломления п от частоты или длины световой волны используется теория Лоренца, в которой рассматриваются вынужденные колебания связанных электронов в поле световой волны.

Длины световых волн очень малы (порядка 10-⁵ см), поэтому во многих случаях можно отвлечься от волновой природы света и считать, что свет распространяется вдоль некоторых линий. Эти линии называют лучами. Раздел оптики, в котором не учитывается волновая природа света, называется геометрической (лучевой) оптикой. Фактически в геометрической оптике рассматривается случай, когда длина волны л > 0.

Основу геометрической оптики образуют четыре закона:

закон прямолинейного распространения света;

закон независимости световых лучей;

закон отражения света;

закон преломления света.

Закон прямолинейного распространения света: В однородной среде свет распространяется прямолинейно.

Закон независимости световых лучей: Лучи не взаимодействуют друг с другом (в лазерных лучах большой интенсивности этот закон может нарушаться).

Закон отражения света: Падающий и отраженный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности раздела в точке падения луча, причем угол падения равен углу отражения.

.

Закон преломления света: Падающий и преломленный лучи лежат в одной плоскости с перпендикуляром к поверхности раздела в точке падения луча, причем углы падения и преломления связаны соотношением

,

где п₁ и п₂ - показатели преломления первой и второй сред. Величину

называют относительным показателем преломления. Закон преломления света называют законом Снеллиуса.

Абсолютным показателем преломления среды называется величина п, равная отношению скорости с электромагнитных волн в вакууме к их фазовой скорости v в среде

.

Относительным показателем преломления называется величина

.

Среда с большим показателем преломления называется оптически более плотной (более плотной). Если свет распространяется из более плотной среды в менее плотную, то

.

,

то sin i₂ = 1, а при дальнейшем увеличении угла i₁ получим sin i₂ >1. Такое условие выполняться не может, следовательно, преломленного угла не будет. Угол , определяемый условием

,

называют предельным углом. При весь падающий свет полностью отражается. Поэтому угол называют углом полного внутреннего отражения. Само это явление называют полным внутренним отражением. Явление полного внутреннего отражения используется для построения световодов, когда свет без потерь может передаваться на большие расстояния.

Пользуясь законами геометрической оптики можно построить движение лучей в различных оптических системах (линзы, микроскопы, бинокли). Для определения траекторий световых лучей используется принцип Ферма: Свет распространяется по такому пути, для прохождения которого требуется минимальное время.

2. Уравнение световой волны

Световая волна является электромагнитной волной, в которой векторы напряженностей электрического и магнитного полей совершают периодические колебания. Если S указывает направление светового луча, то векторы S, E и H расположены так, как показано на рисунке.

Вектор плотности потока энергии называют вектором Умова-Пойнтинга. Он определяется формулой

.

Из уравнений Максвелла вытекает, что векторы Е и Н плоской электромагнитной волны удовлетворяют дифференциальным уравнениям

, ,

где v имеет смысл скорости света в среде и определяется формулой

,

.

Учитывая условие п=с/v, можем записать

.

Для прозрачных сред обычно м ? 1, поэтому имеем .

Записанные дифференциальные уравнения называют волновыми уравнениями. Они описывают плоскую электромагнитную волну, в том числе и световую. Если ввести систему координат так, как показано на рисунке, то решения дифференциальных уравнений записываются периодическими функциями

,

,

где Е₀ и Н₀ - амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей, щ - круговая частота волны,

- волновое число, л - длина волны, Т - период колебаний, ц - начальная фаза волны. Само уравнение

называют уравнением бегущей волны. Отметим, что кроме бегущих волн существуют другие волны, например, стоячие, которые возникают при сложении двух одинаковых волн, бегущих в противоположных направлениях.

.

Выражение называют фазой плоской волны. Если при волновом процессе фаза сохраняется

,

то, продифференцировав это выражение по времени, получим

.

Следовательно, величина является скоростью распространения фазы, и ее называют фазовой скоростью.

Неограниченная волна называется монохроматической, если все точки волны колеблются с одной и той же частотой. Если распространяющаяся волна не является монохроматической, а состоит из группы волн, то можно ввести понятие групповой скорости. Это понятие рассматривалось в механике при изучении распространения волн.

Монохроматическая волна

является бесконечной в пространстве. Корпускула света (фотон) является конечной (ее длина ~ 3 м), поэтому фотон надо представлять в виде группы волн (волнового пакета).

Волновым пакетом называется суперпозиция волн с близкими частотами. При сложении такие волны образуют пакет, который распространяется вдоль оси х. Такой пакет можно представить как суперпозицию гармонических волн с частотами, лежащими в интервале Дщ и мало отличающимися друг от друга. Вместо интервала Дщ можно использовать соответствующий интервал Дk. Обычно такие пакеты описывают с помощью интеграла (ряда) Фурье. Волны, из которых составлен пакет, движутся с различными скоростями. Поэтому внутри пакета волны движутся, и пакет постоянно изменяет свою форму.

.

Можно показать, что групповая скорость определяется формулой

.

Полагая щ=Vk, получим

.

Из соотношения вытекает

.

.

Отметим, что понятие групповой скорости имеет смысл только для малых затуханий. При больших затуханиях волновой пакет сильно деформируется, и понятие групповой скорости утрачивает смысл.

Учитывая, что групповая скорость u является скоростью движения пакета, отметим, что именно u является скоростью перемещения энергии. Следовательно, согласно СТО, . Фазовая скорость V может быть как больше, так и меньше скорости света с.

Дисперсией света называется зависимость показателя преломления п вещества от частоты n = f(щ). Для большинства прозрачных веществ в видимой части спектра зависимость показателя преломления от частоты имеет вид, показанный на рисунке: с ростом показатель преломления растет .

Такая дисперсия называется нормальной. Если в веществе происходит поглощение света, то зависимость n(щ) имеет другой вид, когда . Такой ход зависимости n(щ) называется аномальной дисперсией. На участке АВ дисперсия света является аномальной.

Среды, обладающие дисперсией, называют диспергирующими. В диспергирующих средах скорость световых волн зависит от частоты и длины волны .

Для изучения дисперсии света удобно исследовать движение луча света в призме с показателем преломления п.

Размещено на http://www.allbest.ru/