Дослідження матричного критерію керованості динамічних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНА РОБОТА

на тему:

„ДОСЛІДЖЕННЯ МАТРИЧНОГО КРИТЕРІЯ КЕРОВАНОСТІ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ”

АНОТАЦІЯ

Випускна робота бакалавра на тему: „ДОСЛІДЖЕННЯ МАТРИЧНОГО КРИТЕРІЯ КЕРОВАНОСТІ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ” - 46 с., 2 табл., 13 рис., 36 джерел.

Студента_________________________________________________

Науковий керівник__________________________________________

Метою випускної роботи бакалавра була систематизація теоретичних підходів до математичної постановки задач дослідження керованості та спостережуваності динамічних систем керування, а також розробка програмного забезпечення для перевірки матричних критеріїв керованості та спостережуваності динамічних систем з застосуванням програмного середовища MATLAB - модуль Control System ToolBox «Системи рівнянь динамічних систем керування та їх матричні критерії спостережуваності та керованості».

Практична цінність отриманих результатів випускної роботи бакалавра полягає в розробці алгоритму підготовки вихідних даних та порядку проведення практичного розв'язання прикладів тестування систем динамічних рівнянь систем керування в програмному пакеті MATLAB, що дозволило створити цілий клас варіантів вихідних багатомодульних моделей для проведення подальших досліджень матричних критеріїв оцінювання керованості та спостережуваності схем тестових динамічних систем керування з різною схемною конфігурацією окремих модулів систем.

ABSTRACT

Bachelor final work on "MATRIX RESEARCH CRITERIA OF CONTROLLA-BILITY THE DYNAMIC SYSTEMS " - 46 p., 2 tab., 13 fig., 36 sources.

Student _________________________________________________

Scientific leader __________________________________________

The purpose of final work of bachelor was the systematization of theoretical approaches to the mathematical formulation the research problems of manageability and controllability dynamical systems management and software development to verify the criteria matrix of manageability and controllability dynamical systems with application software environment MATLAB - Module Control System ToolBox «Systems the equations of dynamic control systems and their matrix criteria controllability and manageability ".

The practical value of the results the final work of bachelor is to develop an algorithm training data and procedures for solving practical examples testing of dynamic equations with control software package MATLAB, which allowed a whole class of variants the original models for multimodal research matrix evaluation criteria of controllability schemes and test dynamic control systems with different circuit configuration of individual modules systems.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. СУТНІСТЬ ТА МАТЕМАТИЧНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ ВСТАНОВЛЕННЯ КРИТЕРІЇВ КЕРОВАНОСТІ ЛІНІЙНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ

1.1 Сутність простору станів в теорії управління та спостережуваності і керованості динамічних систем управління

1.2 Матричні критерії спостережуваності динамічних систем управління

1.3 Матричні критерії керованості динамічних систем управління

РОЗДІЛ 2. ПРАКТИЧНИЙ АНАЛІЗ ВИКОНАННЯ КРИТЕРІЇВ КЕРОВАНОСТІ ТА СПОСТЕРЕЖУВАНОСТІ В ТЕСТОВИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ КЕРУВАННЯ НА БАЗІ ПАКЕТУ MATLAB

2.1 Постановка задачі

2.2 Дослідження спостережуваності і керованості підсистем окремо

2.3 Дослідження спостережуваності і керованості з'єднання окремих підсистем

РОЗДІЛ 3. ВАРІАНТИ ЗАВДАНЬ ПО ДОСЛІДЖЕННЮ КЕРОВАНОСТІ ТА СПОСТЕРЕЖУВАНОСТІ ТЕСТОВИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ КЕРУВАННЯ В СЕРЕДОВИЩІ ПАКЕТУ MATLAB

3.1. Варіанти завдань

3.2 Структурні схеми до варіантів завдань

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВСТУП

матричний керованість лінійний динамічний matlab

Актуальність теми випускної роботи бакалавра полягає в необхідності освоєння в практичному застосуванні спеціальних модулів математичного комп'ютерного пакету MATLAB v.6.5 (The Language of Technical Computing) світового рівня, який дозволяє в інтерактивному режимі готувати комплекс вихідних даних по матрицям коефіцієнтів динамічних рівнянь систем керування, а потім виконувати математичні розрахунки з матрицями в автоматичному режимі згідно з розробками колективів професійних математиків та програмістів

Метою випускної роботи бакалавра була систематизація теоретичних підходів до математичної постановки задач дослідження керованості та спостережуваності динамічних систем керування, а також розробка програмного забезпечення для перевірки матричних критеріїв керованості та спостережуваності динамічних систем з застосуванням програмного середовища MATLAB - модуль Control System ToolBox «Системи рівнянь динамічних систем керування та їх матричні критерії спостережуваності та керованості».

Практична цінність отриманих результатів випускної роботи бакалавра полягає в розробці алгоритму підготовки вихідних даних та порядку проведенні практичного розв'язання прикладів тестування систем динамічних рівнянь систем керування в програмному пакеті MATLAB, що дозволило створити цілий клас варіантів вихідних багатомодульних моделей для проведення подальиих досліджень матричних критеріїв оцінювання керованості та спостережуваності схем тестових динамічних систем керування з різною схемною конфігурацією окремих модулів систем.

РОЗДІЛ 1. Сутність та математична постановка задачі встановлення критеріїв керованості лінійних динамічних систем керування

1.1 Сутність простору станів в теорії управління та спостережуваності і керованості динамічних систем управління

Поняття керованості й спостережності специфічні для методу простору станів. Простір станів у теорії керування - це один з основних методів опису поводження динамічної системи. Рух системи в просторі станів відбиває зміна її станів [8].

У просторі станів створюється модель динамічної системи, що включає набір змінних входу, виходу й стану, зв'язаних між собою диференціальними рівняннями першого порядку, які записуються в матричній формі. На відміну від опису у вигляді передатної функції й інших методів частотної області, простір станів дозволяє працювати не тільки з лінійними системами й нульовими початковими умовами. Крім того, у просторі станів відносно просто працювати з MIMO-Системами.

При використанні методу простору станів не втрачається цілісна картина об'єкта. При записі рівняння стану передбачається, що в об'єкті можуть відбуватись інші процеси й існувати перемінні, не доступні для спостереження чи ті, що не піддаються управлінню.

Структурна схема безперервної лінійної системи, описаної у вигляді зміни станів, для випадку лінійної системи з p входами, q виходами й n змінними стану опис має вигляд [7]:

(1.1)

де

; ; ;

,

,

,

,

.

-- вектор стану, елементи якого називаються станами системи

-- вектор виходу,

-- вектор керування,

-- матриця системи,

-- матриця керування,

-- матриця виходу й

-- матриця прямого зв'язку.

Часто матриця є нульовою, це означає, що в системі немає явного прямого зв'язку.

Для дискретних систем запис рівнянь у просторі станів ґрунтується не на диференціальних, а на різницевих рівняннях.

(1.2)

Нелінійна динамічна система n-го порядку може бути описана у вигляді системи з n рівнянь 1-го порядку:

(1.3)

або в більше компактній формі:

(1.4)

Перше рівняння -- це рівняння стану, друге -- рівняння виходу.

У деяких випадках можлива лінеаризація опису динамічної системи для околиці робочої точки .

У сталому режимі для робочої точки справедливий наступний вираз:

(1.5)

Вводячи позначення:

Розкладання рівняння стану у ряд Тейлора, обмежене першими двома членами дає наступний вираз:

(1.6)

При узятті часток похідних вектор-функції f по векторі змінних станів x і вектору вхідних впливів u виходять матриці Якобі відповідних систем функцій:

(1.7)

Аналогічно для функції виходу:

(1.8)

З огляду на ,, линеаризований опис динамічної системи в околиці робочої точки прийме вид:

Де

(1.9)

Розглянемо проблему керованості й спостережності на якісному прикладі, запропонованому Дж. Медич [25].

Нехай динамічна система описується вектором стану Q, вектором входів Xі вектором виходів Y . Схема системи подана на рис. 1.1, де Y - вектор, компонентами якого є перші k компоненти вектора стану, q ,q ,...q . 1 2 k Зі структури системи ясно, що значення інших компонентів вектора стану ( q ,q ,...q ) k ?1 k ?2 m не можна визначити на основі наявних відомостей про вихідний вектор Y , тому що ці перемінні не впливають на 1 2 k q ,q ,...q і не включені до складу вектора, Y , який спостерігають. Отже, система не є тією, що спостерігається. Але якщо X впливає на всі перемінні стани Q, система є керованою.

Аналогічно система, показана на рис. 1.1, буде тією, що спостерігається, але не керованою, тому що сигнал X впливає тільки на перемінні 1 2 k q ,q ,...q , а на перемінні k 1 k 2 m q ,q ,...q ???? ззовні впливати не можна.

Рис. 1.1 Схема системи, що не спостерігається, але керована

Враховуючи викладене, всі системи можна розділити на такі чотири категорії: що спостерігаються і керовані; що спостерігаються але некеровані; що не спостерігаються, але керовані; що не спостерігаються і некеровані.

Поняття керованості й спостережності мають принципове значення при дослідженні систем будь-якої природи. Неврахування некерованості і неспостережності може привести до помилкових висновків.

Умови керованості й спостережності можна зв'язати з видом матриць, що описують систему. Для приклада розглянемо, при яких умовах може виникнути неспостережність чи некерованість у найпростішому випадку, коли матриця A діагональна.

Нехай система має вигляд, показаний на рис. 1.2, де Q і Y - вектори розмірності 2, X - вектор розмірності 3.



Рис. 1.2. Схема системи, що спостерігається, але некерована

Рис. 1.3. Схема системи

Управління системи (рис.1.3) в матричному вигляді записується так:

Якщо один з рядків у матриці B (наприклад, перший) складається повністю з нульових елементів, тоді відповідна координата (перша) буде некерованою, тому що жодна з трьох керуючих дій не чинить керуючого впливу на 1 q .

Аналогічно, якщо один з двох стовпців матриці C складається з нульових елементів, то відповідна координата вектора стану не вчинить впливу ні на один із двох сигналів, що спостерігаються, - 1 y і 2 y . Її поводження ніяк не буде виявлятися зовні, координата неспостережна.

Таким чином, для системи найпростішого вигляду з діагональною матрицею A можна було б зв'язати умови керованості й спостережності з виглядом матриць B і C: керованість означає відсутність нульового рядка у B, спостережність - відсутність нульового стовпця у C.

У загальному випадку матриця A недіагональна, а самі перемінні стану можуть впливати один на другий. Тому навіть якщо немає безпосереднього впливу управління на дану координату стану q , такий вплив може виникнути більш складним чином: управління X впливає на якусь іншу координату, а вже ця координата через матрицю A впливає на дану координату. У такому випадку роль матриці B відіграє добуток матриць AB.

1.2 Матричні критерії спостережуваності динамічних систем управління

Розглянемо систему, проаналізовану в роботі [3]:

(1.10)

де - вектор-функція змін стану розміром ,

- вектор-функція зовнішніх впливів розміром ,

- вектор-функція змінних виходу розміром

-матриці, відповідної розмірності.

Позначимо через розв'язок системи (1.10) при початковій умові під дією керування . Для системи типу (1.10) визначений типовий ряд понять і визначень, які характеризують внутрішні властивості динамічних систем. До таких властивостей можна віднести керованість, спостережуваність, ідентифікуємість, функціональну відтворюваність, поточечну відтворюваність і т.д. Наявність зазначених властивостей дозволяє одержувати розв'язок задач, які висуває практика. У силу цього, внутрішні властивості динамічних систем керування важливі для дослідження.

У роботах [32, 33, 34] було введене визначення терміну «спостережуваність системи» (1.10).

Визначення 1. Система (1.10) називається спостережуваною , якщо по відомій функції на деякому проміжку й з використанням рівнянь (1.10 можна знайти вектор-функції .

Теорема. Для спостережуваності стаціонарної системи (1.10) необхідно й досить, щоб ранг матриці дорівнював [32, 33, 34, 4], тобто

(1.11)

Доведення. Продиференцируємо раз співвідношення (1.11)

(1.12)

де прямокутна матриця розміром .

Для існування розв'язка даної системи щодо вектора досить, щоб ранг матриці рівнявся . Але ранг цієї матриці дорівнює рангу сполученої матриці . Теорема доведена.

Однак, при доведенні цієї теореми не були враховані властивості алгебраїчних систем рівнянь із прямокутною матрицею. Для такого роду систем справедлива наступна теорема.

Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних алгебраїчних рівнянь із невідомими [8]

(1.13)

має рішення в тім і тільки в тому випадку, якщо ранг матриці й ранг розширеної матриці збігаються.

Зокрема [7]:

- кількість головних змінних системи дорівнює рангу матриці системи;.

- спільна система буде визначена (її рішення єдине), якщо ранг матриці системи дорівнює числу всіх її змінних.

Приклад 1. Розглянемо диференціальне рівняння руху головної лінії листового прокатного стана [36,7]:

(1.14)

 (1.15)

Визначимо матрицю в цьому випадку:

(1.16)

Визначимо ранг матриці (1.16) з врахуванням наступних теоретичних викладень [31].

Нехай задана будь-яка матриця А с m рядків і n стовпців. Рангом системи рядків (стовпців) матриці А називається максимальне число лінійно незалежних рядків(стовпців). Кілька рядків (стовпців) називаються лінійно-незалежними, якщо жодна з них не виражається лінійно через інші. Ранг системи рядків завжди дорівнює рангу системи стовпців і це число називається рангом матриці.

Ранг матриці -- це найвищий з порядків мінорів цієї матриці, відмінних від нуля. Ранг матриці дорівнює найбільшому числу лінійно незалежних рядків (або стовпців) матриці. Звичайно ранг матриці A позначається rang A (rg A) або rank A.

Якщо ранг матриці А дорівнює r, то це означає, що в матриці А є відмінний від нуля мінор порядку r, але всякий мінор порядку, більшого чим r, дорівнює нулю.

Для обчислення рангу матриці застосуємо метод елементарних перетворень. Елементарними називаються наступні перетворення матриці:

1) перестановка двох будь-яких рядків (або стовпців),

2) множення рядка (або стовпця) на відмінне від нуля число,

3) додаток до одного рядка (або стовпцю) іншого рядка (або стовпця), помноженої на деяке число.

Дві матриці називаються еквівалентними, якщо одна з них виходить із іншої за допомогою кінцевої множини елементарних перетворень.

Еквівалентні матриці не є, загалом кажучи, рівними, але їхні ранги рівні. Якщо матриці А и В еквівалентні, то це записується так: A B:

а) Властивості

Теорема (про базисний мінор):

Нехай r = rang A, M - базисний мінор матриці A, тоді:

- базисні рядки й базисні стовпці лінійно незалежні;

- будь-який рядок (стовпець) матриці A є лінійна комбінація базисних рядків (стовпців).

б) Наслідки:

- якщо ранг матриці дорівнює r, то будь-які p: де p > r рядків або стовпців цієї матриці будуть лінійно залежні;

- нехай r = rang A, тоді максимальна кількість лінійно незалежних рядків (стовпців) цієї матриці дорівнює r.

Рис.1.1. Приклад визначення ранга матриці в (1.14) і її базового мінора методом елементарних перетворень в загальному (нечисельному вигляді) за 3 кроки

Рис.1.2. Визначення ранга матриці методом елементарних перетворень в загальному (нечисельному вигляді) за 7 кроків перетворень

На рис.1.2. наведені графо-аналітичні результати визначення ранга матриці методом елементарних перетворень в загальному (нечисельному вигляді) за 7 кроків перетворень (послідовна перестановка строк та стовпців матриці). Як показує результат перестановок, ранг матриці S6 за розміром базисного мінору (відмічений жовтим кольором) дорівнює 6.

Рис.1.3. Визначення ранга матриці з використанням матричного модуля розрахунків математичного пакету MAPLE 11

На рис.1.3 наведені результати визначення ранга матриці з використан-ням матричного модуля розрахунківм математичного пакету MAPLE 11, згідно з яким ранг матриці S6 дорівнює 6. Таким чином, згідно результатів розрахунків, наведених на рис.1.2 - 1.3, ранга матриці дорівнює rang =6, тобто в матриці (1.16), яка має 6 строк та 12 стовпців існують тільки 6 незалежних стовпців, які можна аналізувати окремо у вигляді вибірок квадратних матриць 6х6.

Вибираючи шість лінійно незалежних стовпців ( 2-й, 3-й,...7-й), із системи (1.15), згідно розрахункам роботи [3], отримуємо:

(1.17)

Вибираючи інші шість лінійно незалежних стовпців ( 1-й, 2-й, 3-й, 4-й, 5-й, 7-й), із системи (1.15), згідно розрахункам роботи [3], одержуємо:

(1.18)

Висновок: Система (1.10) спостерігається, якщо матриця квадратна розміром і якщо ранг її дорівнює . Такий випадок можливий тільки, коли матриця має розмір .

Якщо відмовитися від критерію спостережуваності, тоді система (1.10) буде спостережувана, якщо матриця квадратна розміром і неособлива.

Помітимо, що спосіб одержання невідомої вектор -функції через век-тор-функцію і її похідні до -го порядку ( із системи (1.12)) є спірним, тому що вектор-функції отримана в результаті вимірів, тобто з погрішністю.

1.3 Матричні критерії керованості динамічних систем управління

У роботах [32, 33, 34] було уведено поняття керованості системи (1.10).

Визначення 2. Система (1.10) називається цілком керованою, якщо для будь-яких і будь-яких початковому й кінцевому положеннях системи (1.10) існує вектор-функція при якій розв'язок рівнянь (1.10) задовольняє умові

(1.19)

Теорема. Для цілком керованості стаціонарної системи (1.10) необхідно й досить, щоб ранг матриці був дорівнює [32, 33, 34, 4] тобто

(1.20)

Приклад . Для системи (1.14), (1.15) матриця представлена в вигляді (1.16). Перші шість стовпців є лінійно незалежними, оскільки розрахований ранг матриці (1.16) дорівнює 6. Однак, 1-й, 2-й, 2-й, 3-й, 4-й, 10-й і 11-й також є ліній-но незалежними.

Існують і інші набори лінійно незалежних стовпців. Кожний набір лінійно незалежних векторів дає своє розв'язок задачі про керування. Якщо такими векторами є перші шість стовпців, то існує керування, що забезпечує задоволення умов і Якщо такі стовпці розташовуються іншими способом, то умови можуть бути іншими , наприклад і При цьому, попередні умови не виконуються. Для перевірки матриці не можна попередньо знати про те, які умови будуть виконані.

Якщо думати, що потрібно перевіряти тільки перші стовпців на лінійну незалежність, тоді матриця повинна бути квадратною. Наведені міркування вказують на те, що матричні критерії повної керованості й спостережуваності мають недоліки.

У роботі [36] було уведено кілька понять, які характеризують внутрішні властивості динамічних систем.

Нехай поводження динамічної системи описується системою звичайних диференціальних рівнянь

(1.21)

з рівнянням спостереження

(1.22)

Вектори мають розмірності, відповідно . Вектор -функція й вектор-функція передбачається досить гладкими, щоб забезпечити єдине розв'язок при кожному початковому значенні -знак транспонування.

Розв'язок системи (1.10), що відповідає початковому знчению , будемо записувати як

Визначення поточечної відтворюваності [36]: Рішення однорідної системи з початкового положення будемо називати поточечно відтвореним, якщо для будь-якого й існує позитивне число , таке що для кожного довільного , котре задовольняє нерівності

(1.23)

найдеться , що задовольняє умові: і такий, що для одного або більше значень із інтервалу .

Далі в роботі [36] була отримано необхідна й достатня умова поточечної відтворюваності для лінійних систем з постійними коефіцієнтами

(1.24)

(1.25)

Теорема. Однорідний розв'язок з довільного початкового положення буде поточечно відтвореним, тоді й тільки тоді, коли матриця

(1.26)

має ранг n.

Умова (1.26) збігається з умовою цілком керованості системи (1.10) (у), при умові, що ( одинична матриця) [32, 36].

У силу цього треба сподіватися, що визначення поточечної відтворюваності еквівалентно умовно цілком керованості, що було уведено Калманом [32]. Покажемо, що цей факт дійсно має місце.

Відомо, що для безперервних динамічних систем типу (1.10) завжди по заданій величині , можна вибрати таким чином, що буде виконуватись нерівність

(1.27)

Де ,

Виберемо довільній ,задовольняючій нерівності

(128)

буде виконаються нерівність

(1.29)

Виберемо таким чином, щоб виконувалася нерівність

(1.30)

З визначення цілком керованості витікає, що таке, що буде виконуватися рівність

(1.31)

за умови, що

Отже можна вибрати , щоб для задовольняючій нерівності (1.23) найдеться , що задовольняє умові , та виконується рівність lля одного або більше значень .

У визначенні поточечної відтворюваності немає обмежень на початкове й кінцеве положення, тому що немає обмежень .

Визначення функціональної відтворюваності. Рішення однорідної системи (1.10), задовольняючій початковій умові , називається функціонально відтвореним, якщо для , і кінцевого існує таке, що для кожного , для якого справедлива нерівність

(1.32)

Існує властивість, що має, і

(1.33)

для всіх значень ,

(1.34)

Однак, у цьому визначенні є недолік. Наприклад, якщо ( тому що функція довільна), то тоді, мабуть, не існує функції , для якої виконується умова (1.33) на відрізку .

Для безперервних систем типу (1.24) по заданій величині й кінцевому можна вибрати таке позитивне число , що для кожної , задовольняючій нерівності

(1.35)

існує , котре має норму й для якого виконується нерівність

(1.36)

У роботі [9] була отримано необхідна й достатня умова функціональної відтворюваності для лінійних систем з постійними коефіцієнтами (1.10).

Теорема . Розв'язок однорідної системи (1.24), що задовольняє початковому рішенню , функціонально відтворене тоді й тільки тоді, коли матриця розміром .

(1.37)

має ранг

При доведенні теореми автори ніде не використовували визначення функціональної відтворюваності. Доведення теореми ґрунтувалося на результатах перетворень Лапласа до вихідної системи. При цьому разом з системами (1.12), (1.14) досліджувалася алгебраїчна система.

(1.38)

де перетворення Лапласа функції

Матриця , розміром , де -розмірність вектор-функції , розмірність вектор-функції невідомих впливів , визначає можливість знаходження шуканої функції по відомій функції .

Припустимо, що , тобто кількість виходів більше кількості невідомих входів. Ранг матриці не може бути більше . Якщо ранг матриці дорівнює , тоді система (1.38) має єдине рішення.

Однак, за змістом проведених досліджень по відтворюваності, кількість входів не може бути менше кількості виходів, тому що однією функцією зовнішнього впливу не можна генерувати дві й більше незалежні функції виходу. З погляду рішення зворотної задачі знаходження функції по виходу випадок так само не має сенсу, тому що «менші» виходи просто не беруться в розрахунок ( начебто їх немає взагалі).

Припустимо, , тобто кількість виходів менше кількості невідомих входів. При цьому ранг матриці системи (1.38) не може бути більше .

Якщо ранг системи (1.38) дорівнює , то кількість компонентів вектора функції визначаються однозначно із системи (1.38), а інші покладаються рівними нулю. З погляду рішення зворотної задачі для в цьому випадку рішення не існує.

Таким чином, результати по функціональній відтворюваності можуть бути використані для одержання рівняння для зворотної задачі тільки у випадку

За умови ранг матриці системи (1.38) має єдине рішення

(1.39)

Щодо матриці .

Вона повинна бути діагональною, так якщо в рядку використовуються два зовнішніх впливи, то ці два еквівалентні одному новому, котрий ніяк не пов'язаний з іншими. Ця еквівалентність існує як у зворотній задачі, так і у функціональній відтворюваності.

Чи може один й той же вплив бути присутнім у різних умовах? Якщо це має місце, то система нефункціонально відтворена, але має рішення зворотної задачі, що одержуємо з одного рівняння вихідної системи.

Застосуємо до системи (1.10) перетворення Лапласа й одержимо

(1.40)

де перетворення Лапласа функції

, - перетворення Лапласа функції .

У роботі [36] доведено, що якщо ранг матриці дорівнює , тоді може бути знайдений вектор-функція входу , при якій вектор-функція обумовлена системою (1.10), буде тотожно збігатися з кожною наперед заданою вектор-функцією тобто система (1.10) буде функціонально відтвореною по виходу.

У тій же роботі отриманий критерій функціональної відтворюваності виходу таким критерієм є рівність:

(1.41)

Де

(1.42)

При цьому передбачається, що кількість виходів дорівнює кількості входів , тобто , якщо вектор-функції входу визначається єдиним способом. Покажемо це.

Припустимо, що , тобто кількість виходів більше кількості входів. Однак, така ситуація неможлива, тому що одна функція входу ( зовнішнього впливу) не може генерувати дві й більше незалежні функції виходу. З іншого боку, у цьому випадку необхідно перевіряти на спільність систему (1.38), що неможливо зробити , тому що функції і є довільними.

Нехай тепер , тобто кількість виходів менше кількості входів. При цьому ранг матриці не може бути більше , тому що ця матриця має розмір .

Далі при доведенні теореми про необхідні й достатні умови функціональної відтворюваності виходу не використовувалися властивості безперервної залежності розв'язка системи (1.38) від параметрів і зовнішніх впливів. Іншими словами, властивість функціональної відтворюваності не залежить про зазначеної властивості безперервності. Тому визначення функціональної відтворюваності виходу можна істотно спростити.

Визначення функціональної відтворюваності виходу. Систему (1.10) будемо називати функціонально відтвореною по виходу ( задача синтезу), якщо для довільної вектор-функції , що задовольняє умові існує вектор-функція ( можливо не єдина), при якій вектор-функція буде тотожно збігатися з вектор-функцією на будь-якому відрізку зміни :

для (1.43)

Розглянемо тепер питання про можливість розв'язання системи (1.38) з погляду можливості розв'язання зворотної задачі про визначення функції за результатами виміру ( спостереження) функції . Як відомо, цю зворотну задачу можна розглядати у двох різних постановках: як задачу синтезу і як задачу виміру.

Розглянемо спочатку цю зворотну задачу як задачу синтезу: знайти зовнішні впливи, які визначають задану вектор-функцію , як рішення системи (1.10).

Із системи (1.38) можна зробити наступний висновок : система (1.38) має рішення, якщо ранг матриці дорівнює . Розглянемо випадки, коли .

1) Цей випадок неможливий, тому що ранг матриці в цьому випадку не може бути більше

2) Рішення зворотної задачі синтезу існує і єдино.

3) Цей випадок у зворотній задачі синтезу має рішення, якщо частина компонентів вектор-функції покласти рівної нулю й рішення зворотної задачі буде не єдиним.

Функціональна відтворюваність виходу по фізичному змісту еквівалентна можливості одержання рішення зворотної задачі синтезу векторів-функції . Інакше кажучи, якщо система (1.10) функціонально відтворена по виходу, то існує рішення зворотної задачі як задачі синтезу. З наведених міркувань потрібно довести теорему.

Теорема. Рішення зворотної задачі синтезу для системи (1.10) можливо тоді й тільки тоді, коли ранг матриці дорівнює і якщо .

Тепер розглянемо зворотну задачу для системи (1.10) як задачу виміру входу і перетворимо рівняння (1.38)

(1.44)

де матриця розміром

Нехай Природно, ранг матриці не може бути більше

Нехай ранг матриці дорівнює . Якщо частину компонентів вектор-функції покласти рівною нулю, то з (1.15) однозначно можуть бути знайдені компонент вектора-функції . Отже, зворотна задача виміру має рішення, хоча це рішення може бути не єдиним.

Якщо й ранг матриці дорівнює , то зворотна задача виміру має єдиний розв'язок.

Нехай . Тоді зворотна задача виміру розв'язка не має.

Для зворотної задачі виміру варто ввести поняття функціональної відтворюваності входу.

Визначення функціональної відтворюваності входу. Систему (1.10) будемо називати функціонально відтворюваною по входу ( задача виміру), якщо по довільної вектор-функції , що задовольняє можна визначити вектор-функцію із системи, при якій вектор-функція буде тотожньо збігатися з вектором функцією на будь-якому відрізку зміни :

для (1.45)

З наведених міркувань треба довести теорему.

Теорема. Розв'язок зворотної задачі виміру для системы можливо тоді й тільки тоді, коли ранг матриці дорівнює і якщо .

Приклад. Для системи (1.14),(1.15) матриця представлена у вигляді (1.16). Оскільки визначений ранг матриці (1.16) дорівнює 6, то перші дванадцять стовпців є лінійно залежними. Однак 5-й, 6-й, 8-й, 9-й, 11-й, 12-й, 14-й, 15-й, 17-й, 18-й, 20-й і 21-й є лінійно незалежними. Існують і інші набори лінійно незалежних стовпців. Кожний набір лінійно незалежних векторів дає своє рішення задачі. Якщо такими векторами є перші дванадцять стовпців, то існує рішення, що забезпечує задоволення умов . Якщо такі стовпці розташовуються іншим способом, то умови можуть бути іншими, наприклад . При цьому, попередні умови не виконуються. До перевірки матриці не можна заздалегідь знати про те, які умови будуть виконані. Крім, того задаючи функцію , не задають її похідні до го.

Якщо думати, що потрібно перевіряти тільки перші стовпців на лінійну незалежність , тоді матриця повинна бути квадратною. Приведені міркування вказують на те, що матричний критерій функціональної відтворюваності має недоліки.

У роботах Меньшикова Ю.Л. був запропонований метод «перетинів», що дозволяє в більшості випадків спростити одержання рівнянь для визначаємих функцій зовнішніх впливів [35], [2].

Будемо припускати, що всі змінні стани можуть бути визначені однозначно через відомі функції .

Відому змінну стану будемо розглядати як два відомих внутрішніх впливи , де є константа.Така інтерпретація змінної стану дозволяє спростити вихідну систему. Перетворення вказаного типу назване як « -перетин» вихідної системи [35], [2].

У ряді випадків після ряду «перетинів » вихідна система перетвориться в деяку підсистему з однією змінною стану, наприклад, і одним невідомим зовнішнім впливом , наприклад , Рух підсистеми можна описати за допомогою диференціальних рівнянь

(1.46)

і рівнянням спостереження

(1.47)

де

матриці з постійними коефіцієнтами соответсвующей розмірності; стовпець.

Рух підсистеми (1.46) системи (1.10), що задовольняє початковим умовам визначається формулою Коші .

З рівняння спостереження маємо

(1.48)

де фундаментальна матриця однорідної системи (1.46).

Перше рівняння системи (1.48) дає

Тут прийняті наступні позначення

із системи (1.48) маємо

(1.49)

або

(1.50)

де

- відома функція (1.51)

РОЗДІЛ 2. Практичний аналіз виконання критеріїв керованості та спостережуваності в тестових динамічних системах керування на базі пакету MATLAB

2.1 Постановка задачі

Дані математичні моделі трьох систем і структурну схему, що представляє собою з'єднання цих систем. Необхідно [26]:

- одержати модель результуючої системи в просторі станів,

- досліджувати спостережуваність і керованість трьох підсистем окремо, і загальної системи.

Багатомірні системи, на відміну від одномірних мають кілька входів і кілька виходів.

Для опису таких систем використовуються три набори параметрів (три век-тори), див. рис.2.1: 1. вектор вхідних впливів (керувань) U; 2. вектор змінних станів X; 3. вектор вихідних параметрів Y.

з двома перетвореннями: 1. Перетворення “ входи-стану” ; 2.Перетворення “ стану-виходи”.

Рис.2.1. Схема прикладів досліджуємих багатомірних систем [29]

Широке поширення, обумовлене розробленим математичним апаратом, одержали лінійні моделі багатомірних систем у просторі станів, які мають вигляд:

(2.1)

перше співвідношення називається рівнянням стану, друге - рівнянням виходу.

Тут:

x = (x₁, x₂, …, x_n)^T I Rⁿ - вектор змінних станів;

u = (u₁, u₂, …, u_r)^T I U I Rⁿ - вектор керувань;

y = (y₁, y₂, …, y_m)^T I Rⁿ - вектор вимірюваних параметрів;

t - час;

A(t), B(t), C(t) - матриці розмірності (n*n), (n* r), (m* n) відповідно.

Передбачається, що відомо початкові стани x(t₀) = x₀, де t₀ - початковий момент часу.

Якщо структура матриць A(t), B(t), C(t) не залежить від часу t, то система називається стаціонарною. У пакеті MATLAB передбачається, що системи стационарні.

Розглянемо задачі з'єднання двох підсистем у систему. При з'єднанні можливі три варіанти (рис.3.2): паралельне (а), послідовне (б) і у зворотному зв'язку (в). Передбачається, що обидві системи описуються в просторі станів співвідношеннями:

y¹ = C x¹; (2.2)

y² = C x²; (2.3)

де x¹, u¹, y¹ - вектори станів, керувань, виходів першої системи, x², u², y² - другий.

Необхідно по відомих матрицях A₁, B₁, C₁, A₂, B₂, C₂ одержати матриці A, B, C (рис. 2.г).

Рис. 2.2. З'єднання двох систем

1. Паралельне з'єднання

Запишемо рівняння системи, з урахуванням особливостей з'єднання, зазначених на рис. 2.2а.



(2.4)

Звідси

;

.

Остаточно матриці з'єднання мають вигляд -

.

2. Послідовне з'єднання -

y = C₂ x²; (2.5)

у матричному виді -

;

;

остаточно, маємо

.

3. Зворотний зв'язок -

y = C₁ x¹; (2.6)

у матричному виді -

;

.

Отже,

.

Для лінійних систем справедливо наступне правило, називане принципом суперпозиції: ефект, викликаний сумою декількох впливів, дорівнює сумі декількох впливів, тобто дорівнює сумі ефектів від декількох впливів окремо. Закон зміни вектора станів лінійної системи представляється у вигляді суми вільного й змушеного коливання

x(t) = x_c(t) + x_в(t). (2.7)

Вільний рух x_c(t) відбувається при відсутності зовнішнього впливу в ненульових початкових умовах. Він визначається рішенням однорідної системи рівнянь, що відповідає вихідному рівнянню станів

(2.8)

с початковими умовами x(t₀) = x₀.

Змушений рух x_в(t) - це реакція системи на зовнішній вплив u(t) при нульо-вих початкових умовах. Він визначається рішенням неоднорідного рівняння при нульових початкових умовах.

Для багатомірних нестаціонарних систем, описуваних співвідношеннями, поводження векторів стану й виходу визначається по формулах

(2.9)

(2.10)

де Ф(t,t ) - перехідна матриця, або матриця Коші, що є рішенням рівняння

, (2.11)

з початковою умовою ..

Перші доданки в (2.9), (2.10) описують вільний рух, а другі - змушене.

Для багатомірних стаціонарних систем, описуваних рівняннями (2.8), закони зміни вектора стану й вектора виходу розраховуються по формулах

(2.12)

(2.13)

де Ф(t - t ) - перехідна матриця стаціонарної системи, що залежить від різниці t - t . У цьому випадку рішення рівняння (2.11) має вигляд

. (2.14)

Одними з найважливіших задач теорії керування є дослідження керованості й спостережуваності динамічних систем. Сформулюємо відповідні визначення й критерії для стаціонарних лінійних систем.

Система називається цілком керованою, якщо вибором керуючого впливу u(t) на інтервалі часу [t₀, t₁] можна перевести систему з будь-якого початкового стану х(t₀) у довільне заздалегідь заданий кінцевий стан x(t₁).

Система називається цілком спостережуваної, якщо по реакції в(t₁) на виході системи на інтервалі часу [t₀, t₁] при заданому керуючому впливі u(t) можна визначити початковий стан х(t₀).

Критерій керованості лінійних систем. Для того щоб система була цілком керованої, необхідно й досить, щоб ранг матриці керованості

M_U =(В АВ А²У … А^n-1У) (2.15)

рівнявся розмірності вектора стану:

rang M_U = n. (2.16)

Критерій спостережуваності лінійних систем. Для того щоб система була цілком спостережуваної, необхідно й досить, щоб ранг матриці наблюдаемости

M_Y =(C^T A^TC^T (A^T)²C … (A^T)^n-1C^T) (2.17)

рівнявся розмірності вектора стану:

rang M_Y = n. (2.18)

2.2 Дослідження спостережуваності і керованості підсистем окремо

Послідовність виконання в пакеті MATLAB.

В Control System Toolbox пакета MATLAB є тип даних, що визначає динамічну систему в просторі станів. Синтаксис команди, що створює безперервну LTI (Linear Time Invariant)-систему у вигляді ss-об'єкта c одним входом і одним виходом:

SS(A, B, C, D)

У цю функцію як параметри передаються матриці рівнянь станів і виходів виду

у зв'язку з тим, що розглядається модель виду (3.1), те матриця динаміки D буде нульовою.

Для виконання роботи можуть застосовуватися команди, наведені в таблиці 2.1.

Таблиця 2.1

Деякі команди Control System Toolbox

Синтаксис	Опис
ctrb( LTI-Об'єкт>) ctrb(A, B)	Формування матриці керованості
obsv(< LTI-Об'єкт>) obsv(A, C)	Формування матриці спостережуваності
parallel(<LTI1>,<LTI2>)	Паралельне з'єднання
series(<LTI1>,<LTI2>)	Послідовне з'єднання
feedback(<LTI1>,<LTI2>)	З'єднання зворотним зв'язком
append( <LTI1>, …, <LTIN>)	Об'єднання систем
connect(<sys>,<Con>,<in>,<out>)	Установлення зв'язків у з'єднанні

Для одержання результатів обчислення матриць, що результирують системи, за структурною схемою, скористаємося останніми двома командами.

Функція append створює об'єкт sys, що представляє собою об'єднання всіх підсистем. При цьому перший вхідний сигнал першої системи стає входом номер 1, другий вхідний сигнал першої системи - номер 2, і т.д. далі йдуть входи другої системи, і т.д.; аналогічно визначаються й виходи.

У функції connect - параметр <Con> визначає матрицю зв'язків за структурною схемою. Матриця формується за наступним правилом: кожний рядок являє собою один вхід системи sys, перший елемент - номер входу (відповідно до порядку в команді append), потім ідуть номера виходів, які підсумуються й подаються на розглянутий вхід. Параметри <in>, <out> - рядки з номерів входів і виходів з'єднання, що є зовнішніми.

Наприклад, для послідовного з'єднання двох систем (мал. 2.б):

sys1= ss(A1, B1, C1, D1)

sys2= ss(A2, B2, C2, D2)

sys=append (sys1, sys2)

sysc=connect(sys, [2 1], [1], [2])

У цьому випадку на вхід другої системи (загальний вхід номер 2), надходить вихід першої (загальний вихід номер 1); вхід першої системи (номер один) і вихід другої системи (номер два) є зовнішніми.

Послідовність виконання практичних розрахунків наступна:

1. Ознайомитися з основними елементами теорії.

2. Привести всі системи у варіанті у форму (2.1).

3. Запустити систему MATLAB.

4. Створити три ss-об'єкти, відповідно до заданого варіанта.

5. Визначити керованість і спостережуваність кожної системи.

6. У відповідності зі структурною схемою одержати матриці A, B, C з'єднання.

7. Визначити керованість і спостережуваність з'єднання.

Методичний приклад

Дано три лінійні стаціонарні системи:

1. ;

2. ;

3. ;

і є структурна схема з'єднання систем:

Рис. 2.3. Тестовий варіант завдання № 2

1. Приведемо систему 3 до виду (2.1), для цього введемо змінні

;

і, підставляючи їх у вихідні рівняння, одержимо -

; ; .

2. Створимо матриці 3-х систем рівнянь та перевіримо їх ранги (для наглядності покажемо результат операцій в пакеті MAPLE 11, в який створений перехід із пакету MATLAB 6.5):

3.

>

> A1 := <<7,2>|<3,1>>;

> Rank(A1);

> B1 := <<1,0>|<0,2>>;

> Rank(B1);

> C1 := <<3,2>|<-2,1>>;

> Rank(C1);

> A2 := <<1,3>|<2,2>>;

> Rank(A2);

> B2 := <<1,2>|<5,1>>;

> Rank(B2);

> C2 := <<4>|<3>>;

> Rank(C2);

> A3 := <<0,2>|<1,3>>;

> Rank(A3);

> B3 := <<0,4>>;

> Rank(B3);

> C3 := <<1>|<0>>;

> Rank(C3);

Створюємо ss-об'єкти ( функція пакету MATLAB):

Рис.2.4. Моделювання динамічних систем в пакеті MATLAB

3. Досліджуємо спостережуваність і керованість кожної системи, для чого побудуємо відповідні матриці й порахуємо їхні ранги (функція пакету MATLAB).

На жаль, в системі MATLAB відсутні можливості друкування всіх матричних перетворень, тому до початку практичних занять один з прикладів повинен бути викладений в теоретичному курсі.

Видно, що у всіх випадках ранги матриць керованості й спостережуваності збігаються з розмірностями простору станів (у кожній окремій системі в просторі станів 2 змінних - x та y, а також керуючий вплив u).

3.3 Дослідження спостережуваності і керованості з'єднання окремих підсистем

Одержимо систему, обумовлену з'єднанням. Для коректного використання функції connect уведемо додаткову систему, передатна функція якої дорівнює 1 (рис 2.5.).

Рис. 2.5. Еквівалентна схема.

>> s4 = tf(1)

Transfer function:

1

>> sys=append(s1,s2,s3,s4);

>> Q=[2 -4 5; 3 1 0; 4 2 0; 5 2 0];

>> in=[1 5];

>> out=[3 4];

>> s_com=connect(sys,Q, in,out);

Звертаючись до даних об'єкта, можна одержати матриці А, В, З:

>> A=s_com.A;

>> B=s_com.B;

>> C=s_com.C;

Обчислимо ранги матриць спостережуваності й керованості підсумкової системи ( в системі 6 змінних x₁,x₂,x₃ та y₁,y₂,y₃):

>> rank(ctrb(A,B))

ans =

6

>> rank(obsv(A,C))

ans =

6

Результати показують, що кількість змінних параметрів зведеної системи =6, що дорівнює рангу матриці зведеної системи =6, тобто система керована й спостережувана.

РОЗДІЛ 3. Варіанти завдань по дослідженню керованості та спостережуваності тестових динамічних систем керування в середовищі пакету matlab

3.1 Варіанти завдань

№№	Рівняння систем - http://matlab.exponenta.ru	Схема
	1. 2. 3.	1
	1. 2. 3.	2
	1. 2. 3.	3
	1. 2. 3.	4
	1. 2. 3.	2
	1. 2. 3.	3
	1. 2. 3.	1
	1. 2. 3.	2
	1. 2. 3.	5
	1. 2. 3.	6
	1. 2. 3.	5
	1. 2. 3.	7
	1. 2. 3.	6
	1. 2. 3.	8
	1. 2. 3.	8
	1. 2. 3.	9
	1. 2. 3.	10
	1. 2. 3.	8

3.2 Структурні схеми до варіантів завдань

ВИСНОВКИ

Згідно з поставленими завданнями випускної роботи бакалавра був виконаний наступний комплекс робіт:

- проведена систематизація теоретичних підходів до математичної постановки задач дослідження керованості та спостережуваності динамічних систем керування;

- виявлений алгоритм пошуку матричних критеріїв керованості та спостережуваності динамічних систем керування;

- розроблене програмного забезпечення для перевірки матричних критеріїв керованості та спостережуваності динамічних систем з застосуванням програмного середовища MATLAB - модуль Control System ToolBox «Системи рівнянь динамічних систем керування та їх матричні критерії спостережуваності та керованості».

Проведена систематизація теоретичних підходів до математичної постановки задач дослідження керованості та спостережуваності динамічних систем керування дозволила виявити основні вимоги до критеріїв:

- Критерій керованості лінійних систем. Для того щоб система була цілком керованої, необхідно й досить, щоб ранг матриці керованості рівнявся розмірності вектора стану.

- Критерій спостережуваності лінійних систем. Для того щоб система була цілком спостережуваної, необхідно й досить, щоб ранг матриці спостережуваності рівнявся розмірності вектора стану.

Відповідно, дослідження критеріїв керованості та спостережуваності проводилось за наступною алгоритмичною схемою:

- система динамічних рівнянь багатомодульної системи керування розбивалась на системи рівнянь для окремих 2-х параметричних модулей, матриці коефіцієнтів рівнянь для яких вводились в пакет MATLAB;

- на наступному етапі окремий 2-х параметричний модуль створювався у вигляді моделі зв'язаних матриць(ss- об'єкт системи), після чого в пакеті проводмлась перевірка ранга матриць моделі, який повинний був бути не менше 2 для 2-х параметричного модуля керування;

- на заключному етапі окремі 3 модуля тестової системи керування поєднувались послідовно чи паралельно по заданій схемі, після чого в пакеті MATLAB створювався сумарний багатомодульний об'єкт керування з об'эднанням матриць коефіцієнтів окремих модулів в зведену матрицю керування;

- зведена матриця керування перевірялась на ранг, який повинен бути не меньше 6 - для 3 2-хпараметричних систем (сумарно 6 параметрів управління багатомодульною системою).

Таким чином, застосування алгоритмічно-програмного забезпечення модуля Control System Toolbox пакету MATLAB 6.5 дозволяє проводити дослідження матричних критеріїв керованості та спостережуваності складних багатомодульних систем керування на етапі схемного проектування в інтерактивному режимі взаємодії дослідника з комп'ютерним пакетом MATLAB.

Практична цінність отриманих результатів випускної роботи бакалавра полягає в розробці алгоритму підготовки вихідних даних та порядку проведенні практичного розв'язання прикладів тестування систем динамічних рівнянь систем керування в програмному пакеті MATLAB, що дозволило створити цілий клас варіантів вихідних багатомодульних моделей для проведення подвльщих досліджень матричних критеріїв оцінювання керованості та спостережуваності схем тестових динамічних систем керування з різною схемною конфігурацією окремих модулів систем.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical system // SIAM J. on Control. - 1963. - P. 152-192.

2. Меньшиков Ю.Л., Поляков Ю.В. Идентификация моделей внешних воздействий - Днепропетровск, Вид-во «Наука та освіта», 2009. - 188 с.

3. Меньшиков Ю.Л. О критериях управляемости, спостережуваності и функциональной воспроизводимости для некоторых классов систем управления // Днепропетровский національный университет, 2012

4. Бублик В.Н., Кириченко Н.Ф. Основы теории управления. - К. : «Вища школа» , 1975. - 328 с.

5. Фельзер М.С. Обчислення керованості для лінійних стаціонарних систем // Електроніка та системи управління. 2011. №2(28)- с.36-38

6. Ушаков А.В., Хабалов В.В., Дударенко Н.А. Математические основы

теории систем: элементы теории и практикум./ Под ред. Ушакова А.В. - СПб: СПбГУИТМО, 2007. - 174 с.

7. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А.А. Красовского. - М., Наука, 1987. - 711 с.

8. Чаки Ф. Современная теория управления. - М.: Мир, 1975. - 424 с.

9. Шашихин В.Н. Критерии управляемости и наблюдаемости интервальных систем в синтезе робастного управления // Проблемы управления и автоматики. - 2002. - № 5. - С. 65-79.

10. Никульчев Е.В. Пособие "Control System Toolbox" Описание динами-ческих систем в пространстве состояний // Всероссийская научная конференция «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (май 2011 г.) ) - http://matlab.exponenta.ru/mltb/default.php

11. Тимченко В.Л. Управляемость системы электроприводов // Сб. научн. трудов «Электрооборудование и автоматизация установок и систем». - НКИ., 1988. - С. 55-62.

12. Тимченко В.Л. Квазілінеаризація нелінійних динамічних систем при допустимих коливаннях // Наукові праці МДГУ Серія «Комп'ютерні науки». - 2008. - Випуск 77, Том 90. - С. 190-195.

13. Тимченко В.Л. Дослідження керованості лінійних нестаціонарних систем // Наукові праці. Випуск 93. Том 106 «Комп'ютерні технології», 2009. - с.159 -166

14. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления: учеб. пособие для втузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. 1989.

15. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. В 2-х ч. Ч.1. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1986.

16. Щербина Г.С., Егоров А.П., Потап О.Е., Кирсанов В.В. Теория автоматического управления. Линейные непрерывные АСУ. Часть 1: Учебное пособие. - Днепропетровск, НМетАУ, 2007.

17. Щербина Г.С., Потап О.Е., Бейцун С.В. Теория автоматического управления. Часть 2. Нелинейные АСУ: Учебное пособие. - Днепропетровск: НМетАУ, 2007. - 72 с.

18. Теория автоматического управления: Учебное пособие для вузов. В 2-х ч. Ч.2. / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высшая школа, 1977.

19. Щербина Г.С. Теория автоматического управления. Адаптивные АСУ: Учебное пособие. - Днепропетровск: НМетАУ, 2009.