Математическая модель оптимизации плана производства промышленного предприятия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

СТЕРЛИТАМАКСКИЙ ФИЛИАЛ

ФЕДЕРАЛЬНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра экономической теории и анализа

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математическое моделирование»

на тему «Математическая модель оптимизации плана производства промышленного предприятия»

Выполнил:

Сурашева Кристина Аликовна

Проверил:

Нафикова Альбина Ринатовна

Стерлитамак 2013

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы задач оптимизации

1.1 Математическое программирование

1.2 Линейное программирование

1.3 Дифференциальные и разностные уравнения в экономико-математических моделях

Глава 2. Решение социально-экономических задач в математическом пакете Maple

2.1 Задачи, подчиняющиеся закону естественного роста

2.2 Задачи роста в социально-экономической сфере с учетом насыщения

2.3 Задачи на применение экономико-математического моделирования

Заключение

Список литературы

Введение

Характерной чертой современности является стремительный научно-технический прогресс, что требует от менеджеров и бизнесменов значительного повышения ответственности за качество принятия решений. Это основная причина, которая обусловливает необходимость научного принятия управленческих решений. Одним из направлений научно-технического прогресса стало математическое программирование, которое тесно связанное с практическими проблемами оптимального распределения ресурсов в различных отраслях производства и сферы услуг.

Поскольку различные аспекты оптимизации занимают очень важное место в бизнесе и деятельности современных организаций и предприятий, этот сайт может помочь на практике тем людям, которые сталкиваются с такими задачами в своей повседневной работе (менеджера, экономисты, финансисты, фермеры) или тем, что просто интересуются данными вопросами. Проблемы оптимизации присутствуют в самых различных процессах производства:

ѕ поставка сырья;

ѕ оптимальный выпуск продукции;

ѕ оптимальное управление запасами ;

ѕ оптимальное распределение ресурсов;

ѕ планирования инвестиций;

ѕ оптимальный рацион (смесь, сплав);

ѕ назначение на должность;

ѕ оптимальная замена оборудования

Решения задач оптимизации состоит в поиске оптимального плана с использованием математических моделей и вычислительных методов, которые реализуются с помощью компьютеров и специальных программ-оптимизаторов. Все расчёты сделаны популярной оптимизационною программою Solver (Поиск решений), встроенной в табличную программу MS Excel.

Цель работы - изучить пример задачи математического программирования и привести их решение.

Задачи:

- выполнить анализ литературы по теме исследования;

- привести пример по темам;

- решить пример в табличной программе MS Excel.

математический программирование уравнение экономика

Глава 1. Теоретические основы задач оптимизации

1.1 Математическое программирование

Процессы принятия решений лежат в основе любой целенаправленной деятельности. В экономике они предшествуют созданию производственных и хозяйственных организаций, обеспечивают их оптимальное функционирование и взаимодействие. В научных исследованиях - позволяют выделить важнейшие научные проблемы, найти способы их изучения, предопределяют развитие экспериментальной базы и теоретического аппарата. При создании новой техники - составляют важный этап в проектировании машин, устройств, приборов, комплексов, зданий, в разработке технологии их построения и эксплуатации; в социальной сфере - используются для организации функционирования и развития социальных процессов, их координации с хозяйственными и экономическими процессами. Оптимальные (эффективные) решения позволяют достигать цели при минимальных затратах трудовых, материальных и сырьевых ресурсов.

В классической математике методы поиска оптимальных решений рассматривают в разделах классической математики, связанных с изучением экстремумов функций, в математическом программировании.

Математическое программирование является одним из разделов исследования операций - прикладного направления кибернетики, используемого для решения практических организационных задач. Задачи математического программирования находят применение в различных областях человеческой деятельности, где необходим выбор одного из возможных образов действий (программ действий).

Значительное число задач, возникающих в обществе, связано с управляемыми явлениями, т. е. с явлениями, регулируемыми на основе сознательно принимаемых решений. При том ограниченном объеме информации, который был доступен на ранних этапах развития общества, принималось оптимальное в некотором смысле решение на основании интуиции и опыта, а затем, с возрастанием объема информации об изучаемом явлении, - с помощью ряда прямых расчетов. Так происходило, например, создание календарных планов работы промышленных предприятий.

Совершенно иная картина возникает на современном промышленном предприятии с многосерийным и многономенклатурным производством, когда объем входной информации столь велик, что его обработка с целью принятия определенного решения невозможна без применения современных электронных вычислительных машин. Еще большие трудности возникают в связи с задачей о принятии наилучшего решения.

Под принятием решений в исследовании операций понимают сложный процесс, в котором можно выделить следующие основные этапы:

1-й этап. Построение качественной модели рассматриваемой проблемы, т.е. выделение факторов, которые представляются наиболее важными, и установление закономерностей, которым они подчиняются. Обычно этот этап выходит за пределы математики.

2-й этап. Построение математической модели рассматриваемой проблемы, т.е. запись в математических терминах качественной модели. Таким образом, математическая модель - это записанная в математических символах абстракция реального явления, так конструируемая, чтобы анализ ее давал возможность проникнуть в сущность явления. Математическая модель устанавливает соотношения между совокупностью переменных - параметрами управления явлением. Этот этап включает также построение целевой функции переменных, т.е. такой числовой характеристики, большему (или меньшему) значению которой соответствует лучшая ситуация с точки зрения принимающего решения.

Итак, в результате этих двух этапов формируется соответствующая математическая задача. Причем, второй этап уже требует привлечения математических знаний.

3-й этап. Исследование влияния переменных на значение целевой функции. Этот этап предусматривает владение математическим аппаратом для решения математических, задач, возникающих на втором этапе процесса принятия, решения.

Широкий класс задач управления составляют такие экстремальные задачи, в математических моделях которых условия на переменные задаются равенствами и неравенствами. Теория и методы решения этих задач как раз и составляют содержание математического программирования. На третьем этапе, пользуясь математическим аппаратом, находят решение соответствующих экстремальных задач. Обратим внимание на то, что задачи математического программирования, связанные с решением практических вопросов, как правило, имеют большое число переменных и ограничений. Объем вычислительных работ для нахождения соответствующих решений столь велик, что весь процесс не мыслится без применения современных электронных вычислительных машин (ЭВМ), а значит, требует либо создания программ для ЭВМ, реализующих те или иные алгоритмы, либо использования уже имеющихся стандартных программ.

4-й этап. Сопоставление результатов вычислений, полученных на 3-м этапе, с моделируемым объектом, т. е. экспертная проверка результатов (критерий практики). Таким образом, на этом этапе устанавливается степень адекватности модели и моделируемого объекта в пределах точности исходной информации. Здесь возможны два случая:

1-й случай. Если результаты сопоставления неудовлетворительны (обычная ситуация на начальной стадии процесса моделирования), то переходят ко второму циклу процесса. При этом уточняется входная информация о моделируемом объекте и в случае необходимости уточняется постановка задачи (1-й этап), уточняется или строится заново математическая модель (2-й этап), решается соответствующая математическая задача (3-й этап) и, наконец, снова проводится сопоставление (4-й этап).

2-й случай. Если результаты сопоставления удовлетворительны, то модель принимается. Когда речь идет о неоднократном использовании на практике результатов вычислений, возникает задача подготовки модели к эксплуатации. Предположим, например, что целью моделирования является создание календарных планов производственной деятельности предприятия. Тогда эксплуатация модели включает в себя сбор и обработку информации, ввод обработанной информации в ЭВМ, расчеты на основе разработанных программ календарных планов и, наконец, выдачу результатов вычислений (в удобном для пользователей виде) для их использования в сфере производственной деятельности.

В математическом программировании можно выделить два направления.

К первому, уже вполне сложившемуся направлению - собственно математическому программированию - относятся детерминированные задачи, предполагающие, что вся исходная информация является полностью определенной.

Ко второму направлению - так называемому стохастическому программированию - относятся задачи, в которых исходная информация содержит элементы неопределенности, либо когда некоторые параметры задачи носят случайный характер с известными вероятностными характеристиками. Так, планирование производственной деятельности зачастую производится в условиях неполной информации о реальной ситуации, в которой будет выполняться план. Или, скажем, когда экстремальная задача моделирует работу автоматических устройств, которая сопровождается случайными помехами. Заметим, что одна из главных трудностей стохастического программирования состоит в самой постановке задач, главным образом из-за сложности анализа исходной информации.

Традиционно в математическом программировании выделяют следующие основные разделы.

Линейное программирование - целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств. В свою очередь в линейном программировании существуют классы задач, структура которых позволяет создать специальные методы их решения, выгодно отличающиеся от методов решения задач общего характера. Так, в линейном программировании появился раздел транспортных задач.

Нелинейное программирование - целевая функция и ограничения нелинейны. Нелинейное программирование принято подразделять следующим образом:

Выпуклое программирование - целевая функция выпукла (если рассматривается задача ее минимизации) и выпукло множество, на котором решается экстремальная задача.,

Квадратичное программирование - целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства.

Многоэкстремальные задачи. Здесь обычно выделяют специализированные классы задач, часто встречающихся в приложениях, например, задачи о минимизации на выпуклом множестве вогнутых функций.

Важным разделом математического программирования является целочисленное программирование, когда на переменные накладываются условия целочисленности.

Целью математического программирования является создание, где это возможно, аналитических методов определения решения, а при отсутствии таких методов - создание эффективных вычислительных способов получения приближенного решения.

Наконец, заметим, что наименование предмета - «математическое программирование» - связано с тем, что целью решения задач является выбор программы действий.

1.2 Линейное программирование

Линейное программирование -- математическая дисциплина, посвящённая теории и методам решения экстремальных задач на множествах -мерного векторного пространства, задаваемых системами линейных уравнений и неравенств.

Линейное программирование является частным случаем выпуклого программирования, которое в свою очередь является частным случаем математического программирования. Одновременно оно -- основа нескольких методов решения задач целочисленного и нелинейного программирования. Одним из обобщений линейного программирования является дробно-линейное программирование.

Многие свойства задач линейного программирования можно интерпретировать также как свойства многогранников и таким образом геометрически формулировать и доказывать их.

Математические исследования отдельных экономических проблем, математическая формализация числового материала проводилась ещё в XIX веке. При математическом анализе процесса расширенного производства использовались алгебраические соотношения, анализ их проводился с помощью дифференциального исчисления. Это давало возможность получить общее представление о проблеме.

Развитие экономики потребовало количественных показателей, и в 1920 годы был создан межотраслевой баланс (МОБ). Он то и послужил толчком в деле создания и исследования математических моделей. Разработка МОБ в 1924--1925 годах в СССР повлияла на работы экономиста и статистика Василия Васильевича Леонтьева. Он разработал межотраслевую модель производства и распределения продукции.

В 1938 году Леонид Витальевич Канторович в порядке научной консультации приступил к изучению чисто практической задачи по составлению наилучшего плана загрузки лущильных станков (фанерный трест). Эта задача не поддавалась обычным методам. Стало ясно, что задача не случайная.^[1]

В 1939 году Леонид Витальевич Канторович опубликовал работу «Математические методы организации и планирования производства», в которой сформулировал новый класс экстремальных задач с ограничениями и разработал эффективный метод их решения, таким образом, были заложены основы линейного программирования.

Изучение подобных задач привело к созданию новой научной дисциплины линейного программирования и открыло новый этап в развитии экономико-математических методов.

В 1949 году американский математик Джордж Бернард Данциг разработал эффективный метод решения задач линейного программирования (ЗЛП) -- симплекс-метод.

Термин «программирование» нужно понимать в смысле «планирования» (один из переводов англ. programming). Он был предложен в середине 1940-х годов Джорджем Данцигом, одним из основателей линейного программирования, ещё до того, как компьютеры были использованы для решения линейных задач оптимизации.

Метод внутренних точек был впервые упомянут И.И. Дикиным в 1967 году.

Общей (стандартной) задачей линейного программирования называется задача нахождения минимума линейной целевой функции (линейной формы) вида

Задача, в которой фигурируют ограничения в форме неравенств, называется основной задачей линейного программирования (ОЗЛП).

,

.

Задача линейного программирования будет иметь канонический вид, если в основной задаче вместо первой системы неравенств имеет место система уравнений с ограничениями в форме равенства:

,

Основную задачу можно свести к канонической путём введения дополнительных переменных.

Задачи линейного программирования наиболее общего вида (задачи со смешанными ограничениями: равенствами и неравенствами, наличием переменных, свободных от ограничений) могут быть приведены к эквивалентным (имеющим то же множество решений) заменами переменных и заменой равенств на пару неравенств.

Легко заметить, что задачу нахождения максимума можно заменить задачей нахождения минимума, взяв коэффициенты с обратным знаком.

Наиболее известным и широко применяемым на практике для решения общей задачи линейного программирования (ЛП) является симплекс-метод. Несмотря на то, что симплекс-метод является достаточно эффективным алгоритмом, показавшим хорошие результаты при решении прикладных задач ЛП, он является алгоритмом с экспоненциальной сложностью. Причина этого состоит в комбинаторном характере симплекс-метода, последовательно перебирающего вершины многогранника допустимых решений при поиске оптимального решения.

Первый полиномиальный алгоритм, метод эллипсоидов, был предложен в 1979 году советским математиком Л. Хачияном, разрешив таким образом проблему, долгое время остававшуюся нерешённой. Метод эллипсоидов имеет совершенно другую, некомбинаторную природу, нежели симплекс-метод. Однако в вычислительном плане этот метод оказался неперспективным. Тем не менее, сам факт полиномиальной сложности задач привёл к созданию целого класса эффективных алгоритмов ЛП -- методов внутренней точки, первым из которых был алгоритм Н. Кармаркара, предложенный в 1984 году. Алгоритмы этого типа используют непрерывную трактовку задачи ЛП, когда вместо перебора вершин многогранника решений задачи ЛП осуществляется поиск вдоль траекторий в пространстве переменных задачи, не проходящих через вершины многогранника. Метод внутренних точек, который, в отличие от симплекс-метода, обходит точки из внутренней части области допустимых значений, использует методы логарифмических барьерных функций нелинейного программирования, разработанные в 1960-х годах Фиако (Fiacco) и МакКормиком (McCormick).

1.3 Дифференциальные и разностные уравнения в экономико-математических моделях

Нелинейное программирование (NLP, англ. NonLinear Programming) -- случай математического программирования, в котором целевой функцией или ограничением являетсянелинейная функция.

Задача нелинейного программирования ставится как задача нахождения оптимума определенной целевой функции при выполнении условий

где -- параметры, -- ограничения,

-- количество параметров, -- количество ограничений.

В отличие от задачи линейного программирования, в задаче программирования нелинейного оптимум не обязательно лежит на границе области, определенной ограничениями.

Одним из методов, которые позволяют свести задачу нелинейного программирования к решению системы уравнений, является метод неопределенных множителей Лагранжа.

Если целевая функция является линейной, а ограниченным пространством является политоп, то задача является задачей линейного программирования, которая может быть решена с помощью хорошо известных решений линейного программирования.

Если целевая функция является вогнутой (задача максимизации) или выпуклой (задача минимизации) и множеством ограничений служит выпуклая, то задачу называют выпуклой, и в большинстве случаев могут быть использованы общие методы выпуклой оптимизации.

Если целевая функция является отношением вогнутых и выпуклых функций (при максимизации) и ограничения выпуклые, то задача может быть преобразована в задачу выпуклой оптимизации использованием техник дробного программирования.

Существуют несколько методов для решения невыпуклых задач. Один подход заключается в использовании специальных формулировок задач линейного программирования. Другой метод предусматривает использование методов ветвей и границ, где задача делится на подклассы, чтобы быть решенной с выпуклыми (задача минимизации) или линейными аппроксимациями, которые образуют нижнюю границу общей стоимости в пределах раздела. При следующих разделах в определенный момент будет получено фактическое решение, стоимость которого равна лучшей нижней границе, полученной для любого из приближенных решений. Это решение является оптимальным, хотя, возможно, не единственным. Алгоритм можно прекратить на ранней стадии, с уверенностью, что оптимальное решение находится в рамках допустимого отклонения от найденной лучшей точки; такие точки называются е-оптимальными. Завершение е-оптимальных точек, как правило, необходимое для обеспечения конечности завершения. Это особенно полезно для больших, сложных задач и задач с неопределенными расходами или значениями, где неопределенность может быть определена из соответствующей оценки надежности.

Дифференцирование и условия регулярности, условия Каруша -- Куна -- Такера (ККТ) обеспечивают необходимые условия оптимальности решения. При выпуклости, эти условия являются и достаточными.

Глава 2. Решение социально-экономических задач в математическом пакете Maple

Рассмотрим примеры решения задач на дифференциальных и разностных уравнениях главы 1 в математическом паке Maple.

2.1 Задачи, подчиняющиеся закону естественного роста

1. Задача Бернулли о кредитовании. Пусть заимодавец платит кредитору p% процентов от занятой суммы y₀ за год; сколько он должен уплатить за год за каждую единицу занятой суммы, если проценты нарастают непрерывно?

Решение. Поскольку проценты нарастают непрерывно, то скорость y'(t) изменения величины долга y(t) в момент времени t пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Следовательно, закон изменения долга описывается дифференциальным уравнением (1).

Найдем общее решение этого уравнения. Разделяя переменные в уравнении (1), имеем

После интегрирования обеих частей находим

Откуда следует, что общим решением уравнения (1) является показательная функция

.

Поскольку ежегодный прирост величины y(t) составляет p%, то скорость изменения величины составляет от и коэффициент . Кроме того, по условию задачи. Поэтому сумма, которую заимодавец должен уплатить кредитору от занятых денежных единиц за t лет, составит

От каждой единицы занятой суммы заимодавец обязан уплатить . А за год эта сумма составит денежных единиц.

Уравнение (9) с может быть применено не только при изучении кредитования. Оно применяется всякий раз, когда скорость изменения некоторой величины y(t) прямо пропорциональна ее значению в данный момент времени t, а ежегодный прирост равен p%.

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.

2. Задача истощения ресурсов. В настоящее время для обеспечения пищей одного человека необходима площадь 0,1 га. На земном шаре 4000 млн га земли. Поэтому население его должно быть, если не учитывать в будущем новых источников пищи, ограничено количеством 40000 млн человек.

Когда будет достигнут этот предел насыщения населения, если оно непрерывно растет со скоростью 1,8% в год?

Решение. Согласно формуле (19), закон роста населения можно выразить следующим образом:

.

За t = 0 возьмем 1999 год, когда население Земли составило 6 * 10⁹ человек. Тогда

.

Ищем такое t, чтобы

Тогда

,

откуда

.

Логарифмируя последнее равенство, имеем

,

откуда лет.

Итак, примерно в 2104 г. мир достиг бы предела насыщения, если бы сохранился темп роста населения.

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.



3. Задача роста денежного вклада в сбербанке. В какую сумму обратилась бы копейка в 2000 году, если бы ее положили в сберегательный банк в первый год нашей эры под 5% годовых? Предполагается, что денежные реформы не проводятся, а приращение начисляется непрерывно.

Решение. Так как скорость изменения денежного вклада составляет 0,05 от накопившейся суммы, то коэффициент k=0,05. Поэтому соответствующее дифференциальное уравнение имеет вид:

.

Решением является функция .

При t=2000 получим коп. или руб.

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.



4. Задача вывода правила величины 70. Вывести правило величины 70 и ответить на вопрос: почему в правиле фигурирует именно число 70, а ни какое-либо другое?

Решение. При ежегодном уровне инфляции в p% коэффициент пропорциональности k будет равен p/100. Поэтому общий уровень цен согласно уравнению естественного роста можно вычислить по формуле:

.

При удвоении уровня цен будем иметь:

,

.

Найдем, теперь, количество лет t, необходимых для удвоения уровня цен. Для этого выразим из последней формулы t. В результате получим

.

Поскольку , можно принять, что .

Формула получена. В числителе этой формулы стоит 70, так как . Если речь шла об утроении цен, то в числителе соответствующей формулы стояло бы не 70, а 110, так как в этом случае имели бы

,

a .

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.

5. Задача модели естественного роста выпуска. Найти закон роста выпуска дефицитной продукции в условиях ненасыщаемости рынка.

Решение. Обозначим через y(t) количество продукции, произведенной в момент времени t. Будем предполагать, что продукция продается по фиксированной цене p и моментально раскупается. Тогда в момент времени t доход составит . Поскольку предприятие получает прибыль от реализации своей продукции в течении долгого времени, то ему выгодно расширять производство. Пусть на инвестиции i(t) в производство расходуется m-я часть указанного дохода, то есть:

.

В результате расширения производства будет получен прирост дохода, m-я часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска, причем скорость выпуска y'(t) пропорциональна увеличению инвестиций, то есть:

.

Подставив (21) в (20), получим дифференциальное уравнение естественного роста

.

Решением его является экспоненциальная функция , которая показывает как быстро можно добиться огромных объемов выпуска дефицитной продукции, если постоянно направлять часть дохода в расширение производства.

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.

2.2 Задачи роста в социально-экономической сфере с учетом насыщения

1. Задача роста населения Земли. Определить как будет меняться рост населения Земли y(t) в условиях насыщения.

Решение. Согласно Ферхюльсту величина y(t) в условиях насыщения удовлетворяет дифференциальному уравнению:

,

.

Проинтегрировав это соотношение, имеем

,

то есть

.

Отсюда получим, что

.

Таким образом, рост в условиях насыщения описывается функцией (22). Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.



2. Задача роста производства с учетом инвестиций. Государство решает перечислить в течении двух лет в только созданное предприятие и расширение его производства денежную сумму 20 тыс. условных единиц. При этом оно должно выбрать одну из непрерывных схем финансирования, изображенных на рис. 2:

Первая схема. Перечислять каждый год по 10 тыс. у.е.

Вторая схема. Перечислить в первый год все 20 тыс. у.е., и во второй год не перечислять ничего.

(По оси ординат единице соответствует 10 тыс. у.е.)

Рис. 2. Две схемы инвестирования.

Какую из двух схем инвестирования должно выбрать государство, чтобы предприятие выпустило больший объем продукции?

Решение. Предприятие начинает с нуля и еще не в состоянии делать инвестиции. Поэтому считаем, что у(0)=0. Государство вкладывает в каждый момент времени t сумму в u(t) денежных единиц. Поскольку в нашей упрощенной модели предполагается, что с момента создания первые же денежные инвестиции позволяют выпускать предприятию свою продукцию, то количество выпущенной продукции y(t) в денежном эквиваленте выражается уравнением

, .

1. Для первой схемы инвестирования имеем

, при

т.е. ,,

откуда , при .

Объем Y₁, выпущенной продукции за два года равен площади фигуры под графиком функции y(t). Площадь этой фигуры, представляющей собой треугольник (рис. 3), равна 2:

(20 тыс. у.е.).

2. Для второй схемы инвестирования имеем:

, при ,

, при ,

т. е.

при

при

откуда

при ,

при



Рис. 3. Объем выпущенной продукции по двум схемам инвестирования.

Объем Y₂ продукции, выпущенной за два года по второй схеме инвестирования, равен площади трапеции (рис.3). Стало быть, Y₂ = 3 (30 тыс. у.е.).

По второй схеме инвестирования предприятие выпустит продукции на общую сумму на 10 тыс. у.е. больше. Таким образом, вторая схема инвестирования выгоднее.

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.

2.3 Задачи на применение экономико-математического моделирования

1. Решение уравнения Хикса. Предположим, что a=1,25, m=0,95, n=0,1. Тогда уравнение Хикса примет вид

.

Найдем частное решение. Положив и подставив в (24), получим

, .

Частное решение . Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения.

Корни характеристического уравнения

равны 1,1±0,2i.

Этим корням соответствуют линейно независимые решения вида

,

где . После округления получим

.



Рис. 4. Модель Самуэльсона-Хикса

Таким образом, общим решением однородного уравнения является функция

,

где С₁ и С₂ - Произвольные константы. Следовательно, общим решением уравнения (24) будет функция

.

График этой функции при С₁=С₂=1 и N изображен на рис. 4.

Приведем листинг решения дифференциальной задачи в Maple.



Заключение

Во время написания данной работы нами были изучены примеры применения дифференциальных и разностных уравнений в социально-экономической сфере и приведены примеры их решения в математическом пакете Maple.

Необходимо отметить, что при использовании моделей естественного роста в социальных науках надо иметь в виду, что темпы роста, описываемые первоначально экспоненциальной функцией, в дальнейшем замедляются, наступает период насыщения. Экстраполяция этих показателей при условиях естественного роста часто приводит к заведомому абсурду. Например, рост числа научных работников в индустриально развитых странах в недавнем прошлом описывался экспоненциальной функцией. Экстраполяция привела бы к тому, что уже в ближайшие десятилетия численность научных работников должна была бы превзойти население страны.

Харрод и Домар считали, что можно добиться устойчивого роста не только объемов выпуска дефицитной продукции предприятия, но и также всей мировой рыночной экономики. Харрод считал, что устойчивый темп роста производства обеспечивается естественным ростом населения и естественным ростом производительности труда. Третьим фактором роста Харрод считал размеры накопления капитала, норма накопления которого должна быть постоянной.

Модель Самуэльсона - Хикса предполагает, что рост потребления c(t) (consumption) запаздывает от роста национального дохода у, т.е. что

где m (marginal) - предельная склонность к потреблению (показывает на сколько увеличится потребление при увеличении текущего дохода на единицу ()), a n - автономное потребление.

Предполагается также, что предприниматели осуществляют инвестиции i(t) (investments) после того, как убедятся в том, что приращение национального дохода устойчиво.

Модель Саймона является формализацией некоторых постулатов теории малых групп Д. Хоманса. Эти постулаты согласно Д. Хомансу таковы:

1. Если деятельность изменяется, то взаимодействие, вообще говоря, также изменяется, и обратно.

2. Лица, которые часто взаимодействуют друг с другом, стремятся любить друг друга.

3. Если взаимодействие между членами группы часто осуществляется во внешней системе, чувство любви между членами растет, и это чувство, в свою очередь, способствует проявлению взаимодействия во внешней системе.

4. Лица, которые имеют чувство любви друг к другу, будут выражать это чувство сверх деятельности внешней системы, и эта деятельность в дальнейшем будет усиливать чувство любви.

5. Чем более часто люди взаимодействуют друг с другом, тем более в некотором отношении они становятся похожими как в своей деятельности, так и в чувствах.

Литература

1. Варламов А.С. Совершенствование управления ассортиментом на современных производственных предприятиях. - Ч.: Изд-во Челябинского. ун-та, 2009. - 74 с.

2. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. - 464с.

3. Котлер Ф. Армстонг Г. Сондерс Д. Вонг В.Основы маркетинга: Пер. с англ. 2-е европ.изд.: Учеб. пособие. - М.: Изд.дом «Вильямс», 2000. - 208 с.

4. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.П. Математические методы в экономике: Учебник. Изд. 2-е. - М.: Дело и сервис, 2010. - 368 с.

5. Коршунова П. П., Плясунов В. С. Математика в экономике: Учеб. пособие. - М.: Вита-Пресс, 2009. - 368 с.

6. Красе М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. - М.: ИНФРА-М, 2010 - 464 с. (Серия «Высшее образование»).

7. Кремер П. Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.П. Высшая математика для экономистов: Учеб. пособие для вузов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 2009. - 439 с.

8. Солодовников А.С, Бабайцев В.А., Браилов А.В., Шандра И.Г. Математика в экономике: Учебник в 2-х ч. 4.2. - М.: Финансы и статистика, 1011. - 376 с.

9. Большой экономический словарь: Под ред. А.Н. Арилияна. Изд. 5-е дополненное и переработанное. - М.: Институт новой экономики, 2012. - 1280с.

10. Ассэль Г. Маркетинг: принципы и стратегия: Учебник для вузов.

- М.:ИНФРА-М, 2001. - 607с.

11.Афоничкина А.Н. Разработка бизнес-приложений в экономике на базе MS EXCEL. - М.: Диалог-МИФИ, 2003. - 216с.

Размещено на Allbest.ru