Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Національний авіаційний університет

Інститут інформаційно - діагностичних систем

КУРСОВА РОБОТА

"Оптимальна лінійна фільтрація"

Київ - 2008

ВСТУП

В даній курсовій роботі досліджується оптимальний метод фільтрації сигналів, приділяється увага визначенню операторної функції оптимального фільтра та впливу „білого шуму" на вихідний сигнал, аналізуються основні характеристики згладжуючого лінійного фільтра.

Частотно-виборчу систему, виконуючу обробку суми сигнала і завади деяким найкращим чином, називають оптимальним лінійним фільтром.

Якщо прийом сигналу виконується на фоні білого шуму, то з точністю до амплітудного множника і постійної затримки передаточна функція узгодженого фільтра являє собою функцію, комплексно-спряжену зі спектром корисного сигналу. Отже, частотна характеристика узгодженого фільтра цілком визначається спектром сигнала, а імпульсна характеристика фільтра - формою сигнала („узгоджена" із сигналом). Характерно, що відношення сигнал/завада на виході узгодженого фільтра визначається тільки відношенням енергії сигнала до спектральної щільності завади і не залежить від форми сигнала.

Амплітудно-частотна характеристика узгодженого фільтра пропорціональна амплітудно-частотному спектру очікуємого сигналу. Збіг форми амплітудно-частотної характеристики фільтра з амплітудним спектром сигнала забезпечує найкраще виділення найбільш інтенсивних ділянок спектра сигнала. Слабі ділянки спектру сигнала фільтер послаблює; інакше, наряду з ними проходили б інтенсивні завади. При цьому форма сигналу на виході фільтру здається викривленою. Проте це не має значення, так як задача фільтра в даному випадку стоїть не в точному відтворенні вхідного сигналу, а у найкращому виділенні піку сигнала на фоні шуму.

1. Пояснювальна записка

1.1 Завдання № 1

На вхід оптимального фільтра подається адитивна суміш "корисного" сигналу s_вх(t), що виникає в момент часу , і "білого шуму" зі спектральною щільністю потужності N₀.

Необхідно:

1) визначити імпульсну реакцію і операторну функцію узгодженого фільтра;

2) знайти максимальне відношення сигнал/шум на виході фільтра та кореляційну функцію відгуку;

3) зобразити графічно імпульсну реакцію разом із сигналом і АЧХ фільтра разом з амплітудно-частотним спектром (АЧС) вхідного сигналу s_вх(t).

4) Методичні вказівки.

Вид вхідного сигналу наведено на рисунку 1.

Рисунок 1. Вид вхідного сигналу s_вх(t).

Параметри імпульсу знаходять так:

(1.1) U₀=; (1.2)

де: - передостання цифра номера залікової книжки;

- остання цифра номера залікової книжки;

- тривалість імпульсу, виражено в секундах;

- амплітуда імпульсу, виражено у вольтах.

Значення спектральної щільності шуму N₀ визначають по формулі:

N₀=10^-6 (B² (1.3)

Імпульсна реакція узгодженого фільтра _узг(t) являє собою масштабну копію вхідного сигналу s_вх(t), що розгортається в зворотному порядку вздовж вісі часу і визначається за формулою:

_узг(t)=ks_вх(t₀-t) (1.4)

де: - довільний коефіцієнт, що визначає рівень підсилення, внесеного фільтром;

- момент часу, коли сигнал на виході фільтра досягне свого максимального значення.

При визначенні _узг(t) у загальному виді і при побудові графіків треба задаватися конкретними значеннями і (необхідно задаватися значеннями: та ).

Операторна функція визначається спектром вхідного сигналу S_вх(j, що знаходиться за допомогою перетворення Фур'є:

S_вх(j=_вх(t)dt;

Визначивши S_вх(j, знаходимо

K_узг(j)=k(j _; t₀=₁

де: - функція, комплексно спряжена з S_вх(j.

Для графічної побудови АЧС вхідного сигналу й АЧХ узгодженого фільтра необхідно знайти модулі S_ex(щ) і ,які і будуть являти собою АЧС і АЧХ відповідно. Модуль комплексної функції визначають як корінь квадратний, взятий зі знаком "+" із суми квадратів дійсної і уявної частин.

Максимальне відношення сигнал/шум на виході фільтра буде в момент часу t=t₀ і визначається воно співвідношенням:

фільтрація сигнал шум амплітудний

(1.7)

1.2 Завдання №2

На вхід фільтра надходить адитивна суміш

x(t)=s(t)+n(t),

де n(t)- перешкода, яка описана випадковим стаціонарним процесом зі спектральною щільністю S_n(щ)=N, _00, s(t) незалежний від n(t) сигнал, який описаний стаціонарним випадковим процесом з нульовим математичним сподіванням a_s=0 і кореляційною функцією К_s (ф).

Визначити передаточну функцію Н(щ) згладжуючого лінійного фільтра та обчислити відповідний до нього мінімальний середній квадрат помилки . Зобразити графічно:

-кореляційні функції К_s (ф), К_п(ф) та К_х(ф);

-спектральні щільності S_s(щ) та S_x(щ);

-амплітудно-частотну характеристику згладжуючого фільтра H().

Методичні вказівки:

Рівень спектральної щільності,N=m²10^-2 ,де m - передостання цифра номера залікової книжки;частота , де а - остання цифра номера залікової книжки. Якщо m або а дорівнюють нулеві, то обирається число 10. Вид кореляційної функції визначається з таблиці 2 за останньою цифрою номера залікової книжки.

Передаточна функція оптимального фільтра знаходиться за формулою

H()=

W_S(j) - спектральна щільність потужності корисного сигналу s(t), яку можна знайти на основі перетворення Фур'є кореляційної функції

W_ss

- модуль спектральної щільності потужності суміші .Так як s(t) та n(t) статистично незалежні, то

W_n- модуль спектральної щільності потужності перешкоди.

W_n

2. Основна частина

2.1 Аналіз основних характеристик оптимального фільтра

Приймаємо m = 6; n = 9. Тоді параметри вхідного імпульсу:

щільність спектральної потужності "білого шуму"

В амплітуда імпульсу

с тривалість сигналу

Вхідний сигнал s_вх(t) за варіантом 70 має вигляд:

Рисунок 1.1. Вхідний сигнал s_вх(t).

Вхідний сигнал можна описати за допомогою наступного математичного рівняння:



Так як імпульсна реакція узгодженого фільтра являє собою масштабну копію вхідного сигналу, що розгортається в зворотньому порядку вздовж вісі часу, то відповідно до формули (1.4) маємо:

Графік імпульсної реакції узгодженого фільтра ц_узг(t) показаний на рис. 1.2

Рисунок 1.2. Графік імпульсної реакції узгодженого фільтра .

Операторна функція K_узг(jf) визначається спектром вхідного сигналу , що знаходиться за допомогою перетворення Фур'є, відповідно до формули (1,5):



Графіки АЧС вхідного сигналу та АЧХ узгодженого фільтра зображені відповідно на рисунках 1.3 та 1.4.

Рисунок 1.3. АЧС вхідного сигналу

Визначивши знаходимо за формулою (1.6) .



Для графічної побудови АЧХ узгодженого фільтра необхідно знайти модуль |K_узг(jf)|. Як і в попередньому випадку, модуль комплексної функції визначимо як корінь квадратний, взятий зі знаком „+" із суми квадратів дійсної та уявної частин. Отримуємо :

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.4. АЧХ узгодженого фільтра.

Максимальне відношення сигнал/шум на виході фільтра визначимо за формулою (1.7), тобто:

2.2 Аналіз характеристик згладжуючого лінійного фільтра

Приймаємо m = 6; a = 9. Тоді:

Рівень спектральної щільності

Задана кореляційна функція корисного сигналу К_s (ф) має вигляд:

Графік функції К_s (ф) зображено на рисунку 2.1.

Рисунок 2.1. Графік кореляційної функції корисного сигналу .

Для знаходження операторної функції оптимального фільтра ( за формулою (2.1) знайдемо W_S(jf) - спектральну щільність потужності корисного сигналу s(t) - за формулою (2.2).

Будуємо графік спектральної щільності потужності корисного сигналу WS(f):

Рисунок 2.2. Графік спектральної щільності потужності корисного сигналу W_S(f)

Побудуємо графік W_n- модуль спектральної щільності потужності перешкоди.



За формулою (2.3) визначимо Wx(f) - спектральну щільність потужності суміші :

Графік функції Wx(f) зображено на рисунку 2.3.

Рисунок 2.3. Графік спектральної щільності потужності суміші .

Тепер за формулою (2.1) знайдемо операторну функцію оптимального фільтра. Отримуємо:

Графік операторної функції оптимального фільтра H(jf). ображений на рисунку 2.4.

Рисунок 2.4. Графік операторної функції оптимального фільтра H(jf).

Визначимо середньоквадратичну похибку вірного виділення прихованого завадою сигналу за формулою:

(2.4)

При даному значенні воно буде становити:

Для визначення кореляційної функції перешкоди приймаємо:



Будуємо графік кореляційної функції перешкоди .

Рисунок 2.5. Графік кореляційної функції перешкоди .

Кореляційна функція суміші

Рисунок 2.6. Графік кореляційної функції ..

ВИСНОВКИ

В цій курсовій роботі було досліджено граничний випадок оптимального по співвідношенню сигнал/завада фільтра - узгоджений фільтр, який при t₀=0 здійснює оптимальну фільтрацію, а при t₀>0 - оптимальний прогноз; визначено його характеристичні параметри; побудовано графіки функцій. Так, імпульсна реакція оптимального фільтра має форму сигналу, що розповсюджується в зворотному напрямку, починаючи з фіксованого моменту часу t₀ , який і забезпечує максимальне відношення сигнал/завада (Q₀=2.316), тобто, повністю визначається тільки сигналом, що приймається, „узгоджується" з цим сигналом. А так як форма амплітудно-частотної характеристики узгодженого фільтра збігається з амплітудним спектром сигналу, то можна твердити, що наш фільтр є дійсно узгодженим. Цей збіг забезпечує найкраще виділення найбільш інтенсивних ділянок спектра сигналу.

Одним з найважливіших параметрів фізично реалізованого фільтра є операторна функція узгодженого фільтра. Вірність виділення прихованого завадою сигналу визначає середньоквадратична похибка в даній курсовій роботі становить ² = 0.016.

CПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высш. шк., 1988. - 448 с.

Г.БЕЙТМЕН, А.ЭРДЕЙИ. Таблицы интегральних преобразований. Том 1, Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Серия СМБ,-М.,1969. - 343 с.

ЛЕВИН Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. В 3-х кн. Кн. 2. - М.: Сов. радио, 1976. - 392 с.

МАРЧЕНКО.Б.Г. ПРИЙМАК М.В. ЩЕРБАК Л.М. Теоретичні основи аналізу стохастичних сигналів і шумів. Навчальний посібник.- Тернопіль, 2001. 179с.

Н.С.БЕДНЫЙ, И.Ф.БОЙКО, Б.Г.МАРЧЕНКО. Основы статистического анализа случайных сигналов в радиотехнике. Конспект лекций. Киев 1998г.164 с.

ТИХОНОВ В.И. Статистическая радиотехника. - М.: Радио и связь, 1982.

Размещено на Allbest.ru