Робастне керування

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Вступ

Теорія автоматичного управління розвивається як в напрямку більш повного і глибокого аналізу функціонування та ефективності автоматичних систем та пристроїв при врахуванні реальних режимів роботи і діючих збурень, так і в напрямку розробки методів синтезу оптимальних систем управління. Ці загальні напрямки теорії систем управління отримали особливий розвиток з появою швидкодіючих електронних обчислювальних машин, що дозволяють реалізувати складні обчислювальні алгоритми аналізу та синтезу систем управління.

Розвиток теорії автоматичного управління с кінця 50-х років в значній мірі пов'язана з роботами Р. Калмана та Р. Бьюсі з оптимальної лінійної фільтрації, а також А. М. Лєтова та Р. Калмана по синтезу лінійних динамічних систем, оптимальних по квадратичному критерію якості. Данні роботи сформулювали теоретичні основи основи для широкого використання теорії в різноманітних областях науки та техніки і дозволили вирішити принципіально нові теоретичні та прикладні задачі.

В той же час, практика застосування теорії оптимальних систем при вирішенні конкретних технічних задач показала, що оптимальні системи, синтезовані по квадратичному критерію якості, являються чутливими до параметрів моделі реального об'єкту і характеристикам вхідних дій, тобто вони є не грубими, і іноді втрачають не тільки оптимальність, але й здатність працювати взагалі в тих випадках, коли апріорна інформація про об'єкт й зовнішнє середовище відома не точно, а лише з деякою достовірністю.

Це призвело до того, що на початку 80-х років стали виникати постановки оптимальних задач управління, які б змогли уникнути вищевказаних недоліків.

Сучасний період розвитку теорії керування характеризується постановкою та вирішенням задач, враховуючих неточність наших знань про об'єкти управління і діючих на них збурень. Задачі синтезу регулятора і оцінки стану з врахуванням невизначеності в моделі об'єкту і характеристиках вхідних дій є одними з центральних в сучасній теорії керування. Їхня важливість передусім тим, що практично у будь-якій задачі інженерній задачі конструювання системи керування існує невизначеність (або помилка) в моделі об'єкту (математична модель об'єкта, отримана на основі теорії або в результаті ідентифікації, відрізняється від реальної технічної системи) та в визначенні типу вхідних збурень.

Основна і принципово нова ідея по синтезу робастного керування полягала в тому, щоб єдиним регулятором забезпечити стійкість замкнутої системи не тільки для номінального (без урахування помилок моделі) об'єкта, але і для будь-якого об'єкту, що належить множині «збурених» об'єктів, визначуваних класом невизначеності.

Початком побудови більш строгої класичної теорії робастного керування, поширеної на багатомірні системи, стала стаття Зеймса, в якій був запропонований новий критерій оптимальності на основі Н?-норми багатомірної передаточної функції замкнутої системи. Використання Н?-норми в якості критерію оптимальності при синтезі багатомірних систем засновано на тому факті, що Н?-норма може бути мірою підсилення системи. Н?-норма передаточної функції є енергією виходу системи при подачі на вхід сигнала з одиночною енергією. Якщо виходом є помилка, а входом - збурення, то мінімізуючи Н?-норму передаточної функції, ми мінімізуємо енергію помилки для найгіршого випадку вхідного збурення. В скалярному випадку норма такої функції кінечна і дорівнює максимальному значенню амплітудно-частотної характеристики.

Таким же важливим першоджерелом для сьогоднішнього рівня розуміння проблеми є стаття Дойла та Стейна, яка поклала початок проблемі грубого або робастного керування для моделі, ладанної в умовах невизначеності.

В 1989 році на основі ряду ключових результатів була сформована нова концепція підходу до вирішення задачі Н?-оптимізації, що отримала назву «2-Ріккаті підхода». Суть підходу полягала в тому, що оптимальна задача замінялася субоптимальною. Метод «2-Ріккаті підходу» поєднує в собі класичну теорію автоматичного управління і метод простору станів, а саме: постановка задачі відбувається в частотній області,а її рішення реалізується з використанням методу простору станів. Крім того, даний метод дозволяє розробникам в процесі проектування задавати будь-які характеристики якості та робастної стійкості замкнутої системи.

В рамках «2-Ріккаті підходу» шуканий оптимальний регулятор в формі спостерігача визначається на основі рішення двох багатомірних рівнянь для фільтрації і оптимального керування в сенсі мінімума Н?-норми замкнутої системи. Регулятори, синтезовані з використанням даного критерію оптимальності, забезпечують стійкість замкненої системи й мінімальну чутливість до збурень. В даний час процедури синтезу Н?-регуляторів в рамках «2-Ріккаті підходу» прийняті в якості стандарту.

робастне керування управління

2. Норми сигналів та систем

Один із напрямків описати якість системи керування - описати її в термінах деяких сигналів. Далі буде розглянуто деякі способи визначення величини сигналу, тобто деякі норми сигналів. Також будуть розглянуті норми передавальних функцій.

2.1 Норми сигналів

Розглянемо сигнали (функції) визначені на інтервалі (-?,?). Передбачається, що вони кусково-неперервні. Для норм існують певні аксіоми:

Розглянемо норми сигналів:

1. 1-норма сигналу u(t) визначається за формулою:

2. 2-норма сигналу u(t) визначається за формулою:

3. ?-норма сигналу u(t) визначається як верхня границя його абсолютної величини:

Наприклад , ?-норма дорівнює 1.

2.2 Норми систем

Розглядаються системи, які є лінійними, стаціонарними та казуальними. В часовій області вхід-вихідна модель для таких систем має вигляд рівняння звертки

Казуальність означає, що . Через W(s) позначимо передавальну функцію, перетворення Лапласа від k.

Введемо дві норми для передавальної функції W:

1. 2-норма передавальної функції визначається формулою

2. ?-норма передавальної функції визначається формулою

?-норма дорівнює відстані від початку координат до найбільш віддаленої точки діаграми Найквіста для W на комплексній площині. Ця величина також зявляється як найбільше значення графіку Боде для W. Наведемо важливу властивість ?-норми:

3. Робастність та невизначеність

Проектування робастних систем управління - одна із складних проблем сучасної теорії управління. Властивість систем управління забезпечувати стійкість при варіації параметрів об'єкту управління в певних межах називається робастною стійкістю. Відзначимо, що стійкість є одним з найважливіших властивостей систем управління, але не єдиним. Такі важливі характеристики управління як точність, час регулювання, перерегулювання повинні забезпечуватися також на прийнятному рівні. Властивість системи управління виконувати задані вимоги на якість при варіації параметрів об'єкту управління можна визначити як властивість робастності в ширшому сенсі, ніж робастная стійкість. Обмеження на якість управління можуть призначатися як в часовыйї, так і в комплексный області.

Робастне керування -- сукупність методів теорії управління, метою яких є синтез такого регулятора, який забезпечував би хорошу якість управління (наприклад, запас стійкості), якщо об'єкт управління відрізняється від розрахункового або його математична модель невідома. Таким чином, робастність означає малу зміну виходу замкнутої системи управління при зміні параметрів об'єкту управління. Системи, що володіють властивістю робастності, називаються робастними системами. Зазвичай робастні регулятори застосовуються для управління об'єктами з невідомою або неповною математичною моделлю, і що містять невизначеності.

3.1 Задача робастного управління

Головним завданням синтезу робастних систем управління є пошук закону управління, який зберігав би вихідні змінні системи і сигнали помилки в заданих допустимих межах не дивлячись на наявність невизначеностей в контурі управління. Невизначеності можуть приймати будь-які форми, проте найбільш істотними є шуми, нелінійності і неточності в знанні передавальної функції об'єкту управління.

Рис. 3.1. Канонічна задача робастного керування

Загальна канонічна задача робастного управління математично описується в наступному вигляді: нехай передавальна функція об'єкту управління -- Р(s). Необхідно синтезувати такий контроллер з передавальною функцією F(s), щоб передавальна функція замкнутої системи задовольняла наступній нерівності, яка називається критерієм робастності:

Де

- матриця невизначеностей

- n-е сингулярне число матриці

можна розглядати як «розмір» найменшої невизначеності на кожній частоті, яка може зробити систему нестійкої. Для того, щоб внести до робастного синтезу вимоги за якістю управління, використовується фіктивна невизначеність . При її відсутності задача стає задачею забезпечення робастной стійкості. У робастному аналізі потрібно знайти, як границю стійкості, в робастному синтезі потрібно визначити передавальну функцію регуляора для відповідності критерію робастності.

3.2 Поняття робастності в теорії управління

Синтез систем високої точності в умовах невизначеності є класичною проблемою теорії управління. Основи вирішення цієї проблеми були закладені на початку 1930-х років Г. С. Блеком і X. У. Боде у зв'язку з аналізом чутливості систем зі зворотним зв'язком. З тих пір було опубліковано велику кількість робіт, які розглядають дану проблему. Від проектувальника потрібно, щоб створювана ним система функціонувала належним чином у широкому діапазоні зміни невизначених параметрів. Кажуть, що система є робастною, якщо вона володіє достатньою надійністю, грубістю і гнучкістю.

Звичайні методи синтезу систем управління припускають, що моделі об'єкта і регулятора відомі і вони мають сталі параметри. Проте модель реальної фізичної системи завжди буде неточною з наступних причин:

· Зміна параметрів в силу тих чи інших обставин

· Динамічні властивості, не враховані в моделі

· Не враховане запізнювання за часом

· Зміна положення робочої точки (положення рівноваги)

· Шум датчика

· Непередбачувані зовнішні збурення

Метою синтезу робастної системи є гарантія необхідної якості незалежно від похибок і зміни параметрів моделі. Система, що володіє допустимими змінами якості при зміні або неточності її моделі, називається робастною.

Робастна система управління володіє необхідною якістю незважаючи на істотну невизначеність характеристик об'єкта управління.

Структура системи, що включає потенційні невизначеності, зображена на рис. 12.1. Дана модель враховує шум датчика N (s), непередбачуване збурення D (s) і об'єкт управління G (s) з неврахованою динамікою або параметрами, схильними до зміни. Всі ці фактори можуть бути дуже значними, тому проблема полягає в тому, щоб система, синтез якої проводится, зберігала бажану якість.

Рис. 3.2. Структурна схема замкнутої структури керування

Від робастної системи потрібно, щоб вона (1) володіла низькою чутливістю, (2) зберігала стійкість і (3) задовольняла вимогам, що пред'являються до її якості, у досить великому діапазоні зміни її параметрів. Робастність по суті характеризується чутливістю системи до чинників, які не враховувалися на етапах аналізу і синтезу - наприклад, до збурень, шуму датчика і не відображених у моделі системи параметрів, що впливає на її динаміку. Система повинна бути здатна протидіяти впливу цих факторів при виконанні завдань, заради яких вона проектувалася.

При малих змінах параметрів , в якості міри робастності можна використовувати диференціальні чутливості.

Чутливість системи визначається так:

де а - параметр, а Т - передавальна функція системи.

3.3 Невизначеність об'єкта

В поняття невизначеності об'єкту вкладається: неточно задані коефіцієнти керування, або невраховані похідні в описі обєкту, або щось інше, що відповідає різниці вибраної математичної моделі та реальної системи. Невизначеність об'єкта зручно виражати в термінах приналежності об'єкту до деякої множини. Множину невизначеностей об'єкта можна поділити на структурну та не структурну.

Для прикладу структурної множини розглянемо наступну модель об'єкту:

Нехай константа відома з точністю до приналежності до певного інтервалу . Тоді об'єкт належить структурній множині

Таким чином один з типів структурної невизначеності папраметризований кінечним числом скалярних параметрів. Іншим типом структурної невизначеності може бути дискретна множина об'єктів, не обов'язково параметризована.

Однак більш важливим типом невизначеності є неструктурна невизначеність, через те, що всі моделі, що використовуються при синтезі керування зі зворотнім зв'язком, повинні включати певну невизначеність, для того щоб врахувати немодельовану динаміку. Неструктурні невизначеності зазвичай є елементами, залежними від частоти, такі як, наприклад, насичення в силових лініях або збурення в низькочастотної області АФЧХ об'єкту управління. Дія неструктурних невизначеностей на номінальний об'єкт управління може бути як адитивною, так і мультиплікативною.

Загальний підхід, сформульований в канонічній задачі робастного управління дозволяє виявити на етапі проектування як структурні, так і неструктурні невизначеності, і використовувати їх в процесі синтезу робастного регулятора.

3.4 Робастний синтез

Синтез систем високої точності при наявності істотної невизначеності об'єкта змушує проектувальника шукати рішення в класі робастних систем. Робастна система має малу чутливістю і зберігає стійкість при зміні її параметрів в широкому діапазоні. Метою робастного синтезу є проектування такого контролера, який би задовольняв критерію робастності.

Синтез робастних систем управління включає в себе два завдання: визначення структури регулятора і налаштування його параметрів з метою отримати «оптимальну» якість системи. Процедура синтезу зазвичай виконується в припущенні про наявність «повної інформації про об'єкт». Крім того, об'єкт зазвичай представляється у вигляді лінійної неперервної моделі з постійними параметрами. Структура регулятора вибирається так, щоб реакція системи задовольняла певним критеріям якості.

При постановці задачі синтезу одне з можливих вимог може полягати в тому, щоб вихідна змінна системи миттєво і точно відтворювала всі зміни вхідного сигналу. Це означає, що передавальна функція системи повинна дорівнювати одиниці. Інший варіант постановки задачі може включати вимогу мінімізувати вплив збурень на вихідну змінну системи. Завдання синтезу робастної системи в частотній області пов'язана з визначенням такого регулятора G (s), при якому чутливість замкнутої системи була б менше деякого припустимого значення, а мінімізація чутливості вимагає вибору такого регулятора, щоб ця чутливість була рівна або досить близька до мінімального значення. Аналогічно, завдання забезпечення заданого запасу стійкості по модулю пов'язана з відшукання відповідного регулятора, а максимізація запасу по модулю знову-таки вимагає вибір такого регулятора, при якому цей запас був би найбільш близький до максимального.

Починаючи з 50-х років XX століття було розроблено ряд процедур і алгоритмів, що дозволяють вирішити завдання робастного синтезу. Робастні системи управління можуть поєднувати риси як класичного управління, так і адаптивного і нечіткого. Нижче представлені основні технології синтезу робастних систем управління:

1. H2-синтез - метод працює як із стійкістю, так і з чутливістю системи. До переваг методу можна віднести такі аспекти: замкнутий контур завжди стійкий, точне формування передавальної функції контролера. До недоліків - велику кількість ітерацій.

2. LQG-синтез - лінійно-квадратичне управління Гауса(англ. Linear quadratic Gaussian control, LQG control) -- набір методів і математичного апарату теорії управління для синтезу систем управління з негативним зворотнім зв'язком для лінійних систем з аддитивним шумом гауса. Синтез проводиться шляхом мінімізації заданого квадратичного функціоналу. Метод використовує доступну інформацію про шуми, але при цьому не гарантується запас стійкості, потрібна точна модель об'єкту,виконується велика кількість ітерацій.

3. LQR-синтез - лінійно-квадратичний регулятор (англ. Linear quadratic regulator, LQR) -- в теорії управління один з видів оптимальних регуляторів, що використовує квадратичний функціонал якості. Переваги методу - гарантоване забезпечення робастної стійкості, без інерційний регулятор. Недоліки - потрібний зворотний зв'язок по всьому вектору стану, потрібна точна модель об'єкту, велика кількість ітерацій .

4. H?-синтез - метод працює як із стійкістю, так і з чутливістю системи. За цим методом замкнений контур завжди стійкий, метод має прямий однопрохідний алгоритм синтезу. Але метод H? вимагає особливої уваги до параметричної робастності об'єкту управління.

4. Використання Н?-теорії

Теорія Н?-оптимізації є узагальненням відомих частотних методів синтезу для систем з одним входом та виходом на багатомірні системи і дозволяє вирішувати широкий спектр задач керування за наявності невизначеностей. Н?-теорія може працювати як з параметричними, так і з зовнішніми збуреннями, при чому про збурення роблять тільки найбільш загальні припущення, наприклад, що вони обмежені по потужності. Н?-норма є ефективним гарантованим показником реакції системи на різноманітного типу дії при наявності невизначеності в описі об'єкту. Створення математичних та технічних методів побудови систем керування при наявності різноманітних невизначеностей складає зміст робастної теорії керування. Прикладом таких підходів може служити задача робастної стабілізації, коли потрібно побудувати регулятор, який при будь-якому збуренні з задоєного класу забезпечував би стійкість замкненої системи.

Алгоритми керування, отримані на основі Н?-теорії, є мінімаксними, і пропонують найкращий регулятор для найгіршого збурення , і через це перевершують алгоритми, отримані без урахування збурень по різноманітним критеріям. З іншого боку, Н?-теорія керування добре працює тільки за наявності припущень, в рамках яких були побудовані алгоритми керування, тобто при наявності неконтрольованих збурень. Якщо ж розробник має інформацію про діючі на систему збурення, то алгоритми, отримані з урахуванням цієї інформації, зазвичай, виявляються кращими, за розроблені за допомогою Н?-теорії

4.1 Стандартна задача Н?-керування

Стандартна задача Н?-керування (часто називається задачею мінімізації енергії виходу) пов'язана з наступної структурною схемою багатомірної системи керування, зображеної на рис.

Рис. 4.1. Стандартна задача

На цій схемі вектор f являє собою вектор зовнішніх збурень, вектор - вектор вимірюваного входу, вектор U - вихідний вектор регулятору та - вектор помилки, котрий потрібно мінімізувати. Матриця передаточних функцій являє собою не тільки сам об'єкт, яким потрібно керувати, але й вагові функції, які додані для забезпечення потрібної якості. Об'єкт такого роду називається узагальненим об'єктом.

Стандартна задача побудови Н?-оптимального керування полягає в побудові керування U, мінімізуючого Н?-норму передаточної функції замкненої системи від входа f до виходу , тобто

Часто оптимальну задачу замінюють субоптимальною: побудувати керування U, яке відповідає нерівності

де - мінімальне значення зі значень в нерівності

Вхід-вихідне співвідношення можна записати наступним виразом

З іншого боку в часовій області мінімальну реалізацію об'єкта можна записати у вигляді системи рівнянь

Тут X - вектор стану, - вектор вимірів, - вектор контролюємих виходів, U - вектор керування, f - зовнішній вхід системи.

Відповідність матричної передаточної функції мінімальній її реалізації в просторі станів записується наступним чином:

4.2 «2-Ріккаті підхід» для вирішення стандартної задачі

Опишемо метод вирішення стандартної задачі мінімізації енергії виходу, наведеної вище. Цей метод на сьогоднішній день є стандартом рішення задач Н?-оптимізації. Використання Н?-норми передавальної функції в якості критерію оптимальності засновано на тому факті, що ця норма - верхня грань коефіцієнта підсилення системи між 2-нормою входа та 2-нормою виходу. Тому Н?-норма - це корінь квадратний з енергії виходу при подачі на вхід збурення з одиничною енергією. Таким чином мінімізація Н?-норми означає мінімізацію енергії помилки для найгіршого випадку вхідного збурення.

Нехай деякий об'єкт управління описується лінійною системою рівнянь:

Тут X - вектор стану, - вектор вимірів, - вектор контролюємих виходів, U - вектор керування, Y- зовнішній вхід системи.

Припустимо, що виконуються наступні твердження:

1. є такими, що стабілізуються і детектуються.

2. є такими, що стабілізуються і детектуються.

(4.8)

Тоді дійсною буде наступна теорема.

Теорема. Регулятор для системи (4.7), який гарантую виконання нерівності

Існує тоді і тільки тоді, коли:

1. - рішення Узагальненого Алгебраїчного Рівняння Ріккаті Керування (англ. Generalized Control Algebraic Equation - GCARE)

2. - рішення Узагальненого Алгебраїчного Рівняння Ріккаті Фільтрації (англ. Generalized Filtering Algebraic Equation - GFARE)

3. Спектральний радіус:

При цьому отримуємо регулятор у формі спостерігача:

Де

Для побудови субоптимального регулятору застосовується ітераційна процедура по г. На кожному кроці вирішується субоптимальна задача , тобто визначається регулятор , для якого:

Де і - номер кроку. Потім величина г зменшується, субоптимальна задача вирішується до тих пір, поки існують невід'ємно визначені рішення алгебраїчних рівнянь Ріккаті GCARE та GFARE і виконується умова на обмеження спектрального радіусу. Отримане в результаті ітераційгної процедури мінімальне значення г, близьке до гmin з заданим ступенем точності, а також рішення використовуються для синтезу робастного Н?-субоптимального регулятору і відповідності із формулами теореми.

Загальний вигляд алгоритму синтезу Н?-оптимального регулятору показана на рис. 4.2.

Рис. 4.2.Блок-схема алгоритму синтезу Н?-оптимального регулятору

5. Висновки

В даній роботі було розглянуто поняття робастності систем управління. Було визначено завдання робастного управління та проведений короткий аналіз методів синтезу робастних регуляторів. Був докладно розглянутий метод синтезу за допомогою Н?-теорії, який отримав розвиток та поширення в останні десятиліття. Була сформована стандартна задача даної теорії, та наведений варіант її вирішення за допомогою «2-Ріккаті підходу».

Список літератури:

1. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление - М.: Наука, 2002. - 303 с.

2. Методы робастного, нейро-нечеткого, и адаптивного управления : Учебник./ Под ред. Н. Д. Егупова - М.: Изд-во МГТУ им Н. Э. Баумана, 2001. - 744с, ил.

3. Дорф Р. - Современные системы управления. Пер. с англ. Б. И. Копылова. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. - 832 с.: ил.

4. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-ти тт.; 2-е изд., перераб. о доп. Т.3: Синтез регуляторов систем автоматического управления/ Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 616 с., ил.

5. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник в 5-ти тт.; 2-е изд., перераб. о доп. Т.4: Методы оптимизации систем автоматического управления/ Под ред. К. А. Пупкова, Н. Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744с., ил.

6. Ротач В. Я. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательство МЭИ, 2004. - 400с., ил.

7. Ротач В. Я. Теория автоматического управления теплоэнергетическими процесами: Учебник для вузов. - М.: Энергоатомиздат. 1985. - 296 с.: ил.

8. Филипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. - 616 с., ил.

Размещено на Allbest.ru