Разработка и исследование алгоритмов обнаружения сигналов с эллипсными несущими

где -- полоса хаотического сигнала, -- характерная ширина спектра модулирующего видеоимпульса. При условии, что длительность модулирующего видеоимпульса удовлетворяет соотношению , то есть импульс содержит более нескольких квазипериодов хаотических колебаний, ширина спектра мощности потока хаотических радиоимпульсов практически совпадает с шириной непрерывного хаотического сигнала.

База хаотического радиоимпульса определяется произведением полосы хаотического сигнала на длительность и может меняться в широких пределах.

1.3.5 Импульсы с линейно-частотной модуляцией (ЛЧМ импульсы)

Сверхширокополосные ЛЧМ-импульсы представляют собой импульсные сигналы, внутри импульса частота меняется по линейному закону либо возрастая, либо убывая

Как отмечалось выше, при создании ШПС используются способы прямого расширения спектра при помощи кодовых последовательностей и д.р., а также излучение сверхкоротких одиночных импульсов без несущего колебания. Однако наряду с этими известными способами получения и обработки широкополосных сигналов, основанных на адекватных преобразованиях традиционного для радиотехники гармонического колебания и сверхкоротких одиночных импульсов без несущего колебания, может представлять интерес использования изначально широкополосных негармонических периодических колебаний. Они могут быть использованы как в качестве несущих колебаний в сочетании с указанными методами получения сложных сигналов, так и в качестве основы для формирования импульсных сигналов с большой базой. В дипломной работе исследуются радиофизические характеристики и особенности приема сверхширокополосных сигналов одной из ряда предложенных и исследованных Ч.Ш. Мастюковым функций вида:

.

Возможность использования, как периодических колебаний, так и одиночных колебаний, может объединить достоинства обоих этих методов. Наличие пяти изменяемых параметров, по сравнению тремя параметрами у синусоидального колебания, обеспечивает большую информативную емкость, большее количество передаваемой информации. За счет дополнительных возможностей для обнаружения и различения, возможно большая помехоустойчивость при воздействии узкополосных помех, прицельных помех и помех со структурой сигнала. Следует отметить, что недостаток селиусоидальных сигналов относятся к их технической реализации как таковой и с улучшением элементной базы (применение СБИС, устройств на ПАВ) они не столь существенны. В свою очередь, достоинства селиусоидальных сигналов - это неотъемлемые их свойства, заложенные в самой природе данного класса сигналов.

Выводы

1. Обзор открытой литературы по существующим видам ШПС показал, что работ, в которых предлагалось бы использование негармонических, периодических функций с различной формой в пределах одного периода - нет. Также, следовательно, и нет исследования и описание их характеристик и свойств.

2. Применение ШПС на практике оправдано и уже успешно реализовано в целом ряде радиотехнических систем и устройств.

3. Поскольку рассматриваемые в данной дипломной работе сигналы являются негармоническими периодическими функциями со своими уникальными свойствами, причем частным их случаем является синусоидальное колебание, то все известные методы модуляции и расширения спектра могут быть применены к рассматриваемым в данной работе сигналам, что позволит в перспективе обогатить радиотехнику новыми большими возможностями.

Таким образом, рассматриваемая работа является актуальной. Но поскольку рассматриваемые сигналы нигде не описаны, прежде чем приступить к исследованию радиофизических характеристик сигналов, необходимо дать математическое описание функций, создающих эти сигналы, которое также поможет дать описание сигналов во временной области. Математической базой для этого является эллипсная тригонометрия.

2. Эллипсная тригонометрия

2.1 Основные положения

Как известно, эллипс является более общей плоской фигурой, чем окружность, и представляет геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная. (Рис.2.1.) /4/.

Рис. 2.1. Связь эллипсной и классической тригонометрии

На Рис 2.1. изображены эллипс, а также внешняя и внутренняя окружности эллипса. Отношение внутреннего и внешнего радиусов

называется отношением полуосей эллипса. Оно является одним из основных его параметров. При эллипс становится окружностью, при - прямой линией вдоль горизонтальной оси х.

При b>a эллипс оказывается вытянутым вдоль вертикальной оси, т.е. повернутым на 90. Однако , как отношение малой полуоси к большой полуоси останется меньше единицы, а обозначим . Положение точки М на эллипсе принято выражать через угол , т.е.

, .

Эти зависимости имеют вид:

.

При движении точки М по эллипсу и точки М1 по большой окружности с постоянной угловой скоростью , где t - текущее время. Тогда - угловая скорость движения точки М оказывается переменной.

В ряде случаев движение точки М по эллипсу происходит с постоянной угловой скоростью . Тогда угловая скорость оказывается переменной и параметрическое уравнение эллипса, выраженное через угол , оказывается усложненным. Эллипсная функция представляет собой новый вид функции, которая определяет координаты точки на эллипсе при ее движении с постоянной угловой скоростью через текущий угол .

Таким образом, получается Эллипсная тригонометрия, являющаяся более общей теорией, чем круговая тригонометрия /5/.

2.2 Эллипсные функции и их связь с круговой тригонометрией

Эллипсные функции получаются следующим образом. В круговой тригонометрии синусоидальные функции основаны на уравнении окружности:

, ,

где Y и X - координаты точки на окружности, R - радиус окружности. Аналогичные функции можно получить, если за основу брать эллипс, где угол представляет собой текущую фазу, например, в электротехнике и радиотехнике. А - представляет собой угловую частоту. При этом вертикальная координата Ym будет являться мгновенным значением эдс, напряжения или тока. Угол по отношению к углу будет переменным, и зависимость между ними можно установить с Рис.2.1 Обозначим координату M1Xm=Ym1, а MXm=Ym . Тогда :

, а , откуда: , т.е.

, , , поэтому , следовательно,

,

.

Здесь k=0 при , k=1 при , k=2 при .

Таким образом:

,

.

Такая форма записи координат точек на эллипсе сложна, и приводит к существенным усложнениям расчетов, поэтому введены новые функции, называемые соответственно эллипсными: синусом, косинусом, тангенсом:

,

,

,

аргументами которых являются угол , и отношение полуосей .

Из канонического уравнения получим:

, откуда: ,

что являет собой новую форму канонического уравнения эллипса.

Из уравнения (1.6) можем получить следующие зависимости /4/:

,

,

,

,

.

Здесь - котангенс эллипсный от и , - косеканс эллипсный от при l, - секанс эллипсный от и .

Связь эллипсных функций с классическими тригонометрическими функциями:

,

,

,

откуда:

.

Здесь - эксцентриситет эллипса, c - фокусное расстояние (Рис. 2.1).

Аналогично получим:

.

На основе этих формул можно получить и другие формулы:

,

,

,

.

Из полученных формул не трудно заметить, что при =1, т.е. переходе эллипса в окружность, эллипсная тригонометрия переходит в классическую круговую тригонометрию.

В выражениях (1.10) равенство получено следующим образом:

Аналогично выведено и равенство:

.

Здесь ,, и при малых может достигать больших значений.

В функциях, где используется обратное отношение полуосей эллипса, т.е. , оно заменено для упрощения записей .

На рис.2.2., 2.3, 2.4 построены графики эллипсных функций. Здесь наглядно видно, что эллипсные функции охватывают широкий класс несинусоидальных периодических кривых, начиная с прямоугольных функций при l=0. До бесконечно узких импульсов при l>?, включая круговые синусоидальные, трапециевидные, треугольные, кривые, описываемые простыми формулами в виде эллипсных функций.

Таким образом, круговые синусоидальные функции оказываются частью эллипсной тригонометрии /6/.

Рис. 2.2. График эллипсного синуса

Рис. 2.3. График эллипсного косинуса

На рис.2.4.а показан график эллипсного тангенса, который аналогичен по форме моноциклу Гаусса, показанном на рис. 2.4.б.

Рис. 2.4.а График эллипсного тангенса

Рис.2.4.б. Вид моноцикла Гаусса (длительность 50 пс)

Таким образом, математическое описание моноцикла Гаусса эллипсным тангенсом позволит управлять формой моноцикла путем изменения параметров эллипсного тангенса.

На рис. 2.5 и 2.6. показаны в увеличенном масштабе графики эллипсных функций в пределах при конкретных значениях.

Рис. 2.5. Временные диаграммы эллипсного синуса в увеличенном масштабе.

Рис. 2.6. Временные диаграммы эллипсного косинуса в увеличенном масштабе.

Функции, обратные эллипсным синусу и косинусу имеют вид, представленный на рис. 2.7 и рис.2.8.

Рис.2.7. График арксинуса эллипсного

Рис.2.8. График арккосинуса эллипсного

2.3 Селиус. Разнообразие форм селиусоидального колебания

Объектом исследований для последующих частей дипломной работы из всего многообразия эллипсных функций был выбран эллипсный синус, который задается следующей формулой:

Для краткости эллипсный синус будет называться селиусом. Получается, что селиус является псевдонимом эллипсного синуса. Сигналом называется изменяющаяся во времени физическая величина, отображающая передаваемое сообщение. Поэтому представим селиус во временной области следующим образом:

где

А - амплитуда, щ - частота, ц0 - начальная фаза,

параметр формы, фаза всплеска,

время.

По аналогии с синусоидой колебание, реализуемое во времени, будет называться селиусоидой. Таким образом, селиусоида- это временной колебательный процесс, изменяющийся по закону селиуса.

В последующих частях дипломной работы будут рассмотрены только функции, представляющие собой селиус с различными параметрами. Именно селиус будет рассматриваться в качестве несущего колебания.

Полученная функция является пятипараметрическим обобщением гармонической функций, впервые предложенного Ч. И. Мастюковым, построенного путем специфической суперпозиции двух трехпараметрических гармонических функций с добавлением к традиционным для гармонических колебаний в радиотехнике амплитудой А, угловой частотой щ и начальной фазой ц0 и еще двух параметров, от которых зависит форма сигнала - параметра формы и фазы всплеска . Селиус имеет богатое разнообразие форм в зависимости от параметра формы и фазы всплеска. В частности при и , он становится синусоидой. При других значениях своих специфических параметров селиус может быть использован в качестве сложного колебания. [3]

На рис.2.9 показаны осциллограммы селиуса при фазе всплеска и при следующих значениях параметра формы: , , , .

Видно, что колебание расширяется и стремится к меандру, при стремлении параметра формы к нулю, и наоборот, при увеличении l, колебание «сужается».

На рис.2.10 на двух верхних графиках показаны осциллограммы селиуса при параметре формы и при следующих значениях фазывсплеска и , а на двух нижних графиках показаны осциллограммы селиуса при параметре формы и таких же значениях фазы всплеска и .

Из графиков следует, что колебание меняет свой вид (форму) в зависимости от фазы всплеска, при этом также меняется амплитуда колебания.

На рис.2.11показаны графики селиусоидального колебания при изменении параметра формы от 0.01 до 1000 и фазе всплеска равной нулю.

Осциллограммы sel(t) в зависимости от параметра формы l, при ш= 0.

рис.2.11

По графику можно заметить, что при стремящемся к бесконечности селиус «ссужается» до дельта импульса, а при стремящемся к нулю он «расширяется» до меандра.

На рис.2.12 показаны осциллограммы селиуса при параметре формы и при значениях фазы всплеска и , а на рис.2.13 показаны осциллограммы селиуса при параметре формы и таких же значениях фазы всплеска .

Осциллограммы sel(t) в зависимости от фазы всплеска, при l = 0,1.

рис.2.12

Осциллограммы sel(t) в зависимости от фазы всплеска, при l = 10.

рис.2.13

Выводы

1. Замечено, что график эллипсного тангенса аналогичен по форме моноциклу гаусса. Откуда можно заключить, что математическое описание моноцикла гаусса эллипсным тангенсом позволит параметрическим образом управлять формой импульса Гусса.

2. Были получены формулы периодических функций эллипсной тригонометрии.

3. Показана связь изменения конкретных параметров с определенными изменениями форм функций, а также связь эллиспных функций с функциями круговой тригонометрии.

4. Аналитическими выражениями эллипсной тригонометрии можно описать эллипсные функции, гармонические функции и единичные импульсы «без несущей», а также управлять их параметрами.

5. Получена достаточная математическая основа для исследования радиофизических характеристик полученных колебаний.

Поскольку в данной дипломной работе впервые предлагается использование эллипсных функций (селиусоиды) в качестве несущего колебания, то необходимо исследовать их радиофизические свойства. В свою очередь исследование радиофизических характеристик необходимо для ответа на вопрос о возможности использования данного типа колебаний на практике.

3. Исследование и описание радиофизических характеристик эллипсных несущих

Исследуемыми радиофизическими характеристиками являются частотные, энергетические, и корреляционные.

Радиофизические характеристики были исследованы при фиксированной единичной амплитуде, частоте равной 1 Гц, при нулевой начальной фазе, в фиксированные моменты времени, на длительности в один период.

3.1 Частотные характеристики исследуемых колебаний

Сигналы описываются не только во временной области, но и в частотной - в виде его спектра. Это особенно важно, если сигналы имеют сложную форму, как в данном случае. Последующие спектральные характеристики были исследованы студентом Нуруллином Э.Э., по согласованию с научным руководителем, ввиду совместного исследования sel-функции. Для получения спектра, селиус был разложен в ряд Фурье на периоде равным одной секунде при фазе всплеска и начальной фазе равных нулю, а также значениях параметра формы , взятых из следующего ряда значений: . Спектр представляется в диапазоне от 1 до 100 Гц.

Коэффициенты ряда Фурье находились по следующим формулам:

где = 1…100.

Для большей полноты описания сигналов в частотной области также была вычислена база сигналов. База сигнала -- это произведение длительности сигнала и эффективного значения ширины его спектра. За эффективную ширину спектра возьмем ширину спектра, содержающую 95% энергии сигнала.

= 0.1; 0.3; 0,5; 3; 5; 10; 25.

При град.

По представленным графикам можно заключить, что использование селиусоиды, может значительно увеличить Б сигнала, благодаря большой эффективной ширине спектра. Причем чем больше параметр формы отличается от единицы, тем больше база сигнала, особенно сильно база увеличивается при значениях параметра формы больше единицы.

Теперь перейдем к рассмотрению зависимости амплитудного спектра селиуса от фазы всплеска , при параметре формы равном 0,1 и значениях фазы всплеска, взятых из следующего ряда значений: и при другом параметре формы равном 10, а значениях фазы всплеска, взятых из того же ряда значений: .

Из представленных графиков получается, что при значениях фазы всплеска отличных от нуля наряду с синусными составляющими появляются и косинусные составляющие спектра. При значении параметра формы равном 0.1, отличие значений фазы всплеска от нуля расширяет спектр и увеличивает базу сигнала, в тоже время при значении параметра формы равном 10, это отличие сужает спектр и уменьшает базу сигнала.

Выводы

1. Получено, что селиусодальные сигналы можно отнести к ШПС и СШПС, в зависимости от изменения параметра формы и фазы всплеска.

Широкополосность является важной характеристикой в борьбе с помехами. Однако для процесса обнаружения сигнала в аддитивном белом гауссовском шуме главной характеристикой является энергия сигналов. Поэтому целесообразно рассмотреть энергетические характеристики.

3.2 Энергетические характеристики исследуемых колебаний

Важной характеристикой радиосигналов является их энергия за один период.

Энергия сигнала за период - это квадрат сигнала, интегрированный по времени на его периоде, вычисляемая по следующей формуле:

Получим аналитическое выражение, выражающее зависимость энергии селиусоидального колебания от при щ=2р и . Для этого возьмем следующий интеграл, в котором для удобства вычислений t=2рt:

Для удобства расчетов сделаем замену

=

=

Вычислим отдельно

Используем универсальную тригонометрическую подстановку:

сигнал сверхширокополосный эллипсный несущий

упрощая

получаем

возвращаясь к (*) получаем

формула для неопределенного интеграла, вычисляющего энергию селиусоидального сигнала получается такая

Таким образом:

График зависимости энергии селиусоидального колебания от , показан на рис. 3.2.1.

рис. 3.2.1

Представленный график наглядно показывает то, что можно было заметить на осциллограммах. При увеличении значения параметра формы, площадь под графиком функции уменьшается. Следовательно, для передачи энергии, больше подходит функция с наименьшим параметром формы .

Аналитические вычисления получились громоздкими даже в самом простом случае, когда рассматривался только параметр формы . Поэтому вычислим при помощи численного интегрирования энергию селиусоидального сигнала при изменении параметра формы ??, когда фаза всплеска . В этом случае амплитуда сигналов с различными ?? будет разная.

Результаты занесем в таблицу.

Представленные результаты показаны на рис.3.2.2.

рис.3.2.2.

Вычислим энергию сигнала при изменении фазы всплеска, когда параметр формы принимает значения: =0.1,=1, =10. В этом случае амплитуда сигналов с различными тоже будет различаться.

Построим на основе этих данных график, показанный на рис.3.2.3.

Для корректного отображения по оси абсцисс параметр формы будет отложен в логарифмическом масштабе.

рис.3.2.3.

При увеличении фазы всплеска, как показано на графике, передаваемая энергия также возрастает, если говорить о функциях с меньше 1.

Вывод

1. В случаях, когда импульсная мощность передатчика ограничена, для передачи сообщений на дальние расстояния лучше использовать селиусоидальные колебания с параметром формы меньше единицы, так как в этом случае энергия у этих колебаний больше при равной амплитуде, чем у селиусодальных колебаний с параметром формы больше единицы.

2. Для надежного приема селиусоидальных сигналов с параметром формы значительно больше 1 необходимо пропорционально с увеличением увеличивать амплитуду сигналов, что необходимо для обеспечения приемлемой энергии сигналов.

Для возможности принимать различные сообщения, вести передачу и прием информации со многими пользователями, для возможности борьбы с помехами, имеющими структуру, схожую со структурой сигнала, необходимо уметь различать сигналы. Количественной мерой, позволяющей различать множество сигналов и отличать наличие помехи со структурой сигнала является коэффициент корреляции между сигналами. Исследованию корреляционных характеристик и посвящен следующий раздел.

3.3 Корреляционные характеристики исследуемых эллипсных функций

Мерой определения корреляции между эллипсными функциями будет нормированный коэффициент корреляции. Сначала вычислим корреляцию между селиусом с фиксированными параметрами =0.01 и , определенном на одном периоде и селиусом с фиксированным параметром = 0 и принимающем значения: , , , , , В результате вычислений, мы получили следующую таблицу нормированных значений коэффициентов взаимной корреляции.

Полученные результаты приведены на рис.3.4.1.

рис.3.4.1

Вывод по графику: по графику видно, что чем больше , тем меньше корреляция, причем при увеличении крутизна графика увеличивается.

Нормированные коэффициенты корреляции при , и параметрах и принимающих значения: , , , , ,

Полученные результаты приведены на рис.3.4.2.

рис.3.4.2.

Вывод по графику: минимальный коэффициент корреляции получается в областях графика, где параметр равняется значениям от 10 до 100, а и где параметр равняется значениям от 10 до 100, а ,т.е. тогда, когда и значительно отличаются друг от друга. 2) В случае, когда изменяется параметр , а (синусоида), и когда изменяется параметр , а =1(синусоида), разница между максимальным или минимальным значением коэффициента корреляции получается минимальной.

Далее вычислим корреляцию между селиусом с фиксированными параметрами и =0, определенном на одном периоде и селиусом с фиксированным параметром и принимающем значения: , , , , ,

Таблица значений коэффициентов корреляции.

Полученные результаты приведены на рис.3.4.3.

рис.3.4.3

Вывод по графику: на графике видно, что чем больше , тем меньше корреляция, причем при увеличении крутизна графика уменьшается.

Нормированные коэффициенты корреляции при и параметрах и принимающих значения: , , , , ,

Полученные результаты приведены на рис.3.4.4.

рис.3.4.4

Вывод по графику: 1) на трехмерном графике видно, что минимальный коэффициент корреляции получается, когда и отличаются друг от друга от 45 до 60 градусов. 2) В отличие от предыдущего графика, когда и максимально отличаются друг от друга, т.е. на 90 градусов, мы не получаем минимального значения коэффициента корреляции.

Теперь будем изменять одновременно два параметра: параметр формы и фазу всплеска . Для каждых значений параметров , первой функции, мы берем все значения параметров и второй функции. Вычисленные нормированные коэффициенты корреляции при параметрах и , принимающих значения: , , , , , и при параметрах и принимающих значения: , , , , ,

Полученные результаты приведены на рис.3.4.5.

рис.3.4.5.

Выводы

1. При изменении параметра формы и фазы всплеска , коэффициенты корреляции отличны от единицы, причем при больших различиях этих параметров коэффициенты корреляции достигают 0.34 при изменении параметра формы и 0.09 при изменении фазы всплеска.

2. Корреляция между сигналами с различными параметрами формы убывает с возрастающей скоростью при увеличении отличия параметров формы, достигая минимального значения в 0.34 .

3. Корреляция между сигналами с различными фазами всплеска при =0.01 убывает с уменьшающейся скоростью при увеличении отличия фаз всплеска, достигая минимальных значений при разнице между и , находящейся в диапазоне от 18 до 72 градусов.

4. Полученные коэффициенты корреляции позволяют применить селиусоидальные сигналы в задачах различения сигналов и их обнаружения среди помех со структурой сигнала.

Для получения полного представления об исследованных радиофизических свойствах объединим таблицы по частотным, энергетическим и корреляционным характеристикам.

3.4 Объединенные таблицы рассматриваемых радиофизических характеристик

Сводные радиофизические характеристики при постоянной фазе всплеска , но при изменяющемся параметре формы ??. В данном случае была взята эффективная ширина спектра, содержащая 99% энергии сигнала, дабы показать большие различия спектров.

Сводные радиофизические характеристики при постоянном параметре формы ??=10, но при изменяющейся фазе всплеска .

Выводы

1. По объединенной таблице выходит, что для решения задач радиотехники при значительных ограничениях на амплитуду передающего сигнала и при малых требованиях к помехоустойчивости лучше использовать селиусоидальные сигналы с значениями параметра формы и нулевой фазы всплеска .

2. В случаях, когда передатчик может обеспечить большую амплитуду выходного сигнала одновременно с требованиями по обеспечению высокой помехоустойчивости, лучше всего использовать селиусоидальные сигналы с значениями параметра формы при фазе всплеска равной 75 градусам.

3. К преимуществам селиусоидальных сигналов относится их большая широкополосность по сравнению с синусоидальным колебанием, но не менее важна возможность регулирования характеристик сигнала изменением определенным образом формы самого несущего колебания.

4. К недостаткам селиусоидальных сигналов относится их небольшая энергия при больших значениях параметра формы Это ограничение преодолевается путем повышения амплитуды передаваемого сигнала. Генерирование таких сложных сигналов затруднительно аналоговыми средствами, но практически реализуемо с помощью цифровой техники, хотя и потребует дополнительных вычислительных мощностей по сравнению с синусоидальными сигналами.

5. Таким образом, этот раздел является результатом совместных исследований студентов Зайдуллина и Нуруллина под курированием научного руководителя.

По заданию научного руководителя. Последующие части дипломной работы посвящены исследованиям характеристик селиусоидального колебания зависящего только от параметра формы , у которого при этом фаза всплеска равна нулю. Исследование зависимостей характеристик селиусоидального колебания от фазы всплеска будет темой для последующих дипломных работ.

Полученные радиофизические характеристики достаточно описывают селиусоидальные сигналы для перехода к исследованию оптимальных алгоритмов приема данного типа сигналов.

4. Использование оптимального алгоритма обнаружения радиоимпульсов с эллипсными несущими и полностью известными параметрами в аддитивном белом гауссовском шуме (АДБГ) при корреляционном приеме.

4.1 Основные задачи

Теория оптимального радиоприема позволяет определить наилучшие виды передаваемых сигналов. Для этого следует сравнить значения потенциальной помехоустойчивости при различных видах сигналов. Сигнал, для которого при заданных условиях радиоприема получается наибольшая потенциальная помехоустойчивость, является наилучшим.

Следует заметить, что теория оптимального радиоприема не оговаривает форму сигнала, поэтому будет считаться, данная теория применима и к селиусу.

Условия, при которых рассматриваться задача оптимального обнаружения.

Пусть на конечном фиксированном временном интервале [0, T] принимается колебание о(t), являющееся детерминированной функцией от полезного селиусоидального сигнала sel(t, л) и помехи n(t):

о(t)=F(sel(t,л), n(t)), 0?t?T. (1)

Здесь вектором л={л1, …, лm} обозначены параметры, от которых зависит сигнал. В нашем случае сигнал описывается селем, являющимся функцией эллипсной тригонометрии. Будем рассматривать радиоимпульс длительностью фи, который полностью укладывается в на интервале [0, T]. В этом случае :

В данном случае сигнал зависит от семи параметров: амплитуды A=л1, частоты щ2=л2, начальной фазы ?=л3, длительности импульса фи=л4, момента его появления ф=л5 относительно принятого отсчета времени и двух специфичных для радиотехники параметров: параметра формы l=л6 и фазы всплеска ш=л7.

Предполагается, что непосредственному наблюдению доступно только принимаемое колебание о(t). Относительно него до приема считаются известными следующие априорные сведения: 1) способ комбинирования сигнала и помехи, т.е. конкретный вид детерминированной и известной функции F(.), сигнал sel(t,л) является детерминированной и известной функцией аргументов t и л, 3) известны все необходимые для решения задачи вероятностные характеристики векторной случайной величины л и помехи n(t).

В дальнейшем будет рассмотрен частный вид функции F(.), когда колебание о(t) представляет собой сумму сигнала и помехи:

о(t)=sel(t, л)+n(t), 0?t?T. (1.1.3)

4.2 Оптимальное обнаружение селиусоидальных сигналов по критерию идеального наблюдателя

Задачи обнаружения и различения сигналов являются частным случаем общей задачи различения гипотез. Сначала приведем различные представления апостериорной вероятности двух возможных значений дискретного параметра, соответствующих двух гипотезам.

Принятое колебание представляет собой сумму

где n(t)- гауссовский белый шум; sel(t) - детерминированный селиусоидный сигнал, полностью расположенный на интервале наблюдения [0, T]. Параметр неизвестен и может принимать только одно из двух значений: ( в принятом колебании сигнал отсутствует) и (в принятом колебании присутствует сигнал).

Что касается априорных сведений о параметре , то возможны два случая: 1) априорные вероятности и отсутствия и наличия сигнала известны; 2) эти априорные вероятности неизвестны.

По принятой конкретной реализации необходимо решить оптимальным образом, какое именно значение имеет параметр , т.е. присутствует или нет сигнал. Иначе говоря, нужно найти такой метод обработки принятого колебания , который позволял бы наилучшим образом обнаруживать наличие сигнала на фоне шума.

Решение может быть принято при двух взаимоисключающих условиях (гипотезах):

условие сигнал есть,

условие сигнала нет,

которые при выработке решения неизвестны.

За счет помех и флуктуаций полезного сигнала каждому условию могут соответствовать два вида решений:

решение сигнал есть,

решение сигнала нет.

При обнаружении сигнала могут быть четыре ситуации:

1) правильное обнаружение сигнала;

2) пропуск сигнала;

3) ложная тревога;

4) правильное необнаружение сигнала;

Имеется задача проверки двух гипотез:

в реализации , за время наблюдения , присутствует сигнал .

в реализации , за время наблюдения , присутствует сигнал .

Причем, .

Перечисленным ситуациям соответствуют четыре вероятности совмещения событий, сумма которых равна единице:

[13, с. 84]

Каждому ошибочному решению ставиться в соответствие некоторая плата - стоимость ошибки Для безошибочных решений эту стоимость условимся считать равной нулю Тогда систему обнаружения можно характеризовать средней стоимостью (математическим ожиданием стоимости) ошибочных решений

(2)

Лучшей из сравниваемых систем обработки можно тогда считать систему, удовлетворяющую критерию минимума этой стоимости, иначе - критерию минимума среднего риска. Критерий минимума среднего риска наиболее подходит для оценки помехоустойчивости различных типов сигналов. Для дальнейших рассуждений принимается, что стоимости ошибок и равны единице. Таким образом выражении (2) окончательно принимает вид

Априорные вероятности и наличия и отсутствия сигнала являются известными. При этих условиях критерий минимума среднего риска переходит в критерий идеального наблюдателя.

В соответствии с критерием идеального наблюдателя считается [10, с. 75], что верна гипотеза о наличии сигнала, если выполняется условие:

данное выражение приводится к следующему виду

где

, энергия сигнала;

спектральная плотность шума;

случайная величина, которая показывает значение на выходе коррелятора;

порог принятия решения.

В случае симметричной системы передачи сигналов, когда имеется

получается следующее условие:

Тогда в соответствии с критерием идеального наблюдателя, для симметричной системы имеем следующее правило обнаружения детерминированного сигнала:

- принимается решение о наличии сигнала , т. е. верна гипотеза , если ;

- принимается решение об отсутствии сигнала , т. е. верна гипотеза , если ;

Функциональная схема приемного устройства осуществляющего обнаружение полностью детерминированного сигнала, приведена на рис. 2.2.1. [10, с. 69]

Оптимальный приемник обнаружения сигнала, изображенный на этом рисунке, представляет собой корреляционный приемник, дополненный пороговым устройством и синхронизаторам, позволяющими осуществить сравнение выборки выходного напряжения в момент времени t=T с пороговым уровнем h.

Несмотря на то что для сравнения помехоустойчивости различных сигналов наилучшим является критерий идеального наблюдателя, в силу того, что на практике задача обнаружения чаще всего встречается в радиолокации, где априорные вероятности и неизвестны, распространение получил критерий Неймана - Пирсона. Поэтому кривые обнаружения в известной литературе приводятся именно для этого критерия.

Критерий Неймана - Пирсона применяется в радиолокации для обнаружения сигнала, когда априорные вероятности и неизвестны.

Согласно этому критерию оптимальный приемник должен максимизировать вероятность правильного обнаружения pd при заданной вероятности ложной тревоги . Оптимальный алгоритм сводится к формированию отношения правдоподобия (2) или (5), причем величина порога в правой части (5) выбирается по заданной вероятности ложной тревоги :

После этого вероятность правильного обнаружения вычисляется по формуле (7).

4.3 Обнаружение селиусоидальных сигналов по критерию Неймана - Пирсона

Рассмотрим задачу обнаружения сигнала на фоне шума по критерию Неймана - Пирсона для детерминированного селиуса (когерентный прием).

Как следует из формулы (2.1.5), решение о наличии или отсутствии сигнала должно приниматься на основании сравнения с некоторым порогом величины

Когда полезным сигналом является прямоугольный радиоимпульс с селиусоидальным заполнением длительностью , на рис.2.2.2 изображен характер изменения во времени выходных колебаний корреляционного приемника, определяемого выражением

рис.2.2.2

причем на рис.2.2.2 изображены сигнал и шум на выходе корреляционного приемника. Выходные процессы существенно отличаются по характеру, однако наибольшие значения отношения сигнал-шум в конце импульса, т.е. при (в момент принятия решения) совпадают.

Вычислим количественные характеристики оптимального обнаружителя. Пусть детерминированный сигнал присутствует, т.е. Тогда замечаем, что случайная величина