Применение системы ортогональных функций Виленкина-Крестенсона для формирования OFDM сигнала

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ОТЧЕТ

ПО ПРЕДДИПЛОМНОЙ ПРАКТИКЕ

Тема: Применение системы ортогональных функций Виленкина-Крестенсона для формирования OFDM сигнала

Введение

В наше время телекоммуникации и беспроводная связь развивается огромными темпами. Наша жизнь уже не представляется без сотовых телефонов и Wi-Fi дома и практически в любом кафе. Распространение сетевых технологий способствует увеличению скоростей передачи информации в последние годы. Возрастающие скорости вызывают возрастание нагрузки на устройства обработки сигналов. Еще десять лет назад нельзя было представить скорость передачи данных больше 33600 бит/с. А сегодня можно с телефона или ноутбука выходить в интернет на скорости 54 мбит/с. Возросшие скорости увеличивают нагрузку на вычислительное устройство. Вместе с ростом скоростей передачи данных совершенствовалась техническое оснащение систем связи. Но с совершенствованием технического оснащения можно применять более сложные алгоритмы обработки сигналов, которые раньше невозможно было использовать, что улучшает скорости передачи информации. Этим и обусловлено появление OFDM. Этот вид модуляции позволяет избавится от межсимвольной интерференции при распространении сигнала и его отражении от объектов. Обработка такого сигнала требует больших вычислительных мощностей.

Постановка задачи

В OFDM для формирования сигнала с множеством ортогональных несущих частот используется быстрое преобразование Фурье. Для формирования сигнала OFDM используются дискретно экспоненциальные функции (ДЭФ). Функции ВКФ обладают теме же свойствами, что и ДЭФ, так как ДЭФ являются частным случаем ВКФ. Попробуем воспользоваться свойством системы ортогональных сигналов Виленкина-Крестенсона (ВКФ), что при использовании быстрого преобразования Фурье в базисе ВКФ, нам потребуется меньше вычислений. Это позволит нам сэкономить время на введение более сильного помехоустойчивого кодера и другую дальнейшую обработку. А так же решить проблему синхронизации.

Информация в ВКФ несет форма, что позволит нам, возможно, решить проблему синхронизации символа OFDM.

OFDM

Рост скоростей передачи данных привел значительному влиянию межсимвольной интерференции. За счет многолучевого распространения сигнал приходит на приемную антенну сразу по нескольким путям, что приводит к наложению одного сигнала на другие. При высоких скоростях и при некоторых расстояниях это наложение может быть более чем длительность символа, что может привести к затуханию сигнала. Самый простой способ борьбы с этой проблемой - увеличение длительности символа. Но, к сожалению, это приводит нас к уменьшению количества информации переданной в канале связи. OFDM позволяет увеличить длительность символа во много раз, при этом не теряя скорость передачи информации.

Рис. 1. Схема модулятора OFDM сигнала

На рисунке представлена схема модулятора сигналов OFDM. Первым стоит блок называемый serial to parallel. Он преобразует битовый входной поток из последовательного потока в параллельный поток. Далее стоит преобразователь битов в символы модуляции. Это может быть BPSK, QPSK, 8-PSK, QAM-16 и т.д. Далее для формирования ортогональных частот стоит блок быстрого обратного Фурье преобразования (ОБПФ). Далее сформируется сигнал со спектром, состоящим из исходных отсчетов. Производится цифро-аналоговое преобразование отсчетов и формирование из двух квадратурных компонент вещественного сигнала на несущей частоте.

Рис. 2. Схема демодулятора OFDM сигнала

Демодулятор все действия выполняются в обратном порядке. После аналогово-цифрового преобразования применяется быстрое преобразование Фурье (БПФ), что в итоге приводит нас к исходным символам.

Функции Виленкина-Крестенсона

Известные функции Уолша и ДЭФ являются частными случаями функциями Виленкина-Крестенсона. Функции ДЭФ имеют те же свойства, что и функции Уолша.

Рис. 3. Области определения системы ВКФ и ее частных случаев.

Для частного случая N = 8 матрица ДЭФ имеет вид.

Рис. 4. Матрица функций ДЭФ для N = 8

Поскольку ДЭФ являются N-периодическими функциями, то эту матрицу можно переписать с минимальными фазами образованные вычитанием .

Для начала рассмотрим нам известные нам функции - функции Уолша. Функции Уолша обладают полезнейшим свойством. С помощью них можно разложить сигнал в ряд Уолша-Фурье. Эти функции могут принимать только два значения {-1,1}. Сведенные вместе функции Уолша образуют системы. В зависимости от упорядочивания этих функций их называют по-разному. Рассмотрим основные из них:

Спектральный анализ в базисе ВКФ

Дискретное преобразование Фурье

Любую дискретную функцию на интервале N можно представить как вектор в N-мерном линейном евклидовом пространстве. Дискретный сигнал s(x) можно рассматривать как разложение в линейном пространстве в системе базисных функций {f (k, x)}.

(1)

s(0), s(1)..s (N-1) - являются его координатами в базисном пространстве {u (k, x)}. Обратная формула для вычисления представляется в следующем виде.

(2)

Где E_f - энергия базисной функции f (k, x). Совокупность этих формул является парой дискретных преобразований Фурье.

Перейдем к энергетическим соотношениям при дискретном преобразовании Фурье.

(3)

Вычислив энергию по-другому мы получаем равенство Парсеваля для дискретных сигналов. Оно показывает, что энергия сигнала определяется самим сигналом и не зависит от выбора базиса, в котором они описываются.

(4)

Энергию спектральных составляющих будем называть энергетическим спектром сигнала.

(5)

Пара дискретных преобразований Фурье в базисе ВКФ-Пэли:

(6)

В общем случае сигнал s(x) и его спектр комплексные функции. Рассмотрим особенности некоторых видов сигналов. ВКФ содержит действительные и попарно комплексно-сопряженные функции. Поэтому спектральные компоненты действительного сигнала в базисе ВКФ будут так же либо действительными, либо попарно комплексно-сопряженными.

(7)

Спектр комплексного сигнала таким свойством не обладает.

Основные теоремы спектрального анализа

Приведем основные теоремы спектрального анализа в базисе ВКФ применительно к системе ВКФ-Пэли.

Теорема линейности. Дискретное преобразования Фурье в любом базисе линейны по определению. Это значит, что если s₁(x)-S₁(p) и s₂(x)-S₂(p), то

(8)

Где л₁ и л₂ - произвольные числа.

Теорема взаимности. Любое равенство сохраняется, если в обеих частях заменить все выражения на комплексно сопряженные. К тому же, ВКФ не меняются если у них поменять местами p и x. Исходя из этого дискретное преобразования Фурье можно переписать в виде.

(9)

(10)

Здесь справа записано одно и тоже преобразование над функциями и s(x), поэтому из полученных выражений можно сделать следующий вывод. Пусть операция Q над сигналом s(x) равносильна операции R над спектром, т.е.

(11)

(12)

Теорема запаздывания. Пусть сигнал s(x) задан в интервале N и имеет спектр S(p). При m-сдвиге этого сигнала по времени на величину ф получим новую дискретную функцию , занимающую тот же интервал N, но с изменённым по отношению к исходному расположению отсчетов. Спектр такого сигнала будет равен.

(13)

Введя новую переменную и учитывая, что при этом , получаем.

(14)

Так как

(15)

Это означает, что m-сдвиг сигнала по времени на величину ф изменяет ее фазовый спектр на величину

(16)

И не влияет на огибающую спектра .

Теорема смещения. Пусть спектр S(p) некоторого сигнала s(x) претерпел m-сдвиг по переменной p на величину q:

(17)

Сигнал соответствующий сдвинутому спектру, согласно можно представить.

(18)

Применим подстановку , причем . Тогда получим

(19)

Отсюда следует и обратный вывод - при умножении сигнала на базисную функцию он претерпевает m-сдвиг.

Теорема об умножении сигнала на действительную или мнимую составляющую базисной функции. Найдем спектры произведений.

(20)

В первом случае получим

 (21)

Используя свойство мультипликативности базисных функций, получаем:

(22)

Или

(23)

Аналогично можно показать

(24)

Первая теорема растяжения. Пусть сигнал растягивается в m^k раз введением по m^k-1 нулей после каждого отсчета. Такая операция равносильна прореживанию матрицы ВКФ размером NN, при котором столбцы с номерами х=0, m^k, 2m^k,… сохраняются, а остальные столбцы удаляются. При этом матрица ВКФ превратится в прямоугольную матрицу размером m^lm^l+k, у которой вдоль столбца.

Выигрыш в объеме вычислений

БПФ осуществимо только в том случае, если возможно факторизовать матрицу преобразования. Количество образованных при этом матриц-сомножителей определяется числом множителей, на который можно разложить число N, и будет максимально когда N разлагается на простые множители. Чем их больше, тем проще структура матриц-сомножителей (в смысле числа нулевых элементов), и это приводит к уменьшению объема вычислений при БПФ. Однако это приводит и к некоторому увеличению числа матриц-сомножителей и увеличению объема вычислений. Из-за этих противоречивых факторов наиболее эффективным является интервал N = 3ⁿ. Тем не менее с практической точки зрения, наиболее выгодным является интервал N = 2ⁿ, так как в этом случае граф БПФ имеет простейшую конфигурацию, что делает простой программу или схему вычислительного устройства.

Одним из преимуществ спектрального анализа в базисах ВКФ по сравнению с анализом в базисе ДЭФ является меньшее количество необходимых вычислительных операций при одном и том же интервале N. Источник этой дополнительной экономии может быть найден при сравнении графов БПФ в базисах ДЭФ и ВКФ-Пэли. Если в обоих случаях матрицы имеют один и тот же размер mⁿЧmⁿ, то указывают графы БПФ могут быть приведены к единой канонической форме.

Рис. 6. Графы БПФ в базисе Уолша-Пэли и граф БПФ в базисе ДЭФ

Здесь изображены графы БПФ в базисах ДЭФ и функций Уолша для N = 8. Эти графы отличаются только своими коэффициентами. Элементарные графы в каноническом графе БПФ могут быть разделены на две группы. К первой из них относятся те, в которых коэффициентами в базисе ВКФ. Вторая группа объединяет элементарные графы с разными коэффициентами в базисах ДЭФ и ВКФ.

Экономия вычислений возникает за счет второй группы элементарных графов и только в том случае, когда при переходе от базиса ДЭФ к базису ВКФ комплексные коэффициенты в этих графах заменяются более удобными для вычислений. Общее количество элементарных графов первой группы может быть вычислено, как сумма геометрической прогрессии и составит . Если N = mⁿ, то канонический граф содержит всего . Относительное количество элементарных графов первой группы составит.

(27)

Относительное число графов второй группы составит:

(28)

Зависимость коэффициента k₂ от размера матрицы преобразования для нескольких значений m дана на рисунке. Из него видно, что при малом m и достаточно большом размере матрицы преобразования удельный вес графов второй группы велик. Если при этом переход от базиса ДЭФ к базису ВКФ дает большую экономию вычислений для одного элементарного графа второй группы, то общая экономия будет также значительна.

Рис. 7. Относительное число элементарных графов в каноническом графе ДЭФ, изменяющихся при переходе к базисе ВКФ

Рассмотрим канонический граф БПФ в базисе ДЭФ. Обозначим время необходимое для выполнения всех операций относящихся к элементарному графу первой группы, через t₁, а то же время для элементарного графа второй группы через t₂. Если предположить что канонический граф содержит всего Q элементарных графов, то общее время выполнения всех необходимых операций в базисе ДЭФ будет равно:

(29)

При переходе от базиса ДЭФ к базису ВКФ происходит замена коэффициентов у элементарных графов второй группы, в результате чего все элементарные графы оказываются одинаковыми. Со временем выполнения операций в этом графе t₁. Таким образом, общее время всех операций в базисе ВКФ будет равно

(30)

а экономия в вычислениях определяется отношением.

(31)

t1 и t2 - определяются количеством умножений и сложений, которые совершаются в этом графе. Они зависят от размера матрицы преобразования.

Зависимость экономии вычисления при использовании ДЭФ вместо ВКФ для различных модулей, а следовательно, и для различных размеров матриц преобразования, представлена на графике ниже.

Рис. 8. Выигрыш в объеме вычислений БПФ при переходе от базиса ДЭФ к базису ВКФ

преобразование фурье сигнал спектральный

Таблица 1. Расчет значений выигрыша в объеме вычислений для системы Уолша

Таблица 2. Расчет значений выигрыша в объеме вычислений для системы ВКФ с модулем 4

Как видно из этого графика наибольший выигрыш мы получаем при ВКФ с модулем 2, то есть с функциями Уолша. При увеличении модуля сложность матрицы преобразования возрастает, что приводит к увеличению количества вычислений, и выигрыш не столь высок. Отсюда очевиден выигрыш при использовании базиса ВКФ.

Сформируем сигнал OFDM в базисе ВКФ. Сформируем случайный вектор модулированный QPSK. Этот сформированный вектор отправиv на блок обратного преобразования Фурье в базисе ВКФ. В итоге сформируется символ OFDM. Спектр этого сигнала в базисе ВКФ будет иметь вид представленный на рисунке.

Рис. 9. Спектр сигнала в базисе ВКФ. Сигнал до поступления на блок ОБПФ в базисе ВКФ

Во временной области OFDM сигнал, сформированный в базисе ВКФ, будет иметь вид представленный на рисунках отдельно для вещественной и мнимой компонент.

Рис. 10. Временная диаграмма реальной части сигнала. Спектр, которого представлен на рис. 9.

Рис. 11. Временная диаграмма мнимой части сигнала. Спектр, которого представлен на рис. 9.

Однако, если смотреть спектр этого сигнала в базисе ВКФ, то картина получится не столь радующая.

Рис. 12. Спектр OFDM сигнала в ДЭФ

Спектр получился более широким, чем аналогичный сигнал в базисе ДЭФ. Это связано с тем, что базисные функции ВКФ. Имеют квадратную форму, в отличие от сигналов ДЭФ. Возможные решения этой проблемы увеличение модуля системы базисных функций, что приводит к усложнению вычислений преобразования Фурье, и мы в итоге можем потерять весь выигрыш. Второе решение использование сплайн интерполяции базисных функций малого модуля. Интерполяция сохраняет все свойства функций ВКФ, но уменьшает полосу сигнала. В работе эти методы не рассматриваются.

Рис. 13. Базисная функция ДЭФ 57 по модулю 64

Рис. 14. Базисная функция ВКФ 57 по модулю 4 разрядностью 3

Первый график представляет собой базисную функцию 57 ДЭФ по модулю 64. А второй график представляет собой так же базисную функцию 57, но по модулю 4 с разрядностью 3.

Библиография

1. Трахтман А.М., Трахтман В.Г. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. - М.: Сов. радио., 1975. - 208 с.

2. Айфичер Э.С., Джервис Б.У. Цифровая обработка сигналов: практический подход. - М.: Вильямс, 2004. - 992 с.

3. Proakis, John G. Digital communication. - NY.: McGrawHill. 2008. - 1150 c.

Размещено на Allbest.ru