Анализ сигналов. Метод Фурье и процедура дискретизации

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Контрольная работа

Анализ сигналов. Метод Фурье и процедура дискретизации



Содержание

1.Ряды Фурье

2.Соотношение Парсеваля

3. Явление Гиббса и сходимость рядов Фурье

4 Интеграл Фурье

5. Роль ограниченной ширины частотной полосы

Литература



1.Ряды Фурье

Рассмотрим математические методы анализа сигналов с помощью преобразований Фурье и связь этих методов.

Начнем рассмотрение с Фурье-анализа периодических функций. Пустьf(t) является периодической функцией с периодом ф. Такая функция может быть представлена в виде суммы гармонических слагаемых. Если выбрать такие слагаемые в виде комплексной экспоненциальной формы, то разложение f(t) в ряд Фурье принимает вид:

	(1)

где частота щ0 определяется формулой:

а коэффициенты разложения определяются выражением:

	(2)

Если f(t) является вещественной функцией, то выполняется условие:

	(3)

где звездочка означает «комплексное сопряжение». Для вычисления интегралов (2) было предложено много практических методов. Рассмотрим метод конечных интервалов, так как он тесно связан с решением ряда задач, которые будут рассмотрены ниже. Выберем N эквидистантных точек на интервале [0,ф],соответствующиходномупериоду

,	,	гдеm(целое) = 1, … N,	(4)

В результате такой процедуры дискретизации функции f(t),вместо вычисления интеграла (2) мы приходим к необходимости вычисления дискретной суммы

	(5)

Заменяя f(tm) ее рядом Фурье (1), мы получаем

	где	(6)

Воспользуемся теперь следующим результатом:

	(7)

Первый случай очевиден, тогда как во втором случае мы суммируем серию точек pm2р/N, одинаково распределенных между 0 и 2pр. Итак, ненулевые слагаемые в сумме (6) соответствуют следующим значениям p:



где q целое положительное, отрицательное число или ноль, и следовательно

	(8)

Коэффициент, вычисленный с помощью дискретной суммы (5) является суммой коэффициентов Cnс индексами. Кроме того, коэффициенты периодичны по с периодом N. Эти зависимости представляют частный случай более общего результата.

Интересный случай имеет место для вещественной функции, когда верхние гармоники ряда Фурье становятся пренебрежимо малыми выше некоторой определенной границы nM:

	(9)

В этом случае мы можем взять

	(10)

И найти

если.	(11)

Первые членов дают в точности значения первых коэффициентов Фурье, а высшие просто повторяют эти значениякоэффициентов с периодом (см. рис.1) в верхних частотных полосах.



2.Соотношение Парсеваля

Важным результатом является соотношение Парсеваля, которое выполняется для вещественной, частотно-ограниченной функции f(t), интегрируемой на интервале [0, ф], соответствующем одному периоду:

сигнал фурье дискретизация

	(12)

Рис. 1. Диаграмма, иллюстрирующая равнозначность Фурье-коэффициентов и величин из конечной суммы для значений n, удовлетворяющих неравенству Диаграмма иллюстрируеттакже периодичность величин как функций от n для более высоких n.

Чтобы доказать формулу (12), достаточно заменить одну из f(t) в интеграле в левой части на её разложение в ряд Фурье (1):

Во многих приложениях величины, входящие в (12) представляют собой энергию, и таким образом соотношение Парсеваля показывает, что энергия за период может быть вычислена либо, как интеграл от ,либо, как сумма энергий каждой Фурье-компоненты.

3. Явление Гиббса и сходимость рядов Фурье

Условия сходимости рядов Фурье рассмотрены во многих учебниках. При этом установлено, что Фурье-разложение может быть применено к функциям имеющим конечное число разрывов в пределах одного периода ф. Предположим, что функция имеет разрыв в точке , со значениями справа и слева и , и дифференцируема в этих точках. Тогда ряды Фурье для сходятся к величине

	(13)

В этом интересном результате можно легче всего убедиться в ходе исследования частного, но довольно распространенного примера. Возьмем функцию, изображенную на рис. 2, имеющую период и разрывы в точках :

,		(14)

Пусть величина разрыва функции притакже составляет . Соответствующий ряд Фурье имеет вид:

	(15)

Возьмем теперь сумму первыхслагаемых и сравним её с исходной функцией. Разница равна:

	(16)

Исследуем эту функцию в окрестностях разрыва при. Возьмем

Следовательно

Последовательные значения различаются на а величина предполагается очень малой. Введем теперь новую переменную

В рассматриваемых условиях мы можем заменить дискретную сумму интегралом, после чего

	(17)

где - синусоидальный интеграл. При функция si имеет значение и представляет собой затухающие колебания, которые угасают экспоненциально. Первые максимумы и минимумы имеют место при

	(18)

Поведение последовательных аппроксимаций представлено на рис.2.

Рис.2. а. График разрывной функции с периодом
,
b. Первые 6 членов ряда Фурье для построенные как функция от . Сумма первых 4, 6 и 10 слагаемых.

Выделим следующие моменты:

Все частичные суммы характеризуются кривыми, проходящими через точку Следовательно, точка в середине разрыва является точкой сходимости - результат, согласующийся с условием (13).

Парциальные суммы характеризуются большими квазиколебаниями в окрестностях разрыва. Когда число слагаемых в частичной сумме достаточно велико, эти колебания представляют собой стандартную кривую (17). Колебания всегда имеют одинаковую амплитуду с максимумами и минимумами, определяемыми условием (18). Частичная сумма сначала откланяется при и превосходит истинную функцию на ~ 0,281, что выражается в относительной погрешности

	(19)



Когда число членов, включаемых в частичную сумму возрастает, длина интервала с отклонением уменьшается, однако амплитуда максимумов и минимумов сохраняется. Этот эффект называется явлением Гиббса. Из рис.2 легко заметить, что высота отклонения всегда составляет 18%, в случаях, когда в частичную сумму включены 4, 6 и 10 членов.

Результаты, полученные на частных примерах, являются, тем не менее, общими и могут быть применены к любой разрывной функции. Возьмем функциюс периодом и разрывами при . Непрерывная функция может быть построена следующим образом:

добавляя к функции определенное количество функций (14) помноженных на подходящие коэффициенты. Ряды Фурье для непрерывной функции Gбыстро сходятся с коэффициентами, убывающими как или быстрее (15). Наличие же разрывов в f функции приводит к коэффициентам, убывающим только как 1/n (15)и поведение Фурье-рядовв окрестности разрывов определяется этими плохо сходящимися членами.

Другой важный пункт, который следует подчеркнуть, состоит в том, что частичная сумма , представляющая наилучшую из возможных аппроксимаций исходной функции, позволяет получить наименьшее среднеквадратичное отклонение.

4. Интеграл Фурье

Рассмотрим интеграл Фурье на упрощенном примере, который довольно точно соответствует основным практическим задачам импульсной техники. Возьмем импульс продолжительностью , повторяющийся периодически с периодом . Проанализируем эту импульсную систему с помощью рядов Фурье в соответствии с уравнениями (1) и (2) (см. рис.3):

Рис.3. импульс продолжительностью , повторяющийся периодически с периодом .

Используемые соотношения имеют вид:

		(20)

где - вещественная функция. Поскольку за пределами короткого интервала импульс является нулевым, то пределы интегрирования для могут быть взяты от до . Теперь предположим, что расстояние между последовательными импульсами возрастает, стремясь к пределу . Дискретная сумма для может быть записана в виде:

Когда становится очень большим, сумма принимает вид интеграла:

	(21)

И

	(22)

C ()

Рис.4.Непрерывный спектр интеграла Фурье изображенный, как огибающая дискретного спектра .

Во втором интеграле (22) реальное интегрирование осуществляется по интервалу , соответствующему одному импульсу, так как только при

Прибольших для мы получаем дискретный спектр, огибающей которого является непрерывный спектр интеграла Фурье. Чем длиннее , тем короче будет интервалв дискретном спектре (рис.3). Уравнения (21) и (22) показывают полную взаимосвязь между и . Если импульс имеет спектр , то импульс имеет спектр .

Если импульс является симметричным, то его спектр также симметричен:



	(23)
	(24)

Представленные формулы являются базисными и будут востребованы в дальнейшем обсуждении. Теперь приведем несколько примеров импульсов и их спектров:

Прямоугольный импульс	Спектр
		(25)
Колоколообразный импульс	Прямоугольный спектр
		(26)
Треугольный импульс
		(27)
Гауссов импульс	Гауссов спектр
		(28)

Соответствующие функции представлены на рисунке 5. Первые два случая являются примерами зеркальных функций, отображающих симметрию переменных в уравнениях (23) и (24).

Аналогично уравнению (12) для рядов Фурье, для интеграла Фурье существует соотношение Парсеваля. Оно получается простым путем:

Где функция заменена на Фурье-интеграл (21). Интегрируя по можем записать:

в результате чего получаем:

	(29)

Для многих физических задач такой интеграл определяет полную энергию E, связанную с колебанием амплитуды иследовательно величина может быть подсчитана как из самого колебания так и из его спектра Фурье.

Рис.5. Примеры соответствия функций и их Фурье-спектров, согласно формулам (25) - (28). Отмечена симметрия переменных в первых двух случаях (стрелками) и симметрия импульса и спектра в последнем.



5.Роль ограниченной ширины частотной полосы

Одной из важнейших особенностей любых реальных сигналов, является то, что они генерируются в ограниченных частотных диапазонах и, следовательно, характеризуются конечной шириной частотной полосы.

Система может быть низкочастотной и работать в частотах от нуля до определенного максимума , или полосовой и использовать частоты в пределах от до . Так называемый, высокочастотный тип системы является гипотетическим, поскольку нет такой реальной физической системы, которая бы работала без верхнего частотного предела. Анализ полосовых систем может быть сведен к низкочастотному случаю. Поэтому в дальнейшем мы можем ограничиться рассмотрением только низкочастотных задач.

Вопрос состоит в следующем: какой вид сигнала может быть передан, если его верхняя частота ограничена величиной ? Или другими словами: каковы характеристики функции , чей частотный спектр Фурье не превосходит

Ограниченность частотной полосы означает, что ее ширинаДн1 определяется следующими неравенствами:

			(30)

Рассмотрим справедливость утверждения, согласно которому сигнал продолжительностью требует для своего отображения спектральный интервал, определяемый неравенством:

		(31)

На практике границы полосы частот определены не строго. Так, частоты внутри полосы имеют гораздо большие, в сравнении с частотами за её пределами. Таким образом, функциябудет представлять собой сигнал с относительно большой интенсивностью для промежутка времени и относительно малой интенсивностью за пределами этого промежутка. Следовательно, произведение имеет ограничение снизу и такой результат установлен в разделе «Оптика» курса «Общей физики» путем разложения в интеграл Фурье цуга электромагнитной волны конечной временной протяженности. Справедливость (31) можно качественно увидеть из примеров (25) - (28), где сигналы, определенные более четко имеет большую полосу частот.

Проблема количественного определения ширины частотной полосы и продолжительности сигнала является эмпирической. Следующий экспериментальный пример показывает схему нахождения количественных значений. Установлено, что для передачи сигнала покрывающего 525 линий на экране, повторяющегося 30 раз за секунду, с 360 импульсами на одну линию требуется полоса около 6 мГц. Отсюда находим длину импульса:

И

Приведенный пример подтверждает, что ширина полосы и продолжительность сигнала удовлетворяют неравенству (31).



Основная литература

Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов. С. Пб.: Питер, 2013, 608 с.

Солонина А.И. и др. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. С. Пб.: БХВ - Петербург, 2013, 601 с.

Бугаев Л.А., Авакян Л.А., Махова М.С., Дмитриенко Е.В., Алексеенко И.Б. Разрешение межатомных расстояний с помощью Фурье-анализа рентгеновских спектров поглощения малой энергетической протяженности. Оптика и спектроскопия, 2008, т.105, № 6, с.962-969.

Размещено на Allbest.ru