Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• 1. Постановка задачи
• 2. Теоретические сведения
• 2.1. Динамика пространственного движения самолета
• 2.2. Оптимальное управление дискретными системами
• 2.3. Полная управляемость системы по состоянию
• 3. Начальные данные
• 4. Ход решения задачи
• 5. Результаты вычислений
• 6. Графики
• Выводы
• Список использованной литературы
• Приложение (текст программы - 1 случай) [Mathcad 14]
• Постановка задачи
• Дано:
• Система дифференциальных уравнений, описывающая движение высокоманевренного фронтового истребителя:
• Фазовые координаты: , управление: .
• - угловая скорость крена;
• - угловая скорость рыскания;
• - угол скольжения;
• - угол крена;
• - угол рыскания;
• - управление углом ;
• - управление креном.
• СДУ представима в виде: ,
• где
• Функционал качества управления:
• .
• Требуется:
• 1). От системы ДУ, используя метод Эйлера перейти к разностной схеме, шаг при переходе - сек., время - сек.
• 2). Проверить систему на управляемость.
• 3). Построить графики: ,,,,,.
• 4). При заданных матрицах и - проверить влияния матрицы .
• 1. Теоретические сведения
• 1.1 Динамика пространственного движения самолета
• Угол рыскания - угол поворота корпуса самолёта в горизонтальной плоскости, отсчитываемый от направления на север. Этот угол сходен с курсом, но отсчитывается строго в соответствии с выбранной системой координат.
• Угол крена - угол, характеризующий поворот самолёта вокруг его продольной оси.
• Угол скольжения - угол между воздушной скоростью самолета и плоскостью симметрии самолета.
• Управление углом крена самолета осуществляется элеронами, управление углом и углом рыскания - рулем направления.
• 1.2 Оптимальное управление дискретными системами
• Пусть математическая модель объекта управления описывается разностным уравнением:
• , ,
• с начальным условием: ,
• а функционал качества управления имеет вид:
• ,
• где: - матрицы размера и ;
• - симметричная, положительно определенная матрица ,
• - симметричные, неотрицательно определенные матрицы .
• Требуется, зная начальное состояние, выбрать такое допустимое управление для системы, которое придаёт функционалу минимальное значение, т.е. в задаче ищется .
• Алгоритм поиска оптимального управления дискретной системой:
• 1). Обратный ход алгоритма (вычисляются вспомогательные матрицы):
• 2). Прямой ход алгоритма (вычисляются фазовые координаты и управление):
• 1.3 Полная управляемость системы по состоянию
• Теорема 1: Линейная нестационарная система
• ,
•  является полностью управляемой по состоянию только в том случае, если матрица имеет ранг :
• 2 Начальные данные
• Вариант № 2, Режим № 8.
• 1). Коэффициенты для 11 режима полета высокоманевренного фронтового истребителя.

0,0919	3,1215	2,1499	0,014	0,8929	0,3877	0,0279	0,9998	0,59	0,13
1,9603	21,6404	17,3369	0,0298	-0,3603	-0,0753	0,022	0,01	0,12

• 2). Вектор начальных значений фазовых координат.
• .
• 3). Матрицы функционала качества управления (для 6 различных случаев).
• А). , .
• Б). , .
• В). , .
• Г). , .
• Д). , .
• Е). , .
• (одинакова для всех случаев).
• 3 Ход решения задачи
• 1). От системы ДУ перейдем к разностной системе, используя метод Эйлера с шагом сек.
• =>
• =>
• =>
• =>
• =>
• , где .
• 2). Запишем матрицы , .
• ,
• .
• 3). Запишем функционал качества управления для дискретной системы.
• .
• 4). Найдем оптимальное управление и соответствующие фазовые координаты, исходя из условия , по вышеизложенному алгоритму с помощью уравнения Беллмана.
• 5). Проверим систему на управляемость.
• Согласно теореме 1, найдем матрицу и вычислим ее ранг.
• =>
• система - полностью управляема по состоянию.
• 4 Результаты вычислений
• 1 случай.

0	1	1	1.5	2	1
1	6.614928	-2.349614	2.544569	2.43	0.89
2	-29.285287	-1.219423	0.202584	10.4555	0.29295
3	12.681284	0.398913	-0.010775	-18.005772	-1.120235
4	-5.185979	0.524958	-0.436129	-5.739904	1.092316
5	10.923501	0.440143	0.024031	-11.293008	1.84935
6	-3.20727	0.14413	-0.123873	-0.742121	3.261729
7	5.78447	0.106238	0.068243	-4.041849	3.369521
8	-2.318427	0.020945	-0.076765	1.639523	3.868353
9	3.960249	2.608373e-3	0.044087	-0.674866	3.674333
10	-2.123644	-0.058426	-0.063303	3.277095	3.755656
11	3.450588	-0.08655	0.022636	1.220694	3.35481
12	-2.516761	7.266306e-3	-0.104745	4.734553	3.197075
13	4.311572	0.151688	0.100444	2.260851	2.629873
14	-6.25145	0.157603	0.22336	6.505535	2.37829
15	0.172774	-0.938737	0.710059	0.226154	1.618115

0	-1.009625	-2.279648
1	-4.154053	-1.586928
2	-1.892681	0.762542
3	0.314581	-0.414966
4	0.496131	0.164278
5	0.386169	-0.479789
6	0.077545	-8.593071e-3
7	0.091896	-0.278968
8	0.036791	-6.552785e-3
9	0.076844	-0.155915
10	0.032647	-2.760504e-3
11	0.035632	-0.074116
12	1.448854e-5	0.021294
13	-5.190081e-3	-6.736298e-3
14	-0.030735	0.05556

2 случай.

0	1	1	1.5	2	1
1	6.129498	-2.352163	2.544406	2.43	0.89
2	-29.461477	-1.214119	0.210944	9.971574	0.292619
3	12.378299	0.409608	-7.269674e-3	-18.673857	-1.061805
4	-5.389253	0.549299	-0.43471	-6.723965	1.232306
5	10.897833	0.46917	0.025207	-12.504544	2.110591
6	-3.413099	0.183854	-0.129039	-2.008567	3.672129
7	6.059615	0.147011	0.069701	-5.550226	3.937058
8	-2.616786	0.071337	-0.085597	0.36715	4.622196
9	4.563664	0.03877	0.054257	-2.288053	4.587412
10	-2.738081	-0.034631	-0.078708	2.229856	4.867018
11	4.672202	-0.096584	0.013198	-0.465494	4.594934
12	-3.109424	0.077723	-0.201646	4.259039	4.638237
13	7.416524	0.421896	0.073672	1.146348	4.137256
14	-8.223066	0.660344	0.364966	8.325416	4.054541
15	-0.573415	-1.14173	1.449207	-0.203998	3.141336

0	-1.003797	-2.251949
1	-4.16799	-1.548899
2	-1.910772	0.780156
3	0.296237	-0.390129
4	0.48557	0.175247
5	0.379277	-0.468258
6	0.075848	-7.415338e-3
7	0.093061	-0.279792
8	0.042178	-0.015212
9	0.08542	-0.167842
10	0.045132	-0.021135
11	0.051377	-0.096403
12	0.019353	-6.590723e-3
13	0.017352	-0.038783
14	-4.833736e-3	0.018476

3 случай.

0	1	1	1.5	2	1
1	-1.40575	-2.175387	2.544666	2.43	0.89
2	-3.585641	-0.968779	0.567121	2.332029	0.3156
3	-0.146883	0.062133	-0.220434	-0.658712	-0.090185
4	0.714608	0.200054	-0.179604	-0.848841	-3.062246e-3
5	0.374294	0.066533	-0.028215	-0.260753	0.124806
6	0.042724	-9.658054e-3	0.020249	0.071679	0.164745
7	-0.043445	-0.016175	0.012297	0.120819	0.154888
8	-0.02862	-6.045082e-3	1.207221e-3	0.088125	0.138287
9	-0.012492	-1.251925e-3	-1.471402e-3	0.063953	0.126926
10	-0.010254	-9.986284e-4	-5.81666e-4	0.052839	0.119089
11	-0.011975	-1.349416e-3	1.99818e-4	0.043703	0.112619
12	-0.012153	-1.259356e-3	4.275548e-4	0.032961	0.107199
13	-0.0105	-1.596758e-3	4.315781e-4	0.02188	0.10308
14	-3.895641e-3	-3.085415e-3	-2.828136e-4	0.012542	0.100247
15	1.813073e-3	-1.926203e-3	-2.902997e-3	0.010592	0.098341

0	-1.013102	-1.816833
1	-4.648489	-2.603578
2	-1.454854	-0.40422
3	0.28597	0.225952
4	0.362794	0.139856
5	0.087679	6.018131e-3
6	-0.02839	-0.023457
7	-0.025013	-9.642615e-3
8	-4.530623e-3	1.167433e-3
9	2.143613e-3	3.037628e-3
10	1.018819e-3	1.954631e-3
11	-4.975721e-4	1.17068e-3
12	-7.000244e-4	8.093026e-4
13	-1.812931e-4	3.126241e-4
14	-4.338739e-5	5.354513e-4

4 случай.

0	1	1	1.5	2	1
1	-1.406688	-2.175398	2.544665	2.43	0.89
2	-3.585999	-0.968767	0.567132	2.331097	0.315598
3	-0.147074	0.062164	-0.220431	-0.660018	-0.090073
4	0.714508	0.200096	-0.179605	-0.850368	-2.789661e-3
5	0.374221	0.066581	-0.028216	-0.262421	0.125267
6	0.042649	-9.606914e-3	0.020248	0.069893	0.165413
7	-0.043531	-0.016121	0.012296	0.11891	0.155777
8	-0.028713	-5.985575e-3	1.204766e-3	0.086079	0.139412
9	-0.012581	-1.18331e-3	-1.47311e-3	0.061759	0.128304
10	-0.01032	-9.287444e-4	-5.781063e-4	0.050493	0.12074
11	-0.011959	-1.316016e-3	2.045864e-4	0.041226	0.11456
12	-0.011813	-1.302918e-3	3.908352e-4	0.030456	0.109441
13	-9.239351e-3	-1.594063e-3	2.686431e-4	0.019716	0.105617
14	-2.017104e-4	-2.616401e-3	-5.343933e-4	0.011614	0.103044
15	5.158174e-3	-5.520453e-4	-2.79208e-3	0.013072	0.10131

0	-1.013088	-1.81678
1	-4.648518	-2.603503
2	-1.454888	-0.404201
3	0.285953	0.225964
4	0.362789	0.139867
5	0.087677	6.027394e-3
6	-0.028393	-0.023448
7	-0.025017	-9.631605e-3
8	-4.535048e-3	1.179696e-3
9	2.141039e-3	3.047115e-3
10	1.024712e-3	1.95105e-3
11	-4.74313e-4	1.142275e-3
12	-6.6228e-4	7.626443e-4
13	-1.313613e-4	2.304926e-4
14	-5.877152e-6	4.395042e-4

5 случай.

0	1	1	1.5	2	1
1	-2.635432	-1.385632	2.36552	2.84	0.72
2	-1.066552	-0.868977	1.050402	0.510438	-0.575402
3	-0.269815	-0.206133	0.193252	-0.383352	-1.006606
4	0.053727	0.043633	-0.015822	-0.619752	-0.957563
5	0.134098	0.056636	0.011988	-0.583612	-0.757675
6	0.125795	0.022357	0.046545	-0.469028	-0.564468
7	0.099627	4.143416e-3	0.047715	-0.354516	-0.416605
8	0.076494	9.458446e-4	0.034827	-0.260994	-0.308925
9	0.058871	1.972175e-3	0.023091	-0.188595	-0.230324
10	0.045537	2.644084e-3	0.015818	-0.132927	-0.173114
11	0.035239	2.999704e-3	0.01173	-0.089886	-0.13239
12	0.026461	3.724759e-3	9.842419e-3	-0.056564	-0.104465
13	0.016417	3.013809e-3	0.010058	-0.03166	-0.086303
14	-5.100463e-4	-5.295647e-3	0.01065	-0.01629	-0.075841
15	-0.030356	-0.026497	4.170728e-3	-0.016038	-0.072649

0	-0.683168	-1.105911
1	-4.714311	-1.947149
2	-2.443037	-0.878414
3	-0.559008	-0.169137
4	0.011766	3.324338e-3
5	1.880721e-3	-0.019994
6	-0.071931	-0.047549
7	-0.08527	-0.046727
8	-0.064922	-0.034317
9	-0.04315	-0.023241
10	-0.029561	-0.01623
11	-0.022318	-0.012079
12	-0.017532	-9.730539e-3
13	-0.011198	-8.641283e-3
14	-4.790906e-4	-6.800006e-3

6 случай.

0	1	1	1.5	2	1
1	1.863665	-1.529179	2.366237	2.84	0.72
2	-5.992367	-1.349428	0.631161	5.036809	-0.621337
3	-2.453521	-0.212276	-0.277259	-0.623614	-2.564197
4	0.799325	0.318411	-0.332155	-3.046156	-2.445041
5	1.457799	0.276979	-0.107615	-2.353022	-1.429303
6	0.788232	0.089476	0.03486	-0.983144	-0.634763
7	0.151516	-0.013606	0.051799	-0.226659	-0.311188
8	-0.061327	-0.024025	0.0205	-0.075958	-0.247544
9	-0.025713	-3.698787e-3	-2.68783e-3	-0.13386	-0.232444
10	0.040388	9.300063e-3	-7.500846e-3	-0.160878	-0.19347
11	0.058238	0.010685	-3.685949e-3	-0.124671	-0.14223
12	0.041502	7.814105e-3	9.426781e-4	-0.070333	-0.10141
13	0.0171	3.434638e-3	4.592589e-3	-0.031371	-0.07781
14	-6.42921e-3	-5.309767e-3	5.927134e-3	-0.015394	-0.067299
15	-0.030521	-0.016636	1.922601e-4	-0.021045	-0.06438

0	-0.769522	-1.425241
1	-4.074031	-1.594848
2	-2.092241	-0.354487
3	-0.028395	0.183173
4	0.584274	0.177939
5	0.345655	0.033112
6	0.033454	-0.041927
7	-0.078179	-0.040145
8	-0.053699	-0.015611
9	-8.176453e-3	-5.781337e-4
10	0.010717	2.155128e-3
11	8.463548e-3	5.353241e-5
12	1.976135e-3	-2.141087e-3
13	-5.804217e-4	-3.505654e-3
14	-1.116794e-4	-2.778321e-3

5 Графики

1 случай.

Оптимальное управление.

Управление углом :

[]

Управление креном:

[]

Фазовые координаты.

Угловая скорость крена:

[]

Угловая скорость рыскания:

[]

Угол скольжения:

[]

Угол крена:

[]

Угол рыскания:

[]

2 случай.

Оптимальное управление.

Управление углом :

[]

Управление креном:

[]

Фазовые координаты.

Угловая скорость крена:

[]

Угловая скорость рыскания:

[]

Угол скольжения:

[]

Угол крена:

[]

Угол рыскания:

[]

3 случай.

Оптимальное управление.

Управление углом :

[]

Управление креном:

[]

Фазовые координаты.

Угловая скорость крена:

[]

Угловая скорость рыскания:

[]

Угол скольжения:

[]

Угол крена:

[]

Угол рыскания:

[]

4 случай.

Оптимальное управление.

Управление углом :

[]

Управление креном:

[]

Фазовые координаты.

Угловая скорость крена:

[]

Угловая скорость рыскания:

[]

Угол скольжения:

[]

Угол крена:

[]

Угол рыскания:

[]

5 случай.

Оптимальное управление.

Управление углом :

[]

Управление креном:

[]

Фазовые координаты.

Угловая скорость крена:

[]

Угловая скорость рыскания:

[]

Угол скольжения:

[]

Угол крена:

[]

Угол рыскания:

[]

6 случай.

Оптимальное управление.

Управление углом :

[]

Управление креном:

[]

Фазовые координаты.

Угловая скорость крена:

[]

Угловая скорость рыскания:

[]

Угол скольжения:

[]

Угол крена:

[]

Угол рыскания:

[]

истребитель управление функционал качество

Выводы

В данной работе проводилось исследование бокового движения высокоманевренного фронтового истребителя. Требовалось найти оптимальное управление, с помощью минимизации функционала качества управления.

При анализе системы, которой описывается движение истребителя, было установлено, что система - полностью управляема по состоянию.

Было рассмотрено 6 различных случаев функционалов качества управления. Исследование параметров задачи привело к следующим результатам:

· Матрица Q накладывает ограничения на поведение фазовых координат в данный момент времени, т.е. учитывает ошибки управления в каждый момент времени. Ее изменение существенно влияет на результаты. Замечена прямая зависимость между значениями элементов матрицы и ограничением на значения фазовых координат. Т.е. с увеличением значений элементов матрицы Q, ошибка управления корректируется больше.

· Матрица R накладывает ограничения на поведение фазовых координат в конечный момент времени. Чем больше значение СЗ матрицы R, тем большие ограничения накладываются на фазовые координаты в конечный момент времени, т.е. происходит большая коррекция ошибки управления в конечный момент времени.

· Матрица K - есть матрица ограничения управления, в данной работе она не изменялась и соответствует возможностям системы управления истребителя.

В силу вышеизложенного стоит отменить, что в случаях 3,4,5,6 - стабилизация полета происходить приблизительно к 10-13 секундам, а в случае 1,2 - даже к 15 секунде не наблюдается стабилизации полета в силу того, что матрица Q - нулевая и ограничения на фазовые координаты - нет, и ошибки управления не учитываются в течение всего времени, кроме конечного момента.

Список использованной литературы

1. Пантелеев А.В. Бортаковский А.С. Теория управления в примерах и задачах.

2. Бюшгенс Г.С. Студнев Р.В. Динамика самолета. Пространственное движение.

3. Б. Куо. Теория и проектирование цифровых систем управления.

Приложение (текст программы - 1 случай) [Mathcad 14]

1. Исходные данные.

-единичная матрица размера 5х5.

-число шагов.

2. Проверка матриц на неотрицательную и положительную определенность.

собственные значения матрицы К >0 => матрица К - положительно определенная

собственные значения матриц Q,R >= 0 => матрицы Q, R- неотрицательно определенные

3. Реализация алгоритма поиска оптимального управления дискретной системой.

а). Обратный ход

. . . . .

б). Прямой ход

. . . . .

Оптимальное управление:

Фазовые координаты:

5. Проверка системы на управляемость по состоянию.

=> система полностью управляема по состоянию

6. Графики оптимальных управлений и фазовых координат.

Размещено на Allbest.ru