3.3 Множинна кореляція

Двомірні кореляційні моделі ( парна кореляція) використовуються у випадках, коли серед чинників, що впливають на результативну ознаку, є домінуючий. Такі зв'язків небагато, частіше зустрічаються залежності результативної ознаки від декількох факторних, оскільки економічні явища знаходяться під впливом значного числа одночасно і чинників, що сукупно діють.

Завдання множинного кореляційно-регресійного аналізу в загальному вигляді формулюється таким чином: Хай деяка статистична сукупність, що складається з n одиниць спостереження володіє певним набором ознак, один з яких грає роль результативного, а останні - факторних . На основі спостережуваних значень всіх ознак потрібно виявити і описати зв'язок між ними у вигляді множинної кореляційної моделі вигляду: .

Рішення даної задачі вимагає послідовного виконання наступних етапів дослідження множинного кореляційного зв'язку:

* попередній відбір чинників, що включаються в модель;

* попередній опис зв'язку;

* уточнення моделі на основі аналізу кореляційної матриці;

* визначення тісноти зв'язку;

* оцінка надійності множинної кореляційної моделі;

* інтерпретація моделі.

Вивчення множинної регресії ( кореляції) вимагає вимірювання не тільки прямої дії кожного чинника на результат, але і обліку впливу чинників один на одного, тобто обліку наявності міжфакторних зв'язків. Загальне число зв'язків завжди значно більше числа чинників, що включаються в модель. Воно визначається виразом:

де - кількість факторних ознак, включених в модель.

У загальному випадку, при великому числі чинників, що враховуються, необхідно будувати складні моделі, що вимагають проведення складних розрахунків; моделі виходять громіздкими. З іншого боку, - чим велика кількість чинників враховується, тим адекватніше побудована модель. Для вирішення вказаного протиріччя заздалегідь обмежується число чинників, що враховуються . Доцільність їх включення в модель визначається наступними міркуваннями:

· вони повинні бути соїзмеріми, мати кількісний вираз;

· чинники не повинні бути інтеркорреліровани, тобто тісно зв'язаними між собою;

· вони повинні пояснювати варіацію результативної ознаки.

При включенні в модель інтеркоррелірованних чинників неможливо визначити ізольований вплив таких чинників на результативний показник, а оцінки параметрів рівняння множинної регресії будуть ненадійними, залежними від спостережень.

Попередній опис множинного кореляційного зв'язку ( МКЗ) здійснюється через побудову відповідного рівняння регресії. Практика показує, що можна використовувати наступні п'ять функцій, оскільки вони описують всі реально існуючі залежності між соціально-економічними явищами:

1. лінійна ;

2. статечна ;

3. показова (експотенциональная);

4. параболічна;

5. гіперболічна .

Працювати з нелінійними функціями складно, тому основне значення мають лінійні моделі через їх простоту і логічність економічної інтерпретації. Нелінійні форми завжди можна привести до лінійної, використовуючи відомий в математиці прийом лінеаризації функцій. Величина кожного параметра в рівнянні прямої може бути визначена по методу найменших квадратів.

При виборі форми рівняння множинної регресії необхідно мати на увазі:

1. Чим складніше функція, тим гірше інтерпретуються параметри моделі.

2. Складні функції ( поліноми) з великою кількістю чинників вимагають великого числа спостережень ( на кожен параметр не менше 6 спостережень)

Остаточний відбір чинників, тобто уточнення кореляційної моделі проводиться на основі аналізу кореляційної матриці. Кореляційна матриця складається з парних лінійних коефіцієнтів кореляції юшок r, що відображають тісноту зв'язку результативної і факторної ознаки і коефіцієнтів інтеркорреляції, що відображають тісноту зв'язку між i-м і j-м факторними ознаками.

Оцінка тісноти множинного кореляційного зв'язку проводиться на основі двох показників: множинного коефіцієнта детерміації і множинного коефіцієнта кореляції .

Для двохфакторної моделі множинний коефіцієнт кореляції визначається по формулі:

Діапазон зміни множинного коефіцієнта кореляції від 0 до 1. «0» означає відсутність зв'язку, «1» - наявність функціонального множинного зв'язку між ознаками. Для класифікації тісноти зв'язку використовується шкала Чеддока.

Для оцінки надійності виявленого зв'язку порівнюється множинний коефіцієнт кореляції з лінійними кореляційними коефіцієнтами кореляції між результатом і факторними ознаками, включеними в модель. Зв'язок визнається надійним, якщо

Завершуючим етапом множинної кореляції є інтерпретація параметрів побудованої кореляційної моделі. Чим більше величина цих параметрів ( коефіцієнтів регресії), тим значніше вплив даних чинників на результат. Важливе значення мають знак перед коефіцієнтами регресії. Знак “+” свідчить про зростання результату при збільшенні факторної ознаки, знак “-” - про зменшення результату при зростанні факторного.

Опишемо зв'язок між урожайністю льоноволокну (факторна змінна Х1), витратами праці на 1 центнер льонотрести (факторна змінна Х2) та якістю льнотрести (результуюча змінна У). Для побудови моделі лінійної регресії скористаємось матричною формулою

Таким чином, економетрична модель має вигляд:

1) розрахуємо коефіцієнт детермінації: . Цей показник показує, що вариація залежної змінної залежить від варіації пояснюючих змінних на 55,8%

2) розрахуємо коефіцієнт множинної кореляції:

Бачимо, що зв'язок між пояснюючими та залежною змінними є тісним.

3) Статистична значущість звязку, отриманого на основі економетричної моделі, оцінимо за критерієм Фішера.

Розрахуємо критичне значення критерію Фішера при рівні значущості 0,05 та ступені свободи 2 та 25:

Оскільки фактичне значення критерія Фішера є більшим за критичне, то економетрична модель є достовірною.

4) Розрахуємо критерій Стьюдента для оцінки статистичної значущості кожної оцінки параметрів економетричної моделі:

Критичне значення критерію Стьюдента при рівні значущості 0,05 та ступеню свободи дорівнює .

Таким чином, параметри є статистично достовірними, а параметр - статистично недостовірним.

3.4 Непараметрична кореляція