Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора
Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр. Волновые функции жёсткого ротатора. Разделение переменных. Интегрирование уравнения. Постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Общая формулы сферических волновых функций.
Рубрика | Химия |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 29.01.2009 |
Размер файла | 109,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
- 5 -
Полярные диаграммы и энергетические уровни волновых функций жесткого ротатора.
Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр
Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротато-ре однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, вы-раженные в единицах измерения волнового числа (см-1 ) , являющегося характеристикой излучения
(4.105)
. (4.105)
(4.107)
Величина В, определяемая (4.107), называется вращательной постоянной ротатора.
4.3.7.2. Обозначим величину и составим таблицу 4.5 воз-можных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. предста-вим его энергетическую диаграмму.
4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, одна-ко значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l:
. (4.108)
Таблица 4.5.
Уровни жесткого ротатора
l |
Символ уровня |
ЭнергияЕ, |
Вырождениеg=2l+1 |
|
0 |
S |
0 |
1 |
|
1 |
P |
2 |
3 |
|
2 |
D |
6 |
5 |
|
3 |
F |
12 |
7 |
|
4 |
G |
20 |
9 |
Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма жесткого ротатора.
Для жесткого ротатора, например, двухатомной молекулы, разрешены спектральные переходы между соседними уровнями . Поэтому, согласно уравнению 4.108, ее спектр пред-ставляет собой набор линий, отстоящих друг от друга на примерно одинаковую величину, равную в энергетической шкале, или 2В в шкале волновых чисел .
Поскольку вращательная постоянная связана с моментом инерции, изучение вращательных спектров молекул даёт возможность эксперимен-тального определения момента инерции молекул и, следовательно, меж-атомных расстояний.
4.3.3. Волновые функции жёсткого ротатора
4.3.8.1. Использование операторов сдвигов состояний позволяет также максимально просто найти собственные функций операторов и без каких-либо специальных сведений о дифференциаль-ных уравнениях. Авторы сознательно построили настоящий раздел в расчёте на внимательного читателя-химика, владеющего лишь мини-мальными, но достаточно прочными навыками в области тригонометрии и математического анализа.
4.3.8.2. Прежде всего, выпишем операторы повышения и понижения в сферических координатах, используя формулы (4.53) и (4.54):
(4.109)
В силу того, что собственные функции, получающиеся в результате действия операторов сдвига, подлежат нормировке, как это уже об-суждалось в разделе 4.3.5.10., мы имеем все основания определить эти операторы с точностью до постоянного множителя, т.е. вместо (4.109) ограничимся выражением
(4.110)
4.3.8.3. Исходные уравнения для вывода всей цепочки волновых функций - уравнения аннигиляции
(4.111)
На основании формул (4.50) и (3.28) функцию мож-но представить в виде
(4.112)
С учётом этого уравнение (4.111) в сферических координатах: запишется в форме
. (4.113)
Совершим очень несложные преобразования, приводя к дифференциальному уравнению для функции:
откуда следует (4.114)
4.3.8.4. Разделяя переменные, получаем
(4.115)
Учтём что ,
(4.116)
Интегрирование уравнения (4.116) даёт
(4.117)
где - постоянная интегрирования, определяемая из условия нормировки. Окончательно получаем формулу для функции
(4.118)
4.3.8.5.Формула (4.118) дает лишь предельные выражения волно-вых функций , отвечающие максимальному и минимальному значе-ниям квантового числа m, а именно и , или что то же самое . Все волновые функции, соответствующие промежуточным значениям очень просто получаются последовательным действием операторов с точностью до нормировочных множителей, которые могут быть рассчитаны в каждом конкретном случае
4.3.8.6.Отметим, что мы не ставим перед собой и перед читате-лем задачу вывода общей формулы сферических волновых функций. Это связано, с одной стороны, с тем, что она обязательно покажется сли-шком перегруженной индексами и коэффициентами, к которым удобнее привыкать постепенно. С другой стороны, для практических целей ред-ко требуются функции с большими значениями квантового числа l. В химическом обиходе встречается состояния с l = 0, 1, 2, 3, по-этому ограничимся этими значениями, (их символы см. в табл. 4.5 ).
4.3.8.7. Итак, нас будут интересовать s-, p-, d-, f- орбитали жесткого ротатора. Запишем соответствующие исходные функции и , с точностью до постоянного множителя:
для s-состояния и
для p- состояния и
для d- состояния и
для f- состояния и
4.3.8.8. Орбиталь s -типа - лишь одна и волновая пункция тре-бует только нормировки. Поскольку сомножитель уже нормирован, достаточно пронормировать функцию . Выделяя из эле-мента конфигурационного пространства (см. рис 4.3) все со-множители, определенные на переменной , получаем
и, соответственно, нормировочное соотношение имеет вид
(4.119)
Во всех дальнейших преобразованиях следующих двух разделов будем опускать постоянные численные коэффициенты перед волновыми функциями, получающимися в результате операций сдвигов состояний над исходными функциями - степенями синусоиды .
4.3.8.9. Квантовое число l=1 порождает три р-функции с m=1, 0, -1 т.е. орбитали с Двум из них с отвечает Нормировочный множитель находим из соотношения
.
Откуда следует: (4.120)
Функцию , необходимую для полного набора р-орбиталей, можно найти, сдвигая вниз или вверх на одно состояние
Определим нормировочный множитель для
Интегрируя с помощью подстановки и, следовательно полагая, получаем
, т.е.
4.3.8.10. Далее получим последовательно d-орбитали, отвечающие набору . Соответственно
(4.121)
(4.121)
(4.122)
Отсюда получаются d-функции
; .
Величины ;; представлены в таблице 4.6.
4.3.8.11. Аналогично получается весь набор f-функций
(4.123)
Все найденные s-, р-, d- и f-орбитали сведём в таблицу 4.6.
Таблица 4.6.
Сферические волновые функции
Уровень |
l |
m |
Символ Y |
|||||
s |
0 |
0 |
1 |
1 |
||||
p |
1 |
- “ - |
||||||
0 |
1 |
- “ - |
||||||
d |
2 |
- “ - |
||||||
- “ - |
||||||||
0 |
1 |
- “ - |
||||||
f |
3 |
- “ - |
||||||
- “ - |
||||||||
- “ - |
||||||||
0 |
1 |
- “ - |
Полярные диаграммы волновых функций жесткого ротатора.
4.3.9.1 В разделе 3.2.7. были рассмотрены полярные диаграммы волновых функций плоского ротатора. Они же - графические образа фун-кции сомножителя Теперь проанализируем полярные диаграммы функции для чего будем откладывать на радиус-векторе, исходящем из центра под углом к оси z, значения функции (рис.4.6.).
4.3.9.2. В таблице 4.6 суммированы орбитали жесткого ротатора с комплексными сомножителями которые являются собственными функциями операторов полной энергии, квадрата момента импульса и его проекции на ось z. Однако, графический об-раз комплексных функций недоступен. На рис. 4.7. представлены полярные диаграммы действительных функций , получаемых как линейные комбинации аналогично построенным в разделе 3.2.6 функциям плоского ротатора. При этом, для состояний, описываемых такими действительными функциями утрачивается определенность в значении проекции момента импульса , но сохраняется постоянное значение энергии и модуля момента импульса. Как видно на рис. 4.6 и 4.7, число узловых плоскостей на полярных диаграммах равно квантовому числу l . Анализ знаков волновых функций указывает, что орбитали s- и d- являются четными, а p- и f- нечётными по отношению к операции инверсии.
Подобные документы
Решение задач о квантовании момента количества движения пространственного ротатора и его свойства. Соотношения, касающиеся момента импульса и его проекций. Определение квадрата модуля момента импульса и вывод формулы сферических волновых функций.
реферат [144,1 K], добавлен 29.01.2009Общая характеристика квантово-механической системы, ее дискретные состояния и уровни. Приборы и измерения, их символы и математическое содержание. Операторные уравнения. Комплексное представление волновых функций и условия самосопряженности операторов.
курс лекций [72,9 K], добавлен 29.01.2009Моноциклические полиены и донорно-акцепторные соединения. Молекулярные орбитали дважды-вырожденного уровня треугольного цикла. Гибридизация орбиталей - модельный случай у плоского ротатора. Уровни МО молекулы СО в различных приближениях метода МО ЛКАО.
реферат [184,8 K], добавлен 31.01.2009Математическое описание многомерных систем. Конфигурационное пространство. Стационарное пространственное движение одной частицы. Дифференциальные уравнения в частных производных и метод разделения переменных. Анализ волновых функций многомерных систем.
реферат [54,9 K], добавлен 29.01.2009Основные достоинства и недостатки теории валентных связей. Приближенные квантовохимические способы расчета волновых функций, энергетических уровней и свойств молекул. Метод молекулярных орбиталей Хюккеля. Связывающие и разрыхляющие молекулярные орбитали.
презентация [180,6 K], добавлен 31.10.2013Место углерода в таблице химических элементов: строение атомов, энергетические уровни, степень окисления. Химические свойства углерода. Алмаз, графит, фуллерен. Адсорбция как важное свойство углерода. Изобретение противогаза и угольных фильтров.
презентация [217,1 K], добавлен 17.03.2011Изучение электронного строения атомно-молекулярных и полимерных систем в квантовой химии. Частицы и волны в классической механике. Свойства света и корпускулярно-волновая природа излучения. Атом водорода, уровни и переходы, частоты и спектральные серии.
реферат [755,6 K], добавлен 28.01.2009Порядок вычисления термодинамических функций. Описание физических, химических свойств вещества H2 и его применение. Вычисление термодинамических функций H0(T) - H0(0), S0(T), Ф0(T), G0(T) - G0(0) для заданного вещества Н2 в интервале температур 100-500К.
курсовая работа [111,6 K], добавлен 09.09.2008Строение и уровни укладки белковых молекул, конформация. Характеристика функций белков в организме: структурная, каталитическая, двигательная, транспортная, питательная, защитная, рецепторная, регуляторная. Строение, свойства, виды и реакции аминокислот.
реферат [1,0 M], добавлен 11.03.2009Двухэлектронный коллектив на примере атома гелия. Волновые функции коллектива. Перестановочная симметрия. Спиновые волновые функции. Обозначение электронной конфигурации. Орбитальные состояния. Принцип минимума энергии. Орбитальное приближение.
реферат [38,0 K], добавлен 31.01.2009