Закон постоянства углов. Закон целых чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Факультет химии и химической технологии

Кафедра неорганической химии и химической технологии

Самостоятельная работа

на тему: Закон постоянства углов. Закон целых чисел

по дисциплине: Кристаллография

Выполнила:

Байтанаева А. гр. ХТ-1-08

Проверила:

доцент Бообекова С.Б.

В земле иногда находят камни такой формы, как, будто их кто-то тщательно выпиливал, шлифовал, полировал. Это - многогранники с плоскими гранями, с прямыми ребрами. Вот эти-то камни с природной, то есть не сделанной руками человека, правильной, симметричной формы и называются кристаллами. Кристаллы, залегающие в земле, бесконечно разнообразны. Размеры природных многогранников достигают подчас человеческого роста и более. Встречаются кристаллы - лепестки, тоньше тетрадного листа бумаги и кристаллы - пласты в несколько метров толщиной. Бывают кристаллы маленькие, узкие и острые, как иголка, и бывают громадные, как колонны. В некоторых местностях Испании такие кристаллические колонны ставят как столбы для ворот. В музее Горного института в Ленинграде хранятся кристаллы горного хрусталя (кварца) высотой около метра и весом более тонны, который много лет служил тумбой ворот одного из домов Екатеринбурга. Многие кристаллы идеально чисты и прозрачны как вода. Недаром говорят: прозрачный, как кристалл, кристально чистый.

Кристаллы бывают не только природными, но так же и искусственные выращиваемые человеком. Зачем же создают еще и искусственные кристаллы, если и так почти все твёрдые тела вокруг нас имеют кристаллическое строение? При искусственном выращивании можно получить кристаллы крупнее и чище, чем в природе. Есть и такие кристаллы, которые в природе редки и ценятся дорого, а в технике очень нужны. Поэтому разработаны лабораторные и заводские методы выращивания кристаллов алмаза, кварца, сапфира и др. В лабораториях выращивают большие кристаллы, необходимее для техники и науки, драгоценные камни, кристаллические материалы для точных приборов, там создают и те кристаллы, которые изучают кристаллографы, физики, химики, металловеды, минералоги, открывая в них новые замечательные явления и свойства.

В России в Астраханской области находится безжизненное соленое озеро Баскунчак, площадь которого 106 км². Каменная соль, кристаллизуясь, образует поликристаллические структуры, напоминающие заснеженные ветви кустарника.

Вплоть до начала XX в. промышленное использование монокристаллов ограничивалось почти исключительно ювелирными самоцветами. Применение кристаллов с богатой гаммой вариаций их физических свойств, обусловленных симметрией и анизотропией, началось в 20-х годах нашего столетия. кристалл гониометр федоров угол

Требования к качеству монокристальных материалов и их массовому производству вызвало к жизни появление промышленности выращивания кристаллов. Одновременно ширится потребность в специалистах, которые умели бы целенаправленно выращивать кристаллы с требуемыми свойствами, исследовать, рассчитывать и применять эти кристаллы.

В природных условиях кристаллы не всегда развиваются в благоприятных условиях и имеют такие идеальные формы, как показываются на приводимых рисунках. Очень часто кристаллы имеют неполностью развившиеся формы, с недоразвитыми элементами ограничения (гранями, ребрами, углами). Нередко в кристаллах одного и того же минерала величина и форма граней могут значительно меняться. Часто в почвах и горных породах встречаются не целые кристаллы, а лишь их обломки. Однако, как показали измерения, углы между соответствующими гранями (и ребрами) кристаллов различных форм одного и того же минерала всегда остаются постоянными. В этом заключается один из основных законов кристаллографии - закон постоянства углов.

Чем же объясняется такое постоянство углов. Это явление связано с тем, что все кристаллы одного и того же вещества имеют одинаковую структуру, т.е. тождественны по своему внутреннему строению. Закон справедлив для одинаковых физико-химических условий, в которых находятся измеряемые кристаллы, т.е. при одинаковых температурах, давлении и др. резкое изменение углов в кристаллах может наступать при полиморфном превращении вещества (когда вещества одинакового химического состава образуют минералы с разными структурами, например: алмаз и графит).

Закон постоянства углов впервые упоминается рядом ученых: А. Кеплером, Э. Бартолином, Х. Гюйгенсом, А. Левенгуком. Этот закон был выражен в общей форме в 1669 г. датским ученым Н. Стеноном. В 1749 г. Ломоносов впервые связал закон постоянства углов с внутренним строением селитры. И, наконец, в 1772 г. французским минералогом Ромэ де Лилем этот закон был сформулирован для всех кристаллов.

Рис.1. Три кристалла кварца с различным развитием соответствующих граней

Кристаллы разных веществ отличаются друг от друга по своей внешней форме. У кристаллов одного и того же вещества облик (габитус) может оказаться совсем различным, размеры, формы и даже число граней разные, но углы между соответствующими гранями кристаллов одного вещества всегда постоянны.

Закон постоянства углов дает возможность свести все многообразие форм кристаллических многогранников к совокупности углов между гранями и изобразить их с помощью проекции. Этот закон сыграл значительную роль в развитии кристаллографии. До открытия дифракции рентгеновских лучей и разработки рентгеноструктурного анализа кристаллические вещества характеризовали и отличали одно от другого только по углам между их гранями. Основным методом диагностики кристаллических веществ в те времена было измерение углов между гранями с помощью угломерного прибора, так называемого гониометра (греч. "гонос" - угол) - прикладного или отражательного. Наиболее простым гониометром, употребляемым для приблизительных измерений, является прикладной гониометр, или гониометр Каранжо (рис.2). Для более точных измерений используют отражательный гониометр (рис.3). Измерение углов при помощи отражательного гониометра производится следующим образом: луч света, отражаясь от грани кристалла, улавливается глазом наблюдателя; поворачивая кристалл, фиксируют отражение луча света от второй грани на шкале круга гониометра, отсчитывают угол между двумя отблесками, а следовательно, и между двумя гранями кристалла.

Измерение двугранного угла будет верным, если грани кристалла, от которых происходит отражение луча света, параллельны оси вращения гониометра. Чтобы это условие всегда соблюдалось, измерение производят на двукружном или теодолитном гониометре, имеющем два круга вращения: кристалл может поворачиваться одновременно вокруг двух осей - горизонтальной и вертикальной.

Рис.2. Измерение гранного угла кристалла с помощью прикладного гониометра

Рис.3. Принципиальная схема отражательного гониометра

Теодолитный гониометр изобретен в конце XIX в. русским кристаллографом Федоровым и независимо от него немецким ученым В. Гольдшмидтом. общий вид двукружного гониометра показан на рис.4.

Е.С.Федоров

Рис.4. Теодолитный гониометр Федорова

Прибор состоит из двух градуированных лимбов: вертикального В, вращающегося вокруг горизонтальной оси, и горизонтального Г, вращающегося вокруг вертикальной оси. Оба лимба снабжены нониусами. Измерения проводят с точностью до 1 мин.

Кристалл К прикрепляют пластелином к стерженьку - кристаллоносцу, укрепленному на особой подставке, находящейся в середине вертикального круга. Центр кристалла должен совпадать с точкой пересечения осей вращения обоих кругов. Установленный кристалл вращается вокруг этих двух осей и освещается со стороны источником света. Задача исследователя - уловить отраженные лучи от той или иной грани кристалла.

Поймав в зрительной трубе отраженный луч, берут отсчеты по нониусам. Взятые отсчеты дают две угловые величины - так называемые "сферические координаты". Кристалл считается измеренным, если для каждой его грани определены на гониометре соответственные сферические координаты. По найденным угловым величинам с помощью специальных таблиц и определителей Е.С. Федорова, А.К. Болдырева и других устанавливают вещество измеренного кристалла.

Метод гониометрического определения кристаллического вещества и в известной степени его внутреннего строения по внешним формам кристаллов позволили Федорову ввести в практику диагностики минералов кристаллохимический анализ.

Открытие закона постоянства углов позволили измерением гранных углов кристаллов и сравнением данных измерения с имеющимися табличными величинами устанавливать принадлежность исследуемого кристалла к определенному веществу. Федоров провел большую работу по систематизации огромного литературного материала по измерению кристаллов. Использовав его, а также собственные измерения кристаллов, Федоров написал монографию "Царство кристаллов" (1920).

Ученики и последователи Федорова - советский кристаллограф А.К. Болдырев, английский ученый Т. Баркер (1881-1931) значительно упростили методы определения кристаллов. В настоящее время кристаллохимический анализ сводится к измерению на гониометре необходимых углов и к определению вещества по справочным таблицам.

Метод гониометра не утратил своего значения и в настоящее время.

Многообразие внешнего облика кристаллов, встречающихся в природе, обусловлено различными сочетаниями, или комбинациями, простых форм. Определив элементы симметрии кристалла, количество простых форм и вид симметрии кристалла, не всегда получают однозначное представление о кристалле. Один класс симметрии может включать в себя несколько различных по внешнему виду кристаллов. Например, кристаллы кварца могут встречаться в виде гексагональной дипирамиды или комбинации гексагональной дипирамиды с гексагональной призмой (рис.5, а и б).

а) б)

Рис.5

Разные по внешнему виду оба кристалла имеют одинаковую формулу симметрии: L₆6L₂7PC. Таким образом, определение вида симметрии не всегда дает нам однозначное представление о внешнем облике кристалла.

Для более точной характеристики кристалла определяют взаимное расположение его граней в пространстве по отношению к определенным координатным осям и некоторой исходной грани. Для определения грани применяются так называемые кристаллографические символы. Понятие о кристаллографических символах вытекает из второго закона кристаллографии, открытого в 1784 г. французским исследователем Р.Ж. Гаюи. Этот закон называется законом рациональных отношений или законом параметров, именуемым также законом целых чисел.

Закон целых чисел гласит: положение всякой грани может быть определено тремя целыми числами, если за оси координат выбраны направления трех ребер кристалла и за единицы измерения взяты отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кристалла.

За оси координат выберем направления трех непараллельных ребер кристаллического многогранника, а за единицы измерения (параметры) по этим осям - отрезки, отсекаемые на них какой - либо гранью кристалла, принятой за "единичную". Пусть "единичная" грань отсекает на осях координат отрезки Оа, Ов, Ос.

Нередко дается и другая формулировка данного закона: для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению целых чисел, т.е.

(1)

Где целые, взаимно простые и для реальных кристаллов малые числа.

Рис.6

Плоскость АВС может быть гранью кристалла, только если отрезки ОА, ОВ, ОС, отсекаемые ею на осях координат, и "единичные" отрезки Оа, Ов, Ос связаны между собой соотношением (1). Именно поэтому на растущем кристалле появляются только грани определенного наклона, характерного для данного вещества. Иначе говоря, на кристаллическом многограннике образуются лишь такие грани, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и "единичной" гранью на трех ребрах кристалла, принятых за оси координат, равны отношению небольших целых, взаимно простых чисел.

Грани, для которых отношение является иррациональным, невозможны в реальном кристалле. Как правило, числа, не превышающие 5. если эти числа будут целые, но больше 5, то грань возможна, но ее появление маловероятно.

Таким образом, согласно закону Гаюи, наклон всякой грани кристалла можно определить тремя целыми числами, если за оси координат выбрать направление трех ребер кристалла, а за единицы измерения - отрезки, отсекаемые на этих осях одной из граней кристалла.

Закон Гаюи был установлен на основании изучения многогранных форм природных кристаллов, но в нем с замечательной интуицией были подмечены закономерности кристаллической структуры. Нетрудно видеть, что закон целых чисел истолковывается просто и наглядно, если знать, что ребра кристалла, которые соответствуют рядам решетки, а грани - плоским сеткам. Если за оси координат выбраны те ребра кристалла, которые соответствуют трем элементарным трансляциям (ребрам элементарной ячейки), то двойные отношения отрезков определяют (с точностью до целого множителя) тот же символ Миллера грани (hkl), что и уравнение (1), т.е.

Итак, любую кристаллографическую плоскость и любую грань кристалла можно определить тремя целыми числами - индексами Миллера, которые представляют собой:

1) коэффициенты в уравнении плоскости, написанном в параметрической форме (при условии, что координаты выражены в относительных единицах х/а, у/b, z/c), или

2) величины, обратно пропорциональные отрезкам, отсекаемым плоскостью на осях координат, или

3) величины, пропорциональные двойным отношениям осевых отрезков согласно закону рациональности параметров.

Чтобы найти индекс Миллера любой кристаллографической плоскости, надо, прежде всего, выбрать начало координат (но в данной плоскости); затем выразить отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат, через осевые отрезки а, b, c; далее найти обратные значения этих величин, привести их к виду наименьших возможных рациональных дробей, имеющих общий знаменатель, и, наконец, отбросить общий знаменатель и заключить полученные три числа в круглые скобки.

Если известны углы, составляемые плоскостью с осями координат, то символы Миллера определяют по сетке Вульфа.

Рис.7

Чтобы построить плоскость (hkl), нужно нанести на осях координат отрезки a/h, b/k, c/l; через полученные таким образом точки проходит плоскость семейства (hkl), ближайшая началу координат. Для выбора осей координат и единичной грани кристалла имеются условные международные правила.

С помощью рентгеноструктурного анализа можно определять симметрию структуры, форму и параметры элементарной ячейки, и соответственно символы плоскостей и направлений по рентгенограммам и по их проекциям.

Символы граней и ребер кристаллических многогранников тоже удобно определять с помощью кристаллографических проекций.

Заключение

Познакомившись с миром кристаллов, понимаешь, что эта область науки интересна и занимательна. Кристаллы бывают не только природными, но так же и искусственные выращиваемые человеком. Так же, как сама природа человек может задать форму, цвет и многие другие свойства кристаллам.

Основываясь на законе рациональных отношений, легко научиться определять на глаз символы граней на моделях идеальных кристаллических многогранников или на реальных многогранных кристаллах.

Закон постоянства углов дает возможность различить кристаллы, измеряя углы между соответствующими гранями.

Использованная литература

1) Бондарев В.П., Основы минералогии и кристаллографии, Москва "Высшая школа" 1978

2) Шафрановский И.И., Краткий курс кристаллографии, Москва "Высшая школа" 1984

3) Шаскольская М.П., Кристаллография, Москва "Высшая школа" 1984

Размещено на Allbest.ru