В выражении (3.2) модуль упругости тяжелых бетонов с учетом влияния климатических условий определяется по формуле [27]:

(3.3)

где, K_w, K_t - коэффициенты, учитывающие влияние влажности и температуры окружающей среды (табл.3.1).

Таблица 3.1

Значение коэффициентов K_w, и К_t

Влажность W, %	10	20	30	40	50	60	70
Коэффициент Kw	0,85	0,875	0,900	0,925	0,950	0,975	1,00
Температура, Т,°С	10	20	30	40	50	60	-
Коэффициент Kt	1,05	1,00	0,95	0,875	0,800	0,700	-

3.3 Вывод системы разрешающих уравнений свода оболочек

Уравнения теории пологих оболочек в декартовых координатах. Принятая схема координат, усилий и перемещений и положительные их направления приведены на рис.3.1 Наиболее распространенным оболочкам относяться пологие оболочки, у которых отношение стрелы подъема к меньшему пролету не превышает

f⁰/l_мин 1/5.

В пологих оболочках внутренняя геометрия срединной поверхности отождествляется с геометрией плоскости.

Квадрат линейного элемента определяется выражением

ds² = dx² + dy². (3.4)



Рис. 3.1 Элемент оболочки и действующие на него усилия и моменты.

Кривизны и радиусы кривизны поверхности оболочки до деформации изгиба представляется в виде

(3.5), кручения

z = z (х, у) - уравнение срединной поверхности оболочки.

Гауссовы и средние кривизны выражается:

K = k₁k₂; (3.6)

Если пологая оболочка очерчена по произвольной поверхности, то главные кривизны k₁ и k₂ (при k₁₂ = 0).

В.З. Власов рекомендует [29] приближенно принимать постоянными, когда они вдоль координатных линий нигде не меняют знака.

В последующих формулах k₁; k₂ и k₁₂ полагаются постоянными.

Уравнения равновесия не в линиях главных кривизн:

(3.7)

После исключения четвертого и пятого уравнений, система первых пяти уравнений (3.7) сводится к трем:

(3.8)

Зависимости между деформациями и перемещениями:

деформации удлинения и сдвига срединной поверхности

(3.9)

деформации изгиба и кручения срединной поверхности

Зависимости между усилиями и деформациями принимается в виде:

(3.10)

(3.10)

Здесь, и - осевая и цилиндрическая жесткость

Выражения для S₁₂; S₂₁; Н₁₂ и Н₂₁ при подстановке в шестое уравнение системы (3.7) обращают его в тождество.

Уравнения (3.8), выраженные через перемещения с помощью формул (3.9) и (3.13), являются разрешающими уравнениями равновесия метода перемещений, имеют симметричную структуру дифференциальных операторов относительно диагональных членов

(3.11)

Здесь, L_ji (ji=1, 2,3) - дифференциальные операторы, имеющие вид:

При расчете пологих оболочек по технической теории обычно пользуются уравнениями, пренебрегая в уравнениях (3.7) членами с Q₁ и Q₂, и членами с H₁₂; Н₂₁; М₂ и М₁, содержащими выражения кривизны k₁; k₂ и k₁₂; последнее пренебрежение приводит к парности сдвигающих и крутящих моментов, при этом

S₁₂ = S₂, = S и Н₁₂ = Н₂₁ = Н. (3.13)

Кроме того, в выражениях деформаций изгиба и кручения (3.9) пренебрегают также членами, содержащими кривизны k₁, k₂ и k₁₂. В результате уравнения (3.11) принимают вид:

(3.14)

Зависимости (3.9) принимают вид:

(3.15)

Выражения (3.10) с учетом (3.14) принимают вид:

(3.16)

Выражения операторов (3.12) принимают вид:

(3.17)

Остальные операторы L_ji остаются без изменения.

Указанные упрощенные уравнения пологих оболочек обычно используются при расчетах в предположении, что моментное напряженное состояние является быстроизменяющимся и затухающим по мере удаления от края оболочки или иной линии возмущения напряженного состояния [30].

Для оболочек положительной кривизны во всех приведенных уравнениях члены, содержащие кривизну кручения поверхности k₁₂, следует отбросить, при этом для оболочек отрицательной кривизны k₁ и k₂ должны вводиться с разными знаками.

При пользовании упрощенными зависимостями технической теории пологих оболочек и при отсутствии продольных нагрузок р₁ и р₂ наряду с уравнениями (3.11), записанными в перемещениях, пользуются выведенные В.З. Власовым [29] два разрешающих уравнения смешанной формы, относительно двух функций - функции напряжений (рис.3.2) Ф (Н·см) и функции прогиба w (см). Эти уравнения имеют вид:

При этом

(3.18)

где

(3.19)

При этом

(3.20)

Первое из уравнений (3.18) является уравнением неразрывности деформации оболочки, а второе - уравнением равновесия.

Уравнения (3.18) и эквивалентные им уравнения (3.11) при выражении операторов L₁₃ и L₂₃ по формулам (3.17) и значениях р₁=p₂=0 сводятся при некоторых граничных условиях к одному разрешающему уравнению относительно одной разрешающей функции F:

(3.21)

где для гладких оболочек

(3.22)

Рис. 3.2 Геометрические параметры оболочки.

При решении систем разрешающих дифференциальных уравнений (3.8) или (3.15), для оболочки, у которой края (например, х=0 и у=0) свободно висят при постановке граничных условий, пять усилий - изгибающие моменты, крутящие моменты, поперечные, нормальные и сдвигающие усилия - можно свести (по каждому краю) к статически эквивалентным четырем видам усилий [29, 27] - изгибающим моментам, обобщенным поперечным усилиям и вида:

(3.23)

нормальным усилиям и обобщенным сдвигающим усилиям вида:

(3.24)

При пользовании уравнениями (3.14) и отбрасывании в выражениях (3.9) и (3.10) членов с кривизнами k₁; k₂ и k₁₂ формулы (3.24) записываются в виде:

(3.25)

а формулы (3.14) можно преобразовать к виду:

(3.26)

При расчете оболочек положительной кривизны в соответствие [29] общее напряженное состояние может быть разложено на безмоментное и напряжение краевого эффекта [31].

Уравнения безмоментной теории и условия ее применения. Уравнения равновесия (3.14) при M₁ = M₂ = H = 0 и вертикальной плавно изменяющейся нагрузке q (x, у) для оболочки рассматриваемого типа:

(3.27)

Усилия через деформации, как и для пологих оболочек положительной кривизны, выражаются формулами (3.10). Деформации через перемещения определяются формулами (3.19), которые при k₁ = k₂ = 0 будут:

(3.28)

Разрешающие уравнения (3.18) для без моментной свода оболочки вырождаются в уравнение:

которое представляет каноническую форму уравнения гиперболического типа. Без моментное напряженное состояние для данных оболочек реализуется только при определенных граничных условиях. В ряде случаев безмоментная оболочка [29] может иметь перемещения без деформации ее поверхности, т.е. без возникновения внутренних усилий. В таких случаях можно говорить о геометрической изменяемости безмоментной оболочки и необходимо переходить к расчету по моментной теории.

При отсутствии деформаций перемещения в соответствии с выражениями (3.28) должны удовлетворять уравнениям:

(3.29)

Из первых двух выражений следует:

u = f₁ (у); v = f₂ (x). (3.30)

Расчет по без моментной теории даже в тех случаях, когда оболочка оказывается геометрически неизменяемой, является ориентировочным и может использоваться для предварительных расчетов (поскольку безмоментная теория содержит ряд противоречивых особенностей: независимость сдвигающих усилий от граничных условий, неудовлетворение значениям прогибов на контуре реальным условиям опирания, отсутствие разницы в напряженном состоянии при различных граничных условиях и др.).

Решение уравнения моментной теории вариационным методом перемещений. Исходные уравнения равновесия элемента пологой свода оболочки, очерченной по поверхности эллиптического параболоида (при вертикальной нагрузке), получаются из уравнения (3.8), если в них положить k₁ = k₂ = 0 и р₁ = р₂ = 0.

При этом три уравнения (3.8) принимают следующий вид:

(3.31)

Усилия N₁, N₂, S₁₂ и S₂₁ выражаются через деформации ₁, ₂ и ₁₂ по формулам (3.10) при k₁ = k₂=0, а последние через перемещения по формулам (3.28). Моменты через деформации выражаются по формулам (3.10), которые для рассматриваемой оболочки принимают вид:

(3.32)

Деформации изгиба ₁, ₂ и ₁₂ выражаются через перемещения по формулам (3.9), которые при k₁ = k₂ = 0 принимают вид:

(3.33)

В инженерных расчетах пользуются упрощенными уравнениями технической теории пологих оболочек, отбрасывая в первых двух уравнениях равновесия (3.31) и в выражениях (3.32) и (3.33) члены с кривизной кручения k₁₂-при этом уравнения (3.31) принимают вид:

(3.34)

где S определяется формулой (3.16)

Расчет рассматриваемых оболочек разделим (рис.3.3) на две части: определение безмоментного напряженного состояния оболочки и напряженного состояния по теории краевого эффекта.

Задача статического расчета пологой оболочки по безмоментной теории связана с интегрированием, при заданных граничных условиях, второго дифференциального уравнения системы (3.18) при щ=0. Выпишем его с учетом (3.5)

(3.35)

Для рассматриваемых оболочек представляется целесообразным применить общий вариационный метод [32] приведения двухмерных задач теории упругости к одномерным, или метод приведения дифференциального уравнения в частных производных к системе линейных дифференциальных уравнений [29]. Этот метод получил значительное развитие в применении к пластинкам с непрямоугольным планом [31,32].

Решение отыскивается в виде:

(3.36)

где - выбранная система аппроксимирующих функций;

- искомая функция одного переменного.

Подставляя Ф (х, у) по формуле (3.36) в уравнение (3.35) умножаем почленно полученное выражение на

Рис. 3.3 к расчету сводов оболочки с многоугольным планом.

, затем производим интегрирование по в соответствующих пределах. В результате получается система, состоящая из числа обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций

(3.37)

Коэффициенты уравнений (3.37) являются безразмерными характеристиками. Найденные из решения системы (3.37) функции подставляются в (3.36), после чего входящие в произвольные постоянные определяются из граничных условий. Чем больше удерживается при расчете членов ряда (3.36), тем точнее получается окончательный результат. Поэтому критерием точности будет являться точное решение, если такое имеет место, или построение последующего приближения и сравнение его с результатом предыдущего.

Ввиду отсутствия исследования быстроты сходимости рассматриваемого вариационного метода в применении к решению безмоментных пологих оболочек с непрямоугольным планом погрешность первого приближения остается неизвестной. Оценка точности найденных решений может быть получена путем определения нагрузки, для которой найденное решение было бы точным. Если эта нагрузка найденное решение было бы точным. Если эта нагрузка равна то

Для оболочки с прямоугольным треугольником в плане имеем:

и, следовательно, изменяется от 15/16q вдоль линии до 20/16q вдоль края края . Наряду с этой оценкой следует построит по крайней мере два приближения для рассматриваемой задачи и сравнить результаты первого с результатом второго. Решение может быть задано в виде:

(3.38)

Для оболочки с основанием в виде равнобедренного треугольника при тех же граничных условиях принимаем:

(3.39)

Система уравнений (3.37) примет вид:

(3.40)

Вычисляя для указанных значений и интегралы и приводя подобные члены, получим для неизвестных функций и систему двух дифференциальных уравнений:

(3.41)

Решение системы (3.42) складывается из общего решения однородной системы и частного решения:

(3.42)

Общее решение однородной системы получается с помощью подстановки формулы Эйлера Тогда однородная система примет вид:

(3.43)

Решение системы (3.43) ищем в виде:

(3.44)

Подставляя (3.44) в (3.43) и сокращая на множитель , получим система уравнение для определения постоянных и

Так как для неизвестных и мы должны получить решение, отличное от нуля, то должен равняться нулю определитель

(3.45)

Получим уравнение 4-й степени относительно л. Задавая различные К, мы получаем решения для разных типов оболочек. Зависимость между четырьмя произвольными постоянными и находим, подставляя в систему уравнений (3.43) найденные значения л.

Рассмотрим оболочку для случая т.е. Из этих оболочек может быть образован пологий восьмиугольный зонтичный свод оболочек (см. рис.3.3) с краевыми элементами, не воспринимающими нормальные усилия (хотя с этим методом может быть произведен расчет и при других граничных условиях).

Раскрывая (3.45) при заданном К, получаем

(3.46)

Первые два корня находятся графически или подбором: .

Общее решение однородной системы имеет вид:

(3.47)

Учитывая, что должна быть конечной величиной при принимаем Зависимость между и , и находим, подставляя соответствующие значения в систему (3.43). Присоединяя частое решение (3.42), получаем

(3.48)

Находя и из граничного условия: при и пренебрегая величиной по сравнению с другими , входящими в формулу (3.48), имеем:

(3.49)

(3.50)

Для той же оболочки в первом приближении получаем:

(3.51)

(3.52)

Графики сдвигающих усилий на краю , найденные для первого и второго приближения. Решение для второго приближения отличается от первого на 7 - 10,5%. Оценка точности рассматриваемого метода может быть также проведена сравнением с известными решениями, полученными для других типов оболочек.

Краевой эффект в пологих сводах оболочках с непрямоугольным планом. Исходим из уравнений смешанного метода моментной теории пологих оболочек (3.18), которые для сферических свода оболочек принимают вид:

(3.53)

Рис. 3.4 К учету влияния краевого эффекта

Для определения изгибающих моментов, действующих в направлениях, параллельных краям оболочки (направления армирования), в угловых зонах представляется целесообразным записать уравнения (3,53) для рассматриваемых оболочек в косоугольной системе координата (рис. 3.4). Связь между новыми координатами и старыми выразится формулами:

(3.53)

где - угол между осями и . Уравнения (3.53) в новой системе координат примут вид:

(3.54)

При переходе от системы уравнений (3.54) к уравнению краевого эффекта считаем, что у края оболочки моменты, прогибы, усилия являются функциями только ординаты . Тогда уравнения (3.54) преобразуются к виду:

(3.55)

Если ввести новую функцию так, чтобы согласно первому из уравнений (3.55) определились через эту функцию по формулам:

То второе уравнение (3.55) примет следующий вид:

(3.56)

Заменив теперь в уравнении (3.56) на получим

(3.57)

Уравнение (3.57) является известным уравнением краевого эффекта круговой замкнутой цилиндрической оболочки, решение которого будет:

(3.58)

где

Принимая для железобетонных оболочек коэффициент Пуассона получим.

(3.59)

Пренебрегаем граничными условиями на противоположном крае и не учитываем два последних слагаемых в формуле (3.68). В результате

(3.60)

При определении величин изгибающих моментов следует оценивать, какую часть полной нагрузки на оболочку составляет нагрузка в формуле (3.60) приходящая на моментное напряженное состояние.

При где a - пролет оболочки (см. рис.3.3), ширина зоны затухания краевого эффекта не превышает 0,5 a и, следовательно, исключается возможность наложения изгибающих моментов, действующих в противоположной при контурной зоне. Учитывая формулу (3.59), имеем

(3.61)

Неравенство (3.61) устанавливает связь между r, и а при определенных значениях и определяет предел применимости безмоментной теории к рассматриваемым оболочкам. Кроме того, формула (3.59) устанавливает также размер угловой зоны в оболочке, позволяющей пользоваться решением (3.60).

Произвольные постоянные и могут быть определены при разнообразных граничных условиях на контуре. Рассмотрим случай шарнирного опирания:

при

получаем

Тогда

(3.62)

В направлении оси получаем уравнение, аналогичное уравнению (3.57), решая которое находим , Уравнение краевого эффекта не дает возможности определить крутящий момент в оболочке , величиной которого по сравнению с величинами и можно пренебречь.

В качестве примера определим изгибающие моменты в оболочке со следующими параметрами: . Задавая , получаем эпюры изгибающих моментов в оболочке (рис3.5); с уменьшением угла уменьшается величина . В табл.3.2 приведены значения для значений и расстояния, на которых действует .

Случай жесткой заделки может быть рассмотрен в местах сопряжений краев оболочек, при наличии у оболочек бортовых контурных ребер, жесткость которых превышает жесткость оболочки.

Имеем при

Получаем

Рис. 3.5 Граничные условия и распределение моментов по контуре оболочки.

Таблица 3.2

в град	в	в
45	1,84	2,17

Для оболочки с принятыми в предыдущем примере параметрами в табл. 3.3 приведены величины моментов в заделке, а также величины и расстояния, на которых они действуют.

Решение уравнения (3.57) дает возможность определять изгибающие моменты и при других случаях контурных закреплений. После того как получено решение в косоугольных координатах и определены моменты и , желательно преобразовать их в прямоугольную систему компонентов и . Выделив из оболочки треугольные элемент (рис 3.5), у которого одна сторона параллельная одной из осей новой прямоугольной системы координат, а две другие имеют направления обеих косоугольных осей и , из условий равновесия можно получить.

(3.64)

В формулах перехода (3.64) не учитывался крутящий момент , величиной которого вследствие его малости можно пренебречь.

Таблица 3.3

в град	в	в	в
45	3,68	1,43	-6,9 q

Расчет сечений и конструирование. Расчет сечений оболочек производится с учетом нормальных, касательных и главной усилий, вычисленных при статическом расчета оболочки и в соответствии с нормами проектирования бетонных и железобетонных конструкций.

Толщина стенки оболочки и принята класс бетона должны удовлетворять следующему условию: максимальная величина главного сжимающего напряжения не должна превышать расчетного призменного сопротивления , а величина главного растягивающего напряжения - 25% расчетного сопротивления бетона .

В сжатых зонах, а также в зонах, где возникают небольшие главные растягивающие напряжения, величина которых не превышает расчетного сопротивления бетона осевому растяжению , арматура в виде сеток ставится без расчета по конструктивным соображениям; площадь сечения арматуры должна составлять не менее 0,2 % от сечения бетона; сетки с квадратными или прямоугольными ячейками с шагом 20-25 см из проволоки диаметром 4 - 5 мм. На участках, где главные растягивающие напряжения превышают , они должны быть полностью восприняты арматурой; при этом в расчет вводится арматура, параллельная сторонам контура оболочки, и косая арматура.

При небольшой толщине плиты сетки располагаются в уровне срединной поверхности; при толщине 7 см и более ставятся двойные сетки.

Применение метода конечных разностей к решению систем дифференциальных уравнений свода оболочек. Решение многих задач строительной механики оболочек и, в частности, рассматриваемых в настоящей задач определения усилий в сечениях оболочек сопряжено с необходимостью численного интегрирования дифференциальных уравнений с частными производными.

Сущность этого метода заключается в том, что вместо входящих в дифференциальные уравнения отношений бесконечно малых величии рассматриваются отношения величии конечных; вместо производных, представляющих предел отношения бесконечно малых приращений функций к бесконечно малым, стремящимся к нулю приращениям аргументом или , рассматриваются отношения конечных приращений функций к соответствующим конечным приращениям аргументов , ; вместо интегральных кривых или интегральных поверхностей с плавным течением рассматриваются ломаные линии или многогранные поверхности, дающие значения функций не по всей континуальной области изменения аргументов, а лишь в конечном числе отдельных (дискретных) точек этой области (рис.3.6).

В результате вместо системы дифференциальных уравнений подлежит решению алгебраических уравнений.

Рис.3.6 Интегральная поверхность функции напряжений а - аксонометрия; б - проекция функции F на координатную плоскость xOy.

В качестве неизвестных значения функций в ряде точек;

Ниже приводятся без выводов некоторые, связывающие значения производных с аппроксимирующими их выражениями в конечных разностях, и показана техника замены производных конечно-разностными отношениями.

На интегральной поверхностей рассмотрим точки выбранные так, чтобы их проекции на координатную плоскость xOy т.е. точки 0,1,…,8, оказались лежащими в узлах прямоугольной сетки с ячейками и (рис.3.6, а). Заменяя отрезки кривых и т.д., расположенных на интегральной поверхности, вписанными ломаными, состоящими из прямолинейных участков, будем аппроксимировать производные функции по аргументам x или y отношениями конечных приращений к конечным приращениям аргументов.

Например, для лежащей на интегральной поверхности плоской кривой производная в точке может быть аппроксимирована отношением приращения функции к приращению абсциссы (рис.3.6).

(3.65)

Правая часть формулы (3.65) называется отношением правых разностей

Можно также написать отношение левых разностей:

(3.66)

Или дающее несколько более высокую точность аппроксимации отношение центральных разностей

(3.67)

Аналогично, для лежащей на интегральной поверхности плоской кривой производная может быть аппроксимирована отношением правых разностей (рис.3.6).

(3.68)

Или отношением левых разностей:

(3.69)

Или отношением центральных разностей:

(3.70)

Для аппроксимации производных второго, третьего и четвертого порядка принимаются следующие формулы (рис.3.6).

(3.71), (3.72)

(3.73)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

Техника составления конечно-разностных уравнений, аппроксимирующих дифференциальные уравнения равновесия, сводится к следующему.

Спроектируем срединную поверхность оболочки с многоугольным или прямоугольным планом на горизонтальную плоскость на координатную плоскость xOy. Ориентируем две смежные стороны контура проекции оболочки (или две оси симметрии, если таковые имеются) параллельно координатном осям Ox и Oy. Построим внутри контура проекции сетку, образованную двумя системами равноотстоящих прямых, параллельных соответственно осям Ox и Oy. Тогда площадь проекции окажется разбитой на некоторое количество одинаковых прямоугольных (или квадратных) ячеек размерами каждая.

Обозначим линии сетки, в том числе и линии контура, параллельные оси Oy, номерами 1, 2, …, m - 1, m, m + 1, …, линии сетки, параллельные оси Ox, - номерами 1,2, …, n - 1, n, n + 1, … Тогда любой узел сетки можно обозначить номерами пересекающихся в узле линий сетки, например, узел m - 1, n; узел m, n; узел m, m + 1 и т.п.

Рассматривая какой-нибудь узел сетки, например узел m, n, совместим его с узлом O схем, показанных на (рис3.6) и напишем для него конечно-разностное уравнение, заменяя члены аппроксимируемого дифференциального уравнения конечно - разностными отношения в соответствии с видом производных по формулам (3.65) - (3.76); при этом необходимо помещать рассматриваемый узел и окружающие его восемь узлов в квадрате, расположенном между положительными направлениями осей Ox и Oy.

Подобные конечно-разностные уравнения составляются для всех без исключения узлов сетки, в том числе и для узлов, расположенных на контуре проекции оболочки или на осях симметрии. Решение полученной системы линейных алгебраических уравнений с учетом заданных граничных условий может с известной степенью точности заменить решение системы дифференциальных уравнений.

Степень точности аппроксимации повышает при сгущении сетки. В некоторых случаях для повышения целесообразно сгущать сетку лишь в приконтурных полосах, в других случаях уместно применять косоугольные сетки. В заключение приведем примеры конечно-разностных уравнений.

Уравнение

Может быть по формулам (3.67) и (3.70) аппроксимировано уравнением

Для уравнения

По формулам (3.67) и (3.79) напишем

Для уравнения Лапласа

По формулам (3.71) и (3.72) напишем

Ниже на числовом примере расчета свода оболочки покажем техника составления конечно-разностных уравнений.

Анализ напряженного состояния свода оболочки гипар (трансгиполоида, рис.3.3). Уравнение срединной поверхности:

(3.77) где

(3.78)

Параметры Монжа:

(3.79)

Уравнения равновесия для случая вертикальной нагрузки (Х=0, Y=0):

(3.80)

(3.81)

(3.82)

Сопоставляя приведенные здесь формулы (3.77) - (3.82) с формулами выведенными при анализе напряженного состояния оболочки тина "эллиптической параболой" нельзя не заменить большого сходства их структуры: они различаются лишь знаком членов, содержащих коэффициенты

По аналогии с формулой запишем

(3.83)

По аналогии с формулой

(3.84)

Конечно-разностное уравнение, аппроксимирующее дифференциальное уравнение (3.84)

(3.85)

Граничные условия:

при

при . (3.86)

Свободные члены уравнений (3.85) определяются:

а) для нагрузки равномерно распределенной по поверхности оболочки, - по формуле

(3.87)

б) для нагрузки равномерно распределенной по горизонтальной проекции оболочки, - по формуле

После решения системы уравнений типа (3.85) и определения величин усилий усилия можно определить из соотношения:

(3.88)

При нагрузке, равномерно распределенной по поверхности оболочки и по ее проекции, касательные усилия в узлах, расположенных на осях симметрии, т.е. на координатных осях Ox и Oy, равны нулю; в усилия, расположенных симметрично относительно осей симметрии оболочки, касательные усилия одинаковы по абсолютной величине, но имеют противоположные знаки; нормальные усилия и, соответственно, одинаковы и по абсолютной величине и по знаку.

Величины касательных усилий определяются из соотношений типа

, (3.89)

или

(3.90)

Вычисление усилий следует начинать с рассмотрения узлов, расположенных на осях Ox и Oy, где

Расчет конструкции свода оболочек. Расчет железобетонных свода состоит в определении несущей способности плиты оболочки, контурных и коньковых элементов. Сборно-монолитная оболочка (рис.3.3) после достижения бетоном замоноличивания проектной прочности рассчитывается как монолитная.

В расчетной схеме используется срединная поверхность гладкой оболочки, расчетный пролет которой определяется как расстояние между осями опор покрытия или между осями соответствующих бортовых элементов или диафрагм.

Плиты сборных оболочек рассчитываются по прочности для двух стадий работы: в эксплуатации - на основные усилия, полученные при расчете гипара; при монтаже - на усилия от собственной массы плиты.

При определении усилий в оболочке в упругой стадии площадь и момент инерции можно принимать как для бетонного или приведенного к нему сечения, если процент армирования 1%.

Нагрузки на 1 м² проекции свода. Расчетная постоянная нагрузка на единицу площади горизонтальной проекции покрытия составляет

g = (g₁ + g₂) · (3.91)

где g₁ - расчетная постоянная нагрузка от собственной массы конструкции гипара, g₂ - то же, от кровли на 1 м² поверхности покрытия;

a₁ - площадь поверхности гипара; А₂ - площадь плана (проекции) гипара; принимается равным 1,05.

Расчетная постоянная нагрузка g₁ от собственной массы конструкции подсчитывается по формуле:

g₁ = t_f. (3.92)

где t - толщина оболочки; - плотность бетона; _f коэффициент надежности по нагрузке, принимаемый равным 1.1.

Расчетная нагрузка от собственной массы покрытия может также назначаться по аналогии с известными проектными решениями.

Расчетная постоянная нагрузка g₂ от кровли на 1 м² поверхности покрытия вычисляется с учетом состава кровельного ограждения (гидроизоляционный ковер, выравнивающая стяжка, утеплитель, пароизоляция). Нагрузка от стяжки и утеплителя зависит от их толщины t и плотности .

Расчетная снеговая нагрузке составляет

S = S_nC _f, (3.93)

где S_n - нормативная снеговая нагрузка на 1 м горизонтальной проекции гипара, принимаемая в зависимости от снегового района; C - коэффициент, принимаемый по СНиП; для пологих гипаров равен 1; _f - коэффициент надежности по нагрузке для железобетонных оболочек, равный 1,4.

Полная равномерно распределенная нагрузка на 1 м² горизонтальной проекции покрытия, определяемая по формулам (3.91) и (3.93),

q = g + S. (3.94)

Расчет плиты оболочки свода. Несущая способность плиты оболочки свода в направлении действия сжимающих усилий определяется из условия прочности без учета армирования по формуле для расчета внецентренно сжатых бетонных элементов:

N₂ R_b A_b; A_b = , (3.95)

где N₂ - сжимающее усилие в плите оболочки свода вдоль выпуклой параболы; - коэффициент, принимаемый равным 1 для тяжелого и легкого бетона; R_b - расчетное сопротивление бетона осевому сжатию (призменная прочность); принимается по классу бетона. Значение R_b умножается на коэффициент условий работы бетона _b2=0,9; A_b - площадь бетона сжатой полосы плиты шириной b =100 см, определяемая с учетом случайного эксцентриситета e_a = 1 см продольного усилия N₂

А_b = bt (3.96)

где t, - толщина оболочки; - коэффициент, учитывающий влияние прогиба на величину эксцентриситета продольного усилия N₂; принимается равным 1.

Из формулы (3.96) определяется площадь сечения бетонаА_b, а затем по вычисляется толщина плиты оболочки t.

При проектировании свода с ребрами сечением bh и шагом S влияние последних можно приближенно учитывать, заменяя ребристую оболочку гладкой с приведенной толщиной t_red.

Рис. 3.7 К определению толщины ребристой оболочки свода а - плита оболочки свода; б - приведенное тавровое сечение

При расчете на мембранные усилия сечение приводится к эквивалентному по площади

(3.97)

При расчете краевой зоны на действие изгибающих моментов тавровое сечение приводится по жесткости

(3.98)

где J - момент инерции таврового сечения (рис. 3.7, б).

Площадь сечения сжатой арматуры A'_s в направлении выпуклой параболы назначается не менее 0,2 % от площади сечения бетона А_b, т.е. на 1 м плиты следует принимать

A_s' > 0,2 t. (3.99)

В направлении растягивающих усилий N₁ вдоль вогнутой параболы устанавливается арматура А_s по расчету. При армировании плиты оболочки свода стержнями, ориентированными вдоль диагоналей поверхности, площадь сечения арматуры в направлении растяжения определяется из условия прочности центрально растянутых железобетонных элементов:

N₁ = R_sA_s; А_s = , (3.100)

где N₁ и А_S - соответственно растягивающие усилие и площадь сечения арматуры в направления вогнутой параболы на участке плиты шириной 1 м; R_S - расчетное сопротивление арматуры растяжению, принимаемое в зависимости от класса стали.

При армировании плиты стержнями, ориентированными вдоль образующих поверхности свода, условие прочности в направлении растягивающих усилий N₁ проверяется по формуле

N₁ 2A_s,₁ R_s cos 45°, (3.101)

где А_s,1 - площадь сечения стержней, ориентированных вдоль образующих оболочки одного направления, на участке шириной 1 м. Количество рабочей арматуры в каждом направлении:

(3.102)

Прочность плиты на срез проверяется на действие касательных усилий

N_xy 2R_bt bt, (3.103)

где R_bt - расчетное сопротивление бетона осевому растяжению, зависящее от класса бетона; значение R_b умножается на коэффициент условий работы бетона _b2, равный 0,9.

Расчет контурных элементов оболочки. Площадь сечения сжатого контурного (бортового) элемента свода оболочки можно приближенно определить по сжимающему усилию N_b:

Бортовые элементы прямоугольного (квадратного) сечения с симметричной арматурой классов А-II, А-III, при расчетной длине L₀<20h и случайных эксцентриситетах е_a 30 разрешается рассчитывать по несущей способности как центрально-сжатые, исходя из условия

N_b (R_bA_b + R_sc A'_s). (3.104)

Требуемая площадь сечения сжатой арматуры:

(3.105)

где N_b - продольное сжимающее усилие в бортовом элементе от расчетной нагрузки; А_b = bh - площадь сечения элемента; b и h - ширина и высота сечения; A_s - площадь сечения всех сжатых продольных стержней; - коэффициент условий работы, равный 0,9 при h 200 мм и 1 при h > 200 мм; - коэффициент продольного изгиба, определяемый в зависимости от гибкости и соотношения ; L₀ - расчетная длина бортового элемента; N_b,L - усилие от длительно действующей нагрузки; R_b - призменная прочность бетона. Значение R_b умножается на коэффициент условий работы _и2, равный 0,9; R_{SC -} расчетное сопротивление арматуры сжатию, принимаемое по классу арматуры.

Минимальная площадь продольной сжатой арматуры в сечении бортовой балки принимается не менее 0,05% от площади сечения бетона.

При L_О > 20 h расчет бортового элемента ведется на внецентренное сжатие с эксцентриситетом e. Если элемент выполнен из бетона класса В30 и ниже с ненапрягаемой арматурой классов А-II, А-III, то несущую способность сжатого бортового элемента при e_a 0,3 h₀ можно проверять на действие усилия N_b, исхода из условия прочности при внецентренном сжатии (случайный эксцентриситет принимается равным большему из значений:

e_a = 1/600L₀; e_a = 1/30h и не менее 1 см.

N_be 0,5R_bbh² + A_s (h₀ - a')

N_b = R_bbh - R_SCA'_{S -} R_SA_S,

где е - расстояние от продольной силы N_b до центра тяжести сечения арматуры A_s; h₀ = h - а - полезная высота сечения элемента; a = a' - защитный слой арматуры.

e = e_a + h/2 - a;

- коэффициент, учитывающий влияние прогиба на величину эксцентриситета продольного усилия N_b.

Если гибкость элемента < 14, то принимается равным 1; L₀ и i - соответственно расчетная длина и радиус инерции сечения бортового элемента. Для прямоугольного селения

При > 14 учитывается коэффициент

(3.106)

где N_cr - критическая величина продольной силы в бортовом элементе.

(3.107)

Е_в - начальный модуль упругости бетона при сжатии; J_b - момент инерции поперечного сечения бортового элемента; для прямоугольного сечения J_b = bh³/12; J_s = bh₀ (0.5h - a) ² _- приведенный момент инерции сечения арматуры, относительно центра тяжести бетонного сечения; - коэффициент армирования; ; E_s - модуль упругости арматуры; ₁ = 1 - коэффициент, учитывающий влияние длительного действия нагрузки на прогиб элемента.

Если оказывается, что N_b > N_cr, то следует увеличить размеры сечения элемента.

В общем случае несущая способность растянутого бортового элемента проверяется на действие продольного усилия N_b, исходя из условия прочности при внецентренном растяжения по формулам:

N_b е R_s A_s (h₀ - a');

N_b e' R_SA_S (h_{0 -} a'),

при условии, что по высоте поперечного сечения растягивающее усилие N_b приложено между верхней и нижней продольной арматурой.

Геометрические параметры, входящие в формулы даны на рис. 3.8, 3.9.

а) б)

Рис. 3.8 а) Схема усилий во внецентренно сжатом элементе при расчете его на прочность б) Схема усилий во внецентренно растянутом элементе при расчете его на прочность.

Во внецентренно растянутых элементах содержание продольной арматуры принимается: 0,05%.

Если контурные ребра располагаются без эксцентриситета относительно срединной поверхности оболочки и жесткостью их на изгиб в горизонтальной плоскости пренебрегают, то проверку несущей способности ребра производят как центрально-растянутого элемента.

N_b R_SA_S (3.108)

где N_b - растягивающее усилие в контурном элементе; A_{S -} площадь сечения всей продольной арматуры; R_s - расчетное сопротивление арматуры растяжению, определяемое по классу арматуры. Минимальное содержание продольной арматуры A_s в центрально растянутых элементах принимается равным 0,10%.

При использовании напрягаемой арматуры прочность центрально-растянутых элементов рассчитывают по условию

N_{b s6} R_s A_sp + R_SA_S, (3.109)

где R_sp - площадь сечения напрягаемой арматуры; _s6 - коэффициент условия работы высокопрочной арматуры при напряжениях выше условного предела текучести.

Расчет затяжки диафрагм свода. При опирании свода оболочки на колонны или фундаменты, распор может восприниматься стальными или железобетонными затяжками. Подбор сечения затяжки производится по формулам:

или , (3.110)

где F_h - распор; А - площадь сечения затяжки из жесткой арматуры (Ст.3, Ст.5); A_s - то же из стержневой арматуры; R_y - расчетное сопротив-ление растяжению прокатной стали; R_s - расчетное сопротивление растяжению стержневой арматуры.

Расчет шпоночных соединений сборно-монолитных сводов оболочек. Для восприятия сдвигающих усилий сборные железобетонные панели соединяются между собой и с контурными конструкциями бетонными шпоночными швами. Размеры бетонных шпонок проверяются расчетом из условия прочности ее против раздавливания

(3.111)

и против среза

(3.112)

где S - сдвигающее усилие на единице длины; _k, h_k и l_k - соответственно глубина, высота и длина шпонки (задаются при назначении размеров сборной панели); n - число шпонок вдоль одной грани панели; а - размер сборной панели (длина стороны, вдоль которой рассчитываются шпонки); R_b и R_bt - соответственно призменная прочность бетона и расчетное сопротивление бетона осевому растяжению

Рис. 3.10. К расчету бетонных шпонок. 1 - разрушение бетонной шпонки от раздавливания; 2 - то же, от скалывания.

3.4 Расчетная оценка работы натурного свода оболочек по результатам экспериментальных исследований

В целях широкого внедрения результатов исследования результаты модельных испытаний применялись для оценки работы натурного свода оболочек положительной гауссовой кривизны М 1: 20. Это масштаб соответствовала пролету натурной оболочки 36 м. Унифицированная нагрузка на натурной оболочки в соответствие "Руководство…" принимались ровной 4 кН/м².

Модели свода оболочек покрытий выполнялись с соблюдением требований теории моделирования физического подобия. Характеристики исследованных типов моделей и натурных конструкций покрытий приведены в табл.3.6.

Все параметры напряженно-деформированного состояния натурных оболочек покрытий определяем в соответствие трех основных показателей подобия: геометрическое силовое, деформационное.

Нагрузка на исследуемую модель при известной величины (унифицированной) нагрузки на натурные конструкции покрытий определяем с учетом прочностных характеристик материалов

(3.113)

где q_м, q_мl, F_м - соответственно, распределенное по площади, по длине (полосовая) и сосредоточенная нагрузка на модель;

q_н, q_нl, F_н - тоже соответственно на натурные конструкции

_m=L_н/L_м - коэффициент масштаба - геометрического подобия;

_R=R_н/R_{м -} коэффициент прочности - силового подобия;

_Е=Е_н/Е_{м -} коэффициент деформации - деформационного подобия;

С учетом этих коэффициентов подобия деформация и перемещения натурных оболочек определяем по формулам

Изгибные и осевые усилия определяется по формулам:

М_н = М_м N_н = N_мmR,

где М_м, N_м - изгибающий момент, продольная сила в модели;

М_н, N_{н -} тоже, на натурной конструкции.

Исследованные параметры модели, натурных конструкций приведены в табл.3.6

С применением этих расчетных параметров выполнена численная оценка напряженно-деформированного состояния натурного свода оболочек, покрытий при статических загружениях. Результаты расчета приведены в табл. 3.6 Которые могут применяться для проектирования натурных свода оболочек отрицательной и положительной гауссовой кривизны пролетами 36 м и более.

Таблица 3.6

Расчетная оценка работы натурных свода оболочек покрытий пролетами 36 м. Сравнение экспериментальных и расчетных данных

№ п. п.	Основные данные, размерность	Условные обозначения	Свод оболочек
			Модели М 1: 20	Натурные конструкции
			Положительной кривизны
1	Размер оболочки, м		1,8	36
2	Средняя толщина оболочки, мм	h	6,7	70
3	Проектный радиус кривизны оболочки, м	R	1,8	36
4	Стрела подъема оболочки, контурной конструкции, м		0,56 0,09	7,2 1,8
5	Класс бетона призменная прочность, МПа	Вn, Rb	25 20,5	30 22
6	Начальный модуль упругости, МПа	Ев	21667	32500
7	Возраст к моменту испытаний, сут		120	120
8	Длительность наблюдений, сут	t-	120	120
9	Длительная нагрузка, кН/м2	кН/м2	3,7	4
10	Прогиб: к началу наблюдения, мм	w
	к концу наблюдения		-	-
11	Разрушающая нагрузка: кратковременная, кН/м2	qsh
	Длительная, кН/м2	Ql

В числителе экспериментальные данные, в знаменателе - расчетные

Таблица 3.7. Исследованные параметры свод оболочек

№	Основные данные, размерность	Условные обозначения	Свод оболочки
			Модели	Натурные конструкции
			Положительной кривизны
1	2	3	4	5
1	Коэффициент масштаба, геометрического подобия	m=Lн/Lм		36
2	Коэффициент прочности, силовые подобия	R=Rн/Rм		22
3	Коэффициент деформации - деформационного подобия	Е=Ен/Ем		325000
4	Нагрузка 4.1 Распределенная, кН/м2		3,74	4,0
	4.2 Полосовая, кН/м		0,93	0,04
	4.3 Сосредоточенная, кН		0,093	0,0002
5	Относительные Деформации, мм/мм		н=12,5м
6	Прогиб, мм		Wн=20Wм	64
7	Перемещение, мм		Uн=12,5Uм
8	Продольные усилия, кН	Nн=мRNм	Нн=21,4Нм	48,5
9	Изгибающий момент, кН. м	Мн=	Мн=428Мм	1370

3.5 Рекомендации для реализации результатов исследований проектные технико-экономические достижения от реализации сводчатых оболочек

Проведенные исследования и практика возведения железобетонных тонкостенных оболочек показала, что применение этих конструкций в Узбекистане не только возможно, но экономически и технически целесообразно, ибо обеспечивает существенное снижение капитальных затрат и расхода материалов без удлинения сроков строительства. Однако особенности строительно-климатической зоны налагают ряд условий на изготовление и монтаж сборных и сборно-монолитных оболочек. Элементы оболочек должны производиться в открытых и закрытых цехах в условиях стационарных заводов железобетонных изделий с систематическим пооперационным технологическим контролем. Полигонное изготовление не должно быть исключено главным образом из-за продолжительности теплого периода, а также из-за не опасности неожиданных заморозков в осенний и весенний периоды. Кроме того, пооперационный контроль технологического процесса в условиях открытого полигона может быть налажен столь же четко, как при стационарном производстве в условиях закрытого цеха.

При разработке пространственных сводчатых конструкций следует стремиться к такому членению оболочки на сборные элементы, при котором количество разнотипных по опалубке элементов было бы сведено к минимуму и их можно было применять для ряда пролетов (размеров оболочек), изменяя только характер армирования в зависимости от размеров покрытия и нагрузки на него. Сами сборные элементы следует проектировать по возможности крупноразмерными (в пределах транспортного габарита), чтобы уменьшить число монтажных подъемов и протяженность швов замоноличивания.

При членении оболочки на сборные элементы надо производить разрезку ее таким образом, чтобы монтаж можно было осуществлять без применения лесов или подмостей, устанавливая монтируемые элементы на место непосредственно "с колес" или укрупнением на монтажные блоки.

Изложенное особенно важно для всех районов Узбекистана, так как в этом случае необходимо свести к минимуму размеры производственных площадей завода железобетонных изделий и сроки возведения покрытия, включая монтаж и замоноличивание швов.

В условиях Республики необходимо четко наладить работы по замоноличиванию швов при положительных и высоких температурах. Заранее приготовленные концентрированные растворы добавок следует разбавлять непосредственно перед употреблением, оперативно изменяя процент добавок в зависимости от меняющейся температуры наружного воздуха.

Таким же тщательным должно быть изготовление, хранение и испытание контрольных образцов бетона замоноличивания. Только при четкой работе службы замоноличивания и строительной лаборатории может быть налажен бесперебойный монтаж конструкций в течение всего года.

В качестве материала для оболочек можно, кроме традиционного тяжелого железобетона, рекомендовать также легкие бетоны, в частности керамзитобетон. Применение легких бетонов позволяет не только уменьшить массу несущей части покрытия, но и учесть влияние легкой оболочки при теплотехническом расчете и соответственно уменьшить слой утеплителя. Очевидно, что эффект от применения легких бетонов может быть получен, в первую очередь, в ограждающих элементах оболочки - плитах; что же касается бортовых элементов, диафрагм, затяжек и прочих несущих элементов, где целесообразно использовать предварительное напряжение, то для них следует применять обычный, желательно высокомарочный, бетон.