Статистическая обработка результатов выборочного контроля по количественному признаку

5. Построение и анализ контрольных карт средних арифметических и размахов

Заключение

Список использованной литературы

Введение

Статистические методы (методы, основанные на использовании математической статистики), являются эффективным инструментом сбора и анализа информации о качестве. Применение этих методов, не требует больших затрат и позволяет с заданной степенью точности и достоверностью судить о состоянии исследуемых явлений (объектов, процессов) в системе качества, прогнозировать и регулировать проблемы на всех этапах жизненного цикла продукции и на основе этого вырабатывать оптимальные управленческие решения.

Статистические методы контроля производства и качества продукции имеют ряд преимуществ перед другими методами:

- являются профилактическими;

- позволяют во многих случаях обоснованно перейти к выборочному контролю и тем самым снизить трудоемкость контрольных операций;

- создают условия для наглядного изображения динамики изменения качества продукции и настроенности процесса производства, что позволяет своевременно принимать меры к предупреждению брака не только контролерам, но и работникам цеха - рабочим, бригадирам, технологам, наладчикам, мастерам.

Наиболее распространенными методами статистического анализа точности технологических процессов являются:

- сравнение средних значений параметров с номинальными;

- сравнение дисперсий;

- оценка коэффициентов корреляции;

- регрессионный анализ и др.

Для успешного применения статистических методов контроля качества продукции необходимы соответствующие руководства и стандарты, доступные широкому кругу инженерно-технических работников. Стандарты на статистический приемочный контроль обеспечивают возможность объективно сравнивать уровни качества партий однотипной продукции, как во времени, так и по различным предприятиям.

Цель работы - приобретение практических навыков по организации выборочного контроля качества и обработки его результатов.

Задачи:

1) произвести выборку объемом n;

2) выполнить расчет числовых характеристик экспериментальных данных;

3) построить графическое представление статистических данных в виде гистограммы, проанализировать полученное распределение;

4) выполнить проверку гипотезы о том, что контролируемый показатель качества всей партии, из которой сделана исследуемая выборка, характеризуется нормальным распределением при ;

5) построить и проанализировать контрольные карты средних арифметических и размахов.

1. Сбор и регистрация исходных статистических данных

Была взята выборка, состоящая из 150 скрепок, и измерена длина каждой.

В таблице 1 представлена последовательность появления значений.

Таблица 1 -Измеренные значения длин скрепок

При большом объеме выборки совокупность измеренных параметров представляют в виде упорядоченного, либо в виде интервального статистических рядов.

Полученные результаты измерений представляем в виде упорядоченного статистического ряда. Упорядоченный статистический ряд - таблица, в которой измеренные значения ранжированы в возрастающем или убывающем порядке и для каждого повторяющегося значения X_i подсчитано число повторений h_i. 150 измерений преобразованы в упорядоченный ряд, который представлен в таблице 2.

Таблица 2 - Упорядоченный ряд наблюдений, составленный по результатам измерений

Для упрощения анализа и дальнейшей математической обработки измеренных значений целесообразнее представить в виде интервального статистического ряда, в таблице 3, где в качестве первого приближения для определения интервалов k можно использовать формулу (1):

, (1)

где n ? объем выборки.

В данном случае, k =

Для того, чтобы определить шаг h, нужно воспользоваться формулой (2):

, (2)

статистический данные числовой опытный

где R - размах, рассчитанный в нижеприведенной формуле (4).

Вычисление: h = 2,3/12=0,19

Таблица 3 ? Интервальный ряд распределения длин 150 скрепок.

2. Расчет числовых характеристик экспериментальных данных

Одной из характеристик среднего значения является среднее арифметическое.

При вычислении средней арифметической упорядоченного статистического ряда может быть использована формула (2):

, (2)

где - средняя арифметическая;

n - объем выборки, ;

k - количество интервалов, ;

x_i - результат контроля i- ого изделия выборки (i = 1, 2,…n) ;

h_i - число повторений (частота).

Таким же образом вычисляют среднюю арифметическую интервального ряда, согласно формуле (3), с той разницей, что в качестве значения признака следует принимать середину интервалов:

, (3)

где - середина интервала.

К характеристикам рассеивания относятся:

- дисперсия;

- стандартное отклонение;

- размах.

Самой простой из них является размах, и, согласно формуле (4), является разностью наибольшего и наименьшего значения ряда наблюдений:

, (4)

где R - размах;

- наибольшее значение;

- наименьшее значение.

Вычисление: R = 50,0-47,7=2,3

Наиболее часто для оценки рассеивания измеренных значений используют выборочную дисперсию - среднюю величину квадратов отклонений величины от средней арифметической.

Т. к. выборка большого объема (n>30), то для расчета дисперсии нужно воспользоваться формулой (5), с помощью которой можно найти выборочную дисперсию для статистического упорядоченного ряда, и формулой (6) для расчета дисперсии интервального ряда:

, (5)

. (6)

Вместо дисперсии часто более удобно использовать стандартное отклонение (среднее квадратичное отклонение), вычисление которого приведено ниже в формуле (7):

= v. (7)

Для упрощения вычислений и избегания ошибок при большом объеме вычислений при подсчете среднего арифметического, дисперсии и стандартного отклонения нужно оформлять результаты в табличном виде, т.е. в виде таблицы 4.

Таблица 4 - Промежуточные вычисления для нахождения числовых характеристик интервального ряда из таблицы 3.

3. Графическое представление статистических данных

Кроме табличного представления полученных результатов, в виде упорядоченного и интервального рядов, в практике управления качеством широко используют их графическое представление. Так одним из семи простых инструментов качества является гистограмма.

Гистограммы - это столбиковые диаграммы, показывающие количественную оценку частоты попадания зарегистрированных событий в установленные интервалы.

Обычно предметом тщательного изучения служит форма гистограммы. Ее интерпретация позволяет выявить проблемы в процессе.[1]

Для вычисления средней арифметической гистограммы используются данные таблицы 4:

=49,15

На Рисунке 1 построена гистограмма по данным таблицы 3.

Рисунок 1 - Гистограмма

Данная гистограмма имеет один четко выраженный пик, свойственный для обычного процесса. По левую сторону от средней арифметической имеется длинный хвост, служащий показателем того, что в течение процесса произошел сдвиг переменных значений.

4. Проверка согласия опытного распределения с теоретическим нормальным

Очень часто на практике, измеряемые численные параметры продукции, являющиеся случайными величинами, подчиняются нормальному закону распределения. Поэтому при планировании и проведении выборочного контроля по количественному признаку полагают, что контролируемый параметр имеет точно или приближенно нормальное распределение.

В случае отсутствии такой уверенности целесообразно осуществить проверку согласия опытного распределения контролируемого параметра с нормальным законом.

Требуется проверить гипотезу, что выборка взята из нормально распределенной генеральной совокупности при вероятности ошибки 0,05. Такая проверка будет проведена ниже с использованием одного из двух известных критериев согласия - критерия согласия Пирсона.[2]

Последовательность проверки гипотезы состоит в следующем:

1. Исследуется выборка из генеральной совокупности объемом 150 штук;

2. Используются данные из таблицы 3 для заполнения таблицы 5, причем разряды объединяются так, чтобы минимальная по величине разрядная часть была не меньше пяти (h_i ? 5);

3. Выдвигается нулевая гипотеза, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение с функцией распределения и параметрами и : ;

4. Осуществляется проверка гипотезы на основе критерия, рассчитанного по формуле (8):

, (8)

где - критерий согласия Пирсона;

k - количество интервалов интервального ряда;

- частота j-того интервала значений параметра х;

- теоретическая частота j-того интервала значений х.

5. Находятся статистические характеристики выборки и .

= 49,1 =0,43 (по данным таблицы 4)

6. При расчете теоретических частот распределения учитывают, что есть вероятность того, что наблюдаемая случайная величина х генеральной совокупности попадает в j - тый интервал, т.е. х располагается между верхней () и нижней () границами j-того интервала.

7. В формуле (9) производится переход к нормированной случайной величине:

, (9)

где - верхняя граница j-того интервала.

Тогда по формуле (10):

, (10)

где - функция распределения нормированного нормального распределения случайной величины U. При этом верхняя граница j-1 -ого интервала равна нижней границе j-того интервала.

8. Результаты расчетов приведены в таблице 5.

Таблица 5 - Расчет критерия согласия Пирсона.

Вычисление: U₁=

F(U₁)=1- F(-1,85)=1-0,967843=0,032157

P₂= F(U₂)- F(U₁)= 0,06178-0,032157=0,029623

np₁=(0,032157+0,029623)*150=9

h₁-np₁=8-9=1

9. Т.к. и неизвестны, то число степеней свободы будет рассчитываться по формуле (11): m = k-3. (11)

Вычисление: 9-3=6

10. Определяем критическое значение

11. <= 110,346 => это свидетельствует о том, что гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности при выбранной вероятности ошибки отвергается.

5. Построение и анализ контрольных карт средних арифметических и размахов

Карта статистического управления процессом или контрольная карта является графическим представлением данных из выборок, которые периодически берутся из процесса и наносятся на график в соответствии со временем.

Контрольные карты применяют и анализируют парами- одна карта для расположения (настройки процесса), вторая- для разброса. Поэтому будут построены две контрольные карты для количественных признаков: карта средних арифметических (-карта) и карта размахов (R-карта).[3]

Карта Шухарта - это график значений определяемых характеристик подгрупп в зависимости от их номеров. Она имеет центральную линию (CL), соответствующую эталонному значению характеристики. При оценке того, что процесс находится в статистическом управляемом состоянии, эталонным будет служить среднее арифметическое значение рассматриваемых данных.

Помимо центральной линии, карта Шухарта имеет две статистические определяемые границы относительно центральной линии, которые называют верхней контрольной границей (UCL) и нижней контрольной границей (LCL), которые находятся на расстоянии от центральной линии CL, где внутригрупповое стандартное отклонение.[4]

Для вычисления средней линии и контрольных границ потребуется таблица 1.

Таблица 6 - Промежуточные вычисления для построения контрольных карт

Таблица 7 - Формулы для центральной линии и контрольных границ карт Шухарта и R

Стандартные значения не заданы.

Пояснения к таблице 7:

- формула (12), помогающая рассчитать среднюю линию -карты:

= , (12)

где - среднее среднее значений подгрупп;

- средние значения подгрупп;

k - число подгрупп (k=30);

- формула (13) для нахождения средней линии R--карты:

= , (13)

где -среднее значение R для всех подгрупп;

R_1,R₂,…,R_k - размах каждой подгрупп;

- A₂ = 0,577, D₃= 0,000, D₄=2,114.

Для упрощения вычислений результаты будут занесены в таблицу 8.

Таблица 8 - Расчет параметров контрольных карт.

Рисунок 1--карта.

Вывод: по -карте видно, что процесс находится в состоянии статистической управляемости. Нет точек, выходящих за границы полей допусков, а также необычных структур точек (трендов). Процесс стабилен, нет влияния особых причин.

Рисунок 2 - -карта.

Вывод: по - карте видно, что все точки на контрольной карте находятся в установленных границах, следовательно, этот процесс считается налаженным.

Заключение

Практически произведён выборочный контроль 150 скрепок. Используя различные статистические методы управления качеством, обработаны, полученные опытным путём, результаты. Определены основные характеристики разброса, вид распределения случайных величин. Выявлено, что генеральная совокупность, из которой была взята выборка, имеет нормальное распределение.

Построены контрольные карты средних арифметических и размахов, анализ которых показал, что процесс находится в статистически управляемом состоянии.

Список использованной литературы

1) Статистическая обработка результатов выборочного контроля по количественному признаку: Метод.рек./Сост.: Ю. Г. Сильвестров: СибГИУ.- Новокузнецк, 2010 -41 с.

2) Статистическое управление процессами при помощи контрольных карт: Метод.рек. /Сост.: Ю. Г. Сильвестров: ГОУ ВПО «СибГИУ». - Новокузнецк, 2009 - 17 с.

3) ГОСТ Р 50779.42-99. Статистические методы. Контрольные карты Шухарта [Текст]. - : Издательство стандартов, 2007. - 36 с.

Размещено на Allbest.ru