Средние величины

Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние и структурные средние

Степенные средние:

Арифметическая

Гармоническая

Геометрическая

Квадратическая

Структурные средние:

Мода

Медиана

Выбор формы средней величины зависит от исходной базы расчета средней и от имеющейся экономической информации для ее расчета.

Исходной базой расчета и ориентиром правильности выбора формы средней величины являются экономические соотношения, выражающие смысл средних величин и взаимосвязь между показателями.

Расчет некоторых средних величин:

Средняя заработная плата 1 работника = Фонд заработной платы / Число работников

Средняя цена 1 продукции = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя себестоимость 1 изделия = Стоимость производства / Количество единиц продукции

Средняя урожайность = Валовый сбор / посевная площадь

Средняя производительность труда = объем продукции, работ, услуг / Отработанное время

Средняя трудоемкость = отработанное время / объем продукции, работ, услуг

Средняя фондоемкость = Средняя стоимость основных фондов / объем продукции, работ и услуг

Средняя фондоотдача = объем продукции, работ и услуг / средняя стоимость основных фондов

Средняя фондовооруженность = средняя величина основных производственных фондов / среднесписочная численность производственного персонала

Средний процент брака = (стоимость бракованной продукции / Стоимость всей произведенной продукции) * 100%

Перечисленные виды средних величин можно объединить общей формулой (среднее значение исследуемого явления):

m - показатель степени средней величины;

х - текущее значение осредняемого признака;

n - число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних величин, если:

m = -1 - средняя гармоническая;

m = 0 - средняя геометрическая;

m = 1 - средняя арифметическая;

m = 2 - средняя квадратичная.

В экономике используется большое количество показателей, вычисляемых в виде средних величин. К примеру, интегральным показателем доходов работающих акционерного общества (АО) служит средний доход одного рабочего, который определяется отношением суммарного фонда заработной платы и выплат социального характера за определенный период (год, квартал, месяц) к итоговой численности рабочих АО.

Для рабочих с одинаковым уровнем доходов, например, сотрудников бюджетной сферы и пенсионеров по старости можно определить доли расходов на покупку продуктов питания. Так можно расчитать среднюю продолжительность рабочего дня, средний тарифный разряд рабочих, средний уровень производительности труда и т.д.

Правило мажорантности средних: чем выше показатель степени m, тем больше величина средней.

Средняя арифметическая величина обладает следующими свойствами:

Сумма отклонений индивидуальных значений признака от его среднего значения равна нулю.

Если все значения признака (х) увеличить (уменьшить) в одно и то же число К раз, то средняя увеличится (уменьшится) в К раз.

Если все значения признака (x) увеличить (уменьшить) на одно и то же число A, то средняя увеличится (уменьшится) на это же число А.

Если все значения весов (f) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то средняя не изменится. 

Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем от любого другого числа. Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменную сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной. 

Одновременное использование некоторых свойств позволяют упростить расчет средней арифметической: можно из всех значений признака вычесть постоянную величину А, разности сократить на общий множитель K, а все веса f разделить на одно и то же число и, по измененным данным, рассчитать среднюю. Затем, если полученное значение средней умножить на K, а к произведению прибавить А, то получим искомое значение средней арифметической по формуле:

Полученная, таким образом, преобразованная средняя, называется моментом первого порядка, а вышеизложенный способ расчета средней - способом моментов, или отсчетом от условного нуля.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины, в качестве значения признака в группах, принимают середины этих интервалов, то есть исходят из предположения о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака необходимо определять экспертным путем, исходя из сущности свойств признака и совокупности.

При отсутствии возможности экспертной оценки, значения признака в открытых интервалах для нахождения недостающей границы открытого интервала, применяют размах (разность между значениями конца и начала интервала) соседнего интервала (принцип «соседа»). Иными словами - ширину (шаг) открытого интервала определяют по величине рядом стоящего интервала.

3. Практическое применение средних величин

Средние величины используются для нахождения уравнения регрессии.

Исходные данные показателей x и y, а также промежуточные расчеты для нахождения коэффициентов уравнения линейной регрессии представлены в таблице 1.

Таблица 1 - Расчеты, необходимые для нахождения параметров регрессии

Формула уравнения регрессии:

Найдем коэффициент регрессии a1

Линейное уравнение регрессии: у = 183,7241х + 2171,751

2) Прежде, чем построить эмпирическую и теоретическую линии зависимости у от х, построим таблицу значений.

Таблица 2 - Значения теоретической и эмпирической функций

Точки линейной регрессии и эмпирические значения представлены на графике ниже (рис. 1).

Рисунок 1 - Эмпирические и теоретические значения

3) Линейный коэффициент корреляции:

Связь между признаками прямая, несущественная.

4) Коэффициент детерминации:

R2 = (0,28*0,28)*100% = 7,84%

Коэффициент алиенации: А= 0,96

5) Рассчитаем ошибку коэффициента корреляции и достоверность коэффициента.

Проверим значимость r с помощью критерия Стьюдента при уровне значимости а=0,05

6) Коэффициент Спирмэна будет невозможно правильно сравнить с табличным значением, поскольку объем выборки больше 40.

7) Коэффициент корреляции знаков Ферхена

Таблица 3 - Число С, Н

С=24; Н=41-24 = 17

Кф = (24-17)/41 = 0,17<0,3 => связь несущественная

8) Коэффициент корреляции показывает, что связь между продолжительностью вегетативного периода и надоем молока на 1 корову прямая, но несущественная. Коэффициент детерминации намного меньше 50%, следовательно, зависимость между двумя признаками слабая. По всем способам проверки значимости коэффициента детерминации было выяснено, что коэффициент линейной корреляции незначим.

Модой называется значение признака (варианта), чаще всего встречающееся в изучаемой совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей частотой.

Например: Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется следующим образом:

Таблица 4 - Проданная женская обувь по размерам

В этом ряду распределения модой является 37 размер, т.е. Мо = 37.

Для интервального ряда распределения мода определяется по формуле:

где ХMo - нижняя граница модального интервала;

hMo - величина модального интервала;

fMo - частота модального интервала;

fMo-1 и fMo+1 - частота интервала соответственно

предшествующего модальному и следующего за ним.

Например: Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.

Таблица 5

Определить моду интервального ряда распределения.

Мода интервального ряда составляет:

Мо = 6+2х(35-20)/(35-20+35-11) = 6,77 года.

Мода всегда бывает несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.

Медианой в статистике называется варианта, расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины значения меньше медианы, а у другой половины - больше её. Для определения медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания или убывания индивидуальных значений признака.

В дискретном упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта, расположенная в центре ряда.

Например: Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7 лет, т.е. Ме=7 лет

Если дискретный упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.

Например: Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя арифметическая из этих значений и будет медианой ряда:

Ме = (4+5)/2 = 4,5 года

Чтобы определить медиану для сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.

Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви

Таблица 6

средний величина медиана мода

Для определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина - 150. Накопленная сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е. 37 и есть медиана ряда.

Если же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и последующей.

Например: По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих

Таблица 7

Медиана будет равна:

Ме = (16,0+16,8)/2 = 16,4 тыс. руб.

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

Где ХМе - нижняя граница медианного интервала;

hMe - величина медианного интервала;

?f - сумма частот ряда;

fМе - частота медианного интервала;

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно - производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Таблица 8

Определим, прежде всего, медианный интервал. В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её значение:

Ме = 400+100х(80/2 -11)/30 = 400+96,66 = 496,66 чел.

Если же сумма накопленных частот против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана определяется по формуле:

где n - число единиц в совокупности.

Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности промышленно - производственного персонала рассчитать медиану в интервальном вариационном ряду

Таблица 9

Медиана рассчитывается следующим образом:

Ме = 500+100((80+1)/2 - 40)/20 = 502,5 чел.

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически:

- моду в дискретных рядах - по полигону распределения;

- моду в интервальных рядах - по гистограмме распределения;

- медиану - по кумуляте.

Мода интервального ряда распределения определяется по гистограмме распределения определяют следующим образом.

Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.

Рисунок 2 - Графическое определение моды по гистограмме

Медиана рассчитывается по кумуляте. Для её определения из точки на шкале накопленных частот (частостей), соответствующей 50%, проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.

Рисунок 3 - Графическое определение медианы по кумуляте

Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть определены и другие структурные характеристики - квантили.

Квантили предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.

Квантиль - это значение признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку совокупности.

Предоставляют важную информацию о структуре вариационного ряда какого-либо признака. Вместе с медианой они делят вариационный ряд на 4 равные части. Квартилей две, их обозначают символами Q, верхняя и нижняя квартиль. 25% значений меньше, чем нижняя квартиль, 75% значений меньше, чем верхняя квартиль.

Для расчёта квартили надо поделить вариационный ряд медианой на две равные части, а затем в каждой из них найти медиану. К примеру, если выборка состоит из 6 элементов, тогда за начальную квартиль выборки принимается второй элемент, а за нижнюю квартиль пятый элемент.

Различают следующие виды квантилей:

- квартили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на четыре равные части;

- децили - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять равных частей;

- перцентели - значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.

Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана.

При выборе вида и формы конкретного показателя центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:

- для устойчивых социально-экономических процессов в качестве показателя центра используют среднюю арифметическую.

Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в которых

;

- для неустойчивых процессов положение центра распределения характеризуется с помощью Mo или Me.

Для асимметричных процессов предпочтительной характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает положение между средней арифметической и модой.

Заключение