46

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ - «НИНХ»

Кафедра статистики

КУРСОВАЯ РАБОТА

ТЕОРИЯ СТАТИСТИКИ

На тему: Средние величины

Выполнил: Номер группы: СТП - 72

Юнусова Гульназия Чамилевна

Проверил: Серьга Людмила Константиновна

2008

Содержание

Введение

1. Сущность средних величин, общие принципы применения

2. Виды средних величин и сфера их применения

2.1 Степенные средние величины

2.1.1 Средняя арифметическая величина

2.1.2 Средняя гармоническая величина

2.1.3 Средняя геометрическая величина

2.1.4 Средняя квадратическая величина

2.2. Структурные средние величины

2.2.1 Медиана

2.2.2 Мода

3. Основные методологические требования правильного расчета средних величин

Заключение

Список использованной литературы

• Введение
• История практического применения средних насчитывает десятки столетий. Основная цель расчета средней состояла в изучении пропорций между величинами. Значимость расчетов средних величин возросла в связи с развитием теории вероятностей и математической статистики. Решение многих теоретических и практических задач было бы невозможно без расчетов средней и оценки колеблемости индивидуальных значений признака.
• Ученые разных направлений стремились дать определение средней. Например, выдающийся французский математик О.Л.Коши (1789 - 1857) считал, что средней нескольких величин является новая величина, заключающаяся между наименьшей и наибольшей из рассматриваемых величин.
• Однако создателем теории средних следует считать бельгийского статистика А. Кетле (1796 - 1874). Им предпринята попытка определить природу средних величин и закономерностей, в них проявляющихся. Согласно Кетле, постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явление. Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех их закономерности.
• Следствием учения А. Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин в качестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, что статистические средние представляют собой не просто меру математического измерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реально существующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения от которой могут быть только случайными.
• Ярким выражением изложенного взгляда на среднюю является его теория «среднего человека», т.е. человека среднего роста, веса, силы, среднего объема грудной клетки, емкости легких, средней остроты зрения и обычным цветом лица. Средние характеризуют «истинный» тип человека, все отклонения от этого типа указывают на уродливость или болезнь.
• Взгляды А.Кетле получили дальнейшее развитие в работах немецкого статистика В.Лексиса (1837 - 1914).
• Другая разновидность идеалистической теории средних основана на философии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869 - 1957). В средних он видел способ наиболее простого описания количественных характеристик явления. Определяя значение средних или, как он выражается, «их функцию», Боули на первый план выдвигает махистский принцип мышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобы выражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состоянии сразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны быть сгруппированы, упрощены, приведены к средним.
• Последователем А.Кетле был и итальянский статистик К.Джини (1884-1965), автор крупной монографии «Средние величины». К.Джини подверг критике определение средней, данное советским статистиком А.Я.Боярским, и сформулировал свое: «Средняя нескольких величин является результатом действий, выполняемых по определенному правилу над данными величинами, и представляет собой либо одну из данных величин, которая не больше и не меньше всех остальных (средняя действительная или эффективная), либо какую-либо новую величину, промежуточную между наименьшей и наибольшей из данных величин (счетная средняя)».
• В данной курсовой работе мы подробно рассмотрим основные проблемы теории средних величин. В первой главе выявим сущность средних величин и общие принципы применения. Во второй главе рассмотрим виды средних величин и сферу их применения на конкретных примерах. В третьей главе будут рассмотрены основные методологические требования расчета средних величин.
• 1. Сущность средних величин, общие принципы применения
• Средние величины являются одними из наиболее распространенных обобщающих статистических показателей. Они имеют своей целью одним числом охарактеризовать статистическую совокупность состоящую из меньшинства единиц. Средние величины тесно связаны с законом больших чисел. Сущность этой зависимости заключается в том, что при большом числе наблюдений случайные отклонения от общей статистики взаимопогашаются и в среднем более отчетливо проявляется статистическая закономерность.
• Средняя величина -- это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает уровень признака, типический для каждой единицы совокупности.
• Средняя является объективной характеристикой только для однородных явлений. Средние для неоднородных совокупностей называются огульными и могут применяться только в сочетании с частными средними однородных совокупностей.
• Средняя применяется в статистических исследованиях для оценки сложившегося уровня явления, для сравнения между собой нескольких совокупностей по одному и тому же признаку, для исследования динамики развития изучаемого явления во времени, для изучения взаимосвязей явлений.
• Средние широко применяются в различных плановых, прогнозных, финансовых расчетах.
• Главное значение средних величин состоит в их обобщающей функции, т.е. замене множества различных индивидуальных значений признака средней величиной, характеризующей всю совокупность явлений. Всем известны особенности развития современных людей, проявляющиеся в том числе и в более высоком росте сыновей по сравнению с отцами, дочерей в сравнении с матерями в том же возрасте. Но как измерить это явление?
• В разных семьях наблюдаются самые различные соотношения роста старшего и младшего поколения. Далеко не всякий сын выше отца и не каждая дочь выше матери. Но если измерить средний рост многих тысяч лиц, то по среднему росту сыновей и отцов, дочерей и матерей можно точно установить и сам факт акселерации, и типичную среднюю величину увеличения роста за одно поколение.
• На производство одного и того же количества товара определенного вида и качества разные производители (заводы, фирмы) затрачивают неодинаковое количество труда и материальных ресурсов. Но рынок осредняет эти затраты, и стоимость товара определяется средним расходом ресурсов на производство.
• Погода в определенном пункте земного шара в один и тот же день в разные годы может быть очень различной. Например, в Санкт-Петербурге 31 марта температура воздуха за сто с лишним лет наблюдений колебалась от -20,1° в 1883 г. до +12,24° в 1920 г. Примерно такие же колебания и в другие дни года. По таким индивидуальным данным о погоде в какой-то произвольно взятый год нельзя составить представление о климате Санкт-Петербурга. Характеристики климата - это средние за длительный период характеристики погоды - температуры воздуха, его влажность, скорость ветра, сумма осадков, число часов солнечного сияния за неделю, месяц и весь год и т.д.
• Если средняя величина обобщает качественно однородные значения признака, то она является типической характеристикой признака в данной совокупности. Так, можно говорить об измерении типичного роста русских девушек рождения 1973 г. по достижении ими 20-летнего возраста. Типичной характеристикой будет средняя величина надоя молока от коров черно-пестрой породы на первом году лактации при норме кормления 12,5 кормовой единицы в сутки.
• Однако неправильно сводить роль средних величин только характеристике типичных значений признаков в однородных по данному признаку совокупностях. На практике значительно чаще современная статистика использует средние величины, обобщающие явно неоднородные явления, как, например, урожайность всех зерновых культур по территории всей России. Или рассмотрим такую среднюю, как среднее потребление мяса на душу населения: ведь среди этого населения и дети до одного года, вовсе не потребляющие мяса, и вегетарианцы, и северяне, и южане, шахтеры, спортсмены и пенсионеры. Еще более ясна нетипичность такого среднего показателя, как произведенный национальный доход в среднем на душу населения.
• Средняя величина национального дохода на душу, средняя урожайность зерновых по всей стране, среднее потребление разных продуктов питания -- это характеристики государства, как единой народнохозяйственной системы, это так называемые системные средние.
• Системные средние могут характеризовать как пространственные или объектные системы, существующие одномоментно (государство, отрасль, регион, планета Земля и т.п.), так и динамические системы, протяженные во времени (год, десятилетие, сезон и т.п.).
• Примером системной средней, характеризующей период времени, может служить средняя температура воздуха в Санкт-Петербурге за 1992 г., равная +6,3°. Эта средняя обобщает крайне разнородные температуры зимних морозных дней и ночей, летних жарких дней, весны и осени. 1992 г. был теплым годом, его средняя температура не является типичной для Санкт-Петербурга. В качестве типической среднегодовой температуры воздуха в городе следует использовать многолетнюю среднюю, скажем, за 30 лет с 1963 по 1992 г., которая равна +5,05°. Эта средняя является типической средней, так как обобщает однородные величины; средние годовые температуры одного и того же географического пункта, варьирующие за 30 лет от +2,90° в 1976 г. до +7,44° в 1989 г.
• Итак, типическая средняя может обобщать системные средние для однородной совокупности, или системная средняя может обобщать типические средние для единой, хотя и неоднородной системы.
• Так, многолетняя средняя температура в Санкт-Петербурге в первые десятилетия и столетие существования города была значительно ниже; она возрастает медленно, но с ускорением за последнее столетие вследствие как роста самого города и энергопотребления в нем, что повышает температуру воздуха, так и начавшегося и ускоряющегося общего потепления на Земле. Поэтому "типичность" любой средней величины - понятие относительное, ограниченное как в пространстве, так и во времени.
• Общие принципы применения средних величин:
• 1) необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается среднее значение;
• 2) при расчете средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные;
• 3) средние величины должны рассчитываться, прежде всего, по однородным совокупностям. Качественно однородные совокупности позволяют получить метод группировок, который предполагает расчет не только среднего значения, но и системы обобщающих показателей;
• 4) общие средние (средние для всей совокупности) должны подкрепляться групповыми средними. Например, анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает общее по республике снижение урожайности. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных, климатических, территориальных, экономических и других условий конкретного сельскохозяйственного года и различна в отдельных регионах. Сгруппировав регионы по уровню урожайности каждого года и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах регионов средняя урожайность либо не изменилась, либо даже возросла, но одновременно возросли удельный вес или число районов с более низкой урожайностью этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что анализ факторов динамики средних групповых позволяет более полно отразить закономерности изменения урожайности по сравнению с динамикой общего среднего результата.
• 2. Виды средних величин и сфера их применения
• Виды средних величин различаются, прежде всего, тем, какое свойство, какой параметр исходной варьирующей массы индивидуальных значений признака должен быть сохранен неизменным.
• В практике статистической обработки материала возникают различные задачи, имеются особенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различные сведения.
• Средняя, рассчитанная по совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленные для каждой группы -- групповыми средними. Общая средняя отражает общие черты изучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления, складывающуюся в конкретных условиях данной группы.
• Например, статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье на территории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзным республикам). Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии и Закавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количество детей в семье, исчисленное по каждому региону -- это групповые средние, а соответственно исчисленное по всей территории СССР -- общая средняя.
• Сравнительный анализ групповых и общих средних используется для характеристики социально-экономических типов изучаемого общественного явления. В частности, при изучении рождаемости большое значение имеет характеристика этого процесса по общественным группам населения региона.
• Групповые средние используются для изучения закономерности развития общественных явлений. Так, в аналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод о наличии и направлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком и результативном показателем.
• Групповые средние широко применяются также при определении имеющихся использованных резервов производства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются и индивидуальные значение признака.
• Все средние величины делятся на два больших класса:
• 1) степенные средние; к ним относятся такие известные и часто применяемые виды, как средняя арифметическая величина, средняя квадратическая и средняя геометрическая;
• 2) структурные средние величины, в качестве которых рассматриваются мода и медиана.
• Степенные средние величины исчисляются в двух формах -- простой и взвешенной.
• Простая средняя величина считается по несгруппированным данным и имеет следующие общий вид:
• ^,
• где Xi - варианта (значение) осредняемого признака;
• m - показатель степени средней;
• n - число вариант (наблюдений).
• Взвешенная средняя величина считается по сгруппированным данным, представленным в виде дискретных или интервальных рядов распределения:
• ,
• где Xi - варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;
• m - показатель степени средней;
• fi - частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.
• Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек.
• Таблица 2.1

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)
1	18	6	20	11	22	16	21
2	18	7	19	12	19	17	19
3	19	8	19	13	19	18	19
4	20	9	19	14	20	19	19
5	19	10	20	15	20	20	19

• Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:
• Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:
• Таблица 2.2

Возраст, X лет	18	19	20	21	22	Всего
Число студентов	2	11	5	1	1	20

• В результате группировки получаем новый показатель -- частоту, указывающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

• Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:
• · средняя гармоническая, если m = - 1;
• · средняя геометрическая, если m > 0;
• · средняя арифметическая, если m = 1;
• · средняя квадратическая, если m = 2;
• · средняя кубическая, если m = 3.
• Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:
• X_гарм ? X_геом ? X_арифм ? X_квадр ? X_куб.
• Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее "знатока" либо "утопить", либо "выручить" студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?
• Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает "утопить" несчастного и вычислит среднюю гармоническую
• ,
• то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:
• .
• Студент уже выглядит "хорошистом" и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!
• Формулы степенных средних величин приведены в табл. 2.3
• В формулах средних значений п -- это число единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X); х -- индивидуальное значение признака у каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разной численности, то х -- это значение признака, общее для всей группы; f -- численность группы (частота повторения данного значения признака).
• Таблица 2.3 Формулы средних величин

Вид степенной средней	Показатель степени(m)	Формулы расчета средней
		простой	взвешенной
Гармоническая	-1		m=xf
Геометрическая	> 0
Арифметическая	1
Квадратическая	2
Кубическая	3

• 2.1 Степенные средние величины
• 2.1.1 Средняя арифметическая величина
• Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.
• Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.
• Средняя арифметическая - наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:
• · Невзвешенную (простую);
• · Взвешенную.
• Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для несгруппированных данных по формуле:
• .
• Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:
• .
• Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл.2.1.1 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст -- 65 лет, тогда последний интервал -- 50-65 лет.
• Таблица 2.1.1 Распределение рабочих предприятия по возрасту

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих fj	Середина интервала xj	xj fj
До 20	48	18,5	888
20-30	120	25	3000
30-40	75	35	2625
40-50	62	45	2790
Старше50	54	57,5	3105
Итого	359	34,56	12408

• Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:
• = ,
• что и записано в итоговую строку по графе 3 табл.2.1.1.
• Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет:
• 1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е. .
• Это свойство определено требованиями правильного исчисления средней, согласно которым конкретные значения варьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяются одним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знака суммы. Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разного рода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель всех значений варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на 1 гектар пахоты составляет 20 литров, а всего надо вспахать 2 млн. га, то всего потребуется 40 млн. литров горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочное обследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет 2500 литров, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн. литров.
• 2. Сумма отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю:
• и
• Рассмотренное свойство может быть использовано для проверки правильности исчисления средней. Если при исчислении средней арифметической и не равны нулю, это указывает, что средняя неправильно исчислена. А так как в анализе часто приходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и для проверки правильности исчисления средней.
• 3. Сумма квадратов отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины а, т. е.
• .
• Пример:
• Таблица 2.1.2

Табельный номер рабочего	1	2	3	4	5	6
Часовая выработка деталей (x)	12	10	6	10	12	10

• В примере, основанном на данных табл. 2.1.2, , а
• При а =12 составит:
• Таблица 2.1.3

xi	- a
12	-12	0	0
10	-12	-2	4
6	-12	-6	36
10	-12	-2	4
12	-12	0	0
10	-12	-2	4
		Итого	48

• Как видим, 24<48.
• 4. Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число (а), то средняя от этого не изменится, так как

• Если разгруппировать рабочих (табл.2.1.2) по числу выработанных за час деталей, получим такие данные (табл.2.1.4):
• Таблица 2.1.4

Варианты выработки деталей за час (x)	Число рабочих с данной выработки (f)	Объем варьирующего признака (xf)
6	1	6
10	3	30
12	2	24
Итого	6	60

• Если применить полученную формулу, к примеру, приведенному в табл. 2.1.4, это означает, что если, например, частоты уменьшить в 6 раз, средняя взвешенная арифметическая не изменится и будет равна:
• Средняя не изменится, если мы частности выразим в процентах, т. е. умножим их на 100:
• Рассматриваемое свойство показывает, что при данных вариантах признака величина средней зависит не от абсолютного размера весов, а от соотношения между ними. В приведенном примере мы сначала частоты уменьшили в 6 раз, а затем увеличили в 100 раз, но средняя выработка не изменилась.
• 5. Если веса всех вариантов равны между собой, то взвешенная средняя равна простой средней, так как при этих условиях
• Так как исчисление простой арифметической средней требует меньше затрат труда, чем взвешенной, то при равенстве весов нет надобности пользоваться последней.
• 6. Средняя алгебраической суммы равна алгебраической сумме средних. Так, если у, х и z -- положительные варьирующие величины и у_i =x_i +z_i , то
• 7.
• .
• Следовательно, .
• Это свойство средней показывает, в каких случаях можно непосредственно суммировать средние. Например, если изделие состоит из двух деталей, изготовляемых разными рабочими, и при этом один из них тратит в среднем на одну деталь 20, а на другую 30 минут, то в среднем на одно изделие расходуется 20 + 30 = 50 минут. Аналогично решался бы вопрос, если бы изделие состояло из трех и более деталей.
• 2.1.2 Средняя гармоническая величина
• Если по условиям задачи необходимо, чтобы неизменной оставалась при осреднении сумма величин, обратных индивидуальным значениям признака, то средняя величина является гармонической средней.
• Средняя гармоническая величина, как и средняя арифметическая может быть простой и взвешенной. Если веса у каждого значения признака равны, то можно использовать среднюю гармоническую простую:
• .
• Однако в статистической практике чаще применяется средняя гармоническая взвешенная:
• , где m = xf ,
• она используется, как правило, при расчете общей средней из средних групповых.
• Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности - носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.
• Приведем расчет средней гармонической величины -- простой и взвешенной.
• Пример. Четыре швеи-надомницы заняты пошивом головных уборов одной модели. Первая швея тратит на изготовление одного головного убора 30 мин, вторая -- 40 мин, третья -- 50 мин, четвертая -- 60 мин. Определим средние затраты времени на пошив одного головного убора при условии, что каждая швея работает по 10 ч в день.
• Попытка решить задачу с помощью средней арифметической простой
• оказалась бы успешной, если бы каждая надомница шила только по одному головному убору в день. В данном же случае средние затраты времени на пошив одного головного убора можно подсчитать делением общих затрат времени на пошив всех головных уборов (600 + 600 + 600 + 600 = 2400 мин) на количество сшитых головных уборов.
• Количество головных уборов, сшитых каждой надомницей, равно:
• 1) 600/30 = 20 шт.; 2) 600/40 =15 шт.; 3) 600/50 = 12 шт.; 4) 600/60 = 10 шт. Всего 57 изделий.
• Средние затраты времени вычислим по формуле средней гармонической взвешенной:
• т.е. на пошив одного головного убора тратится в среднем 42 мин.
• В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат времени на пошив всех головных уборов одной швеей.
• Так как в этом примере общие затраты времени у всех надомниц одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по формуле средней гармонической простой:
• .
• 2.1.3 Средняя геометрическая величина
• Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину.
• Ее формула такова:
• , для простой.
• , для взвешенной.
• Основное применение геометрическая средняя находит при определении средних темпов роста. Пусть, например, в результате инфляции за первый год цена товара возросла в 2 раза к предыдущему году, а за второй год еще в 3 раза к уровню предыдущего года. Ясно, что за два года цена выросла в 6 раз. Каков средний темп роста цены за год? Арифметическая средняя здесь непригодна, ибо если за год цены возросли бы в раза, то за два года цена возросла бы в
• 2,5 х 2,5 = 6,25 раза, а не в 6 раз. Геометрическая средняя дает правильный ответ: v6 - 2,45 раза.
• Геометрическая средняя величина дает наиболее правильный по содержанию результат осреднения, если задача состоит в нахождении такого значения признака, который качественно был бы равно удален как от максимального, так и от минимального значения признака. Например, если максимальный размер выигрыша в лотерее составляет миллион рублей, а минимальный - сто рублей, то какую величину выигрыша можно считать средней между миллионом и сотней? Арифметическая средняя явно непригодна, она составляет 500 050 руб., а это, как и миллион, крупный, а никак не средний выигрыш; он качественно однороден с максимальным и резко отличен от минимального. Не дают верного ответа ни квадратическая средняя (707 107 руб.), ни кубическая (793 699 руб.), ни гармоническая средняя (199,98 руб.), слишком близкая к минимальному значению. Только геометрическая средняя дает верный с точки зрения экономики и логики ответ: Десять тысяч -- не миллион, и не сотня! Это, действительно, нечто среднее между ними.
• Наиболее часто формулу средней геометрической используют для определения средних валютных курсов, эффективности валютных курсов,
• реальной эффективности валютных курсов (международная финансовая статистика).
• 2.1.4 Средняя квадратическая величина
• Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то средняя будет являться квадратической средней величиной.
• Ее формула такова:
• , для простой.
• , для взвешенной.
• Например, имеются три участка земельной площади со сторонами квадрата: х₁ = 100 м; х₂ = 200 м; х₃ = 300 м. Заменяя разные значения длины сторон на среднюю, мы очевидно, должны исходить из сохранения общей площади всех участков. Арифметическая средняя величина (100 + 200 + 300):3 = 200 м не удовлетворяет этому условию, так как общая площадь трех участков со стороной 200 м была бы равна: 3*(200 м)² =120 000 м². В то же время площадь исходных трех участков равна: (100 м)² + (200 м)² + (300 м)² = 140 000 м². Правильный ответ дает квадратическая средняя:
• Формула средней квадратической используется для измерения степени колеблемости индивидуальных значений признака вокруг средней арифметической в рядах распределения. Так, при расчете показателей вариации среднюю вычисляют из квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической величины.
• 2.1.5 Средняя кубическая величина
• Если по условиям задачи необходимо сохранить неизменной сумму кубов индивидуальных значений признака при их замене на среднюю величину, мы приходим к средней кубической, имеющей вид:
• , для простой.
• , для взвешенной.
• Средняя кубическая имеет ограниченное применение в практике статистики. Ею пользуются для исчисления средних диаметров труб, стволов и т.п., необходимых для разного рода расчетов, как, например, для определения запасов древесины на складах и на лесных участках.
• 2.2 Структурные средние величины
• Особый вид средних величин - структурные средние - применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен (например, если бы в рассмотренном примере отсутствовали данные и об объеме производства, и о сумме затрат по группам предприятий).
• В качестве структурных средних применяют показатели моды и медианы.
• Мода и медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуют структурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднюю характеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен или нецелесообразен.
• 2.2.1 Медиана
• Медиана (Ме) -- величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части -- со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.
• В ранжированном вариационном ряду с нечетным числом единиц совокупности медианой является значение признака у средней в ряду единицы. Медиана не зависит от значений признака, стоящих на краях вариационного ряда.
• В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула:
• ,
• где X_Me - нижняя граница интервала, в котором находится медиана;
• f?_Me - число наблюдений (или объем взвешивающего признака), накопленное до начала медианного интервала;
• f_Me - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале (в абсолютном или относительном выражении);
• i - величина медианного интервала;
• - половина от общего числа наблюдений или половина объема того показателя, который используется в качестве взвешивающего в формулах расчета средней величины (в абсолютном или относительном выражении).
• Примером такого ряда может служить месячная заработная плата рабочих цеха.
• Таблица 2.2.1

Порядковый номер рабочего	1	2	3	4	5	6	7	итого
Месячная заработная плата, руб. (x)	90	105	148	160	175	220	250	1148

• В этом ряду среднее место по размеру заработной платы занимает рабочий с номером 4, получивший 160 руб. Эта величина и есть медиана. Меньше и больше медианы одинаковое число вариантов. При нечетном числе вариантов (п) порядковый номер, которому соответствует медиана, определяется по формуле
• .
• Когда количество вариантов в ряду четное число, медианой считают один из тех вариантов, который по своей величине мог бы находиться посередине между вариантами с номером и . Так, если бы в цехе был еще и восьмой рабочий с заработной платой в 276 руб., то медиана находилась бы посередине между четвертым и пятым порядковыми номерами. В таких случаях принято считать, что в промежутке между номерами и идет равномерное нарастание или убывание вариантов. Поэтому за медиану принимают среднюю арифметическую из вариантов с номерами и . В данном примере
• Смысл полученного результата такой: одна половина рабочих получила за месяц меньше, а другая -- больше 167,5 руб.
• Следовательно, медиана -- обобщающий показатель распределения совокупности, уровень признака, который делит совокупность на две равные части, и представляет обычно интерес в анализе, как это видно из приведенного примера.
• Медиана, в отличие от средней, не является абстрактной величиной. Она находится точно в середине ряда, представляет собой реальное значение признака, соответствует определенному варианту и при этом наиболее точна в случае нечетного числа членов совокупности. Медиана как обобщающая характеристика совокупности не может, однако, заменить среднюю. Медиана -- это центр распределения численности единиц совокупности, а средняя -- центр распределения отклонений значений признака от равнодействующей. Величина медианы определяется лишь одним или двумя серединными значениями признака. Изменения всех остальных величин, если они не меняют последовательности членов в центре ряда, не находят отражения в медиане. Так, если месячную заработную плату наименее оплачиваемых двух рабочих поднять на 40 руб., это не скажется на медиане, несмотря на то, что тем самым значительно повышаются доходы двух рабочих цеха и существенно выравнивается заработная плата членов коллектива. Поэтому медиана, представляющая определенный интерес в анализе, не может заменить среднюю, которая при замене реального коллектива абстрактным коллективом с уравненными значениями признака оставляет неизменным определяющий показатель совокупности.
• Медианой целесообразно пользоваться, когда не известны границы открытых крайних интервалов вариационного ряда, на которые приходится значительная часть единиц всей совокупности, так как средняя в этих случаях страдает значительной неточностью. При исчислении же медианы отсутствие сведений об этих границах не влияет на точность расчета.
• 2.2.2 Мода
• Мода (Мо) - это вариант признака, который при данном сочетании причин разного порядка чаще всего встречается в вариационном ряду. Например, цена, по которой чаще всего реализуется данный товар на рынке, является модой или модальной ценой. Месячная заработная плата, которая чаще всего встречается в данном коллективе, является для него модальной заработной платой.
• Мода - типичная величина, в том смысле, что она встречается в совокупности или объективно может встретиться чаще других. Она имеет важное значение для решения некоторых задач, например какой высоты должны быть предназначенные для массового потребления станки, столы и т. п., какое количество детей чаще всего встречается в семье, какое время дня является «пиковым» для работы предприятий общественного питания, электростанций, городского транспорта и др., какой уровень выполнения плана наиболее часто встречается в том или ином коллективе рабочих или предприятий и т. п.
• Мода соответствует определенному значению признака. На практике моду находят, как правило, по сгруппированным данным.
• В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.
• В интервальном вариационном ряду, тем более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Внутри этого интервала находят условное значение признака, вблизи которого плотность распределения, то есть число единиц совокупности, приходящееся на единицу измерения варьирующего признака, достигает максимума. Это условное значение и считается точечной модой. Логично предположить, что такая точечная мода располагается ближе к той из границ интервала, за которой частота в соседнем интервале больше частоты в интервале за другой границей модального интервала. Отсюда имеем обычно применяемую формулу:\
• ,
• X_Mo - нижнее значение признака X в модальном интервале;
• i - величина интервала;
• f_Mo - частота (частость) повторения признака X в модальном интервале;
• f_Mo-1 ,f_Mo+1 - соответственно частоты (частости) признака для интервала, предшествующего модальному и следующего за ним.
• Пример: Таблица 2.2.2

Удойность в среднем от одной коровы за год, кг	Процент хозяйств
До 1000	7,6
1000-1649	9,7
1650-1999	16,1
2000-2499	37,5
2500-2999	20,6
3000-3999	8,2
4000 и выше	0,3
	100

• По табл.2.2.2. модальный интервал составляет 2000 - 2499шт, так как ему соответствует наибольшая частота 37,5%, нижняя его граница х_о = 2000, а величина интервала h = 500. Следовательно,
• Это значит, что чаще всего встречаются хозяйства, у которых надой в среднем от одной коровы составляет 2280 кг.
• Для решения практических задач наибольший интерес представляет обычно мода, выраженная в виде интервала, а не дискретным числом. Объясняется это назначением моды, которая должна выявить наиболее распространенные размеры явления. Выраженная в виде дискретного числа мода часто не отвечает этому требованию. Так, в нашем примере процент хозяйств, у которых годовой надой в среднем на одну корову составляет 2280 кг, хотя и больше, чем хозяйств с любым другим уровнем надоя, но сам по себе он может быть небольшим. Хозяйств же с удойностью в пределах интервала 2000 - 2499 кг - 37,5%, а 2000 - 3000 кг - 58,1, - т. е. весьма значительный процент.
• 3. Основные методологические требования расчета средних величин
• В связи с тем, что различные виды средних приводят к разным результатам, возникает проблема правильного выбора формы средней. Если форма выбрана неправильно, то средняя будет завышена либо занижена. Так как любая средняя рассчитана на отображение лишь одного какого-либо конкретного свойства совокупности, то, следовательно, ответ может быть только однозначным. Кроме того, каждая средняя имеет свой особый смысл и область применения.
• Рассматривая вопрос о выборе формы средней, которая наилучшим образам отвечает требованиям, К. Джини пишет: «Для выбора такой средней можно наметить лишь общие нормы, решающую же роль здесь играет интуиция и искусство исследователя» Джини К. Средние величины. М., Статистика, 1970. - С. 417.. Как, однако, ни важны эти качества исследователя, как и общие соображения об особенностях различных средних и их назначении, решающим в выборе формы средней является социально-экономическое содержание явления, сущность которого должна найти свое количественное выражение в средней. Средняя должна, на основе обобщения количественной стороны массовых общественный явлений в неразрывной связи с их качественной стороной, дать ответ на конкретные вопросы, выдвигаемые жизнью. Поэтому для правильного решения вопроса о выборе формы средней необходимо прежде всего учесть сущность объекта, законы его развития, его специфику, определить задачу, которая должна решаться при помощи средней, и исходя из всего этого установить определяющий показатель, который должен найти отражение в средней. Таков первый этап в решении вопроса о форме средней.
• Второй этап в выборе формы средней заключается в определении характера связи между определяющим свойством и осредняемым признаком. Если, например, связь прямо пропорциональна, то для расчета средней надо воспользоваться формулой средней арифметической, а при обратной пропорциональности -- формулой средней гармонической. В случаях, когда связь выражается в форме геометрической прогрессии, средняя должна исчисляться по формуле средней геометрической и т. п.
• Третий этап практически сводится к исчислению числовых значений средней по избранной формуле на основе фактических данных.
• Из всех трех этапов наиболее сложным является первый. Недоучет некоторых обстоятельств на этом этапе или формальный подход, оторванный от качественного анализа, приводит нередко к тому, что разные авторы предлагают для решения одной и той же задачи разные виды средних.
• Так как средние, включая и распределительные средние, привлекаются для получения типичных характеристик совокупности, то выбор формы средней для решения той или иной задачи зависит и от того, о какой типичности идет речь. Для характеристики однородности совокупности, устойчивости или изменчивости явлений и процессов следует привлекать среднее линейное отклонение, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. В тех случаях, когда для решения той или иной задачи важно знать размер признака, который чаще всего встречается в совокупности, надо пользоваться модой, а для того, чтобы установить границу между высшей и низшей группами величин, а также для решения некоторых оптимальных задач, -- медианой. Так как различные виды средней по-разному характеризуют совокупность, то для всестороннего ее изучения надо сочетать различные виды средних величин.
• Таковы научные основы выбора формы средней.
• Заключение
• Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
• Средние величины делятся на два больших класса: степенные средние, структурные средние.
• К степенным средним относятся такие наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая, средняя гармоническая, средняя кубическая.
• В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
• Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным. Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным.
• Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m).
• · средняя гармоническая, если m = - 1;
• · средняя геометрическая, если m > 0;
• · средняя арифметическая, если m = 1;
• · средняя квадратическая, если m = 2;
• · средняя кубическая, если m = 3.
• Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина.
• Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины.
• Использованная литература
• 1. Теория статистики: Учебно - методический комплекс / Под ред. В.В. Глинского, В.Г. Ионина, Л.И. Яковенко. - Новосибирск: НГУЭУ, 2007. - 108 с.
• 2. Общая теория статистики: Учебник / А.Я. Боярский, Л.Л. Викторова, А.М. Гольдберг и др.; Под ред. А.М. Гольдберга, В.С. Козлова. - М.: Финансы и статистика,1985. - 367 с.
• 3. Громыко Л.Г.Общая теория статистики: Практикум. - М.: ИНФРА - М,1999. - 139 с.
• 4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 1996. - 368 с.: ил.
• 5. Пасхавер И.С. Средние величины в статистике. - М.: Статистика, 1979. - 279 с., ил.
• 6. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. - М.; Финансы и статистика, 2001. - 416 с.: ил.
• 7. Статистика: учебник / Л.П. Харченко, В.Г. Ионин, В.В. Глинский и др.; под ред. канд. экон. наук, проф. В.Г. Ионина. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: ИНФРА-М, 2008. - 445 с. - (Высшее образование).
• 8. Харченко Л.П. История статистики. Развитие методологии статистической науки: Учебное пособие. - НГУЭУ, 2005. - 144 с.
• Расчетная часть
• Задача 1.
• Один рабочий тратит на изготовление детали 2 минуты, второй 6 минут.
• Определить:
• 1. Средние затраты времени на изготовление 1 детали (минут).
• 2. Количество деталей, изготовленных за первые 2 часа рабочего дня.
• 3. Общие трудозатраты и время, необходимое на изготовление первой партии из 100 деталей.
• Решение:
• 1. Средние затраты времени на изготовление одной детали (минут) определяем по формуле средней арифметической простой:
• =
• 2. Количество деталей, изготовленных за первые 2 часа рабочего дня:
• а) 60 мин.* 2 часа =120 мин.;
• б) Q = , где Q - количество деталей;
• T - общие затраты рабочего времени;
• t - уровень трудоемкости.
• 120 мин./ 2 мин. = 60 деталей;
• 120 мин. / 6 мин. = 20 деталей;
• г) 60 + 20 = 80 деталей.
• 3. Общие трудозатраты и время, необходимое на изготовление первой партии из 100 деталей:
• ,
• Где - средняя трудоемкость изготовления изделия одного и того же вида несколькими рабочими; t_i - трудоемкость изготовления единицы продукции конкретным рабочим; d_Ti - доля рабочего в общих затратах рабочего времени.
• d_T1 = d_T2 = 0,5 ч.
• t₁ = 0,02 ч, t₂ = 0,06 ч.
• T=*Q
• Где Т - трудозатраты; - средняя трудоемкость изготовления изделия одного и того же вида несколькими рабочими; Q - общее количество выработанной продукции.
• Т = 0,03*100 = 3 ч.
• Ответ:
• 1. Средние затраты времени на изготовление 1 детали = 4мин.
• 2. Количество деталей, изготовленных за первые 2 часа рабочего дня = 80.
• 3. Общие трудозатраты и время, необходимое на изготовление первой партии из 100 деталей = 3ч.
• Задача 2.
• По сельскохозяйственному предприятию имеются следующие данные о валовом сборе зерновых культур:

Год	Валовой сбор, тонн
1990	162
1991	178
1992	180
1993	183
1994	185
1995	184
1996	187
1997	190
1998	192
1999	196
2000	199

• 1) Построить уравнение общей тенденции валового сбора в форме линейного тренда методами:
• а) первых разностей (абсолютных цепных приростов);
• б) методом серий;
• в) аналитического выравнивания методов наименьших квадратов.
• 2) Оценить ожидаемую величину валового сбора на 2002-2003 годы.
• 3) Отразить на графике фактический валовой сбор зерновых, его основную тенденцию и ожидаемое значение на ближайшую перспективу.
• Решение:

Год	Валовый сбор, тонн, y	t	t2	ty		<Me = A, >Me =B
1990	162	-5	25	-810	-	А
1991	178	-4	16	-712	16	А
1992	180	-3	9	-540	2	А
1993	183	-2	4	-366	3	А
1994	185	-1	1	-185	2	В
1995	184	0	0	0	-1	А
1996	187	1	1	187	3	В
1997	190	2	4	380	3	В
1998	192	3	9	576	2	В
1999	196	4	16	784	4	В
2000	199	5	25	995	3	В
Итого	2036	-	110	309

• а) Абсолютный цепной прирост:
• б) Ме =
• R = 4,
• ,
• .
• ,
• t=2, при P = 0,954
• 6-2*1,58 ? R ? 6+2*1,58
• 2,84 ? R ? 9,16
• Число серий R = 4 укладывается в пределах случайного поведения , и гипотеза о наличии обшей закономерности снижения или возрастания во времени не может быть принята(с вероятностью ошибки 0,046).
• в)
• ,
• где y - исходный уровень ряда динамики,
• n - число членов ряда,
• t - показатель времени.
• Если ,
• то , , .
• ,
• .
• Уравнение примет вид: .
• 2) Для 2002 года t =7, для 2003 года t =8, следовательно, ожидаемая величина валового сбора зерновых культур:
• в 2002 году составит 185,09+2,81*7=204,76;
• в 2003 году составит 185,09+2,81*8=207,57.
• 3)
• Наблюдается тенденция увеличения валового сбора зерновых.
• Задача 3.
• В результате 5% механической выборки в отделении банка получено следующее распределение вкладов по срокам хранения:

Группы вкладов по сроку хранения, дней	Количество вкладов
До 30	98
30 ч 60	140
60 ч 90	175
90 ч 180	105
180 ч 360	56
360 и более	26

• Определить:
• 1) средний срок хранения вкладов по данным выборки;
• 2) долю вкладов со сроком хранения более 180 дней по данным выборки;
• 3) с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать среднюю продолжительность хранения вклада и долю вкладов со сроком хранения более 180 дней в целом по отделению банка;