Статистические расчеты в экономике

Вопрос 1: Сущность и значение средней величины. Виды средних величин и методы их расчета. Средняя величина - это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень варьирующего признака в расчете на единицу однородной совокупности. Средняя величина обобщает количественную вариацию признака, т.е. в средних величинах погашаются индивидуальные различия единиц совокупности, обусловленные случайными обстоятельствами.

Основные правила научного использования средних величин:

1. Однородность совокупности.

2. Максимально возможный охват единиц совокупности. Средние величины определяются как по абсолютным, так и по относительным показателям и имеют ту же размерность, что и определяемый признак.

3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними.

Существует множество видов средних величин, что зависит от характера осредняемых величин и имеющихся исходных данных. (1.125-127с)

Средние величины делятся на два больших класса:

1. Степенные средние (средняя арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратичная, кубическая).

2. Структурные средние (мода, медиана).

Средняя арифметическая простая:

Используется в тех случаях, когда известны отдельные значения варьирующего признака по каждой единице совокупности.

где x - средняя величина.

; , (1)

индивидуальные значения признака;

n - число вариантов.

Средняя арифметическая взвешенная

Используется в тех случаях, когда отдельные значения варьируемого признака встречаются, повторяясь, неодинаковое число раз, т.е. когда одинаковые варианты значений признака можно объединить в группы.

; , (2)

где f-число повторений отдельных значений признака (частоты).

Определение средней арифметической взвешенной по интервальному ряду

Сначала находят центры (середины) интервалов, а затем их умножают на веса, произведения суммируют и делят на сумму весов.

, (3)

где - середины интервалов.

Средняя гармоническая простая

Используется в случаях, когда индивидуальные значения варьируемого признака представлены в форме обратной величины.

; . (4)

Средняя гармоническая взвешенная

Используется, когда известны отдельные значения варьируемого признака, общий объем явлений, а частота повторов неизвестна.Т. е. в качестве весов используются не единицы совокупности - носители признака, а произведения этих единиц на значения признака: (т.е. ).

(5)

где m - общий объем явлений.

Порядок выбора формы средней взвешенной величины:

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должна вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя неизвестны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой то средняя вычисляется по формуле средней гармонической взвешенной.

Средняя хронологическая:

Используется в тех случаях, когда индивидуальные значения даны на начало или конец равных периодов.

(6)

Средняя геометрическая:

Используется в тех случаях, когда определяются средние темпы изменения явлений во времени, т.е. когда общий объем явлений определяется не суммированием, а произведением индивидуальных значений.

(7)

Структурные (распределительные) средние:

Кроме расчетных средних величин в статистике необходимо использовать конкретные индивидуальные значения, которые позволяют охарактеризовать особенности распределения единиц совокупности по изучаемому признаку.

Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц совокупности. Для дискретного ряда определяется непосредственно как вариант (x) имеющий наибольшую частоту или частность. Для интервального ряда с равными интервалами:

(8)

где - начальная (нижняя) граница модального интервала;

h - величина интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Если интервальный ряд с неравными интервалами, то мода определяется в интервале, имеющем наибольшую плотность распределения, и в формуле вместо ,, принимаются соответствующие плотности распределения. Для нахождения медианы (значения признака у средней единицы ранжированного ряда) сначала определяется ее порядковый номер:

, а затем по накопленным частотам определяется либо сама медиана (для дискретных рядов), либо медианный интервал (для интегральных рядов), в котором рассчитывается значение Me:

(9)

где x_{0 -} нижняя граница медианного интервала;

- порядковый номер Ме;

- накопленная частота Ме;

- частота медианного интервала.

Мода и медиана могут быть определены графически (рис.1 - построенные по данным задания 3):

Mo - по гистограмме (интервальный ряд);

Me - по кумуляте (строится по накопленным частотам).

11

11

Рис.1 - Графическое изображение моды и медианы

Аналогично Mo и Me рассчитываются показатели, именуемые квартилями (Q) и децилями (D). (2 345-347с)

Квартиль - это значение признака у единицы, делящей ряд на четыре части.

Первая Q₁ - значение признака у единицы, делящей ранжированный ряд в соотношении

Вторая Q₂ - равна Me

Третья Q_{3 -} значение признака у единицы, делящей ранжированный ряд в соотношении

Дециль - значение признака у единицы, делящей ранжированный ряд в соотношении (первая дециль D₁), (вторая дециль D₂) и так далее.

Вопрос 2: Приведение рядов динамики к единому основанию.

Ряд динамики - это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. (3.345с)

Ряд динамики включает в себя два обязательных элемента:

1). Уровень ряда (y)

2). Момент времени (t)

Классификация рядов динамики:

По времени:

а). Моментные ряды - характеризуют уровень какого-либо явления НА определенный момент времени. С помощью этих рядов анализируют динамику численности населения, ресурсов производства и т.д.

б). Интервальные ряды - характеризуют уровень явления ЗА определенный интервал времени. С их помощью анализируют динамику объема производства, фонда заработной платы, объема товарооборота и т.д.

2. По форме предоставления уровней:

а). Ряды абсолютных величин (Пример: млн. руб., млн. тонн, млн. чел., шт. и т.д.)

б). Ряды относительных показателей (Пример: доли, уровни, индексы ит.д.)

в). Ряды средних величин (Пример: средняя арифметическая, средняя геометрическая, средняя хронологическая ит.д.)

3. По расстоянию между уровнями ряда:

а). Равноотстоящие - это, если уровни ряда представлены через равные, следующие друг за другом интервалы времени.

б). Неравноотстоящие - если уровни ряда представлены за неравномерные интервалы времени. (2 255,256 с)

Переход к относительным величинам целесообразно осуществлять и при параллельном анализе динамики нескольких показателей (или одного и того же показателя по разным объектам), если по абсолютным данным трудно выявить особенности развития. В таких случаях уровни всех рассматриваемых рядов приводятся в процентах (или коэффициентах) к уровню одного и того же периода или момента времени (либо иной базе сравнения). Этот прием перехода от абсолютных показателей к относительным именуется в статистике приведением рядов к одному основанию.

Рассмотрим его на примере данных, приведенных в таблице 1.1

Во всех рядах заметно снижение уровней с 1992 по 1998 г., а затем снова повышение. Однако сделать вывод об интенсивности снижения и повышения по отдельным видам продукции визуально затруднительно.

Таблица 1.1 - Динамика объема производства некоторых видов продукции в России за 1991-2001 гг.

Для наглядности приведем все четыре ряда к одному основанию, для чего примем уровни 1991 г. в каждом ряду за 100% (табл.1.2).

Таблица 1.2 - Динамика объема производства некоторых видов продукции в России (в % к 1991 г.)

Нетрудно заметить, что данные таблицы 1.2, где все ряды приведены к одному основанию, легче интерпретировать, анализировать. Итак, самое большое снижение объема производства произошло к 1998 г. в добыче нефти и угля; к 2001 г. она (добыча) несколько повысилась и составила соответственно 74,6 и 76,5% по отношению к уровню 1991 г. меньше всего за указанный период изменялась добыча природного газа.

Обычно ряды динамики приводят к одному основанию и тогда, когда сравнивают за несколько лет один и тот же показатель в разных странах, оцениваемый в соответствующей валюте.

Таблица 1.3 содержит данные о валовом внутреннем продукте (ВВП) в ряде стран, приведенные к одному основанию (уровень 1990 г. принят за 100), что облегчает параллельное сравнение данных. (6.22-24с)

Таблица 1.3 - Динамика объема производства некоторых видов продукции в России (в % к 1991 г.)

Задание 2

По данным таблицы 2 рассчитать относительные показатели динамики, структуры, координации и интенсивности.

Таблица 2 - Производство потребительских товаров (в фактически действующих отпускных ценах, млн. руб. по Брянской области)

Решение:

1. Рассчитываем относительный показатель динамики (ОПД), который представляет собой отношение уровня исследуемого процесса и уровня этого же процесса или явления в прошлом:

ОПД=; (1)

ОПД (потребительские товары) =

ОПД (пищевые продукты) =

ОПД (винно-водочные изделия и пиво) =

ОПД (непродовольственные товары) =

ОПД (численность населения) =

2. Рассчитываем относительный показатель структуры (ОПС), который представляет собой соотношение структурных частей изучаемого объекта и их целого:

ОПС=; (2)

ОПС (пищевые продукты) =

ОПС (винно-водочные изделия и пиво) = %

ОПС (непродовольственные товары) =%

56,12+9015+34,66=100%

3. Рассчитываем относительный показатель координации (ОПК), который определяет собой отношение одной части совокупности к другой части этой же совокупности:

ОПК= (3)

ОПК ₁=

ОПК ₂ =

4. Рассчитываем относительный показатель интенсивности (ОПИ), который характеризует степень распространения изучаемого процесса или явления и представляет собой отношение исследуемого показателя к размеру присущей ему среды:

ОПИ= (4)

ОПИ (продовольственные продукты) =

ОПИ (пищевые продукты) =

ОПИ (винно-водочные изделия и пиво) =

ОПИ (непродовольственные товары) =

Исходные данные и результаты расчета занесем в таблицу:

Таблица 2 -. Исходные и расчетные данные по Брянской области

Выводы:

1. Относительный показатель динамики (Темп роста). Численность населения N-области в 2002 г. по сравнению с 2001 г. возросла на 1% (1,01*100-100), что в абсолютном выражении составляет 8 тыс. человек (1474,9-1466,9).

Производство потребительских товаров возросло в 2,55 раза, особенно это пищевые продукты (в 2,65 раза), винно-водочные изделия и пиво, а также непродовольственные товары - соответственно в 2,43 раза и 2,44 раза. Это говорит о росте потребительского спроса на вышеперечисленные товары.

2. Относительный показатель структуры. В 2002 г. состав потребительских товаров имеет следующий вид:

56,19% приходится на пищевые продукты, 34,66% на непродовольственные товары и лишь 9,15% на винно-водочные изделия и пиво.

3. Относительный показатель координации. В 2002 г.:

ОПК ₁ =

ОПК ₂ =

В 2002 г. пищевых продуктов было изготовлено в 1,6 раз больше, чем непродовольственных товаров и в 6 раз больше, чем винно-водочных изделий и пива.

4. Относительный показатель интенсивности. В 2002 г. на одного человека в N-области было произведено на 1383 тыс. руб. потребительских товаров, в том числе:

777 тыс. руб. пищевых продуктов.

127 тыс. руб. винно-водочных продуктов и пива.

479 тыс. руб. непродовольственных товаров.

Задание 3

По имеющимся данным о распределении населения области "N" по уровню среднемесячного душевого дохода (таблица 2):

Таблица 3 - Исходные данные распределения населения области "N" по уровню среднемесячного дохода

Определить:

Среднемесячный душевой доход по области ;

Распределительные средние: моду, медиану;

Среднее квадратическое отклонение доходов и показатель вариации ;

Построить гистограмму и кумуляту распределения населения по среднемесячному душевому доходу.

Расчеты представить в табличной форме.

По результатам сформулировать выводы.

Решение:

Рассчитываем среднемесячный душевой доход по области:

(1)

Рассчитываем распределительные средние:

Мода:

(2)

руб.

Вывод 1: Из решения выше (формула 2) следует, что наиболее часто встречается заработная плата в размере 494,05 руб. Медина:

Определяем порядковый номер Ме:

(3)

По накопленным частотам (S) видно, что сотая единица находится в интервале (400-600), ее значение определяется по формуле:

(4)

Вывод 2: Из решения выше следует, что половина рабочих получает зарплату ниже 544,48 руб., а половина выше.

Среднее квадратическое отклонение доходов и показатель вариации

(5)

(6)

Таблица 3 - Расчетные данные распределения безработных области "N" по возрастным группам

11

11

Рис.1 - Графическое изображение моды и медианы к задаче 3

Задание 4