Производная в экономике

17

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

СЕВЕРО-ВОСТОЧНОЕ ОКРУЖНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ

ЦЕНТР ОБРАЗОВАНИЯ № 953

Проект на тему:

«Производная в экономике»

Выполнила: ученица

11-а класса Горобченко Елизавета

Научный руководитель:

Селетицкая Ольга Викторовна

Москва

2010 г.

Тезисы

Экономика - неотъемлемая часть нашей жизни. Мы работаем, учимся, занимаемся домашним хозяйством, но даже не подозреваем, что без экономики всего этого могло бы и не быть. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства.

Основная проблема, рассмотренная в моей работе, - использование производной в экономических целях и её роль.

Цель работы: анализ различных производственных задач с точки зрения эффективности применения для их решения аппарата производной.

Экономические задачи достаточно сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попыталась объяснить и доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи. Особый интерес у меня вызвали такие разделы, как:

· Предельный анализ в экономике. Это совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений.

· Исследование производственных функций в экономике (задачи). А именно различные производственные задачи.

Решение поставленных задач, очевидно, невозможно без рассмотрения теории дифференцирования функции и понятия предельных издержек производства, которые также изложены в моей работе.

Итогом работы стало практическое использование полученных знаний для решения конкретной, самостоятельно сформулированной экономической задачи.

Содержание

Вступление

Понятие производной

Геометрический смысл производной

Экономическое приложение производной

Применение производной в экономической теории

Использование производной для решения задач по экономической теории

Предельный анализ в экономике. Эластичность функций

Ценовая эластичность спроса

Ценовая эластичность предложения

Примеры задач

Производство мороженого

Бизнес план по организации палатки с мороженым

Заключение

Список использованной литературы

Вступление

Экономика - неотъемлемая часть нашей жизни. Мы работаем, учимся, занимаемся домашним хозяйством, но даже не подозреваем, что без экономики всего этого могло бы и не быть. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства.

Но они очень сложны, и чтобы облегчить решения данных задач, существует такое понятие, как «производная». В своей работе я попыталась объяснить и доказать, что производная действительно помогает решать различные экономические задачи. Особый интерес у меня вызвали такие разделы, как:

1.Предельный анализ в экономике.

2.Исследование производственных функций в экономике (задачи). А именно различные производственные задачи.

Производная - одно из фундаментальных понятий математики.

Мы часто упоминаем понятие производной в физике, геометрии и даже в экономике. Само понятие «производная в экономике» тесно связано с производственными задачами, предельным анализом и эластичностью функций.

Исследование поведения различных систем часто не обходится без анализа и решения уравнений, включающих как параметры системы, так и скорости их изменения, аналитическим выражением которых являются производные. В экономике очень часто требуется найти значение таких показателей, как предельная производительность труда, максимальная прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких переменных, нахождение которых сводится к вычислению производной.

Рассмотрим производственную функцию Кобба-Дугласа. Ей соответствует определенный выпуск продукции. При увеличении числа рабочих, частная производная от производственной функции будет равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одним дополнительным рабочим. По этой причине это частное приращение называется предельной производительностью труда.

Если же увеличить фонды еще на одну единицу - купить один станок, то добавочная стоимость продукции, произведенная на нем, окажется равной частной производной по объему фондов. Эта частная производная называется предельной фондоотдачей.

Рассмотрим зависимость себестоимости произведенной продукции от ее объема. Предельная себестоимость характеризует отношение прироста себестоимости к приросту объема продукции при малом изменении продукции.

Пусть дана функция спроса от цены товара. Ее производная приближенно равна увеличению спроса при увеличении цены на одну единицу. При повышении цены спрос уменьшается, а абсолютное значение производной показывает уменьшение спроса со стороны покупателей при повышении цены товара на единицу.

Пусть t - налог с единицы выпускаемой продукции. Тогда общий налог с Q продукции составит T=tQ. В этом случае функция прибыли будет иметь вид: PQ = R(Q)-C(Q)- t(Q). В этом случае возникает вопрос : каким должен быть налог T, чтобы величина суммарного налога T со всей продукции была наибольшей? Уменьшение налогообложения стимулирует рост выпуска продукции и приводит при этом к увеличению прибыли от ее реализации. И предельная производительность труда, и предельна фондоотдача - это абсолютные величины. Но в экономике чрезвычайно удобно задавать такие вопрос: на сколько процентов изменится выпуск продукции, если число рабочих увеличится на один процент. Такие вопросы и ответы на них используют понятие «Эластичность функции по аргументу» или «относительная производная».

Понятие производной

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y=f(x) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции f(x) и обозначают символом

Тот процесс, с помощью которого из данной функции f(x) получают новую функцию f ' (x), называют дифференцированием и состоит он из следующих трех шагов: 1) даем аргументу x приращение ?x и определяем соответствующее приращение функции ?y = f(x+?x) -f(x);

2) составляем отношение

3) считая x постоянным, а ?x 0, находим, который обозначаем через f ' (x), как бы подчеркивая тем самым, что полученная функция зависит лишь от того значения x, при котором мы переходим к пределу.

Определение: Производной y'=f '(x) данной функции y=f(x) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен.

Таким образом

или .

Заметим, что если при некотором значении x, например при x=a, отношение при ?x0 не стремится к конечному пределу, то в этом случае говорят, что функция f(x) при x=a (или в точке x=a) не имеет производной или не дифференцируема в точке x=a.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции у = f (х), дифференцируемой в окрестностях точки x

17

0

Рассмотрим произвольную прямую, проходящую через точку графика функции - точку А(x₀, f (х₀)) и пересекающую график в некоторой точке B(x;f(x)). Такая прямая (АВ) называется секущей. Из ?АВС: АС = ?x; ВС =?у; tgв=?y/?x .

Так как АС || Ox, то ALO = BAC = в (как соответственные при параллельных). Но ALO - это угол наклона секущей АВ к положительному направлению оси Ох. Значит, tgв = k - угловой коэффициент прямой АВ.

Теперь будем уменьшать ?х, т.е. ?х> 0. При этом точка В будет приближаться к точке А по графику, а секущая АВ будет поворачиваться. Предельным положением секущей АВ при ?х> 0 будет прямая (a), называемая касательной к графику функции у = f (х) в точке А.

Если перейти к пределу при ?х > 0 в равенстве tgв =?y/?x, то получим



или tg =f '(x₀), так как - угол наклона касательной к положительному направлению оси Ох , по определению производной. Но tg = k - угловой коэффициент касательной, значит, k = tg = f '(x₀).

Итак, геометрический смысл производной заключается в следующем:

Производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

Экономическое приложение производной

В экономической теории активно используется понятие «маржинальный», что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно ставить и решать новый класс научных проблем. Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности оказалось можно обнаружить в области предельных величин.

Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно другого исследуемого фактора.

Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно использовать предельные величины.

Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х - количество продукции, тогда x- прирост продукции, а y - приращение издержек производства.

В этом случае производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции

где

MC - предельные издержки (marginal costs);

TC - общие издержки (total costs);

Q - количество.

Другой пример: категория предельной выручки (MR-- marginal revenue) -- это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта.

Она представляет собой первую производную

от выручки:

При этом R=PQ, где R - выручка (revenue); P - цена (price).

Таким образом, MR= P.

Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции, когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния на цену.

Применение производной в экономической теории

Проанализировав экономический смысл производной, нетрудно заметить, что многие, в том числе базовых законы теории производства и потребления, спроса и предложения оказываются прямыми следствиями математических теорем.

Вначале рассмотрим экономическую интерпретацию теоремы: если дифференцируемая на промежутке X функция y= f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке x₀ этого промежутка, то производная функции в этой точке равна нулю, то есть f'(x₀) = 0.

Один из базовых законов теории производства звучит так: "Оптимальный для производителя уровень выпуска товара определяется равенством предельных издержек и предельного дохода".

То есть уровень выпуска Qo является оптимальным для производителя, если

MC(Qo)=MR(Qo),

где MC - предельные издержки, а MR - предельный доход.

Обозначим функцию прибыли за П(Q). Тогда П(Q) = R(Q) -- C(Q),

где R - прибыль, а C - общие издержки производства.

Очевидно, что оптимальным уровнем производства является тот, при котором прибыль максимальна, то есть такое значение выпуска Qo, при котором функция П(Q) имеет экстремум (максимум). По теореме Ферма в этой точке П'(Q) = 0. Но П'(Q)=R'(Q) - C'(Q), поэтому R'(Qo) = C'(Qo), откуда следует, что MR(Qo) = MC(Qo).

Использование производной для решения задач по экономической теории

Задача 1

Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У= -х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2

Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x)=-0,02x^3+600x -1000. Исследовать потенциал предприятия.

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при Х=100 функция достигает максимума.

Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен 39000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Предельный анализ в экономике. Эластичность функций

Применение производной в экономике позволяет получать так называемые предельные характеристики экономических объектов или процессов. Предельные величины (предельная выручка, полезность, производительность, предельный доход, продукт и др.) характеризуют не состояние, а скорость изменения экономического объекта или процесса во времени или относительно другого исследуемого фактора.

Анализ состояния и изменения экономического объекта или процесса - это проблема, стоящая перед специалистами в этой области.

Цель этого исследования - проанализировать и рассмотреть примеры применения предельных характеристик экономических процессов с помощью производной.

Рассмотрим понятия, применяемые в данном исследовании.

Эластичность функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y' = . Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

.

Его обозначают

E_x (y) = x / y = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1 %. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей, тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

Производственные издержки - это денежное выражение затрат производственных факторов, используемых в производстве и реализации. Они бывают постоянные - не зависимые от объема и структуры производства. Переменные - такие, как заработная плата, издержки на сырье, топливо и т. д., то есть, которые зависят от объема производства. Средние или удельные - на единицу продукции. Предельные или маржинальные - это отношение прироста переменных издержек к вызванному ими приросту продукции. Можно ли произвольно увеличивать количество переменных факторов, например нанимать дополнительных рабочих, на единицу постоянного фактора? Нет, т. к. начинает действовать закон убывающей доходности или возрастающих затрат. Он проявляется в том, что если фирма наращивает объем использования только некоторых или только одного из факторов производства, то прирост выпуска, приносимый дополнительными объемами этих факторов, в конце концов начнет снижаться. Эти задачи решаются только с помощью математики. И сегодня вы самостоятельно применяете свои знания к решению некоторых экономических задач с помощью производной.

Хочу заметить, что такое понятие как эластичность очень распространено в экономике, а именно: ценовая эластичность спроса и предложения, эластичность спроса по доходу (перекрестная эластичность), ценовая эластичность предложения.

Ценовая эластичность спроса

Реакция величины спроса на изменение цены товара называется ценовой эластичностью спроса.

Спрос эластичен по цене, если процентное изменение объема спроса превышает процентное изменение цены. Если процентное изменение объема спроса отстает от процентного изменения цены, то спрос по цене неэластичен. Например, если все сорта растительного масла подорожают на 49 %, а объем спроса снизится только на 19%, можно будет сделать вывод, что спрос на растительное масло неэластичен по цене.

При эластичном относительно цены спросе доход продавца и цена товара изменяются в противоположных направления. Например, если при подорожании велосипедов на 10 % величина спроса повысится на 40 %, говорят, что спрос на этот товар окажется эластичным по цене.

Если спрос на товар неэластичен, цены и доход изменяются в одном направлении. Данные величины измеряются формулой:

где Е_р^D - эластичность спроса по цене;

ДQd - относительное изменение спроса (в процентах);

ДP - относительное изменение цены (в процентах).

где Q₁ , Q₀ - величина спроса до и после изменения цены;

P₁ , P₀ - цена до и после изменения.

С увеличением цены объем спроса, как правило, снижается. Чтобы избежать отрицательных чисел, значение Е_р^D берут по модулю или вводят знак минус.

Рис.3.5. Абсолютно эластичный и абсолютно неэластичный спрос

Информация о эластичности или неэластичности спроса на товар очень важна для предпринимателей, целью которых является увеличение дохода, или выручки от продажи товара, которую можно подсчитать, умножив цену одной единицы товара на количество реализованных товаров: Y = P*Q

Где Y - доход, или выручка от продажи товаров, P - цена единицы товара, Q - количество проданного товара.

Отсюда следует, производители велосипедов для увеличения доходов должны снизить цены на них, а производители растительного масла, наоборот, повысить.

В доказательство своих слов, я попыталась проиллюстрировать эластичность спроса по цене с помощью кривых спроса. Рисунок показывает нам, что в результате снижения цены на 1/3 - с 6 р. До 4 р. - объем спроса вырос в 2 раза - с 3 единиц товара до 6 единиц, что привело к росту дохода с 18 р. До 24 р. Следовательно, спрос на данный товар оказался эластичным.

Рис.4-1

На рисунке 4-2 мы имеем пример неэластичного спроса, т.к. снижение цены в 2 раза привело к незначительному увеличению спроса - всего на 1/3, поэтому общий доход производителей уменьшился с18 до 12 р.

Рис. 4-2

Я свела выводы, сделанные мной на основании анализа рисунков в таблицу. Она дает основание сделать вывод о том, что когда цены и доход изменяются в противоположных направлениях, следует говорить об эластичном относительно цены спросе. Если же доход и цены изменяются в одном направлении, спрос относительно цены неэластичен.

Тип эластичности	Изменение цены	Изменение дохода	Взаимное изменение цен и доходов
Спрос эластичный	Рост, снижение	Снижение, рост	Противоположное
Спрос неэластичный	Рост, снижение	Рост, снижение	Одинаковое

Ценовая эластичность предложения

Если ценовая эластичность спроса - это реакция покупателей на изменение цены, то ценовая эластичность предложения- это реакция на изменение цены со стороны производителей. Эластичность предложения позволяет определить степень реагирования производителей различной продукции на цены.

Ценовая эластичность предложение показывает, на сколько изменится в Зпроцентом соотношении величина предложения при изменении цены товара (услуги) на 1%.

Предложение эластично, если при изменении цены на 1% его объем изменится более чем на 1%

Например, если при повышении цены на мороженое на 10 % величина предложения его вырастет на 15 % или, наоборот при снижении цены на него на 20 % объем предложения сократится на 27 %, следует заключить, что предложение мороженого эластично по цене.

Предложение неэластично, если при изменении цены товара на 1 % объем его предложения изменится менее чем на 1 %.

Например, если цена на нефть вырастет на 40 % , а объем предложения увеличится на 32 %, или при снижении цены на 30 % объем поставок уменьшится на 27 %, это свидетельствует, что предложение нефти неэластично.

Коэффициент ценовой эластичности предложения можно рассчитать по формуле:

Где E_PS - коэффициент ценовой эластичности предложения, Q - изменение объема предложения, P - изменение цены.

Например, при изменении цены на тюльпаны с 0,7 до 1,2 гульденов за штуку величина их предложения увеличилась с 200 тысяч шт. до 280 тысяч шт. Эластично или неэластично по цене предложения тульпанов?

Рассчитаем это, воспользовавшись формулой, приведенной выше:

Отсюда вывод, что предложение тюльпанов неэластично по цене.

Примеры задач.

I. О финансовых накоплениях.

Завод производит х автомобилей в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений завода от объема выпуска выражается формулой f(x) = -0,02x³ + 600x - 1 000. Решение исследуется с помощью производной. Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума. Вывод: финансовые накопления завода растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х = 100 они достигают максимума и объем накопления равен 39 000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

II.О зависимости спроса от цены.

Вспомним, что такое спрос? Это зависимость между ценой единицы товара и количеством товара, которое потребители готовы купить при каждой возможной цене за определенный период времени и при прочих равных условиях.

Зависимость спроса от цены выражается формулой D(p) = E^_2p2(p >= 0). Данная функция исследуется с помощью производной D'(p) = -4p·E^-2p2. Анализируя график функции, получаем данный вывод. Данная модель задачи предполагает, что в анализе спроса мы абстрагируемся от влияния на него других факторов, предполагая их неизменными, что было отражено в определении спроса. Уметь решать такие задачи - это уже хорошо, будет у фирмы возможность подстраховаться хотя бы в ценовом факторе.

Хотя в реальной жизни оказывают существенные воздействия на спрос потребителя еще и доходы потребителя, и вкусы в сочетании с модой. Поэтому количество покупаемого товара в общем виде является не одной переменной (цены), а нескольких переменных, и решение задачи о спросе естественно усложнится. Но математика приходит на помощь и в этом случае. Выручка от реализации товара по цене p составляет: денежных единиц, где D(p) = E^-2p2(p >= 0). Исследуем эту функцию с помощью производной. Производная этой функции: положительна, если , и отрицательна для , это означает, что с ростом цены выручка вначале увеличивается (несмотря на падение спроса) и в достигает максимального значения , дальнейшее увеличение цены не имеет смысла, т. к. оно ведет к сокращению выручки. Темп изменения выручки выражается второй производной .

- темп положительный, - темп отрицательный. На промежутке (0; 1/2) функция возрастает все медленнее, то есть дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом для , а затем темп убывания становится положительным, и для P > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. Для наглядной демонстрации сказанного выше составим таблицу и построим график.

p
U'(p)	+	0	_	_0,47	_
U''(p)	_		_	0	+
U(p)	возрастает выпукла	0,3 max	убывает выпукла	0,2 точка перегиба	убывает вогнута

Вывод. На промежутке функция возрастает все медленнее. Соответствующая часть графика выпукла. Как уже отмечалось, дальнейшее повышение цены невыгодно. Сначала выручка убывает с отрицательным темпом (для ), а затем темп убывания V(p) становится положительным. Для р > 0,9 выручка убывает все быстрее и приближается к нулю при неограниченном увеличении цены. На промежутке функция U(p) вогнута. В точке график перегибается (рис.).

Рис.

Таким образом мы пришли к тому, что очень важной производственной задачей является умение определить при каком объеме производства удельные затраты будут минимальными и до каких пределов можно расширять производство.

Производство мороженого

В следующем этапе моей работы, основываясь на полученных знаниях, я попыталась представить себя предпринимателем и заняться производством мороженого. Продавать я его буду вблизи школы. Допустим, что раньше, при цене 10 рублей не было куплено ни одной порции. Но как только цена начала снижаться, то число желающих полакомиться мороженым возросло. И вот тут, мне нужно не прогадать и выбрать правильную ценовую стратегию. Для этого, данные о реагировании количества проданного мороженого на изменение цены, рассчитанную на их основе выручку от продажи и коэффициент эластичности я свела в таблицу:

Кол-во проданных порций	Цена одной порции, (P),руб.	Выручка от продажи, (Y), руб.	Коэффициент эластичности, (EPD)
0	10	0	0
10	9	90	19
20	8	160	5,7
30	7	210	3
40	6	240	1,8
50	5	250	1,2
60	4	240	0,8
70	3	210	0,5
80	2	160	0,3
90	1	90	0,2

Итак, основываясь на таблице, я могу сделать вывод о том, что при росте коэффициента эластичности возникает проблема измерения того, как изменяется величина спроса с 10 до 20 порций. Если я буду ориентироваться на первоначальный уровень спроса, то его прирост составит . Если же я буду подсчитывать изменение объема спроса, двигаясь назад, с 20 до 10 порций, и при этом также относить абсолютный прирост к первоначальному значению величины спроса, я получу другое значение: . Чтобы избежать подобных сложностей при расчете коэффициента эластичности, я использую среднюю точку выбранного интервала. В моей задаче это будет . Поэтому формула примет такой вид:

Где Q - прирост объема спроса, Q₁ - первоначальный объем спроса в выбранном интервале, Q_{2 -} конечный объем спроса в выбранном интервале, P - прирост цены, P₁ - первоначальная цена в выбранном интервале, P₂ - конечная цена в выбранном интервале.

Далее я попробую рассчитать коэффициент эластичности спроса для выбранного интервала:

При этом минус, полученный в итоге (поскольку цена и объем находятся в обратной зависимости), не имеет значения, так как берется абсолютная величина коэффициента эластичности , т.е. его величина по модулю.

Затем я рассчитаю оставшиеся значения коэффициента эластичности. Полученный результат позволяет мне сделать вывод о том, что если , то спрос на товар эластичен по цене. При спрос неэластичен.

Далее я построю по данным таблицы кривую спроса:

График показывает, что в верхней части кривой спроса цена относительно высока, и поэтому каждый рубль её прироста предполагает, что процентное её изменение незначительно, Объем же спроса, наоборот, мал, поэтому соответствующее его процентное изменение значительно. Следовательно, в верхней части кривой спроса последний оказывается эластичным.

Напротив, в нижней части кривой при малых абсолютных величинах цен процентное их изменение оказывается значительным, в то время как большие объемы спроса дают незначительное их процентное изменение, поэтому в нижней части кривой спрос неэластичен.

Вывод: пользуясь построенным мной графиком и таблицей, я могу сделать вид о том, что самую большую прибыль я получаю тогда, когда одна порция стоит от 4 до 6 рублей за порцию.

Бизнес-план

Теперь перейдем непосредственно к самой организации палатки с мороженым.

Идея проекта

В Москве множество палаток с мороженым, но, несмотря на это, иметь палатку с мороженым все же остается очень прибыльным делом.

Мороженое, как известно, всегда было любимо людьми разного возраста. Ведь это сравнительно недорогое и невероятно вкусное лакомство. Но все же, главными и постоянными любителями данного десерта являются дети и, как ни странно (по опросам продавцов таких палаток), мужчины (более 40 %)

Именно потому, что мороженое ориентировано на самые широкие группы клиентов, этот бизнес приносит весьма стабильный доход. По подсчетам «Союза мороженщиков России», житель крупного российского города съедает в год в среднем 4,5 кг мороженого. Однако по мере роста доходов россияне будут тратить все больше денег на холодное лакомство.

Главным условием размещения данного предприятия является его нахождение в густонаселенных районах города или же рядом с различными образовательными учреждениями, поскольку неизменными любителями этого десерта является молодежь.

Маркетинговые исследования

Для данного типа предпринимательского проекта основой успеха является исследование и выяснение предпочтений населения, живущего поблизости данной палатки с мороженым. Для этого я провела опрос некоторых жителей при помощи анкеты и получила следующие результаты:

По данным моих исследований, я получила, что:

-несомненно, большинство населения моего района являются любителями мороженого

-большинство населения хотят, чтобы рядом с их домом открылось такое заведение, как палатка с мороженым, и если такое случится, то они большинство будут ее посещать

-большинство будут покупать т 1 до 3 порций мороженого за раз

-большинство населения отдает предпочтение фруктовому мороженому

Вопросы: Ответы:

Любите ли вы мороженое? Да 98,7%

Нет 0,3%

Относятся равнодушно 1%

Хотели бы вы, чтобы рядом с

Вашим домом открылась палатка с мороженым? Да 95%

Нет 2%

Все равно 3%

Если же палатка все-таки откроется,

будете ли вы ее посещать? Да 93%

Нет 2%

Затруднились ответить 5%

Много ли вы планируете покупать мороженого? 1-3 порции 48%

3-5 порций 38%

5-10 порций 10%

Более 10 порций 4%

Какое мороженое вы предпочитаете? Пломбир 25%

Крем-брюле 11%

Рожок 27%

Фруктовое 32%

Другие сорта 5%

*Примечание: Также множество людей отметило, что было бы лучше, если бы в палатке, кроме мороженого, продавали бы и другую продукцию( например: различные закуски, безалкогольные напитки и т.д. )

По результатам моих исследований я поняла, что почти все опрошенные мной люди являются любителями мороженого, причем в большинстве отдают предпочтение фруктовому. Большинство хотят, чтобы рядом с их домом открылось подобное заведение. Большее количество людей сказало, что будут посещать мороженое и покупать от 1 до 3 порций.

Я внимательно осмотрела местность, где я хочу организовать свою палатку с мороженым, и поняла, что я имею огромное преимущество: поблизости нет ни одного подобного заведения, а отсюда следует, что у меня практически не будет конкурентов. Свою палатку я хочу поставить по следующему адресу: Алтуфьевское шоссе, возле дома № 89 корпус А.

Я опросила некоторые подобные заведения и узнала, что как только состоялось их открытие, то число обращений составляло:

Летний период

№	Услуга	1-й месяц	2-й месяц	3-й месяц
1.	Продажа мороженого	4000 человек	5500 человек	7000 человек
2.	Продажа другой продукции	350 человек	500 человек	1000 человек

Зимний период

№	Услуга	1-й месяц	2-й месяц	3-й месяц
1.	Продажа мороженого	900 человек	950 человек	1050 человек
2.	Продажа другой продукции	1000 человек	1200 человек	1350 человек

Также я внимательно изучила цены в других палатках и поняла, что средняя стоимость 1 порции мороженого 20 рублей

Организационный план

Организационно-правовой формой предприятие будет ПБОЮЛ (предприниматель без образования юридического лица).

Для начала работы есть перечень необходимый вещей, которые нужно сделать. Прежде всего, я должна посетить торговый отдел управы, на территории которой желаю иметь свою торговую точку, захватив с собой письменное обращение на имя главы управы с просьбой установить такой объект.

Критерием необходимости являются пожелания и запросы населения в местные органы власти, и, разумеется, решение руководства управы, с учетом уже сложившейся инфраструктуры и потребностей данной территории.

Если же я получаю «добро» на организацию палатки, то необходимо соблюсти следующие критерии: ассортимент продукции, допускаемой к реализации с нестационарных объектов, как правило, должен строго выдерживаться: это мороженое и замороженные фрукты и овощи, прохладительные напитки, плодоовощная и хлебобулочная продукция, кондитерские изделия в упаковке, кроме кремовых, выпечка.

Далее я должна направиться в архитектурно-планировочное управление, которое дает свое заключение о “привязке” торговой точки к конкретной местности”. Если заключение АПУ положительное, начинается разработка градостроительного задания на установку объекта.

Кроме того, я обязательно должна получить лицензию на право осуществления торговой деятельности лицензируемыми видами товаров, справку из налоговой инспекции об отсутствии задолженностей по штрафным санкциям и зарегистрированных кассовых аппаратах, согласовать ассортиментный перечень товаров с районной управой и Госсанэпиднадзором.

Затем наступает время приобретения Городского торгового патента в районной управе.

Также необходимо помнить, что основное требование к остальным киоскам - гармоничное соотношение с окружающей застройкой.

Стоимость самой палатки обойдется мне в 108000 рублей ( при условии, если свою палатку я буду заказывать в городе Видное в объединении “Мосметаллоконструкция”.

После этого, нужно купить все необходимое для работы павильона, как-то: кассовый аппарат, холодильное оборудование, витрины и т.д.

Но для начала работы, кроме покупки всего необходимого, нужно будет нанять людей на работу. Я решила, что я найму двух человек, которые будет работать по системе «2/2» (2 через 2). Эти люди будут продавцами моего предприятия. Также я решила, что все необходимое я буду закупать, а не производить.

Для приема на данную работу мне нужны те люди, которые не учатся, не заняты в каком-либо другом производстве, поскольку график рабочего дня будет с 8 утра до 8 вечера, т.е. мне нужен человек от 40 до 60 лет.

Нужно не забыть, что очень важным шагом является заключение договора с милицией об охране объекта, ведь нанимать охранника из частного охранного предприятия очень дорого. А так в моей палатке будет поставлена сигнализация, и милиция, если что случится, всегда поможет.

Сам ассортимент палатки будет разнообразен: от обычного пломбира до мороженого-сендвичей, но все же в большем разнообразии будет представлено фруктовое мороженое (по опросам жителей моего района большее предпочтение они отдают как раз такому мороженому).

Немаловажный факт: зимой люди, как правило, потребляют меньше мороженого, поэтому я буду заказывать меньше мороженого, а летом буду опять увеличивать заказ.

На правой стороне палатки, на витринах, будут размещены различные прохладительные напитки, замороженные овощи и фрукты, хлебобулочные изделия, кондитерские изделия в упаковке. С левой же стороны будет весь ассортимент мороженого, но оно будет не само представлено на витрине, поскольку это не выгодно (мороженое будет таять и терять товарный вид), а фотографии с этим мороженым или картинки. Ведь на них мороженое , впрочем как и любой другой продукт. будет выглядеть всегда аппетитно и красиво.

Экономические расчеты

Как показали маркетинговые исследования, число обращений в летний период каждый месяц только увеличивается, а в зимний остается почти неизменным.

Что касается заработной платы для работников моего заведения, то она будет составлять 600 рублей в день.

Я сделала подсчеты и выяснила, что у меня будут следующие затраты:

Сигнализация - 1 200 рублей

Электроэнергия - 500 рублей

Пополнение продукции - 15 000 рублей

Заработная плата - 37 000 рублей

Налог на зарплату (28 % от зарплаты) - 5 040 рублей

Непредвиденные затраты - 3 000 рублей

Аренда земли - 5 000 руб.

Всего 66 740 рублей - произвольные затраты каждый месяц.

Из результатов маркетинговых исследований можно сделать вывод о том, что средняя цена мороженого составляет 20 рублей, чтобы привлечь клиентов, я должна снизить цену каждого вида мороженого. Проведя необходимые исследования, я установила среднюю цену мороженого в размере 18 рублей (каждый сорт стал дешевле на 2 рубля). Из этой стоимости и опираясь на маркетинговые исследования ( число обращений в момент открытия в других палатках) можно подсчитать прибыль от мороженого за квартал зимнего и летнего времени:

Летнее время

Наименование	Цена, руб.	Кол-во, шт. (за квартал)	Прибыль, руб. (за квартал)
Пломбир	15	2 650	39 750
Крем-брюле	16	1800	28 800
Рожок	17	3100	52 700
Фруктовое	15	3600	54 000
Другие сорта	30	1350	40 500

Получается, что прибыль за летний квартал я получила в размере 215 750 рублей.

Поскольку число обращений в зимнее время меньше, то, чтобы моя прибыль хоть немного увеличилась, я повышу цену на мороженое.

Зимнее время

Наименование	Цена, руб.	Кол-во, шт. (за квартал)	Прибыль, руб. (за квартал)
Пломбир	17	900	15 300
Крем-брюле	18	450	8 100
Рожок	19	1 800	34 200
Фруктовое	17	2 700	45 900
Другие сорта	32	900	28 800

Прибыль за зимний квартал составила 132 300 рублей.

По результатам проведенных мной маркетинговых исследований, большинство людей предпочитают фруктовое мороженое и рожок, и, очевидно, прибыль от продажи данного вида мороженого будет намного больше, чем от продажи других сортов. Стало быть, данного вида мороженого я буду заказывать больше

Из данных таблицы следует, что в день средняя посещаемость моей палатки в летнее время составляет приблизительно 90 раз, а в зимнее- 60 раз.

Но ведь в моей палатке будет не только мороженое, но и другая продукция и очевидно, что от ее продажи я тоже буду получать прибыль

Летний квартал

Наименование	Цена, руб.	Кол-во, шт. (за квартал)	Прибыль, руб.
Прохладительные напитки	25	3 600	90 000
Хлебобулочные изделия	18	1 800	32 400
Кондитерские изделия	50	900	45 000
Замороженные овощи и фрукты	80	270	21 600
Другая продукция	(средняя цена) 30	1 800	54 000

Итого прибыль от продажи другой продукции составит 243 000

План по прибыли

Суммирую прибыль за летний и зимний квартал, я получаю, что общая прибыль составила 591 050 руб.

Но ведь из этих денег нужно выплачивать заработную плату сотрудникам, платить за сигнализацию, электроэнергию и т.д.

Я просчитала количество затрат за летний и зимний квартал и получила:

Заработная плата сотрудникам: 591 050-110 400=480 650 руб.

Сигнализация: 480 650-7 200=473 450 руб.

Электроэнергия: 473 450-3 000=470 450 руб.

Пополнение продукции: 227 450-90 000=380 450 руб.

Налог на зарплату: 137 450-30 240=350 210 руб.

Непредвиденные затраты: 107 210-18 000=332 210 руб.

Аренда земли: 89 210-18 000=314 210 руб.

Из моих расчетов следует, что за летний и зимний квартал, учтя все затраты, я получу прибыль равную 314 210 рублей.

Необходимые ресурсы для осуществления проекта

Оборудование:

ь Витрины (будут состоять из стеклянный полок, требуется 10 штук по цене 1 500 руб. штука) =15 000 руб.

ь Холодильное оборудование 30 000 руб.

ь Отопительные предметы (обогреватель) 1 500 руб.

ь Освещение 5 000 руб. ( 500 руб. в месяц)

ь Сигнализация 1 200 руб.

ь Кассовый аппарат 6 000 руб.

ь Баннер 1 000 руб.

ь Различные документные разрешение на деятельность палатки - 18 000 руб.

ь Аренда земли - 3 000 руб. (в месяц)

ь Оформление витрины и ремонт - 7 000 руб.

Все будет закупать в магазине «Эльдорадо» в Бибирево.

Итоговая таблица затрат

Вид затрат	Стоимость в год, руб.
1. Аренда земли	36 000
2. Витрины	15 000
3. Кассовый аппарат	6 000
4. Обогреватель	1 500
5. Реклама (баннер)	1 000
6. Разрешения	18 000
7. Сигнализация	1 200
8. Оформление витрины и ремонт	7 000
9. Электроэнергия	500
10. Пополнение продукции	15 000
11. Заработная плата	37 000
12. Непредвиденные затраты	3 000
13. Налог на зарплату	5 040
14. Покупка палатки	108 000

В конечном итоге организация моей палатки с мороженым обойдется мне в 244 705 рублей.

Заключение

В ходе своей работы я рассмотрела различные производственные задачи, функции, анализы и доказала, что производная действительно помогает решать экономические задачи и показала её роль в экономике. Также я постаралась применить полученные в ходе работы знания и составила бизнес- план по организации палатки с мороженым.

Список использованной литературы

1. Воронов М. В., Мещерякова Г. П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. -- Ростов-на-Дону: Феникс, 2002.

2. Малыхин В. Л. Математика в экономике. -- М.: ИНФРА-М, 2001.

3. Розен В. В. Математические модели принятия решений в экономике. -- М.: Книжный дом «Университет». Высш. шк., 2002

4. Солодовников А. С., Бабайцев В. А., Браилов А. В. Математика в экономике. В 2-х ч. -- М.: Финансы и статистика, 2001

5. Иванов С.И.Экономика. Основы экономической теории. Учебник для 10-11клВ2-х ч. - «Вита-Пресс», 1999.