Индексный метод в статистическом анализе

26

Содержание

1. Понятие индексов. Классификация индексов

2. Индивидуальные и общие индексы

3. Агрегатные индексы

4. Средневзвешенные индексы

5. Индексы динамики средних величин. Индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов

6. Индексы-дефляторы

Список использованной литературы

1. Понятие индексов, классификация индексов

Индексы относятся к важнейшим обобщающим показателям. Слово «индекс» в переводе означает показатель, указатель. Оно используется как понятие в математике, экономике, в метрологии и др. науках.

Статистический индекс - это относительная величина, используемая для сравнения сложных совокупностей и отдельных их единиц во времени пространстве или по сравнению с эталоном. При этом под сложной понимается такая статистическая совокупность, отдельные элементы которой непосредственно не подлежат суммированию. Например, данные о количестве произведенных и реализованных различных видов продовольственных или непродовольственных товаров в натуральном выражении. Бессмысленно для получения общего объема реализации суммировать, например, данные о продаже тканей (в метрах), костюмов (в штуках), обуви (в парах) и т.д.

Основой индексного метода при определении изменений, например, в производстве и обращении товаров является переход от натурально-вещественной формы выражения товарных масс к стоимостным, трудовым или затратным измерителям. Поскольку не смотря на различия потребительных стоимостей отдельных товаров, все они являются результатом труда и поэтому могут быть выражены общей мерой через стоимость, трудовые затраты и издержки производства.

Все индексы можно классифицировать по следующим признакам: по охвату явлений (элементов совокупности) они делятся на индивидуальные и общие, по содержанию индексируемых величин - объемные и качественные, по форме построения - на агрегатные и средние из индивидуальных (среднеарифметические взвешенные и среднегармонические взвешенные), по базе сравнения - динамические (цепные, базисные) и территориальные, по применяемым весам - с постоянными весами, с переменными весами, по составу - индексы переменного состава и индексы постоянного состава, по периодам исчисления - годовые, квартальные, месячные, недельные.

2. Индивидуальные и общие индексы

Введем обозначения:

i - индивидуальные (простые, одинарные) индексы;

I - сводные общие индексы.

Буквы для обозначения признаков могут быть любыми, но чаще всего обозначают:

р - цена единицы продукции;

z - себестоимость единицы продукции;

q - физический объем продукции произведенной, проданной и потребленной;

f - заработная плата;

w - производительность труда (средняя выработка);

t - трудоемкость изготовления единицы продукции;

Т - общие затраты труда (tq), (человеко-часов, человеко-дней, человек);

Z - общие издержки производства (zq) на продукцию данного вида;

Р - общая стоимость произведенной продукции (pq) данного вида.

Отчетные данные (которые сравнивают) в статистике обозначают подстрочным значком «1», базисные (с которыми сравнивают) - «О». В качестве баз в индексных отношениях могут выступать плановые данные, данные за предшествующие периоды, данные по другим аналогичным объектам.

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложной совокупности, представляют собой относительные величины динамики, выполнения плана, сравнения. Их расчет не требует знания специальных правил. Они вычисляются просто как темпы роста. Если требуется, например, показать по каждому товару динамику цены или объема, то берут соответствующую величину отчетного периода и делят на величину базисного периода.

Индивидуальный индекс физического объема

Индивидуальный индекс цены

Индивидуальный индекс товарооборота

Общие индексы отражают изменения, служат для характеристики изменения всех элементов сложного явления. Если индексы охватывают часть элементов сложного явления, то их называют групповыми или субиндексами.

Важной особенностью общих индексов является то, что они обладают синтетическими и аналитическими свойствами. Синтетические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода производится соединение (агрегирование) в целое единиц статистической совокупности. Аналитические свойства индексов состоят в том, что посредством индексного метода определяется влияние факторов на изменение изучаемого показателя. На основе изучения состава и роли факторов, выявления силы их действия, осуществляются возможности квалифицированного управления развитием экономических процессов не только в нужном направлении, но и с заранее заданными параметрами.

Пример 1. Имеются следующие данные (гр. 1-5)

Товары	Базисный период	Отчетный период	Индивидуальные индексы	Товарооборот, тыс. руб.	Индивидуальный индекс товарооборота
	Кол-во товаров, тыс. шт.,	Цена единицы, руб.	Кол-во товаров, тыс. шт.,	Цена единицы, руб.	Цены	Количества	Базисный период	Отчетный период
А В	40 500	6 15	50 600	20 30	20/6= =3,333 30/15==2,000	50/40==1,25 600/500= =1,2	40х6= =240 500х15= =7500	50х20= 1000 600х30= =18000	1000/240=4,167 18000/7500=2,4	300 9000
	Х	Х	Х	Х	Х	Х	?p0q0=7740	?p1q1=19000	Х	930

Определить индивидуальные индексы (i_p, i_q, i_pq) общие индексы (, J_p,, J_pq).

Решение.

1. Величины индивидуальных индексов см. гр.6,7,10. Выражаются индексы в коэффициентах или в виде процентов.

В статистике часто приходится иметь дело с такими показателями, которые связаны между собой, как сомножители связаны с произведением. Например, товарооборот равен произведению цены на физический объем товарооборота. Связь между индивидуальными индексами в таких случаях, такая же, как между соответствующими показателями:



Такая взаимосвязь дает возможность по двум имеющимся индексам находить третий. Такие индексы называются сопряженными и образуют систему взаимосвязанных индексов.

Индивидуальный индекс товарооборота в данном случае можно определить двумя способами (см. гр. 10):

Общие индексы можно определить тремя способами: 1) по агрегатной формуле; 2) по формуле средневзвешенного индекса и 3) на основе взаимосвязи индексов. В зависимости от цели исследования используют ту или иную форму построения.

3. Агрегатные индексы

Агрегатный индекс характеризует среднее изменение сложного явленная. Латинское слово «агрегат» (aggregatus) означает «складываемый», суммируемый. Особенность этой формы индекса состоит в том, что в агрегатной форме сравниваются две суммы одноименных показателей. Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина), а другая остается неизменной в числителе и знаменателе (вес индекса). Индексируемой величиной называется признак, изменение которого изучается. Вес индекса - это величина, служащая для целей соизмерения индексируемых величин.

Каждый экономический индекс решает определенную задачу. Экономическое содержание индекса предопределяет методику его расчета. Методика построения агрегатного индекса предусматривает решение трех вопросов:

1. Какая величина будет индексируемой;

2. По какому составу разнородных элементов явления необходимо исчислить индекс;

3. Что будет служить весом при расчете индекса.

При выборе веса индекса принято руководствоваться правилом: если строится индекс количественного показателя, то веса берутся за базисный период, при построении индекса качественного показателя используются веса отчетного периода. Количественные (объемные) индексы характеризуют изменение экстенсивных факторов, например, всевозможных количеств. К ним относятся все индексы физического объема: физического объема товарооборота, ВВП, объема продаж валюты и др.

Качественные индексы - это индексы цен, себестоимости, производительности труда, курса валют и др. Индексируемые величины этих индексов - качественные (интенсивные) показатели, характеризующие уровень явления в расчете на единицу совокупности (цена единицы продукции, себестоимость единицы продукции др.).

Построим три агрегатных индекса: индекс товарооборота, индекс цены и индекс физического объема товарооборота.

Товарооборот отчетного периода в отчетных ценах

Товарооборот базисного периода в базисных ценах

, 245,5%

это значит, что товарооборот вырос в среднем в 2,455 раза, что в абсолютном выражении составит

тыс. руб.

Аналогично рассчитываются индексы стоимости произведенной продукции, стоимости потребленной продукции и др.

Из этой формулы общего индекса товарооборота видно, что его величина зависит от изменения двух факторов:

- физического объема товарооборота (количества проданных товаров),

- р цены за каждую единицу реализованных товаров.

Чтобы выявить влияние каждой переменной в отдельности следует исключить влияние одной их них, то есть принять ее условно в качестве постоянной величины на уровне отчетного или базисного периодов.

Общее изменение цен можно определить при условии, что в качестве постоянной величины (весов) взято количество проданных товаров за отчетный или базисный периоды.

Товарооборот отчетного периода в базисных ценах

- это агрегатный индекс Г.Пааше (по имени немецкого ученого предложившего этот индекс).

Индекс Пааше показывает, как изменился уровень цен на товарную массу, которую население купило в отчетном периоде и каков выигрыш (потери) населения от снижения (повышения) цен на товары. В примере 1

204,3%

Это значит, что цены в среднем по двум товарам выросли в отчетном периоде по сравнению с базисным в 2,043 раза и потери, которые несет население от роста цен составляют:

тыс. руб.

Можно также сказать, что товарооборот вырос вследствие среднего роста цен на 9700 тыс. руб. в отчетном периоде по сравнению с базисным. Можно определить индекс цен и по формуле Ласпейреса, если веса (количество товаров) взяты в базисном периоде.

- индекс Э. Ласпейреса, показывает, как в среднем изменились цены на товары, проданные в базисном периоде. Разность между числителем и знаменателем этого индекса дает представление об условном изменении объема товарооборота при продаже в предстоящем периоде такого же количества товаров, что в базисном, но по новым ценам

Этот индекс применяют при прогнозировании изменения объема товарооборота в связи с намечаемыми изменениями цен на товары в предстоящем периоде.

Идеальный индекс Фишера - средняя геометрическая из произведения двух агрегатных индексов Ласпейреса и Паше



Агрегатный индекс физического объема товарооборота должен отражать изменение физического объема в отчетном периоде по сравнению с базисным, и поэтому при его построении в качестве весов берутся цены отчетного периода или сопоставимые (базисные) цены.

Товарооборот базисного периода в сопоставимых (базисных) ценах

Это индекс Ласпейреса

В примере 1

120,2%.

Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным физический объем товарооборота увеличился в среднем на 20,2%, что в абсолютном выражении составило:

тыс. руб.

Это значит, что в отчетном периоде по сравнению с базисным товарооборот вследствие изменения только объемов проданных товаров вырос в среднем на 1560 тыс. руб.

Можно определить I_q и по формуле Пааше



Взаимосвязь общих индексов. Взаимосвязь между общими индексами такая же как между соответствующими показателями не всегда, а лишь в том случае, когда предположения об изменении весов сопоставимы. Например,

Если 2 фактора, то

Или

11260=9700 + 1560

Если более 2-х факторов, то схема следующая:

1. Сначала выбираем очередность изменения факторов, учитывая, что качественные индексы строятся на весах отчетного периода, а объемные - на весах базисного периода.

2. Вычисляем 1-й индекс в предположении, что меняется 1-й фактор.

3. Вычисляем 2-ой индекс в предположении, что после изменения 1-го фактора меняется 2-й.

4. Вычисляем 3-й индекс в предположении, что после изменения первых двух факторов меняется третий и т.д.

Системы агрегатных индексов

Уравнение связи	Качественные индексы	Объемные индексы	Индексы результативной величины	Системы взаимосвязанных индексов

4. Средневзвешенные индексы

Средневзвешенные индексы исчисляются тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитывать общий агрегатный индекс.

В статистической практике средние индексы рассчитываются преимущественно в форме среднего арифметического и среднего гармонического индексов:

и

где - индивидуальные индексы изучаемого показателя (индексируемой величины);

- веса соответственно в среднем арифметическом и среднем гармоническом индексах.

Веса для среднего арифметического и среднего гармонического индексов определяются, исходя из тождества их агрегатному, который является основной формой, общего индекса. При этом для каждого конкретного индекса веса особые.

Какой формулой следует воспользоваться в каждом конкретном случае диктуют исходные данные.

Рассмотрим, как производится преобразование агрегатного индекса физического объема в индекс средневзвешенный.

Если располагаем данными об индивидуальных индексах физического объема и стоимости продукции базисного периода в базисных ценах , то знаменатель индекса оставим без изменения, а в числителе агрегатного индекса заменим на . Тогда формула индекса физического объема продукции примет вид

.

В таком виде индекс физического объема продукции выступает как средняя арифметическая величина из индивидуальных индексов, взвешенных по стоимости продукции базисного периода в базисных ценах.

Если располагаем данными об индивидуальных индексах физического объема и стоимости продукции отчетного периода в базисных ценах, то числитель агрегатного индекса оставим без изменения, а в знаменателе заменим на . В результате получим общий индекс физического объема в форме среднего взвешенного гармонического индекса



Такое преобразование наглядно показывает тождество между агрегатным индексом и средним арифметическим и средним гармоническим индексами физического объема.

Пример 2. Имеются следующие данные:

Изделие	Стоимость продукции базисного периода в базисных ценах, тыс. руб.	Индивидуальные индексы объема продукции	Доля изделий в стоимости продукции базисного периода
Б В	1000 1600	1,06 1,12	0,385 0,615
Итого	2600	-	1,000

Определить общий индекс физического объема.

Решение.

В данном примере общий индекс физического объема рассчитаем по формуле среднего арифметического индекса

109,7%

Это означает, что в целом по всем изделиям выпуск продукции увеличился в среднем на 9,7% (109,7-100).

Вместо абсолютных данных о стоимости отдельных изделий в базисном периоде можно принимать их доли (удельный вес) в общей стоимости, т.е.

.

Тогда формула среднего арифметического индекса из индивидуальных будет иметь вид

поскольку .

Расчет по этой формуле дает тот же результат.

109,7%

Если выражено в процентах формула среднего арифметического индекса будет

Применительно к индексам цен возможны два варианта взвешивания и для среднего арифметического и для среднего гармонического индексов, в зависимости от того по отношению к какому агрегатному индексу рассматривается их тождество: к индексу Ласпейреса или Пааше.

Приведем общую схему преобразования агрегатных индексов в индексы средние арифметические и средние гармонические (Таблица).

Таблица Схема преобразования агрегатных индексов

Наименование индексов	Индивидуальный индекс	Преобразование индивидуального индекса	Агрегатный индекс	Средний арифметический индекс	Средний гармонический индекс
Физического объема
Цен (Пааше)
Цен (Ласпейреса)
Себестоимости
Производительности труда

Рассмотрим пример.

Пример 3. Имеются данные (гр. 1-4)

Товары	Товарооборот, млн. руб.	Изменение цен в отчетном периоде по сравнению с базисным, %	Индивидуальные индексы цены,
	Базисный период,	Отчетный период
А Б В	110 550 216	120 500 216	Без изменения +5 -20	1,00 1,05 0,80
Итого	876	836

Определить общие индексы цен , товарооборота и физического объема товарооборота .

Решение.

Раз дано изменение цен на товары, значит, известны индивидуальные индексы цен (см. гр.5).

1) Преобразуем агрегатный индекс Пааше. Получим средний

взвешенный гармонический индекс цен, тождественно равный агрегатному индексу. Подсчитаем его.

96,5%

Следовательно, цены на товары отчетного периода в среднем снизились на 3,5%. Сумма экономии, полученная населением от снижения цен составила

млн. руб.

Индекс цен Ласпейреса преобразуется в средний взвешенный арифметический индекс

98,3%.

Это значит, что цены в отчетном периоде на товары базисного периода в среднем снизились на 1,7% и условное снижение объема товарооборота в связи со снижением цен на товары базисного периода составило

млн. руб.

2) Индекс товарооборота

95,4%

млн. руб.,

т.е. товарооборот под влиянием 2-х факторов снизился на 4,6% или на 40 млн. руб.

3) Индекс физического объема

98,9%

млн. руб.,

т. е. объем товарооборота снизился в среднем на 1,1% и абсолютное изменение товарооборота под влиянием этого фактора составило 3,8 млн. руб.

5. Индексы динамики средних величин. Индексы переменного, постоянного составов и структурных сдвигов

В ряде случаев приходится изучать динамику общественных явлений, уровни которых выражены средними величинами. Динамика средних показателей (средней себестоимости, средней заработной платы, средней урожайности, средней производительности труда и др.) зависит от одновременного изменения двух факторов: вариант из которых формируются средние и удельных весов этих вариант, то есть от структуры изучаемого показателя.

 где

Совместное действие указанных факторов на общее изменение динамики среднего уровня показателя, а также роль каждого фактора в отдельности в общей динамике средней выявляются в статистике при помощи системы взаимосвязанных индексов: индекса переменного состава, индекса фиксированного состава и индекса структурных сдвигов.

Индекс переменного состава определяется по формуле

При этом абсолютное изменение средней величины показателя определяется разницей между делимым и делителем данного индекса:

показывают относительное и абсолютное изменение средней величины показателя за счет двух факторов вместе: вариант и их удельных весов.

Индекс постоянного состава определяется по формулам:

Он показывает, как изменилась средняя величина только за счет изменения вариант.

В абсолютном выражении это составит



Индекс структурных сдвигов характеризует степень влияния структурных сдвигов на изменение средней величины. Определяется по формулам

При этом изменение средней величины за счет структурных сдвигов вычисляется по формулам

Эти индексы и абсолютные изменения взаимосвязаны между собой:

Пример 3. Имеются следующие данные о количестве и себестоимости продукции вида «А», выпущенных двумя предприятиями (гр.1-4)

№ предприятия	Произведено продукции вида «А», тыс. шт.	Себестоимость ед. продукции, руб.	Индивидуальный индекс себестоимости продукции,	Удельный вес в % к итогу,
	Базис. период,	Отчет. период,	Базис. период,	Отчет. период,		Базис. период,	Отчет. период,
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	150	180	170	150	150/170= =0,882	150/350=0,43	180/50=0,36	73	54	61,2
2	200	320	110	100	100/110= =0,909	200/350=0,57	320/50=0,64	63	64	70,4
	350	500				1,0	1,0	136	118	131,6

Определить:

1) индивидуальные индексы себестоимости;

2) структуру выпуска продукции;

3) индексы себестоимости переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Решение:

1) см. гр.5;

2) см. гр.6 и 7

3) индекс себестоимости переменного состава рассчитывается как

отношение средней себестоимости единицы продукции вида «А» отчетного периода к средней себестоимости единицы продукции «А» базисного периода.

Он характеризует динамику средней себестоимости единицы продукции вида «А» под влиянием изменения двух факторов: себестоимости единицы продукции на каждом предприятии в отдельности и роли отдельных предприятий в общем объеме выпускаемой продукции (структуры выпуска продукции). Подсчитаем среднюю себестоимость в базисном и отчетном периодах.

руб.

или

руб.

или

Определим индекс переменного состава:

то есть 86,8%. Это значит, что средняя себестоимость единицы продукции снизилась на 13,2%. Это снижение обусловлено изменением себестоимости единицы продукции по предприятиям и изменением структуры выпуска продукции. Действительно так, см. гр. 5,6,7.

Когда необходимо установить, как изменилась средняя себестоимость за счет изменения только себестоимости единицы продукции на предприятиях, применяют индекс фиксированного (постоянного) состава.

Подсчитаем его.

или или 89,7%

Это значит, что себестоимость единицы продукции вида «А» снизилась в среднем на 10,3%.

Степень влияния структурных сдвигов на изменение средней себестоимости единицы продукции определяется с помощью индекса структурных сдвигов.

или 96,8%

Это значит, что средняя себестоимость снизилась на 3,2% под влиянием изменения структуры производства продукции вида «А», то есть за счет увеличения доли производства продукции на 2-ом предприятии с 57 до 64%, уровень себестоимости на котором ниже.

Индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов взаимосвязаны:

Абсолютное снижение средней себестоимости единицы продукции вида «А» составило:

- за счет изменения двух факторов

руб.

- за счет среднего снижения собственно себестоимости

руб.

- за счет изменения структуры выпуска продукции

руб.

Взаимосвязь

Выводы.

Средняя себестоимость продукта «А» снизилась на 13,2% или 18 руб. за счет:

- среднего снижения себестоимости единицы продукции по предприятиям;

- изменения структуры выпуска продукции, т.е. увеличения доли выпуска на предприятии №2 с 57 до 64%, где себестоимость единицы продукции была ниже.

За счет собственно снижения себестоимости единицы продукции по предприятиям средняя себестоимость снизилась на 10,3% или на 13,6 рубля.

Структурный сдвиг, т.е. увеличение доли выпуска продукции на предприятии с низким уровнем себестоимости привел к снижению средней себестоимости дополнительно на 3,2% или на 4,4 руб.

6. Индексы-дефляторы

Дефлятор - это коэффициент, переводящий значение стоимостного показателя за отчетный период в стоимостные показатели базисного.

Например, индекс-дефлятор ВВП представляет собой индекс цен, применяемый для корректировки номинального объема ВВП с учетом инфляции и получения на этой основе реального его объема.

В основе расчета дефлятора ВВП лежит формула Паше

И, значит, реальный ВВП отчетного периода определяется по формуле

Реальный ВВП = Номинальный ВВП:

отчетного периода отчетного периода

В статистической практике индексы-дефляторы определяются не только в целом по народному хозяйству; они исчисляются по отдельным регионам, различным товарным группам, каналам реализации потребительских благ, отраслям экономики и т.д.

Список использованной литературы

1. Теория статистики: Учебник/ Под ред. Проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 1999, 560 с.

2. Практикум по статистике: Учеб. Пособие для вузов / Под ред. В.М. Симчеры / ВЗФЭИ - М.: ЗАО «Финстатинформ», 1999 г.

3. Теория статистики: Учебник /Под ред. Проф. Г.Л. Громыко. - М.: ИНФРА - 2006 - 414 (Серия «высшее образование»).

4. Общая теория статистики. Под ред. А.А. Спирина и О.Э. Башиной. М.: Финансы и статистика, 1994 г.

5. И.И. Елисеева, М.М. Юзбашев. Общая теория статистики. М.: Финансы и статистика, 1995 г.

6. В.Е. Адамов. Факторный индексный анализ. Методология и проблемы. М.: Статистика, 1977 г.

7. Г.В. Ковалевский. Индексный метод в экономике. М.: Финансы и статистика. 1989 г.

8. Салин В.Н., Чурилова Э.Ю. Курс теории статистики для подготовки специалистов финансово-экономического профиля: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2006 - 480 с.