Используем критерий Стьюдента и критерий Фишера с уровнем значимости 0.05 для проверки значимости коэффициентов и уравнения полиномиальной регрессии в целом.

При уровне значимости получили, что в свою очередь фактические значения принимают следующие значения:

Видно, что для любого . Т.е. для модели (2.14) все коэффициенты регрессии значимы.

Значение критерия Фишера (1.11) , что позволяет сделать вывод о значимости уравнения регрессии по данному критерию на заданном уровне значимости.

После построения модели необходимо проверить предпосылки регрессионного анализа: случайный характер остатков модели, равенство нулю математического ожидания остатков, отсутствие автокорреляционной зависимости в остатках, гомоcкедастичность дисперсии остатков, подчинение остатков нормальному закону распределения. График остатков представлен на рисунке 2.8:

Рисунок 2.8 - График остатков полиномиальной модели для курса IBM

1. Математическое ожидание остатков имеет значение , которое близко к нулю. Отличие от нуля обусловлено погрешностью вычислений.

2. Стандартная ошибка регрессии . Остатки принадлежат интервалу Следовательно, на данном этапе нельзя отклонить гипотезу о нормальном распределении остатков. Вычислив коэффициенты асимметрии и эксцесса, воспользуемся статистикой Жака-Бера. Статистика подчиняется распределению при справедливости гипотезы о нормальности распределения. Значение статистики , что меньше квантили распределения равной 5.991. следовательно, принимаем гипотезу о нормальном распределении остатков.

3. Для проверки остатков на случайность используем критерий "поворотных точек". . Следовательно, выборка остатков неслучайна.

4. Для проверки наличия гетероcкедастичности используем ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Для рассматриваемого ряда остатков . Оценим статистическую значимость с помощью t-критерия: . Сравним эту величину с табличной при уровне значимости . Получаем . Следовательно, гипотеза об отсутствии гетероскедастичности остатков не отклоняется.

5. Для проверки наличия автокорреляции в остатках воспользуемся критерием Дарбина-Уотсона.

По формуле (1.19) получаем . Сравнивая рассчитанную величину с нижним значением критерия , делаем вывод - в остатках присутствует положительная автокорреляция. Как и в случае оценки качества модели для акции AAPL, последние три предпосылки Гаусса-Маркова не выполняются. Данную модель необходимо скорректировать. Для того чтобы избавиться от автокорреляционной зависимости в модели (2.14) построим для ряда остатков модель авторегрессии AR (p). Порядок модели AR (p) определим исходя из внешнего вида графиков АКФ и ЧАКФ ряда остатков , которые изображены на рисунке 2.9 Видно, что АКФ убывает, имеет много положительных значений, ЧАКФ имеет значимое значение лишь при лаге 1. Следовательно, для ряда остатков будем строить модель AR (1) вида (2.11).

Рисунок 2.9 - АКФ и ЧАКФ ряда остатков модели (2.14)

Построение модели проводилось в программе Statistica 6.0. Получена следующая модель:

Теперь объединим модели (2.14) и (2.15) и построим график получившейся модели, изображенный на рисунке 2.10:

Рисунок 2.10 - График модели (2.16) и фактических значений акции IBM

Анализ остатков модели (2.16) показал, что ряд остатков удовлетворяет всем пяти предпосылкам регрессионного анализа.

Значение критерия Фишера (1.11) равно , что во много раз больше табличного значения , следовательно, построенное уравнение (2.16) значимо.

Коэффициент детерминации получившейся модели равен , что говорит о высокой точности приближения построенной модели к исходному ряду данных, всего 3.8% приходится на ошибку.

2.4.2 Тест Чоу для анализа структурных изменений

Теперь необходимо выяснить значимо ли повлияло структурное изменение на характер тенденции. Если влияние оказалось весомым, тогда необходимо строить кусочно-непрерывную модель регрессии. В противном случае, динамику данной акции можно описать с помощью единого уравнения регрессии. Проверка данного предположения осуществляется при помощи статистического теста Чоу, который позволяет определить, является ли тренд стабильным или нет.

При построении кусочно-непрерывной модели происходит уменьшение суммы квадратов остатков по сравнению с единым уравнением тренда. Тем не менее, разделение совокупности значений на части ведет к потере числа наблюдений, а именно, к уменьшению числа свободы в каждом уравнении кусочно-непрерывной модели [5].

Построим регрессионные модели для двух подвыборок значений акции IBM. Модель для единой совокупности была построена в предыдущем пункте "переломным" моментом можно считать 7 сентября 2010, после которого начался стремительный рост цены на данную акцию. В данном случае числовым эквивалентом момента служит значение фактора времени. Значит, объем первой подвыборки принимаем равным 170, соответственно объем второй - .

Тест Чоу показал, что , т.е. временной ряд не содержит стабильной тенденции и необходимо построение кусочно-непрерывной модели. Вначале рассмотрим первую подвыборку и построим для нее модель, наилучшим образом аппроксимирующую полученные значения к исходному ряду. Изобразим на графике данную подвыборку и построенную трендовую модель, которая является полиномиальной моделью 5 степени (рисунок 2.11).

Рисунок 2.11 - График первой подвыборки значений курса акции IBM

Уравнение модели имеет вид:

Коэффициент детерминации для полиномиальной модели что говорит о плохом качестве и, очевидно, не точной аппроксимации к исходным данным. Попробуем построить модель AR (p), подобрав для нее параметр .

Изобразим графики АКФ и ЧАКФ данного ряда, которые представлены на рисунке 2.12.

АКФ экспоненциально убывает. Значимым является лишь первый коэффициент автокорреляции, что подтверждается графиком ЧАКФ. Поэтому выберем , т.е. построим модель AR (p) в виде:

Построение модели проводилось в программе Statistica 6.0. В результате была получена модель следующего вида:

Рисунок 2.12 - График АКФ и ЧАКФ первой подвыборки

Применение критерия Стьюдента показало (1.9), что оба коэффициента значимы:

критерий Фишера (1.11) также позволяет сделать вывод о значимости всего уравнения:

.

Проверим, соблюдаются ли предпосылки Гаусса-Маркова для данного уравнения. Математическое ожидание имеет приближенное к нулю значение: Стандартная ошибка регрессии , некоторые значения остатков данной модели не принадлежат интервалу что позволяет отклонить гипотезу о нормальном распределении остатков. Также статистика Жака-Бера оказалась равной , что подтверждает отклонение гипотезы, т.е. остатки не имеют нормального распределения. Критерий "поворотных точек" дал следующие результаты: Значит, остатки случайны. Ранговый коэффициент Спирмана , , следовательно, остатки гомоскедастичные. Критерий Дарбина-Уотсона показал, что автокорреляция отсутствует, т.к. Анализируя полученные результаты, приходим к выводу, что лишь одна предпосылка не соблюдена, а именно остатки не имеют нормального распределения. Вообще говоря, для авторегрессионных моделей выполнение этого условия не обязательно. Необходимым является то, чтобы полученный ряд остатков построенной модели был "белым шумом", т.е. остатки должны быть гомоскедастичны (с однородной дисперсией).

Для проверки данного факта протестируем выборочную автокорреляцию с помощью Q-статистики Льюинга-Бокса (1.20). Вычислим значение статистики для первых 15 лагов. Результаты приведены в таблице 2.1.

Таблица 2.1 - Вычисленные и табличные значения Q-статистики Льюинга-Бокса

Из таблицы видно, что значения статистики не превосходят табличных значений, т.е. для любого , поэтому нулевая гипотеза не отклоняется и выборка является "белым шумом". Коэффициент детерминации имеет достаточно высокое значение, , что говорит о том, что модель AR (1) на 87% точно описывает ряд. Уравнение значимо в целом, поскольку .

Теперь рассмотрим вторую подвыборку и попытаемся построить для нее модель, наилучшим образом аппроксимирующую полученные значения к исходному ряду. Изобразим на рисунке 2.13 данную подвыборку и построенную трендовую модель, которая является полиномиальной моделью 3-й степени.

Рисунок 2.13 - График второй подвыборки значений курса акции IBM

Коэффициенты детерминации для полиномиальных моделей более высокого порядка не превосходят .

Значит, следуя принципу экономичности, который заключается в выборе модели с наименьшим числом параметров среди других моделей, признанных на одном и том же наборе данных также адекватными по некоторому признаку, будем рассматривать полиномиальную модель 3-го порядка.

Уравнение модели имеет вид:

Применение критерия Стьюдента (1.9) показало, что все коэффициенты значимы:

критерий Фишера (1.11) также позволяет сделать вывод о значимости всего уравнения:

.

Проверим, соблюдаются ли предпосылки Гаусса-Маркова для данного уравнения. Математическое ожидание имеет приближенное к нулю значение: . Стандартная ошибка регрессии , остатки принадлежат интервалу , следовательно, на данном этапе нельзя отклонить гипотезу о нормальном распределении остатков. Вычислив коэффициенты асимметрии и эксцесса и значение статистики Жака-Бера , получили, что гипотеза о нормальном распределении остатков не отклоняется. Критерий поворотных точек дал следующие результаты: Значит, остатки не являются случайными. Ранговый коэффициент корреляции Спирмана , t-статистика , следовательно, остатки гетероскедастичные. Используя статистику Дарбина-Уотсона (1.19) получаем . Сравнивая рассчитанную величину с нижним значением критерия и принимая во внимание значение , делаем вывод - в остатках присутствует положительная автокорреляция.

Следовательно, остатки не являются "белым шумом". Возникает необходимость скорректировать ряд остатков. Построим для него модель ARIMA (p,d,q), предварительно выбрав и обосновав полученные значения параметров.

ARIMA (авторегрессия проинтегрированного скользящего среднего) - методология, разработанная Боксом и Дженкинсом, достаточно популярная во многих приложениях и научно-исследовательских разработках, и практика подтвердила его мощность и гибкость. Однако, несмотря на прекрасные характеристики, ARIMA является достаточно сложной моделью.

Общая модель включает в себя три типа параметров [3]: параметр авторегрессии , порядок разности , параметр скользящего среднего . В обозначениях модель записывается как ARIMA (p,d,q). В общем виде уравнение модели выглядит следующим образом:

где

является разностью порядка между уровнями ряда;

- случайный импульс или "белый шум".

Как уже было установлено, ряд остатков не стационарен. Для приведения его к стационарному виду возьмем первые разности, т.е. продифференцируем его, после чего останется подобрать параметры и при Взятие разностей подразумевает рассмотрение ряда значений, полученных из исходного ряда по формуле (2.22):

.

Данный ряд после преобразования является стационарным, поскольку АКФ постепенно затухает, ЧАКФ также затухает и имеет наибольший выброс на первом лаге. Видно, что АКФ и ЧАКФ продифференцированного ряда (рисунок 2.14) имеют несколько выделяющихся значений на 1-м, 8-м, и 12-м лагах, а также на 6-м лаге для ЧАКФ. Поэтому рассмотрим модели ARIMA (1,1,0), ARIMA (3,1,1), ARIMA (6,1,1), ARIMA (6,1,3) и сравним их по информационным критериям Акаики и Шварца (1.23,1.24), которые позволяют выбрать оптимальную модель и минимизировать количество используемых в ней параметров.

Рисунок 2.14 - График АКФ и ЧАКФ продифференцированного ряда остатков

Построение моделей производим в программе Statistica 6.0, в результате после исключения незначимых коэффициентов получены следующие уравнения:

Остатки моделей удовлетворяют всем предпосылкам Гаусса-Маркова. Сравнивая модели по информационному критерию Акаики

и Шварца

можно сделать вывод о том, что наилучшей для остатков является модель (2.23). Объединив модель (2.20) и (2.23) получим следующее уравнение:

Оценим коэффициент детерминации и значение F-критерия Фишера (1.11) для данной модели , , что больше табличного значения , следовательно, модель на 98.3% точно описывает исходные данные ряда и всего 1.7% приходится на ошибку. Построенная модель является адекватной.

Подводя итоги, общий вид исправленной кусочно-непрерывной модели можно записать в виде системы двух равенств:

3. Прогнозирование курса акции aapl на основе адаптивных моделей

3.1 Построение модели ARMA (p,q)