Співвідношення між об'єктами називається досконалим, якщо для будь-яких елементів А і В можна завжди сказати або , тобто немає елементів вибору, які не можна порівняти.

Аксіоми раціональної поведінки:

Аксіома 1: відношення нестрогої пріоритетності є досконалим.

Наслідок: відношення нестрогої пріоритетності - транзитивне.

Нехай X - множина всіх об'єктів, що розглядаються, тоді

a) Якщо ;

b) Якщо і ;

Відношення байдужості ділить множину Х на класи еквівалентності:

- клас еквівалентності до х. Якщо то

Аксіома 2: відношення нестрогої пріоритетності неперервне по відношенню до х.

- множина елементів не менш пріоритетних за х;

- множина елементів не більш пріоритетних за х;

Неперервність відношення означає, що множини і - замкнені, тобто містять всі свої граничні точки: , де - множна граничних точок на і .

Аксіома 3: існує функція корисності , яка кожному н менш пріоритетному об'єкту ставить у відповідність не менше за дане значення функції корисності.

Головна формула очікуваної корисності має вигляд:

;

Отже, очікувана корисність набору результатів дорівнює математичному сподіванню корисностей цих результатів.

Лотерея - це гра, в якій гравець може одержати виграш з ймовірністю р і у з ймовірністю q=1-р, де .

Корисність проміжного варіанту визначається ймовірністю , при якій гравцю байдуже гарантовано отримати суму або грати в лотерею .

Для прийняття рішень в умовах ризику можна застосовувати різні методи, але ми розглянемо метод, який ґрунтується на побудові дерева рішень. Побудова «дерева рішень» ґрунтується на знанні елементів теорії графів та теорії ймовірності і тому є досить ефективним методом, який дає змогу з'ясувати розгалуження проблем та рішень і краще оцінити наявність альтернатив та кількість їх.

2.1 Задача про гаманці

Перед особою, що приймає рішення гаманець одного з чотирьох типів. Вона повинна вказати тип гаманця.

ОПР повідомлено про кількість гаманців кожного типу (гаманців 1-го типу - 250, гаманців 2-го типу - 100, 3-го типу - 150, 4-го типу - 300).

В кожному гаманці знаходиться різна кількість американських доларів, російських рублів, українських гривен та англійських фунтів номіналом одна грошова одиниця.

Гаманець першого типу містить 9 доларів, 5 фунтів, 10 гривен та 7 рублів. Гаманець другого типу містить 13 доларів, 2 фунти, 8 гривен та 5 рублів. Гаманець третього типу містить 3 долари, 14 фунтів, 7 гривен та 1 рубель. Гаманець четвертого типу містить 15 доларів, 8 фунтів, 3 гривні та 9 рублів. Це також відомо ОПР.

Вищезгадані данні можна подати у вигляді наступної таблиці:

Табл. 6 Кількісна інформація про гаманці і купюри

Якщо перед особою, що приймає рішення, гаманець першого типу і вона, вказавши на нього, вгадає, то отримає виграш 600 грн., якщо ж помилиться, а саме: маючи перед собою гаманець першого типу, скаже, що це гаманець другого типу - то програє 60 грн., якщо скаже, що це гаманець третього типу - то програє 200 грн., а якщо скаже, що це гаманець четвертого - то програє 250 грн.

Якщо перед ОПР гаманець другого типу і вона вгадає, то виграє 350 грн., якщо ж помилиться і , маючи перед собою гаманець другого типу, скаже, що це гаманець першого типу - то програє 100 грн., якщо скаже, що це гаманець третього типу - то програє 250 грн., а якщо скаже, що це гаманець четвертого типу - то програє 200 грн.

Якщо перед особою, що приймає рішення, гаманець третього типу і вона, вказавши на нього, вгадає, то виграє 400 грн., якщо ж помилиться і , маючи перед собою гаманець третього типу, скаже, що це гаманець другого типу - то програє 300 грн., якщо скаже, що це гаманець першого типу - то програє 150 грн., а якщо скаже, що це гаманець четвертого типу - то програє 300 грн.

Якщо перед ОПР гаманець четвертого типу і вона, вказавши нього, вгадає, то виграє 250 грн., якщо ж помилиться і , маючи перед собою гаманець четвертого типу, скаже, що це гаманець першого типу - то програє 100 грн., якщо скаже, що це гаманець другого типу - то програє 200 грн., а якщо скаже, що це гаманець третього типу - то програє 300 грн.

Тобто отримаємо наступну таблицю:

Табл. 7 Виграш при виборі дії

Перед тим, як зробити вибір ОПР може за невелику доплату (15 грн.) провести додаткову експертизу - витягти одну купюру, подивитися, повернути її назад і вже потім зробити вибір.

Введемо наступні позначення:

А - при проведенні експертизи витягнуто долар;

В - при проведенні експертизи витягнуто фунт;

С - при проведенні експертизи витягнуто гривню;

D - при проведенні експертизи витягнуто рубель.

Основні дії:

d1 - вказати, що перед гравцем гаманець 1-го типу;

d2 - вказати, що перед гравцем гаманець 2-го типу;

d3 - вказати, що перед гравцем гаманець 3-го типу;

d4 - вказати, що перед гравцем гаманець 4-го типу.

Додаткові дії:

a1 - не проводити попереднього дослідження складу гаманця, а отже не платити за експертизу;

a2 - проводити попереднє дослідження складу гаманця, тобто заплатити 15 грн.

Стани природи або гіпотези:

H1 - перед ОПР гаманець 1-го типу;

H2 - перед ОПР гаманець 2-го типу;

H3 - перед ОПР гаманець 3-го типу;

H4 - перед ОПР гаманець 4-го типу.

Додаткові гіпотези:

Н11 - ОПР не тягнула купюру;

Н21 - ОПР витягнула долар і вгадала гаманець;

Н22 - ОПР витягнула долар і не вгадала гаманець;

Н31 - ОПР витягнула фунт і вгадала гаманець;

Н32 - ОПР витягнула фунт і не вгадала гаманець;

Н41 - ОПР витягнула гривню і вгадала гаманець;

Н42 - ОПР витягнула гривню і не вгадала гаманець;

Н51 - ОПР витягнула рубель і вгадала гаманець;

Н52 - ОПР витягнула рубель і не вгадала гаманець.

Спочатку знайдемо ймовірність, з якою перед гравцем може опинитися гаманець кожного типу. Для цього необхідно кількість гаманців відповідного типу поділити на загальну кількість гаманців:

· ймовірність появи гаманця першого типу:

;

· ймовірність появи гаманця другого типу:

;

· ймовірність появи гаманця третього типу:

;

· ймовірність появи гаманця четвертого типу:

.

Отже тепер можемо знайти очікуваний виграш: очікуваний виграш (очікувана корисність) дорівнює значенню математичного сподівання: .

Визначимо очікувану корисність від дії :

( 5 )

За формулою 5 отримаємо:

Тоді загальна корисність:

.

Тепер можемо побудувати дерево рішень (див. додаток 14). Вершини, які позначені на дереві квадратиками є вершинами-розв'язками. В них ОПР здійснює вибір, обираючи гілку із максимально очікуваною корисністю. Вершини, позначені кружечками, - це вершини-випадки, в яких ОПР покладається лише на результат випробування:

Нехай ОПР зробила попереднє дослідження гаманця, тобто витягла купюру. Результатом випробування можуть бути події A, B, C, D.

Знайдемо ймовірність витягнути долар із гаманця кожного типу. Щоб знайти ймовірність витягнути долар з гаманця першого типу, необхідно кількість доларових купюр в цьому гаманці поділити на загальну кількість купюр, що містяться в ньому, тобто:

.

Тоді ймовірність витягнути купюру, що не є доларом: .

Ймовірність витягти фунт з гаманця першого типу:

. Тоді ймовірність витягнути купюру, що не є фунтом: .

Ймовірність витягти гривню з гаманця першого типу:

. Тоді ймовірність витягнути купюру, що не є гривнею: .

Ймовірність витягти рубель :

.

Тоді ймовірність витягнути купюру, що не є фунтом:

.

Аналогічно знаходимо ймовірності витягти купюри з гаманців другого, третього і четвертого типу. В результаті отримаємо таку табличку:



Табл. 8 Ймовірності витягнення різних купюр з гаманців 4-ох типів

Тепер необхідно знайти ймовірність витягти долар з гаманця довільного, а не конкретного типу. Для цього використаємо формулу повної ймовірності:

Тоді .

Аналогічним чином знаходимо ймовірність витягти фунт з довільного гаманця:

Тоді . Ймовірність витягти гривню з довільного гаманця буде відповідно рівною:

Тоді .

Ймовірність витягти рубель з довільного гаманця:



Отже, .

Тепер за формулою Бейєса можемо знайти ймовірність вибору гаманця і-го типу за умови події A, B, C i D. Нагадаємо формулу Бейєса в загальному випадку:

.

Таким чином, ймовірність вибору гаманця і-го типу, якщо відбулася подія А:

Якщо відбулася подія В:



Якщо відбулася подія С:

Якщо відбулася подія D:

Отримані результати можна подати у вигляді таблиці (див. додаток 14):



Табл. 9 Ймовірності вибору кожного гаманця за умови вибору купюри деякого типу

Визначимо очікувану корисність від дії , якщо виконалась подія А, тобто при проведенні експертизі було витягнуто долар, тоді ймовірності подій будуть рівними (за формулою 5):

Тоді загальна корисність:

.

На дереві розв'язків всієї задачі попередні дії зображуються так:



По аналогії отримуємо загальну корисність для основних дій, якщо виконались події :

;

;

.

На дереві розв'язку це будуть відповідно наступні гілки:

· для події В:



· для події С:

· для події D:



Тепер можемо визначити корисність основних подій :

;

.

Однак при визначенні загальної очікуваної корисності додаткової події потрібно врахувати вартість експертизи (плата за витягнення купюри) - 15 грн.:

.

Отже загальна корисність :

.

Тепер можемо побудувати повне дерево рішень (див. додаток 14).

Проаналізувавши отримані дані можемо зробити наступний висновок: для отримання максимального виграшу особа, що приймає рішення без додаткової плати повинна сказати, що перед нею гаманець першого типу. В такому випадку її виграш становитиме 109,375 грн.

2.2Задача про розширення виробничих потужностей

ВАТ «Хорольський механізований завод», що займається виготовленням обладнання для переробки зерна планує виготовляти новий товар, а саме: конвеєри для транспортування сипучих продуктів.

Це потребує розширення виробничих потужностей. З цією метою ВАТ «Хорольський механізований завод» може побудувати великий цех (подія а1) або ж побудувати малий цех (подія а2), а може і здійснити переоснащення існуючого обладнання (подія а3). Вибір будь-якого з варіантів дій залежить від попиту на даний товар, тому введемо дві гіпотези:

Н1- високий рівень попиту на товар;

Н2- низький рівень попиту.

Відомо, що в Україні біля 4-ох заводів, котрі виготовляють подібну продукцію, тому Р(Н1)=0.75, Р(Н2)=0.25.

ВАТ може прийняти рішення самостійно в даний момент часу (дія d1) або відкласти будівництво цеху чи переоснащення обладнання на рік для накопичення додаткової інформації про ринки збуту (дія d2). Введемо позначення: j- номер дії dj. Якщо завод проведе збір додаткової інформації про ринки збуту, то буде дано висновки вигляду:

H21- виробництво нових товарів нерентабельне, оскільки ринок достатньо забезпечений даною продукцією;

H22 - виробництво нових товарів є прибутковим, оскільки товар на ринку недостатньо поширений;

H23 - попит і пропозиція на товари змінюється.

Відомо також, що в 5-ти з 10-ти випадках аналіз ринку дає висновок про перенасичення ринку товарами , в 3-х з 10-ти випадках - про недостатню пропозицію на товар на ринку, 2 рази з 10-ти - попит і пропозиція на товари знаходяться в динаміці.

Якщо ввести наступні позначення: Нjk - якщо обрано дію dj станеться k-ий результат, то в цих позначеннях отримаємо:

Р(Н11)=1 (оскільки при самостійному виборі результатів не декілька, а один), Р(Н21)=0.5, Р(Н22)=0.3, Р(Н23)=0.2.

Якщо відкладати будівництво, і здійснювати аналіз ринку збуту, то ВАТ зможе в результаті втратити 1 000 грн.

Якщо попит високий, то після будівництва великого цеху очікується річний доход в розмірі 120 000 грн., якщо попит низький, щорічні збитки становитимуть 25 000 грн. За високого попиту очікується, що малий цех приноситиме заводові щорічний дохід 70 000 грн., за низького - щорічні збитки становитимуть 5 000 грн. Якщо ж просто здійснити переоснащення існуючого обладнання, то за високого попиту очікується 20 000 грн. прибутку, за малого - збиток у 3 000 грн. Нам потрібно визначити, що робити заводу.

В таблицях наведено ймовірності, з якими після відповідних результатів експертизи попит може бути високим чи малим:

I	PH11(Hi)	PH21(Hi)	PH22(Hi)	PH23(Hi)
1	0,75	0,1	0,8	0,7
2	0,25	0,9	0,2	0,3

Табл.10 Ймовірності високого і малого попиту після проведення експертизи

Дану задачу ми розв'язуємо аналогічно до попередньої, шукаючи як розв'язок максимальне значення очікуваної корисності та будуючи дерево розв'язків.

Якщо завод не відкладатиме будівництво цеху чи переоснащення обладнання на рік для накопичення інформації про ринок збуту, то корисність основних дій , за формулою 5 буде рівною :

;

;

.

Загальна корисність:

.

Отже, дерево розв'язків даної підзадачі має вигляд:

Тепер розглянемо випадок, коли ВАТ «Хорольський механізований завод» відкладе будівництво цеху чи переоснащення обладнання на рік для накопичення інформації про ринок збуту. Знаходимо корисність кожної з дій , при справедливості гіпотези , тобто за умови, що в результаті експертизи було виявлено, що виробництво нових товарів є прибутковим, оскільки товар на ринку недостатньо поширений

Отже для за формулою 6 маємо:

;

;

.

Загальна корисність:

.

На дереві розв'язків всієї задачі попередні дії зображуються так:

Аналогічно маємо для і :

;

;

;

;

;

.

Тоді загальна корисність буде рівною: .

Відповідно отримаємо наступні два дерева рішень для даних під задач:



Отже

Враховуючи те, що при відкладанні будівництва цеху чи переоснащення обладнання на рік для накопичення інформації про ринок збуту завод втратить 1000грн. знайдемо загальну очікувану корисність при :

.

Отже загальна корисність :

.

Всі попередні дії зображені на повному дереві розв'язків (див. додаток 15).

Висновок: Для отримання максимально можливого прибутку, а саме 83750 грн., ВАТ «Хорольський механізований завод» повинен будувати великий цех для виготовлення нового товару, хоч і собівартість проекту буде більшою.

Якщо ж завод вирішить відкласти прийняття рішення на рік для дослідження ринків збуту, бачимо, що вигідніше буде будувати малий цех, оскільки більш ймовірно, що аналіз ринку збуту дасть позитивні результати (тобто, виробництво нових товарів є прибутковим, оскільки товар на ринку недостатньо поширений).

Список використаної літератури

1. Ситник В.Ф. Інформаційні системи і технології в економіці. - К., 2002.

2. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. - М.: Радио и связь, 1993. -320 с.

3. Гайдрик К.В. СППР: эволюция концепции и некоторые перспективы.: Институт математики АН РМ. - Кишинёв.

4. www.raai.ru. Сайт российской ассоциации искусственного интеллекта.

5. Ларичев О.И., Петровский А.В. Системы поддержки принятия решений. Современное состояние и перспективы их развития // Итоги науки и техники. Сер.Техническая кибернетика. - М.: ВИНИТИ, 1987. - Т.21.

6. http://www.nsk.su Сибирский центр оценки.

Размещено на Allbest.ru