Приложения теории катастроф и теории бифуркации

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Приложения теории катастроф и теории бифуркации

Вся тайна и очарование процессов, приводящих к качественному перерождению старой системы, сосредоточены как раз в той критической точке, когда это самое перерождение и происходит.

Если мы поставили своей целью разобраться, как это отдельным личностям удается генерировать решения, выводящие обычные объекты и ситуации на качественно иные уровни, то нам прежде всего необходимо разобраться с этим самым критическим моментом.

Выше уже говорилось о катастрофах, происходящих с упругими несущими конструкциями. Продемонстрировать это может простая школьная резинка - ластик, подойдет также пружинка от шариковой ручки.

Что произойдет, если слегка надавить отобранный предмет? Понятно, что резинка, пружинка сожмется и ответит сопротивлением - упругой силой. Если сдавить сильнее? Сожмется еще больше, и упругая сила сопротивления тоже увеличится. А если еще сильнее? Вроде бы ничего нового не произойдет - чем больше деформация, тем больше сила упругости.

Однако, здесь и подстерегает нас сюрприз! Кто-то уже понял, наверное, что пружинка может вдруг выпрыгнуть из наших пальцев. Действительно! В некоторый момент резинка (пружинка) вдруг (совершенно внезапно!) начинают вести себя совсем не так, как мы могли бы ожидать. Резинка вдруг изгибается посередине, почти складывается пополам, выпучивается и остается в таком состоянии (рисунок).

Если мы попытаемся и дальше увеличивать давление, то обнаружим, что ощущаем гораздо меньшую силу сопротивления. Резинка САМА изменила свою форму так, чтобы при том же сжатии пальцев воспринять от нас меньше энергии, чем раньше!

Наш катаклизм обратим - мы можем разжать пальцы и резинка примет исходную форму. Однако, если бы мы взяли объект из менее эластичного материала, например, спичку, то катастрофа вполне оправдала бы свое название: спичка бы держала нагрузку до определенного момента, после чего она бы просто сломалась, поскольку материал ее не в силах выдерживать такие деформации, как резина. Понятно, что, если все это происходило бы, например, с колонной здания, то катастрофа случилась бы совсем не игрушечная, а самая настоящая.

Если нам попалась хорошая резинка, и мы оказываем давление строго по ее оси, то обнаружим, что прогиб происходит то в одну, то в другую сторону. Куда в каждый следующий раз прогнется резинка предсказать невозможно - это остается неожиданностью.

Дело в том, что резинка в критический момент находится в неустойчивом состоянии, как, например, мяч, который мы попытаемся удержать на своей голове. После критического сжатия любое случайное малое возмущение, внешнее или внутреннее, прекращает неустойчивое состояние - резинка скачком прогибается в какую-то сторону. В какую - зависит от этого возмущения.

Влияние малых возмущений на качественное изменение объекта - очень важный момент. Обыденный опыт подсказывает нам, что большие результаты требуют, как правило, больших усилий - чтобы сдвинуть с места огромный камень, надо обладать недюжинной силой. Оказывается, однако, что иногда совсем незначительные усилия могут приводить к весьма масштабным результатам. Так, перегруженная колонна может некоторое время сохранять прямое положение; скопившийся за зиму снег может продолжать держаться на склоне горы. Дуновение ветра или разговор стоящих невдалеке людей - хрупкое равновесие нарушается и... вот она - катастрофа: рушится инженерное сооружение; поселок в горах сметает лавина.

Когда ситуация на рынке становится слишком сложной, - случай может привести гигантскую корпорацию к банкротству!

Попытаемся графически представить себе изменение поведения резинки при выпучивании. Попробуем представить себе так называемую поверхность состояния объекта. Зависимость угла прогиба от сжимающей силы представлена на рис. До некоторого усилия никакого прогиба нет совсем и график следует из начала координат по горизонтальной оси. Начиная с некоторого критического момента, исходное неискривленное состояние резинки остается возможным, но становится неустойчивым - поэтому оно показано штриховой линией. Прогиб может произойти как в одну, так и в другую сторону (на графике - вверх или вниз), а величина его быстро увеличивается с увеличением силы сжатия.

Что будет происходить с резинкой теперь, когда выпучивание уже произошло, если мы станем прилагать усилие поперек, как бы стараясь вернуть ее в исходное положение?

После выпучивания резинка, оказывается, может иметь два различных состояния - прогиб либо в одну, либо в другую сторону. (Причем, если бы мы имели дело не с прямоугольной в сечении резинкой, а, например, с круглой пружинкой от шариковой ручки, то число возможных состояний после выпучивания увеличилось бы до бесконечности (!) - пружинка может выгнуться в любом направлении из 360 градусов окружности.)

Попробуем давить на резинку со стороны выпучивания. Сначала мы почувствуем нарастающее сопротивление. Однако, только до некоторого момента, когда опять происходит резкое и неожиданное событие: резинка вдруг "перещелкнется" - скачком прогнется в противоположную сторону. Если теперь убрать боковое давление, то резинка все равно останется в новом состоянии. Ее можно заставить перескочить обратно, но для этого потребуется прилагать поперечное давление в обратном направлении. Этот интересный эффект есть ни что иное как Память! Резинка теперь, оказывается, запоминает направление последнего воздействия и хранит эту информацию до того времени, пока новое воздействие не перекинет ее в иное положение. Поведение обычной резинки теперь ничем не отличается от поведения ячейки памяти компьютера.

Если мы попытаемся представить себе поведение нашего объекта в трехмерном пространстве зависимости прогиба от сжимающей и поперечной изгибающей сил, то обнаружим в нем некую поверхность, похожую на сборку ткани.

Эта поверхность оказывается поверхностью состояния нашего объекта, то есть все возможные состояния нашей резинки являются точками этой поверхности. Поверхность состояния - это что-то вроде карты, которая позволяет ориентироваться в поведении объекта. Как это можно делать? Чтобы узнать, в каком состоянии будет находиться наша резинка при определенных внешних воздействиях, надо найти точки пересечения этого кусочка смятой ткани с плоскостями, которые соответствуют поперечным и продольным внешним силам. Точка пересечения и покажет тот угол прогиба, который будет иметь место при данных воздействиях.

Если окажется, что поверхность пересекается в двух местах, это говорит о том, что при данных условиях у резинки может быть два различных состояния: например, прогиб либо в одну, либо в другую сторону.

Эта поверхность носит в Теории катастроф Тома название КАТАСТРОФЫ СБОРКИ - одной из семи элементарных математических катастроф. Легко можно заметить, что зависимость прогиба от сжимающего усилия представляет собой "продольный разрез" поверхности катастрофы сборки при G=0: точка состояния спокойно катится по поверхности от исходного нулевого положения, пока в некоторый момент не достигнет развилки. Теперь у нее есть выбор - покатиться на верхний лист поверхности или скатиться вниз. Чисто теоретически точка может покатиться и по среднему язычку сборки (показан штрихами), но как мы уже понимаем - это настолько неустойчивый маршрут, что он не является реальным.

В свою очередь эффект запоминания направления последнего поперечного воздействия - силы G - иллюстрирует "поперечный разрез" поверхности при F=const : точка устойчиво покоится либо вверху, либо внизу, пока достаточно сильное поперечное давление не подведет ее к той границе, где ей приходится прыгать или падать на другой лист поверхности.

Элементарные катастрофы более высоких порядков представляют собой гораздо сильнее "измятые" салфетки. Только существуют они в пространствах с числом измерений больше трех, и, следовательно, не могут быть легко представлены нами. Но и не самая сложная катастрофа - трехмерная сборка, оказывается, может служить универсальной моделью, объясняющей многое!

Катастрофные явления присущи едва ли не всякому объекту окружающего нас мира. Для описания таких процессов необходима достаточно простая модель, составленная из универсальных сущностей.

В качестве таких сущностей предложим следующее:

· интересующий нас результат поведения Объекта назовем Выходом или Продуктом,

· причину или необходимое для выхода условие назовем Входом или Ресурсом.

· любой объект изучения может быть разделен как минимум на две части, потребляющие общий Ресурс, а общий Продукт складывается из продуктов его составляющих частей,

· существует некоторая зависимость количества ресурса, поступающего на вход каждой части от величины ее выхода. То есть в объекте реализована некоторая Обратная связь.

Фактически для анализа жизненных ситуаций мы выбираем типичную модель кибернетики - объект, вход, выход, обратная связь.

Подразумеваем только, что

· объект управления никогда не является монолитным.

· обратная связь действует таким образом, чтобы выходы обоих составляющих элементов были равными.

· эффективность каждого элемента (то есть отношение выхода ко входу) нелинейно зависит от поступающих ресурсов. Недостаток ресурса так же плох, как и избыток

модель воздействие критический точка

Теперь мы готовы любое явление описать в общих терминах:

Оказывается, что катастрофа органически присуща любой из приведенных выше систем. Этот неожиданный момент обнаруживается сразу, как только мы соглашаемся с тем, что любой объект состоит из частей, потребляющих один и тот же ресурс (зависящих от одного условия), и что эффективность системы зависит от поступивших ресурсов или внешних условий нелинейно.

Оказывается, что поверхность ее состояния представляет собой уже знакомую нам катастрофу сборки.

В отличие от классической катастрофы сборки наша модель характеризуется двумя точками - по одной точке состояния на каждую составную часть (рис.). Эти точки также всегда принадлежат поверхности состояния, но располагаются на ней не произвольно.

Поперечная ось нашего трехмерного пространства состояния представляет собой теперь соотношение эффективностей обеих частей системы. В центре поперечной оси соотношение равно единице (то есть оба элемента идентичны), справа область более эффективных (или производительных) элементов, слева - менее. Если оба элемента совершенно одинаковы, то их точки состояния сливаются (отношение эффективностей равно единице), и могут перемещаться вдоль по поверхности строго по ее середине. Если элементы неодинаковы (система неоднородна), то точки состояния должны находиться симметрично по разные стороны от середины поверхности - одна слева, другая - справа.

В случае неоднородной системы (рис.) при изменении ситуации каждый элемент ведет себя по-своему - один сразу "скатывается" вниз (теряя даже то малое, что принадлежало ему вначале), другой - поднимается вверх (еще более упрочивая свою позицию).

В случае однородной системы (рис.) первоначально поведение обеих частей совершенно идентично - обе рабочие точки сливаются и перемещаются вдоль поверхности строго по ее середине, разделяя ресурсы между собой строго поровну. Однако, в некоторый момент поведение равных элементов изменяется кардинально - один забирает все ресурсы, другой почему-то все теряет.

Теперь нам остается только посмотреть, как реализуется внезапное изменение состояния на заводе, атомном реакторе, влюбленной паре, и во многих других самых различных жизненных ситуациях.

Технические объекты

Атомный реактор типа РБМК - "герой" Чернобыля. Достижение большой мощности, которую способен вырабатывать реактор данного типа, происходит за счет увеличения такого конструктивного параметра, как площадь активной зоны - той области, где происходит расщепление атомного топлива и выделение тепловой энергии. Подобная конструкция реакторов несет в себе врожденную склонность к катастрофе - эффект, который приходится сглаживать специальными мерами.

Большую площадь активной зоны можно условно разделить на несколько параллельно включенных реакторов (в нашей модели - два). Оказывается, что до определенной нагрузки реактор ведет себя "нормально" - работает вся площадь активной зоны, тепло выделяется равномерно. После достижения некоторой критической границы происходит внезапное резкое разделение активной зоны на участки с различной интенсивностью тепловыделения (рис.). Сказывается тот момент, что двух строго идентичных по всем своим параметрам участков активной зоны не бывает. Вся мощь атомной реакции концентрируется в одном месте, в результате чего этот участок активной зоны разогревается до температур, значительно превышающих допустимые значения, вещество активной зоны в этом месте расплавляется - происходит так называемое "закозление" реактора, выделение энергии выходит из-под контроля.

Итак, в некоторый момент времени даже малое изменение нагрузки неожиданно вызывает резкое лавинообразное развитие нештатных процессов, приводящих к аварии.

В гораздо менее опасных масштабах подобные явления можно наблюдать у мощных транзисторов, где они носят название тепловой неустойчивости и вторичного пробоя.

Конкурентная борьба

Психология толпы

От экономики, оказывается, полшага до психологических ситуаций.

Вы помните очереди за дефицитным товаром? Если хвост невелик, товара достаточно, то напряжение невелико и система находится на участке устойчивого равновесия. Это означает, что в очереди сохраняется порядок, благодаря которому каждому достается равная с остальными доля. Любые попытки отдельных несознательных граждан обойти порядок естественным образом пресекаются - равновесие в системе устойчиво.

Что произойдет, если продавец объявит о том, что торговля подходит к концу? Напряжение в очереди резко возрастет, система окажется в состоянии неустойчивого равновесия - стоит только кому-нибудь одному попытать счастья в обход очереди, как это произведет эффект детонатора - порядок оказывается безвозвратно утерянным, система разделяется на две (в нашей модели) группы: одной, благодаря их физической силе, достанется все, другая окажется оттесненной (рис.).

Психика личности

В 1380 году на Куликовом поле сошлись полки Древней Руси и войско степных кочевников, державших уже три века княжества Руси под своим игом. Битва длилась долгое время, не принося никому преимущества. Напряжение нарастало, но паритет противоборствующих сторон сохранялся. Когда напряжение достигло высшей точки, неожиданно появился засадный полк русского князя, внесший замешательство в лагерь противника и обратил степняков в бегство. Вскоре Русь окончательно сбросила с себя зависимость от Золотой Орды.

Но, что замечательно, ведь сам по себе засадный полк не представлял значительной силы. Если бы он участвовал в битве с самого начала, или был бы введен в бой раньше времени, то не оказал бы, скорее всего, никакого влияния на результат. Все дело в том, что этот полк был задействован именно в тот момент, когда система оказалась за критической точкой в состоянии неустойчивого равновесия. Он оказался той малой причиной, которая и вызвала резкий перелом событий в системе противоборствующих сторон - степняки побежали, русичи преследовали противника.

Важный момент - устойчивость наших представлений. Если человек уже занял активную позицию, то его не выведет из нее даже возникший легкий испуг перед действительной сложностью проблемы. Однако, если его уверенность в своих силах уменьшится до опасного предела, то он резко сменит модель своего поведения: нападавший обратится в бегство, атакующий займет оборону (рис.). Теперь, наоборот, даже появившаяся уверенность в своих силах не позволит человеку отказаться от пассивного поведения. Поэтому, видимо, так трудно было поднимать людей под неприятельским огнем из окопов в атаку, так трудно тренеру переломить настроение команды, терпящей поражение. Только значительные подвижки в сторону решимости могут привести к тому, что обороняющийся бросится вперед.

Любовь

“Чем меньше женщину мы любим, Тем легче нравимся мы ей…”

Эти бессмертные строки великого поэта являют собой очень интересное и точное психологическое наблюдение. Действительно, почему так происходит?

Снова обратимся к нашей модели. Пусть два объекта по-прежнему существуют в представлении одного из них. Только слегка изменим окраску психологических реакций (рис.).

Поперечная ось будет отражать не чувства страха или уверенности в себе, а восприятие поступков другого - ухаживаний или унижений со стороны партнера, степень уверенности в том, что "он меня очень любит" или "он меня очень не любит". По вертикали мы отложим не осуществленные действия, а лишь готовность так или иначе реагировать по отношению к партнеру: вверху - любовь, внизу - неприязнь или даже ненависть.

Итак, допустим, вы встретили женщину и полюбили ее с первого взгляда. Как вам добиться взаимности?

Сразу начинать ухаживания? Посмотрите, это не обещает ровно ничего хорошего для вас. Действительно, если объект ваших мечтаний к вам абсолютно равнодушен, то даже сверхусилия, направленные в сторону ухаживания не приведут к сколько-нибудь значительной симпатии к вам с ее стороны - поверхность состояния при малом напряжении в отношениях между партнерами почти не отклоняется от среднего нейтрального положения.

Другое дело, если вам удалось сначала вывести женщину из равновесия. Мальчишки в очень юном возрасте дергают девочек за косички, бросаются снежками и т.п., еще неосознанно стараясь таким образом обратить на себя их внимание. В зрелом возрасте опытный знаток женской души просто демонстрирует, что достоинства партнерши ему совершенно безразличны.

Конечно, женщина не может спокойно воспринимать равнодушное отношение со стороны мужчины, это задевает ее достоинство, лишает душевного равновесия и может довести до точки, когда нейтральное до сих пор отношение к партнеру становится неустойчивым. Мужчине очень важно поймать этот момент - даже совсем малое проявленное внимание может теперь зажечь женщину страстной любовью, в то же время, - совсем малые причины могут сделать ее вашим врагом.

Ну, а что женщины? Они, в свою очередь, любят водить своих партнеров поперечным маршрутом по катастрофе сборки (рис.). Женщина то приближает к себе мужчину, то насмехается и прогоняет его, и опять - призывает к себе. Тем самым она бросает его из состояния горячей любви в отчаянную ненависть и обратно. И так не один раз, доводя беднягу до исступления.

Любовь и ненависть - тоже устойчивые психологические состояния. Если человек вас любит, то он будет оставаться вашим другом, даже если вы позволите ему усомниться в ваших чувствах. Но только до определенного момента - чрезмерное плохое обращение резко сделает его вашим врагом - теперь даже смена характера ваших поступков (вернись, я все прощу!) не поможет возвратить былую любовь. Возврата назад после скачка на поверхности просто не существует! Это может быть только вновь завоеванное чувство.

Управление