Проверка гипотезы о распределении
Гипотезы о нормальном и о равномерном распределении. Оценка параметров регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии. Расчет коэффициентов регрессии. Использование статистического критерия хи-квадрат. Построение сгруппированной выборки.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.04.2015 |
| Размер файла | 185,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
(ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
МАИ
Кафедра №804
КУРСОВАЯ РАБОТА ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
МОСКВА, 201_
Исходные данные
Для выполнения данной работы было сгенерированы 100 случайных чисел, равномерно распределенных на интервале [-3; 3].
Табл. 1.1. Исходная выборка
|
1 |
2,830 |
|
|
2 |
-1,547 |
|
|
3 |
-0,897 |
|
|
4 |
2,469 |
|
|
5 |
1,627 |
|
|
6 |
2,174 |
|
|
7 |
0,933 |
|
|
8 |
2,482 |
|
|
9 |
-0,387 |
|
|
10 |
1,835 |
|
|
11 |
-1,526 |
|
|
12 |
-2,760 |
|
|
13 |
-2,936 |
|
|
14 |
1,418 |
|
|
15 |
2,113 |
|
|
16 |
-1,393 |
|
|
17 |
-1,559 |
|
|
18 |
2,444 |
|
|
19 |
1,115 |
|
|
20 |
0,657 |
|
|
21 |
-1,635 |
|
|
22 |
-1,228 |
|
|
23 |
-2,045 |
|
|
24 |
-2,787 |
|
|
25 |
0,674 |
|
|
26 |
-1,294 |
|
|
27 |
-0,738 |
|
|
28 |
-1,564 |
|
|
29 |
2,750 |
|
|
30 |
-0,470 |
|
|
31 |
2,843 |
|
|
32 |
-2,183 |
|
|
33 |
1,849 |
|
|
34 |
0,042 |
|
|
35 |
0,753 |
|
|
36 |
1,413 |
|
|
37 |
0,660 |
|
|
38 |
-2,796 |
|
|
39 |
-1,114 |
|
|
40 |
1,671 |
|
|
41 |
-0,205 |
|
|
42 |
1,475 |
|
|
43 |
-1,950 |
|
|
44 |
-1,319 |
|
|
45 |
-0,561 |
|
|
46 |
1,945 |
|
|
47 |
0,001 |
|
|
48 |
2,209 |
|
|
49 |
0,883 |
|
|
50 |
2,855 |
|
|
51 |
-1,605 |
|
|
52 |
0,347 |
|
|
53 |
-2,858 |
|
|
54 |
-0,416 |
|
|
55 |
-2,865 |
|
|
56 |
-0,877 |
|
|
57 |
0,397 |
|
|
58 |
0,722 |
|
|
59 |
1,083 |
|
|
60 |
1,924 |
|
|
61 |
2,467 |
|
|
62 |
-2,701 |
|
|
63 |
0,598 |
|
|
64 |
0,061 |
|
|
65 |
-2,971 |
|
|
66 |
0,780 |
|
|
67 |
-0,128 |
|
|
68 |
2,339 |
|
|
69 |
-1,184 |
|
|
70 |
-0,091 |
|
|
71 |
-0,465 |
|
|
72 |
-2,047 |
|
|
73 |
-0,501 |
|
|
74 |
-2,994 |
|
|
75 |
-1,500 |
|
|
76 |
-2,426 |
|
|
77 |
2,479 |
|
|
78 |
0,795 |
|
|
79 |
0,508 |
|
|
80 |
1,959 |
|
|
81 |
1,304 |
|
|
82 |
1,380 |
|
|
83 |
-2,652 |
|
|
84 |
-2,076 |
|
|
85 |
-1,061 |
|
|
86 |
-0,562 |
|
|
87 |
1,219 |
|
|
88 |
2,041 |
|
|
89 |
1,589 |
|
|
90 |
-1,760 |
|
|
91 |
-0,793 |
|
|
92 |
2,882 |
|
|
93 |
-2,688 |
|
|
94 |
-2,412 |
|
|
95 |
1,341 |
|
|
96 |
-0,832 |
|
|
97 |
0,138 |
|
|
98 |
-2,739 |
|
|
99 |
-1,810 |
|
|
100 |
-0,342 |
1. Проверка гипотезы о распределении СВ X
Сформулируем гипотезы :
Для проверки гипотез будем использовать статистический критерий хи-квадрат (критерий Пирсона). Далее сформируем вариационный ряд для xi (Табл. 1.2)
Табл. 1.2. Вариационный ряд СВ X
|
1 |
-2,994 |
|
|
2 |
-2,971 |
|
|
3 |
-2,936 |
|
|
4 |
-2,865 |
|
|
5 |
-2,858 |
|
|
6 |
-2,796 |
|
|
7 |
-2,787 |
|
|
8 |
-2,760 |
|
|
9 |
-2,739 |
|
|
10 |
-2,701 |
|
|
11 |
-2,688 |
|
|
12 |
-2,652 |
|
|
13 |
-2,426 |
|
|
14 |
-2,412 |
|
|
15 |
-2,183 |
|
|
16 |
-2,076 |
|
|
17 |
-2,047 |
|
|
18 |
-2,045 |
|
|
19 |
-1,950 |
|
|
20 |
-1,810 |
|
|
21 |
-1,760 |
|
|
22 |
-1,635 |
|
|
23 |
-1,605 |
|
|
24 |
-1,564 |
|
|
25 |
-1,559 |
|
|
26 |
-1,547 |
|
|
27 |
-1,526 |
|
|
28 |
-1,500 |
|
|
29 |
-1,393 |
|
|
30 |
-1,319 |
|
|
31 |
-1,294 |
|
|
32 |
-1,228 |
|
|
33 |
-1,184 |
|
|
34 |
-1,114 |
|
|
35 |
-1,061 |
|
|
36 |
-0,897 |
|
|
37 |
-0,877 |
|
|
38 |
-0,832 |
|
|
39 |
-0,793 |
|
|
40 |
-0,738 |
|
|
41 |
-0,562 |
|
|
42 |
-0,561 |
|
|
43 |
-0,501 |
|
|
44 |
-0,470 |
|
|
45 |
-0,465 |
|
|
46 |
-0,416 |
|
|
47 |
-0,387 |
|
|
48 |
-0,342 |
|
|
49 |
-0,205 |
|
|
50 |
-0,128 |
|
|
51 |
-0,091 |
|
|
52 |
0,001 |
|
|
53 |
0,042 |
|
|
54 |
0,061 |
|
|
55 |
0,138 |
|
|
56 |
0,347 |
|
|
57 |
0,397 |
|
|
58 |
0,508 |
|
|
59 |
0,598 |
|
|
60 |
0,657 |
|
|
61 |
0,660 |
|
|
62 |
0,674 |
|
|
63 |
0,722 |
|
|
64 |
0,753 |
|
|
65 |
0,780 |
|
|
66 |
0,795 |
|
|
67 |
0,883 |
|
|
68 |
0,933 |
|
|
69 |
1,083 |
|
|
70 |
1,115 |
|
|
71 |
1,219 |
|
|
72 |
1,304 |
|
|
73 |
1,341 |
|
|
74 |
1,380 |
|
|
75 |
1,413 |
|
|
76 |
1,418 |
|
|
77 |
1,475 |
|
|
78 |
1,589 |
|
|
79 |
1,627 |
|
|
80 |
1,671 |
|
|
81 |
1,835 |
|
|
82 |
1,849 |
|
|
83 |
1,924 |
|
|
84 |
1,945 |
|
|
85 |
1,959 |
|
|
86 |
2,041 |
|
|
87 |
2,113 |
|
|
88 |
2,174 |
|
|
89 |
2,209 |
|
|
90 |
2,339 |
|
|
91 |
2,444 |
|
|
92 |
2,467 |
|
|
93 |
2,469 |
|
|
94 |
2,479 |
|
|
95 |
2,482 |
|
|
96 |
2,750 |
|
|
97 |
2,830 |
|
|
98 |
2,843 |
|
|
99 |
2,855 |
|
|
100 |
2,882 |
Построим сгруппированную выборку. Для этого зададим отрезок [Xmin=-2,994; Xmax = 2,882], внутри которого расположены все элементы исследуемой выборки и число интервалов k = 8, на которое делится этот отрезок. Найдем длины интервалов = 0,73, концы интервалов , середины интервалов и соответствующие эмпирические частоты mi (mi - число элементов выборки, попавших в i - й интервал), i = 1, 2, ... k. Результаты вычислений занесены в Табл. 1.3.
Таблица 1.3. Сгруппированная выборка
|
Номер интервала |
Границы интервала |
Середина интервала |
Эмпирические частоты |
|
|
i |
xi, xi+1 |
zi |
mi |
|
|
1 |
-2,99; -2,26 |
-2,63 |
14 |
|
|
2 |
-2,26; -1,53 |
-1,89 |
13 |
|
|
3 |
-1,53; -0,79 |
-1,16 |
12 |
|
|
4 |
-0,79; -0,06 |
-0,42 |
12 |
|
|
5 |
-0,06; 0,68 |
0,31 |
11 |
|
|
6 |
0,68; 1,41 |
1,05 |
12 |
|
|
7 |
1,41; 2,15 |
1,78 |
13 |
|
|
8 |
2,15; 2,88 |
2,51 |
14 |
Построим гистограмму (Рис 1.1) - фигуру, состоящая из прямоугольников с основаниями и высотами
Рис. 1.1. Гистограмма распределения эмпирических вероятностей
Определим выборочное математическое ожидание и исправленную выборочную дисперсию по следующим формулам:
, (1.1)
(1.2)
Подставив значения из Табл. 1.1, окончательно получим:
-7,78 / 100 = -0,08.
308,825 / (100-1) = 3,12.
Проверка гипотезы о нормальном распределении
Вычислим теоретические частоты попадания СВ Х в i - й интервал , где , а и - соответственно нижняя и верняя граница i - го интервала.
Значения функции Лапласа были найдены по таблице нормального распределения.
распределение регрессия выборка параметр
Таблица 1.4. Теоретические частоты при X ~ N(-0,08; 3,12 )
|
Номер интервала |
Теоретич. вероятности |
Теоретич. частоты |
||||
|
i |
pi |
N*pi |
||||
|
1 |
0,107 |
0,050 |
0,058 |
6 |
11,593 |
|
|
2 |
0,206 |
0,107 |
0,099 |
10 |
1,000 |
|
|
3 |
0,345 |
0,206 |
0,139 |
14 |
0,247 |
|
|
4 |
0,504 |
0,345 |
0,159 |
16 |
0,974 |
|
|
5 |
0,666 |
0,504 |
0,162 |
16 |
1,691 |
|
|
6 |
0,799 |
0,666 |
0,133 |
13 |
0,129 |
|
|
7 |
0,896 |
0,799 |
0,097 |
10 |
1,147 |
|
|
8 |
0,954 |
0,896 |
0,057 |
6 |
11,936 |
Статистика 2 Пирсона составляется по следующей формуле:
2набл. = . (1.3)
Определим число степеней свободы = s - r - 1, где r - число параметров предполагаемого распределения, оцененных по данным выборки, s - количество интервалов, вероятность попадания в которые не нулевая. Нормальное распределение характеризуется двумя параметрами, поэтому = s - 3.
По закону уровня значимости 1- = 0,1 и найденному числу степеней свободы = 5 в таблице квантилей распределения 2 находится критическая точка . Если 2набл. >2,, то гипотеза отвергается. Если 2набл. 2,, гипотеза принимается.
В нашем случае 2набл. = 28,7164, а 2, = 9,2360, поэтому гипотеза h1 о нормальном распределении не принимается.
Рис. 1.2. График плотность вероятности СВ, распределенной по нормальному закону
Проверка гипотезы о равномерном распределении
При использовании критерия Пирсона для проверки гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности с предполагаемой плотностью вероятности
необходимо оценить параметры а и b по формулам:
;
Затем также необходимо вычислить теоретические частоты , где , а и - соответственно нижняя и верняя граница i - го интервала.
Таблица 1.5. Теоретические частоты при X ~ R( -3,137; 2,981)
|
Номер интервала |
Теоретич. вероятности |
Теоретич. частоты |
||||
|
i |
pi |
N*pi |
||||
|
1 |
-0,369 |
-0,489 |
0,120 |
12 |
0,331 |
|
|
2 |
-0,249 |
-0,369 |
0,120 |
12 |
0,082 |
|
|
3 |
-0,129 |
-0,249 |
0,120 |
12 |
0,000 |
|
|
4 |
-0,009 |
-0,129 |
0,120 |
12 |
0,000 |
|
|
5 |
0,111 |
-0,009 |
0,120 |
12 |
0,084 |
|
|
6 |
0,231 |
0,111 |
0,120 |
12 |
0,000 |
|
|
7 |
0,351 |
0,231 |
0,120 |
12 |
0,082 |
|
|
8 |
0,471 |
0,351 |
0,120 |
12 |
0,331 |
Вычислив статистику Пирсона по формуле (1.3), можно сравнивнить наблюдаемое и критическое значение критерия Пирсона с учетом того, что в данном случае число степеней свободы = s - 3.
Как и в предыдущих случаях, по закону уровня значимости 1- = 0,1 и найденному числу степеней свободы = 5 в таблице квантилей распределения 2 находится критическая точка . Гипотеза принимается, если 2набл. 2,.
В нашем случае 2набл. = 0,9116, а 2, = 9,2360, поэтому гипотеза h3 о равномерном распределении принимается.
Рис. 1.3. График плотность вероятности СВ, распределенной по равномерному закону
2. Оценка параметров регрессии
Зададим параболу, имеющую корни x1 = 1 и x2 = 9. График исходной параболы представлен на Рис. 2.1. Далее внесем шум, распределенный по нормальному законам и и сформируем выборку из 51 значения по следующей формуле:
. (2.1)
Параболы с шумом приведены на Рис.2.2 и Рис.2.3 соответственно. С помощью метода наименьших квадратов произведем точечную оценку параметров линейной модели по заданной выборке значений:
. (2.2)
Рис. 2.1. График первоначальной параболы
Рис. 2.2. График параболы с шумом
Рис. 2.3. График параболы с шумом
Для определения неизвестных коэффициентов необходимо решить следующую систему уравнений:
(2.3)
Результаты вычислений приведены в Табл. 2.1.
Табл. 2.1. Расчет коэффициентов регрессии
|
k |
||||||||
|
1 |
-10,00 |
209,70 |
-2097,03 |
100,00 |
20970,32 |
-1000,00 |
10000,00 |
|
|
2 |
-9,60 |
197,65 |
-1897,45 |
92,16 |
18215,54 |
-884,74 |
8493,47 |
|
|
3 |
-9,20 |
185,97 |
-1710,88 |
84,64 |
15740,11 |
-778,69 |
7163,93 |
|
|
4 |
-8,80 |
174,75 |
-1537,81 |
77,44 |
13532,73 |
-681,47 |
5996,95 |
|
|
5 |
-8,40 |
163,33 |
-1371,97 |
70,56 |
11524,58 |
-592,70 |
4978,71 |
|
|
6 |
-8,00 |
151,50 |
-1212,01 |
64,00 |
9696,10 |
-512,00 |
4096,00 |
|
|
7 |
-7,60 |
144,58 |
-1098,78 |
57,76 |
8350,72 |
-438,98 |
3336,22 |
|
|
8 |
-7,20 |
131,79 |
-948,86 |
51,84 |
6831,81 |
-373,25 |
2687,39 |
|
|
9 |
-6,80 |
122,92 |
-835,87 |
46,24 |
5683,89 |
-314,43 |
2138,14 |
|
|
10 |
-6,40 |
113,49 |
-726,35 |
40,96 |
4648,66 |
-262,14 |
1677,72 |
|
|
11 |
-6,00 |
105,33 |
-632,00 |
36,00 |
3791,99 |
-216,00 |
1296,00 |
|
|
12 |
-5,60 |
96,48 |
-540,27 |
31,36 |
3025,50 |
-175,62 |
983,45 |
|
|
13 |
-5,20 |
86,97 |
-452,24 |
27,04 |
2351,66 |
-140,61 |
731,16 |
|
|
14 |
-4,80 |
81,48 |
-391,12 |
23,04 |
1877,39 |
-110,59 |
530,84 |
|
|
15 |
-4,40 |
71,97 |
-316,65 |
19,36 |
1393,26 |
-85,18 |
374,81 |
|
|
16 |
-4,00 |
65,00 |
-260,01 |
16,00 |
1040,02 |
-64,00 |
256,00 |
|
|
17 |
-3,60 |
58,50 |
-210,62 |
12,96 |
758,21 |
-46,66 |
167,96 |
|
|
18 |
-3,20 |
50,56 |
-161,79 |
10,24 |
517,71 |
-32,77 |
104,86 |
|
|
19 |
-2,80 |
44,96 |
-125,88 |
7,84 |
352,46 |
-21,95 |
61,47 |
|
|
20 |
-2,40 |
38,04 |
-91,29 |
5,76 |
219,10 |
-13,82 |
33,18 |
|
|
21 |
-2,00 |
32,83 |
-65,65 |
4,00 |
131,31 |
-8,00 |
16,00 |
|
|
22 |
-1,60 |
26,33 |
-42,13 |
2,56 |
67,40 |
-4,10 |
6,55 |
|
|
23 |
-1,20 |
21,82 |
-26,19 |
1,44 |
31,43 |
-1,73 |
2,07 |
|
|
24 |
-0,80 |
17,36 |
-13,89 |
0,64 |
11,11 |
-0,51 |
0,41 |
|
|
25 |
-0,40 |
13,31 |
-5,32 |
0,16 |
2,13 |
-0,06 |
0,03 |
|
|
26 |
0,00 |
9,18 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
|
27 |
0,40 |
3,49 |
1,39 |
0,16 |
0,56 |
0,06 |
0,03 |
|
|
28 |
0,80 |
2,76 |
2,21 |
0,64 |
1,77 |
0,51 |
0,41 |
|
|
29 |
1,20 |
-1,83 |
-2,20 |
1,44 |
-2,64 |
1,73 |
2,07 |
|
|
30 |
1,60 |
-5,30 |
-8,48 |
2,56 |
-13,56 |
4,10 |
6,55 |
|
|
31 |
2,00 |
-6,95 |
-13,91 |
4,00 |
-27,82 |
8,00 |
16,00 |
|
|
32 |
2,40 |
-8,46 |
-20,29 |
5,76 |
-48,71 |
13,82 |
33,18 |
|
|
33 |
2,80 |
-11,34 |
-31,75 |
7,84 |
-88,89 |
21,95 |
61,47 |
|
|
34 |
3,20 |
-13,40 |
-42,87 |
10,24 |
-137,18 |
32,77 |
104,86 |
|
|
35 |
3,60 |
-14,08 |
-50,69 |
12,96 |
-182,49 |
46,66 |
167,96 |
|
|
36 |
4,00 |
-14,16 |
-56,65 |
16,00 |
-226,59 |
64,00 |
256,00 |
|
|
37 |
4,40 |
-15,49 |
-68,15 |
19,36 |
-299,86 |
85,18 |
374,81 |
|
|
38 |
4,80 |
-16,02 |
-76,89 |
23,04 |
-369,08 |
110,59 |
530,84 |
|
|
39 |
5,20 |
-17,74 |
-92,25 |
27,04 |
-479,70 |
140,61 |
731,16 |
|
|
40 |
5,60 |
-13,45 |
-75,33 |
31,36 |
-421,84 |
175,62 |
983,45 |
|
|
41 |
6,00 |
-13,62 |
-81,69 |
36,00 |
-490,15 |
216,00 |
1296,00 |
|
|
42 |
6,40 |
-13,89 |
-88,88 |
40,96 |
-568,84 |
262,14 |
1677,72 |
|
|
43 |
6,80 |
-12,29 |
-83,57 |
46,24 |
-568,27 |
314,43 |
2138,14 |
|
|
44 |
7,20 |
-11,31 |
-81,46 |
51,84 |
-586,52 |
373,25 |
2687,39 |
|
|
45 |
7,60 |
-9,64 |
-73,28 |
57,76 |
-556,95 |
438,98 |
3336,22 |
|
|
46 |
8,00 |
-8,00 |
-63,96 |
64,00 |
-511,71 |
512,00 |
4096,00 |
|
|
47 |
8,40 |
-4,14 |
-34,78 |
70,56 |
-292,19 |
592,70 |
4978,71 |
|
|
48 |
8,80 |
-1,02 |
-8,96 |
77,44 |
-78,84 |
681,47 |
5996,95 |
|
|
49 |
9,20 |
2,67 |
24,55 |
84,64 |
225,88 |
778,69 |
7163,93 |
|
|
50 |
9,60 |
4,15 |
39,83 |
92,16 |
382,38 |
884,74 |
8493,47 |
|
|
51 |
10,00 |
8,38 |
83,81 |
100,00 |
838,11 |
1000,00 |
10000,00 |
|
|
0,000 |
2225,1 |
-17676,3 |
1768,0 |
126262,0 |
0,0 |
110266,6 |
Таким образом система нормальных уравнений для нахождения параметров регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
51 + 0,0 + 1768,0 = 2225,1
0,0 + 1768,0 + 0,0 = -17676,3
1768,0 + 0,0 + 110266,6 = 126262,0
Решая полученную систему, находим следующие значения коэффициентов:
8,86.
-10,0.
= 1,0.
Подставляя найденные коэффициенты, уравнение регрессии имеет вид:
= 1,0 - 10,0+ 8,86.
На Рис. 2.4 представлены график исходной зависимости и график регрессии.
Рис. 2.4. Графики зависимостей и
Также определим мат. ожидание и дисперсию по формулам:
, (2.4)
. (2.5)
Табл. 2.2. Расчет мат. ожидания и дисперсии
|
k |
||||||
|
1 |
-10,00 |
209,70 |
209,14 |
0,56 |
0,32 |
|
|
2 |
-9,60 |
197,65 |
197,28 |
0,37 |
0,14 |
|
|
3 |
-9,20 |
185,97 |
185,74 |
0,23 |
0,05 |
|
|
4 |
-8,80 |
174,75 |
174,51 |
0,24 |
0,06 |
|
|
5 |
-8,40 |
163,33 |
163,61 |
-0,28 |
0,08 |
|
|
6 |
-8,00 |
151,50 |
153,04 |
-1,53 |
2,35 |
|
|
7 |
-7,60 |
144,58 |
142,78 |
1,80 |
3,24 |
|
|
8 |
-7,20 |
131,79 |
132,84 |
-1,05 |
1,11 |
|
|
9 |
-6,80 |
122,92 |
123,22 |
-0,30 |
0,09 |
|
|
10 |
-6,40 |
113,49 |
113,93 |
-0,44 |
0,19 |
|
|
11 |
-6,00 |
105,33 |
104,95 |
0,38 |
0,14 |
|
|
12 |
-5,60 |
96,48 |
96,30 |
0,17 |
0,03 |
|
|
13 |
-5,20 |
86,97 |
87,97 |
-1,00 |
1,00 |
|
|
14 |
-4,80 |
81,48 |
79,96 |
1,53 |
2,33 |
|
|
15 |
-4,40 |
71,97 |
72,27 |
-0,30 |
0,09 |
|
|
16 |
-4,00 |
65,00 |
64,90 |
0,10 |
0,01 |
|
|
17 |
-3,60 |
58,50 |
57,85 |
0,65 |
0,43 |
|
|
18 |
-3,20 |
50,56 |
51,12 |
-0,56 |
0,32 |
|
|
19 |
-2,80 |
44,96 |
44,72 |
0,24 |
0,06 |
|
|
20 |
-2,40 |
38,04 |
38,63 |
-0,59 |
0,35 |
|
|
21 |
-2,00 |
32,83 |
32,87 |
-0,04 |
0,00 |
|
|
22 |
-1,60 |
26,33 |
27,42 |
-1,09 |
1,20 |
|
|
23 |
-1,20 |
21,82 |
22,30 |
-0,48 |
0,23 |
|
|
24 |
-0,80 |
17,36 |
17,50 |
-0,14 |
0,02 |
|
|
25 |
-0,40 |
13,31 |
13,02 |
0,29 |
0,08 |
|
|
26 |
0,00 |
9,18 |
8,86 |
0,32 |
0,10 |
|
|
27 |
0,40 |
3,49 |
5,02 |
-1,53 |
2,35 |
|
|
28 |
0,80 |
2,76 |
1,50 |
1,26 |
1,59 |
|
|
29 |
1,20 |
-1,83 |
-1,69 |
-0,14 |
0,02 |
|
|
30 |
1,60 |
-5,30 |
-4,57 |
-0,73 |
0,53 |
|
|
31 |
2,00 |
-6,95 |
-7,13 |
0,17 |
0,03 |
|
|
32 |
2,40 |
-8,46 |
-9,36 |
0,90 |
0,82 |
|
|
33 |
2,80 |
-11,34 |
-11,27 |
-0,07 |
0,00 |
|
|
34 |
3,20 |
-13,40 |
-12,86 |
-0,53 |
0,28 |
|
|
35 |
3,60 |
-14,08 |
-14,14 |
0,05 |
0,00 |
|
|
36 |
4,00 |
-14,16 |
-15,08 |
0,92 |
0,85 |
|
|
37 |
4,40 |
-15,49 |
-15,71 |
0,23 |
0,05 |
|
|
38 |
4,80 |
-16,02 |
-16,02 |
0,00 |
0,00 |
|
|
39 |
5,20 |
-17,74 |
-16,01 |
-1,73 |
3,00 |
|
|
40 |
5,60 |
-13,45 |
-15,68 |
2,22 |
4,94 |
|
|
41 |
6,00 |
-13,62 |
-15,02 |
1,40 |
1,97 |
|
|
42 |
6,40 |
-13,89 |
-14,04 |
0,16 |
0,02 |
|
|
43 |
6,80 |
-12,29 |
-12,75 |
0,46 |
0,21 |
|
|
44 |
7,20 |
-11,31 |
-11,13 |
-0,18 |
0,03 |
|
|
45 |
7,60 |
-9,64 |
-9,19 |
-0,45 |
0,20 |
|
|
46 |
8,00 |
-8,00 |
-6,93 |
-1,06 |
1,13 |
|
|
47 |
8,40 |
-4,14 |
-4,35 |
0,21 |
0,04 |
|
|
48 |
8,80 |
-1,02 |
-1,45 |
0,43 |
0,19 |
|
|
49 |
9,20 |
2,67 |
1,77 |
0,89 |
0,80 |
|
|
50 |
9,60 |
4,15 |
5,32 |
-1,17 |
1,37 |
|
|
51 |
10,00 |
8,38 |
9,18 |
-0,80 |
0,64 |
|
|
0,000 |
2225,126 |
2225,13 |
0,00 |
35,10 |
По формулам (2.4)-(2.5) определяем мат. ожидание и дисперсию:
= 0,00 / 51 = 0,00.
= 35,10 / (51-1) = 0,70.
0,84.
Произведем аналогичные действия для параболы с шумом ю Для определения неизвестных коэффициентов также необходимо решить систему уравнений (2.3). Результаты вычислений приведены в Табл. 2.3.
Табл. 2.3. Расчет коэффициентов регрессии
|
K |
||||||||
|
1 |
-10,00 |
208,53 |
-2085,30 |
100,00 |
20853,05 |
-1000,00 |
10000,00 |
|
|
2 |
-9,60 |
196,13 |
-1882,87 |
92,16 |
18075,55 |
-884,74 |
8493,47 |
|
|
3 |
-9,20 |
189,65 |
-1744,80 |
84,64 |
16052,18 |
-778,69 |
7163,93 |
|
|
4 |
-8,80 |
172,13 |
-1514,74 |
77,44 |
13329,75 |
-681,47 |
5996,95 |
|
|
5 |
-8,40 |
158,49 |
-1331,32 |
70,56 |
11183,07 |
-592,70 |
4978,71 |
|
|
6 |
-8,00 |
148,65 |
-1189,16 |
64,00 |
9513,32 |
-512,00 |
4096,00 |
|
|
7 |
-7,60 |
142,67 |
-1084,27 |
57,76 |
8240,48 |
-438,98 |
3336,22 |
|
|
8 |
-7,20 |
133,13 |
-958,50 |
51,84 |
6901,23 |
-373,25 |
2687,39 |
|
|
9 |
-6,80 |
134,57 |
-915,06 |
46,24 |
6222,44 |
-314,43 |
2138,14 |
|
|
10 |
-6,40 |
112,54 |
-720,27 |
40,96 |
4609,75 |
-262,14 |
1677,72 |
|
|
11 |
-6,00 |
106,53 |
-639,17 |
36,00 |
3835,00 |
-216,00 |
1296,00 |
|
|
12 |
-5,60 |
98,51 |
-551,66 |
31,36 |
3089,32 |
-175,62 |
983,45 |
|
|
13 |
-5,20 |
88,84 |
-461,99 |
27,04 |
2402,35 |
-140,61 |
731,16 |
|
|
14 |
-4,80 |
76,68 |
-368,04 |
23,04 |
1766,61 |
-110,59 |
530,84 |
|
|
15 |
-4,40 |
74,75 |
-328,92 |
19,36 |
1447,24 |
-85,18 |
374,81 |
|
|
16 |
-4,00 |
65,43 |
-261,72 |
16,00 |
1046,89 |
-64,00 |
256,00 |
|
|
17 |
-3,60 |
55,57 |
-200,04 |
12,96 |
720,16 |
-46,66 |
167,96 |
|
|
18 |
-3,20 |
48,33 |
-154,64 |
10,24 |
494,86 |
-32,77 |
104,86 |
|
|
19 |
-2,80 |
37,02 |
-103,66 |
7,84 |
290,24 |
-21,95 |
61,47 |
|
|
20 |
-2,40 |
39,63 |
-95,11 |
5,76 |
228,25 |
-13,82 |
33,18 |
|
|
21 |
-2,00 |
40,16 |
-80,31 |
4,00 |
160,63 |
-8,00 |
16,00 |
|
|
22 |
-1,60 |
29,31 |
-46,90 |
2,56 |
75,04 |
-4,10 |
6,55 |
|
|
23 |
-1,20 |
19,29 |
-23,14 |
1,44 |
27,77 |
-1,73 |
2,07 |
|
|
24 |
-0,80 |
21,87 |
-17,50 |
0,64 |
14,00 |
-0,51 |
0,41 |
|
|
25 |
-0,40 |
9,94 |
-3,98 |
0,16 |
1,59 |
-0,06 |
0,03 |
|
|
26 |
0,00 |
11,99 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
0,00 |
|
|
27 |
0,40 |
0,43 |
0,17 |
0,16 |
0,07 |
0,06 |
0,03 |
|
|
28 |
0,80 |
4,15 |
3,32 |
0,64 |
2,65 |
0,51 |
0,41 |
|
|
29 |
1,20 |
0,07 |
0,08 |
1,44 |
0,09 |
1,73 |
2,07 |
|
|
30 |
1,60 |
-3,91 |
-6,26 |
2,56 |
-10,02 |
4,10 |
6,55 |
|
|
31 |
2,00 |
-8,83 |
-17,65 |
4,00 |
-35,30 |
8,00 |
16,00 |
|
|
32 |
2,40 |
-8,07 |
-19,36 |
5,76 |
-46,47 |
13,82 |
33,18 |
|
|
33 |
2,80 |
-9,17 |
-25,66 |
7,84 |
-71,86 |
21,95 |
61,47 |
|
|
34 |
3,20 |
-8,69 |
-27,80 |
10,24 |
-88,95 |
32,77 |
104,86 |
|
|
35 |
3,60 |
-18,42 |
-66,30 |
12,96 |
-238,67 |
46,66 |
167,96 |
|
|
36 |
4,00 |
-15,05 |
-60,21 |
16,00 |
-240,83 |
64,00 |
256,00 |
|
|
37 |
4,40 |
-13,39 |
-58,90 |
19,36 |
-259,16 |
85,18 |
374,81 |
|
|
38 |
4,80 |
-15,82 |
-75,92 |
23,04 |
-364,44 |
110,59 |
530,84 |
|
|
39 |
5,20 |
-17,81 |
-92,62 |
27,04 |
-481,62 |
140,61 |
731,16 |
|
|
40 |
5,60 |
-16,23 |
-90,89 |
31,36 |
-508,96 |
175,62 |
983,45 |
|
|
41 |
6,00 |
-16,54 |
-99,26 |
36,00 |
-595,53 |
216,00 |
1296,00 |
|
|
42 |
6,40 |
-9,63 |
-61,64 |
40,96 |
-394,51 |
262,14 |
1677,72 |
|
|
43 |
6,80 |
-13,28 |
-90,30 |
46,24 |
-614,06 |
314,43 |
2138,14 |
|
|
44 |
7,20 |
-10,57 |
-76,10 |
51,84 |
-547,93 |
373,25 |
2687,39 |
|
|
45 |
7,60 |
-6,41 |
-48,73 |
57,76 |
-370,34 |
438,98 |
3336,22 |
|
|
46 |
8,00 |
-16,69 |
-133,56 |
64,00 |
-1068,45 |
512,00 |
4096,00 |
|
|
47 |
8,40 |
-7,65 |
-64,23 |
70,56 |
-539,54 |
592,70 |
4978,71 |
|
|
48 |
8,80 |
-0,21 |
-1,81 |
77,44 |
-15,94 |
681,47 |
5996,95 |
|
|
49 |
9,20 |
2,13 |
19,60 |
84,64 |
180,28 |
778,69 |
7163,93 |
|
|
50 |
9,60 |
10,16 |
97,53 |
92,16 |
936,31 |
884,74 |
8493,47 |
|
|
51 |
10,00 |
9,21 |
92,11 |
100,00 |
921,15 |
1000,00 |
10000,00 |
|
|
0,000 |
2230,1 |
-17667,4 |
1768,0 |
126128,7 |
0,0 |
110266,6 |
Таким образом, система нормальных уравнений для нахождения параметров регрессии методом наименьших квадратов имеет следующий вид:
51 + 0,0 + 1768,0 = 2230,1
0,0 + 1768,0 + 0,0 = -17667,4
1768,0 + 0,0 + 110266,6 = 126128,7
Решая полученную систему, находим следующие значения коэффициентов:
9,17.
-9,99.
= 1,00.
Подставляя найденные коэффициенты, уравнение регрессии имеет вид:
= 1,0 - 9,99+ 9,17.
На Рис. 2.4 представлены график исходной зависимости и график регрессии.
Рис. 2.5. Графики зависимостей и
Также определим мат. ожидание и дисперсию по формулам (2.4) и (2.5).
Табл. 2.4. Расчет мат. ожидания и дисперсии
|
k |
||||||
|
1 |
-10,00 |
208,53 |
208,78 |
-0,25 |
0,06 |
|
|
2 |
-9,60 |
196,13 |
196,97 |
-0,84 |
0,70 |
|
|
3 |
-9,20 |
189,65 |
185,47 |
4,18 |
17,45 |
|
|
4 |
-8,80 |
172,13 |
174,30 |
-2,17 |
4,71 |
|
|
5 |
-8,40 |
158,49 |
163,45 |
-4,96 |
24,56 |
|
|
6 |
-8,00 |
148,65 |
152,91 |
-4,26 |
18,18 |
|
|
7 |
-7,60 |
142,67 |
142,69 |
-0,03 |
0,00 |
|
|
8 |
-7,20 |
133,13 |
132,79 |
0,33 |
0,11 |
|
|
9 |
-6,80 |
134,57 |
123,22 |
11,35 |
128,88 |
|
|
10 |
-6,40 |
112,54 |
113,96 |
-1,41 |
2,00 |
|
|
11 |
-6,00 |
106,53 |
105,01 |
1,51 |
2,29 |
|
|
12 |
-5,60 |
98,51 |
96,39 |
2,12 |
4,49 |
|
|
13 |
-5,20 |
88,84 |
88,09 |
0,76 |
0,57 |
|
|
14 |
-4,80 |
76,68 |
80,10 |
-3,43 |
11,76 |
|
|
15 |
-4,40 |
74,75 |
72,44 |
2,31 |
5,36 |
|
|
16 |
-4,00 |
65,43 |
65,09 |
0,34 |
0,11 |
|
|
17 |
-3,60 |
55,57 |
58,07 |
-2,50 |
6,24 |
|
|
18 |
-3,20 |
48,33 |
51,36 |
-3,03 |
9,19 |
|
|
19 |
-2,80 |
37,02 |
44,97 |
-7,95 |
63,15 |
|
|
20 |
-2,40 |
39,63 |
38,90 |
0,73 |
0,53 |
|
|
21 |
-2,00 |
40,16 |
33,15 |
7,01 |
49,16 |
|
|
22 |
-1,60 |
29,31 |
27,71 |
1,60 |
2,56 |
|
|
23 |
-1,20 |
19,29 |
22,60 |
-3,31 |
10,98 |
|
|
24 |
-0,80 |
21,87 |
17,80 |
4,07 |
16,55 |
|
|
25 |
-0,40 |
9,94 |
13,33 |
-3,39 |
11,49 |
|
|
26 |
0,00 |
11,99 |
9,17 |
2,81 |
7,91 |
|
|
27 |
0,40 |
0,43 |
5,33 |
-4,91 |
24,09 |
|
|
28 |
0,80 |
4,15 |
1,82 |
2,33 |
5,42 |
|
|
29 |
1,20 |
0,07 |
-1,38 |
1,45 |
2,10 |
|
|
30 |
1,60 |
-3,91 |
-4,26 |
0,35 |
0,12 |
|
|
31 |
2,00 |
-8,83 |
-6,83 |
-2,00 |
4,00 |
|
|
32 |
2,40 |
-8,07 |
-9,07 |
1,00 |
1,00 |
|
|
33 |
2,80 |
-9,17 |
-10,99 |
1,83 |
3,34 |
|
|
34 |
3,20 |
-8,69 |
-12,60 |
3,91 |
15,30 |
|
|
35 |
3,60 |
-18,42 |
-13,88 |
-4,53 |
20,54 |
|
|
36 |
4,00 |
-15,05 |
-14,85 |
-0,20 |
0,04 |
|
|
37 |
4,40 |
-13,39 |
-15,50 |
2,11 |
4,46 |
|
|
38 |
4,80 |
-15,82 |
-15,83 |
0,01 |
0,00 |
|
|
39 |
5,20 |
-17,81 |
-15,84 |
-1,97 |
3,90 |
|
|
40 |
5,60 |
-16,23 |
-15,53 |
-0,70 |
0,49 |
|
|
41 |
6,00 |
-16,54 |
-14,90 |
-1,64 |
2,70 |
|
|
42 |
6,40 |
-9,63 |
-13,95 |
4,32 |
18,68 |
|
|
43 |
6,80 |
-13,28 |
-12,69 |
-0,59 |
0,35 |
|
|
44 |
7,20 |
-10,57 |
-11,10 |
0,53 |
0,28 |
|
|
45 |
7,60 |
-6,41 |
-9,20 |
2,79 |
7,77 |
|
|
46 |
8,00 |
-16,69 |
-6,98 |
-9,72 |
94,43 |
|
|
47 |
8,40 |
-7,65 |
-4,44 |
-3,21 |
10,31 |
|
|
48 |
8,80 |
-0,21 |
-1,57 |
1,37 |
1,87 |
|
|
49 |
9,20 |
2,13 |
1,61 |
0,52 |
0,28 |
|
|
50 |
9,60 |
10,16 |
5,10 |
5,06 |
25,56 |
|
|
51 |
10,00 |
9,21 |
8,92 |
0,29 |
0,08 |
|
|
0,000 |
2230,112 |
2230,11 |
0,00 |
646,12 |
По формулам (2.4)-(2.5) определяем мат. ожидание и дисперсию:
= 0,00 / 51 = 0,0.
= 646,12 / (51-1) = 12,92.
3,59.
Как видно из полученных результатов, первоначальные параметры с шумом были восстановлены с большей погрешностью, чем в случае с шумом . Более точные результаты также можно было бы получить, увеличивая объем исходной выборки.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные этапы многофакторного корреляционного анализа и интерпретация его параметров. Назначение коэффициентов эластичности и стандартизированных бетта-коэффициентов. Расчет значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента.
контрольная работа [605,2 K], добавлен 29.07.2010Проверка выполнения предпосылок МНК. Значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера. Средняя относительная ошибка аппроксимации. Гиперболические, степенные и показательные уравнения нелинейной регрессии.
контрольная работа [253,4 K], добавлен 17.03.2011Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация регрессии. Определение остаточной суммы квадратов. Выполнение предпосылок МНК. Расчет коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
контрольная работа [317,0 K], добавлен 11.05.2009Составление закона распределения случайной величины X—числа студентов, успешно сдавших экзамен. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения случайной величины. Таблица накопленных частот для сгруппированной выборки.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 11.01.2015Составление матрицы парных коэффициентов корреляции переменных. Построение линейного уравнения регрессии, характеризирующее зависимость цены от факторов. Оценка статистической значимости параметров в регрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента.
лабораторная работа [1,6 M], добавлен 13.04.2010Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции регрессии. Практическое применение интерполирования. Применение процедуры линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии. Построение квадратичной модели полулогарифмической функции.
курсовая работа [291,1 K], добавлен 23.03.2015Порядок построения линейного уравнения парной регрессии, расчет коэффициентов и оценка статической значимости параметров регрессии и корреляции. Точность прогноза. Множественная регрессия и корреляция. Системы эконометрических уравнений. Временные ряды.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 24.09.2013Экономическая интерпретация коэффициентов регрессии. Графическое представление фактических и модельных значений точки прогноза, уравнений регрессии (гиперболической, степенной, показательной). Нахождение коэффициентов детерминации и эластичности.
контрольная работа [324,1 K], добавлен 13.04.2010Изучение и оценка коэффициентов и уравнения линейной регрессии показателей грузоперевозок по РБ за 2011-2012 гг. Проверка гипотез о значениях коэффициентов регрессии, построение доверительных интервалов, анализ статистической однородности и независимости.
курсовая работа [773,3 K], добавлен 23.10.2012Изучение динамики средней затратоемкости продукции на примере предприятий Вологодской области. Априорный анализ показателей себестоимости продукции. Проверка гипотезы о нормальном распределении. Исследование связи между себестоимостью, выручкой, прибылью.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 14.03.2016
