Построение регрессионных зависимостей в эконометрике

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Проверка статистических гипотез

1.1 Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции регрессии

1.2 Построение квадратичной модели функции регрессии

2. Интерполирование

2.1 Интерполирование функций

2.2 Практическое применение интерполирования

3. Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии

3.1 Линеаризация регрессионных моделей

3.2 Построение полулогарифмической функции

Заключение

Список литературы

Введение

В условиях рыночной экономики возрастает интерес и потребность в познании статистических методов анализа и прогнозирования, к количественным оценкам социально-экономических явлений. Как найти связи между переменными, как доказать их значимость и оценить их параметры? На эти вопросы можно ответить с помощью эконометрики, занимающейся применением методов математической статистики в экономическом анализе. Понятие практической статистики, процедура обоснованного сопоставления высказанной гипотезы относительно природы или величины неизвестных статистических параметров анализируемого явления с имеющимися в распоряжении исследователя выборочными данными (выборкой).

Цель работы - рассмотреть основы построения регрессионных зависимостей в эконометрике.

Задачи работы:

- рассмотреть сущность проверки статистических гипотез;

- изучить интерполяцию;

- провести линеаризацию регрессионных моделей.

1. Проверка статистических гипотез

1.1 Проверка статистической гипотезы о значимости коэффициента функции регрессии

В процессе статистического анализа иногда бывает необходимо сформулировать и проверить предположения (гипотезы) относительно величины независимых параметров или закона распределения изучаемой генеральной совокупности (совокупностей).

Например, исследователь выдвигает гипотезу о том, что «выборка извлечена из нормальной генеральной совокупности» или «генеральные средние двух анализируемых совокупностей равны». Такие предположения называются статистическими гипотезами.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия, называется проверкой статистических гипотез.

Под статистической гипотезой понимаются различного рода предположения относительно характера или параметров распределения случайной переменной, которые можно проверить, опираясь на результаты наблюдений в случайной выборке.

Иными словами, статистической гипотезой называется предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки. Обозначается гипотеза буквой Н. Так, может быть выдвинута гипотеза о том, что средняя в генеральной совокупности равна некоторой величине.

Смысл проверки статистической гипотезы состоит в том, чтобы по имеющимся статистическим данным принять или отклонить статистическую гипотезу с минимальным рисков ошибки. Эта проверка осуществляется по определенным правилам.

В регрессионном анализе проверяют гипотезы о значимости свободного члена а и о значимости коэффициента регрессии b.

Проверка гипотезы о значимости коэффициента регрессии b:

1. Определим гипотезы H0 и H1:

H0: b=0 (между переменными нет линейной зависимости)

H1: b1?0.

2. Зададим уровень значимости б.

Статистика F имеет распределение Фишера с 1 и (n-1) степенями свободы.

3. Критические точки и критическая область Kкр=Fкр(б,1,n-2).

4. Если |Fнабл|<f(б,1,n-2), то H0отвергается, т.е. можно сделать вывод, что линейная зависимость - значима. Если |Fнабл|>F(б,1,n-2)то у нас нет оснований отвергать H0, т.е. можно сделать вывод, что линейная зависимость - незначима или что наши данные нельзя описать моделью линейной регрессии.

Следует иметь в виду, что статистическая проверка гипотез имеет вероятностный характер. С помощью статистической проверки гипотез можно определить вероятность принятия ложного решения по тем или иным результатам статистического изучения данного явления. Если вероятность ошибки невелика, то статистические показатели исчисленные при изучении явления, могут быть использованы для практических целей при малом риске ошибки.

1.2 Построение квадратичной модели функции регрессии

Построим квадратичную модель вида у_i=+.

Таблица 1

№	Среднегодовая стоимость ОПФ, тыс.руб., х	Товарная продукция, тыс. руб., у
1	420	430
2	480	420
3	500	480
4	510	470
5	560	490
6	570	500

Таблица 2

Среднегодовая стоимость ОПФ, тыс.руб., х	Товарная продукция, тыс. руб., у				у	у
420	430	176400	74088000	31116960000	180600	75852000
480	420	230400	11059200	53084160000	201600	96768000
500	480	250000	12500000	62500000000	240000	120000000
510	470	260100	13265100	67652010000	239700	122247000
560	490	313600	17561600	98344960000	274400	153664000
570	500	324900	18519300	105560010000	285000	162450000
3040	2790	1555400	80314000	418258100000	142130	730981000

Рассчитаем параметры a и решив систему:

Получаем:

Решив систему получим:

;

Получаем уравнение: .

Построим график.

Рисунок 1

Определим коэффициент регрессии для линейной и квадратичной модели по формуле:

.

Построим вспомогательную таблицу.

Таблица 3

Среднегодовая стоимость ОПФ, тыс.руб., х	Товарная продукция, тыс. руб., у		Линейная модель	Квадратичная модель
420	430	1225	420,9	1945,2	424,9	1610,8
480	420	2025	451,4	184,3	447,4	310,6
500	480	225	461,6	11,6	457,0	63,3
510	470	25	466,7	2,8	462,3	7,4
560	490	625	492,1	735,9	492,5	757,0
570	500	1225	497,2	1037,9	499,4	1181,3
3040	2790	5350	2790	3917,7	2790	3930,4

Получаем:

- для линейной модели: ;

- для квадратичной модели: .

Оценку статистической значимости построенное модели регрессии в целом производится с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия для парного линейного уравнения регрессии определяется как

F = ,

где С_факт = - факторная, или объясненная регрессия, сумма квадратов;

С_ост = - остаточная сумма квадратов;

- коэффициент детерминации.

Получаем:

- для линейной модели: F = ,

- для квадратичной модели: F = .

Табличное значение F-критерия при числе степеней свободы 2 и 4 и уровне значимости 0,05 составит: F_0,05,2,4 = 6,9, т. е. фактическое значение F (F_факт = 1,46 и 1,44) не превышают табличное (F_табл = 6,9), и можно сделать вывод, что уравнение регрессии статистически незначимо. Следовательно гипотеза Н₁ о значимости уравнения отклоняется. Заметим, что значимость линейного уравнения несколько выше, чем квадратичного.

Рассчитаем стандартную ошибку коэффициента корреляции r_ух - : и t-статистику по модулю: .

Сравнивая рассчитанное значение с табличным значением t-критерия Стьюдента на уровне значимости а=0,05 с n-2=6-2=4 степенями свободы: t_табл=2,78.

Получаем:

- для линейной модели:

;

;

- для квадратичной модели:

;

.

Можно сделать вывод о статистической незначимости полученного коэффициента корреляции r_ух в 95% случаев, заметим, что значимость линейного уравнения несколько выше, чем квадратичного.

2. Интерполирование

2.1 Интерполирование функций

Интерполирование предполагает нахождение значений функции, соответствующих промежуточным значениям аргумента, отсутствующим в таблице логарифмов, тригонометрических и др. функций.

При интерполировании по таблице значений функции строится ее аналитическое выражение, т.е. по значениям функции y₀, y₁,..., y_n при значениях аргумента х_о, х₁,..., х_n определяется выражение неизвестной функции. Через данные точки можно провести множество различных кривых. Поэтому существует интерполирование в различных функциях F(х). Чаще всего требуется, чтобы функция F(х) была многочленом степени на единицу меньшей, чем число известных значений.

Таким образом, задачу интерполирования функций можно сформулировать следующим образом.

Для данных значений х х_о, х₁,..., х_n и y y₀, y₁,..., y_n найти многочлен y = Fⁿ(х), удовлетворяющий условиям F(х_о) y₀, F(х₁) y₁,..., F(х_n) y_n. Точки х_о, х₁,..., х_n называют узлами интерполяции, многочлен Fⁿ(х) интерполяционным многочленом, а формулы его построения интерполяционными формулами. Интерполяционный многочлен опишет кривую, проходящую точно через заданные точки.

При параболическом интерполировании в качестве интерполяционного многочлена F(х) принимают многочлен n ой степени вида:

Fⁿ(х) а_о + а₁х + а₂х₂ +... + а_nx_n.

Запишем многочлен F(х) для произвольного значения х_i (i = 0, 1, 2,..., n), принимающего значения F(х_i) = y_i, а во всех остальных точках х х_i значение, равное нулю.

Как видно из записи, числитель не будет содержать выражения (х х_i), а знаменатель (х_i х_i), т.е. выражений, обращающих числитель и знаменатель в нуль.

Искомый многочлен будет равен сумме

Полученная формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Пусть r(x) - некоторая функция, w(x)=(x-x₀)(x-x₁)…(x-x_n) тогда формула погрешности имеет вид:

Блок-схема алгоритма программы интерполирования функции методом Лагранжа.



Рисунок 2

2.2 Практическое применение интерполирования

Используя исходные данные из КР №2 получим значение функции Y(х) в точке «», соответствующей середине имеющегося интервала, используя интерполяционный многочлен 2-й, 3-й и 5-й степени.

Алгебраический многочлен степени n можно представить в виде:

Ранее мы получили:

Используя схему Горнера, рассчитаем значения в точках



Многочлен 3-й степени определим используя встроенную функцию Excel - Мастер диаграмм.

Рисунок 3

Имеем .

Используя схему Горнера, рассчитаем значения в точках

Многочлен 5-й степени определим используя встроенную функцию Excel - Мастер диаграмм.



Рисунок 4

.

Используя схему Горнера, рассчитаем значения в точках

Таким образом, сравнивая значения Y(интерполяции) видим, что фактическое значение У составляет 480 тыс. руб., в то время как при использовании многочлена 2-й степени мы получили 457,04 тыс. руб., 3-й степени - 453,6 тыс. руб., 4-й - 155048,6 тыс. руб. Т.е. наиболее подходящей моделью для интерполирования является модель второй степени.

3. Процедура линеаризации в решении нелинейной задачи регрессии

3.1 Линеаризация регрессионных моделей

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных (линеаризация), а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов. Рассмотрим некоторые функции.

Парабола второй степени приводится к линейному виду с помощью замены: . В результате приходим к двухфакторному уравнению , оценка параметров которого при помощи МНК, приводит к системе следующих нормальных уравнений:

А после обратной замены переменных получим

Парабола второй степени обычно применяется в случаях, когда для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую.

Равносторонняя гипербола приводится к линейному уравнению простой заменой: . Система линейных уравнений при применении МНК будет выглядеть следующим образом:

Аналогичным образом приводятся к линейному виду зависимости , и другие.

Несколько иначе обстоит дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не приводятся).

Сделаем замены: ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным: ;

- показательная - ,

- экспоненциальная - .

Чтобы уравнение стало линейным, нужно убрать из показателя степени коэффициент b. Единственный способ это сделать - логарифмировать обе части равенства:

Сделаем замены: ; ; .

После этого уравнение регрессии становится линейным: .

Нужно пересчитать исходные данные для фактора Y, и потом, когда коэффициенты регрессии будут найдены, вернуться назад к коэффициентам .;

- логистическая - ,

- обратная - .

К внутренне нелинейным моделям можно, например, отнести следующие модели:

, .

Среди нелинейных моделей наиболее часто используется степенная функция , которая приводится к линейному виду логарифмированием:

,

где . Т.е. МНК мы применяем для преобразованных данных:

а затем потенцированием находим искомое уравнение.

Таблица 4. Линеаризация моделей

Название функции	Вид модели	Заменяемые переменные	Вид линеаризированной модели
Показательная	Ln y = Ln a+ х ln b	Ln y = Y, Ln a = б, Ln b =в	Y = a + xbб+x в ( a=eб, b=eв)
Степенная	Ln y = Ln a+ b ln x	Ln y = Y, Ln a = б, Ln x =x	Y = a + bxб+bx
гиперболическая	Y = a + b/x	1/x=X	Y = a +b X

3.2 Построение полулогарифмической функции

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование уравнения:

Построим вспомогательную таблицу.

Таблица 5

№	Среднегодовая стоимость ОПФ, тыс.руб., х	Товарная продукция, тыс. руб., у	lg x	y lg x	(lg x)2
1	420	430	2,62	1128,00	6,88
2	480	420	2,68	1126,12	7,19
3	500	480	2,70	1295,51	7,28
4	510	470	2,71	1272,56	7,33
5	560	490	2,75	1346,61	7,55
6	570	500	2,76	1377,94	7,59
Итого	3040	2790	16,22	7546,73	43,83

Рассчитаем его параметры, используя таблицу.

;

Уравнение регрессии будет иметь вид: .

Заключение

Современная экономическая теория, как на микро, так и на макро уровне, постоянно усложняющиеся экономические процессы привели к необходимости создания и совершенствования особых методов изучения и анализа. При этом широкое распространение получило использование моделирования и количественного анализа.

На базе последних выделилось и сформировалось одно из направлений экономических исследований - эконометрика.

Эконометрика как наука расположена где-то между экономикой, статистикой и математикой, но ни одно из этих наук неспособна в отдельности, заменить эконометрику. Эконометрические модели и методы сейчас - это не только мощный инструментарий для получения новых знаний в экономике, но и широко применяемый аппарат для принятия практических решений в прогнозировании, банковском деле, бизнесе. Развитие информационных технологий и специальных прикладных программ, совершенствование методов анализа сделали эконометрику мощнейшим инструментом экономических исследований.

статистический регрессия интерполирование задача

Список литературы

1. Власов М.П., Шимко П.Д. Общая теория статистики. Инструментарий менеджера международной фирмы: учеб. пособие. - СПб.: СПбГИЭУ, 2013. - 452 с.

2. Григорьева Р.П., Басова И.И. Статистика труда: конспект лекций. - СПб.: Изд-во Михайлова В.А., 2010. - 64 с.

3. Добрынина Н.В., Нименья И.Н. Статистика. Учеб.-метод. пособие. - СПб.: СПбГИЭУ, 2012. - 103 с.

4. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: учебник /Под ред. И.И. Елисеевой. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Финансы и статистика, 2011. - 656 с.

5. Микроэкономическая статистика: Учебник/ Под ред. С.Д. Ильенковой. - М.: Финансы и статистика, 2012. - 544 с.

6. Практикум по теории статистики/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2013. - 416 с.

7. Теория статистики/ Под ред. проф. Р.А. Шмойловой. - М.: Финансы и статистика, 2010. - 576 с.

Размещено на Allbest.ru