Математические основы финансов
Понятие временной стоимости денег. Базовые понятия финансовой математики. Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок. Учет инфляционного обесценения денег. Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по данным операциям.
Рубрика | Экономика и экономическая теория |
Вид | курсовая работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 12.02.2015 |
Размер файла | 126,9 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru
Математические основы финансов
План
I. Понятие временной стоимости денег
II. Базовые понятия финансовой математики
2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок
2.2 Эквивалентность процентных ставок
2.3 Учет инфляционного обесценения денег
2.4 Аннуитеты
2.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами
Литература
I. Понятие временной стоимости денег
стоимость процентный ставка доходность
Временная стоимость денег (англ. time value of money) -- одно из самых важнейших понятий в финансах. Отцом понятия является Леонардо Фибоначчи; разработал он его в 1202 году. Временная стоимость денег гласит, что деньги должны приносить прибыль; таким образом сумма сейчас стоит больше, чем эта же сумма потом, т.к. вложенная сейчас сумма принесет прибыль потом.
Для того чтобы лучше понять временную стоимость проведем несложные расчеты:
Возьмем к примеру два человека: Серик и Берик. Исходная сумма (англ. present value) составит 5 000 $. Серик решил взять эти деньги потом, через пять лет, А Берик сейчас и положил их допустим на депозит под 12% годовых, допустим, под простую ставку. Посчитаем реальную стоимость денег Серика на данный момент с учетом того, что он решил взять деньги через пять лет. Конечно, в нашем примере, мы можем посчитать лишь виртуальную исходную сумму Серика, т.к. сейчас он ничего не получал. Но вычисление исходной суммы (пусть и виртуальной) позволит нам понять, сколько Серик получил бы сейчас, если бы он был мудрым, как Берик, чтобы получить в конце периода наращенную сумму в 5000. Иными словами, сколько надо иметь сейчас, чтобы вложить и через пять лет получить 5000? Годовая процентная ставка в нашем примере неизменна и составляет 12%.
= 5000/(1+0,12·5) = 5000/1,6 = 3125
Таким образом, получается, что выбор второго варианта (сумма потом) просто равен получению 3125 сейчас. Теперь главный вопрос: что лучше, 3125 сейчас или 5000 потом? То есть взять 5000 потом, это то же самое, что взять 3125 сейчас. И это даже с учетом того, что мы не учитываем инфляцию.
II. Базовые понятия финансовой математики
Проценты - доход от предоставления капитала в долг в различных формах (ссуды, кредиты), либо от инвестиций производственного или финансового характера.
Процентная ставка - величина, характеризующая интенсивность начисления процентов.
Наращение первоначальной суммы долга - это увеличение суммы долга за счет присоединения начисленных процентов (дохода).
Множитель (коэффициент) наращения - величина, показывающая, во сколько раз вырос первоначальный капитал.
Период начисления - промежуток времени, за который начисляют проценты (получается доход).
Интервал начисления - минимальный период, по прошествии которого происходит начисление процентов.
Декурсивный метод начисления (ссудный процент) - проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Ссудный процент представляет собой отношение начисленной суммы за определенный интервал к сумме, имеющейся на начало данного интервала.
Антисипативный способ начисления (учетная ставка) - проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Учетная ставка представляет собой отношение суммы дохода, выплачиваемого за определенный интервал начисления к величине наращенной суммы, полученной по прошествии этого интервала.
Простая процентная ставка - процентная ставка применяется к одной и той же первоначальной денежной сумме в течение всего периода начисления.
Сложная процентная ставка - по прошествии каждого интервала начисления в следующем интервале проценты начисляются к сумме долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов.
Возьмем для понимания декурсивный метод начисления по простой ставке. Допустим, взят кредит на сумму 10 000 $, на срок 36 месяцев, при простой годовой ссудной ставке 10%.
То есть S= 10000*(1+3*0,1) = 10000* 1,3=13000
Проценты это разница между вложенным капиталом и наращенной суммой - 3000
Процентная ставка - 10%
Наращение первоначальной суммы 13 000
Коэффициент наращения 1,3
Период - 36 месяцев
Интервал начисления - 1 год
2.1 Антисипативный и декурсивный методы начисления процентных ставок
ПРОСТАЯ |
СЛОЖНАЯ |
||
Наращенная сумма |
|||
ДЕКУРСИВНАЯ |
В случае если на разных интервалах начисления применяются различные процентные ставки, то используется следующая формула: В конце первого интервала: В конце первого интервала: и т.д., следовательно, общая сумма процентного дохода будет равна: И наращенная сумма будет составлять: |
При начислении сложной ссудной ставки используется принцип начисления на сумму долга+проценты начисленные в предыдущих интервалах, или иными словами начисления «процентов на проценты»: (в первый год) (во второй год) (в третий год) и т.д. В конце периода начисления наращенная сумма составит: Или при интервале начисления отличным от года(квартал, месяц, день): При непрерывном наращивании процентов, то есть когда m стремится к бесконечности (срок неограничен), а продолжительность интервала начисления стремится к нулю, т.е. интервал начисления неограничен: В случае если процентные ставки разные в различные интервалы начисления, то: на первом интервале начисления; на втором интервале; и т.д. тогда наращенная сумма на конец периода составит:: |
|
Операция дисконтирования |
|||
Коэффициент наращения |
|||
Определение срока (периода ) |
|||
Для нахождения неизвестной данной находящейся в степени находим натуральные логарифмы: или в случае сложной ставки с интервалом начисления отличным от года: |
|||
Определение процентной ставки |
|||
в случае сложной ставки с интервалом начисления отличным от года: |
|||
Правило 69/72 |
|||
Наращенная сумма |
|||
; где «» фактически получаемая сумма, а «» дисконт взимаемый в самом начале интервала, тогда: |
При начислении сложной учетной ставки так же используется принцип начисления на сумму долга+проценты, начисленные в предыдущих интервалах, или иными словами, начисления «процентов на проценты»: по прошествии первого интервала; по прошествии второго интервала; и т.д. аналогично случаю сложных ссудных процентов наращенная сумма на конец периода составит: И в случае интервала начисления отличного от года: |
||
Сумма дисконта |
|||
Операция дисконтирования |
|||
Коэффициент наращения -коэффициент дисконтирования; |
|||
в случае если число интервалов начисления не представляет собой точное число: |
|||
Определение срока (периода ) |
|||
Для нахождения неизвестной данной находящейся в степени находим натуральные логарифмы: В случае интервала начисления отличным от года: |
|||
Определение процентной ставки |
|||
Избавляемся от степени путем возведения обеих частей в ; Или в случае интервала начисления отличным от года аналогично: |
- относительная величина ссудной ставки %
- относительная величина учетной ставки %
- период начисления
- интервал начисления
- общая сумма процентных денег на период начисления
- первоначальный капитал/денежная сумма
- наращенная сумма
- коэффициент наращения
- номинальная годовая ставка
2.2 Эквивалентность процентных ставок
Эквивалентные процентные ставки - это такие процентные ставки разного вида, использование которых дают одинаковые финансовые результаты при одинаковых начальных условиях.
1) Эквивалентность простых учетных и ссудных ставок
При условии одинаковых условий, т.е. срока, первоначальной суммы, эквивалентная процентная ставка определяется:
В случае определения эквивалентной учетной ставки:
2) Эквивалентность простых и сложных ссудных ставок
Составим уравнение эквивалентности для определения эквивалентной простой ссудной ставки при данной сложной учетной ставке:
В случае если дана простая ссудная ставка, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку, то:
В том случае, если интервал начисления по сложной ссудной ставке отличен от года, то простая ссудная ставка определяется следующим образом:
В случае противоположном этому, когда дана простая ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную ссудную ставку с интервалом начисления отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:
3) Если необходимо определить сложную ссудную ставка с интервалом начисления в 1 год, эквивалентную сложной ссудной ставке, но с иным интервалом начисления, отличным от года, то используется следующее уравнение эквивалентности:
Данная ставка именуется эффективной ставкой сложных процентов.
4) Эквивалентность сложных учетной и ссудной ставки
При определении данной сложной учетной ставки эквивалентная сложная ссудная ставка будет определяться как:
Возводим обе части уравнения в :
В ином случае, когда дана сложная ссудная ставка процентов, а необходимо определить эквивалентную ей сложную учетную ставку процентов, то используется следующая формула:
5) Уравнивающая ставка. Рассмотрим случай, когда нам нужно определить что выгодней заплатить большую сумму, но позже, или меньшую сумму, но раньше. Т.е. при условии, что и , необходимо узнать что выгодней нам, заплатить через , или заплатить меньшую сумму , но раньше, через . Т.е. для принятия такого решения, нужно определить современные величины этих значений. И в таких случаях определяется уравнивающая ставка, которая выражает тот случай, когда современные величины обоих значений совпадут т.е. :
;
Тогда определим уравнивающую ставку, удовлетворяющую условию :
т.е. при всех , или сложной ставке меньшей, чем уравнивающая, будет выгодней взять меньшую сумму на меньший срок, а в случае следует использовать вариант с большей суммой и на больший срок.
2.3 Учет инфляционного обесценения денег
Темп инфляции
Наращенная сумма с учетом инфляции будет равна:
Индекс инфляции
в случае, если период начисления нецелое число;
в случае, если задан уровень инфляции за интервал меньше года.
Формула Фишера:
Значение является величиной, которую необходимо прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь.
Ссудные ставки с учетом инфляции
Простая ссудная ставка с учетом инфляции:
Сложная ссудная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:
Сложная ссудная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:
Учетные ставки с учетом инфляции
Простая учетная ставка с учетом инфляции:
Сложная учетная ставка процентов с погодичным интервалом начисления с учетом инфляции:
Сложная учетная ставка процентов с интервалом начисления, отличным от года, с учетом инфляции:
2.4 Аннуитеты
Аннуитет (финансовая рента) - поток однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет.
Аннуитет постнумерандо (обыкновенный) - платежи осуществляются в конце интервалов
Наращенная сумма всего аннуитета:
Сумма первого платежа, на который будут начисляться проценты, составит:
;
Для второго платежа проценты будут начисляться на один год меньше:
; и т.д.
На последний платеж, произведенный в конце n-го года, проценты уже не начисляются:
; тогда общая наращенная сумма будет составлять сумму всех платежей :
т.е.:
Используем математическую формулу для суммы членов геометрической прогрессии:
Где сумма членов геометрической прогрессии или общее количество платежей, первый член прогрессии , а , тогда:
Т.е. коэффициент наращения для аннуитета постнумерандо составляет:
Современное значение каждого платежа
Следовательно, современная величина всего аннуитета:
Снова используем формулу определения суммы членов геометрической прогрессии:
;
Где опять же сумма членов прогрессии или сумма современных значений каждых из платежей, а . Тогда для получаем выражение:
То есть современная величина всего аннуитета составит
Определим взаимосвязь наращенной и современной сумм аннуитета:
Определение размера очередного платежа:
Срок аннуитета:
Для определения аннуитета пренумерандо нужно формулы наращенной суммы или современной стоимости аннуитета постнумерандо умножать на :
Коэффициент наращения для аннуитета пренумерандо составит:
И соответственно коэффициент приведения для аннуитета пренумерандо:
Каждая современная величина аннуитета пренумерандо будет больше на , т.к. дисконтирование аннуитета постнумерандо по заданной ставке проводиться на один раз меньше, чем у аннуитета пренумерандо. Т.е. современная величина всего аннуитета пренумерандо составит:
Вечные аннуитеты (когда срок аннуитета не ограничен):
Постнумерандо:
Пренумерандо:
При увеличении аннуитета с каждым интервалом на определенную величину ,
т.е. платежи представят собой следующий ряд:
Наращенная сумма всего аннуитета тогда составит:
Умножим обе части на
Видно, что часть равенства представляет собой сумму членов геометрической прогрессии, где отсюда мы получаем:
Найдем современное значение аннуитета А:
,
Умножим обе части на , тогда получим:
Т.е. верна формула взаимосвязи наращенной и современной сумм аннуитета:
, откуда:
Конверсия аннуитетов, т.е. изменение начальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному, то есть их современные величины равны к одному и тому же моменту времени:
, тогда:
2.5 Дивиденды и проценты по ценным бумагам. Доходность по операциям с ценными бумагами
Долговые ценные бумаги обычно имеют фиксированную процентную ставку и являются обязательством выполнить полную сумму долга с процентами на определенную дату в будущем. По дисконтным долговым ценным бумагам доход представляет собой скидку с номинала.
Долевые ценные бумаги представляют собой непосредственную долю держателя в реальной собственности и обеспечивают получение дивиденда в неограниченное время
Расчет доходности по облигациям:
Курс облигаций:
Доход по облигации
Ссудная ставка, эквивалентная доходу по облигациям:
Расчет доходности по акциям
Валовый доход от покупки акций
который состоит из:
Доход от дивидендов: (срок * величина дивидендов * номинал)
-разница между покупной и продажной ценами акции
Ссудная ставка, эквивалентная доходу от акции
Литература
1. Андрюшин С., Кузнецова В. Приоритеты денежно-кредитной политики центральных банков в новых условиях // Вопросы экономики. - 2011. - № 6. - С. 57 - 59.
2. Ануреев С.В. Денежно-кредитная политика, диспропорции и кризисы. - М.: Кнорус, 2009. - 448 с.
3. Баликоев В.З. Общая экономическая теория. - М.: Омега-Л, 2011. - 688 с.
4. Гусейнов Р.М., Семенихина В.А. Экономическая теория. - М.: Омега-Л, 2009. - 448 с.
5. Жученко О.А. Инструменты денежно-кредитной политики и их использование // Вестник государственного гуманитарного университета. - 2009. - № 3. - С. 65 - 73.
6. Коршунов Д.А. О построении модели общего равновесия для экономики России // Деньги и кредит. - 2011. - № 2. - С. 56 - 67.
7. Криворотова Н.Ф., Урядова Т.Н. Актуальные проблемы денежно-кредитной политики России // Terra Economicus. - 2012. - № 3. - С. 24 - 26.
8. Лукша Н. Инфляция и денежно-кредитная политика // Экономико-политическая ситуация в России. - 2012. - № 12. - С. 9 - 11.
9. Малхасян А.М. Направления совершенствования денежно-кредитной политики Российской Федерации // Финансы и кредит. - 2012. - № 43. - С. 51 - 62.
10. Матовников М.Ю. К вопросу об инструментах денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. - 2012. - № 1. - С. 32 - 34.
11. Милюков А.И., Пенкин С.А. Денежно-кредитная политика как фактор роста российской экономики // Банковское дело. - 2011. - № 9. - С. 21 - 24.
12. Улюкаев А.В. Новые вызовы денежно-кредитной политики // Деньги и кредит. - 2012. - № 11. - С. 3 - 5.
13. Челноков В.А. К вопросу о сущности, функциях и роли современных денег // Деньги и кредит. - 2010. - № 5. - С. 68 - 70.
14. Экономическая теория / Под ред. В.Д. Камаева. - М.: Владос, 2007. - 592 с.
15. Экономическая теория / Под ред. Е.Н. Лобачевой. - М.: Юрайт, 2011. - 522 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Функции денег как меры стоимости, анализ их применения как средства накопления, сбережения, платежа. Особенности мировых денег. Этапы эволюции денег в мире и России. Экономическое значение денежного обмена, роль денег в формировании экономической системы.
курсовая работа [53,0 K], добавлен 05.01.2010Рассмотрение сущности и четырех основных функций денег: мера стоимости, средство накопления (тезаврации), обращения и платежа. Теории денег, налично-денежный оборот и денежное обращение. Система безналичных расчетов. Обоснование роли денег в экономике.
курсовая работа [42,7 K], добавлен 19.02.2014История развития форм стоимости и возникновения денег. Простая и развернутая формы стоимости. Функции денег как общего эквивалента. Альтернативные концепции происхождения денег: рациональная и функциональная. Современные изменения в денежном обращении.
реферат [45,8 K], добавлен 30.01.2010Ознакомление с историей возникновения металлических, бумажных и кредитных денег. Характеристика специфических свойств денег как меры стоимости, а также как средств обращения, накопления и платежа. Определение роли денег в экономике Российской Федерации.
курсовая работа [49,4 K], добавлен 04.07.2011Исследование теоретических аспектов понятия денег, их происхождения и сущности. Изучение современных функций денег и их роли в экономике. Система организации денежного обращения России. Формы кредитных денег. Марксистская теория денег. Мировые деньги.
курсовая работа [391,1 K], добавлен 31.01.2013Понятие дивидендной политики. Учет начисления и выплаты дивидендов. Дивиденды, выплачиваемые в денежной форме. Учет дивидендов, выплачиваемых акциями. Учет дробления акций. Влияние дивидендной политики на результаты хозяйственной деятельности обществ.
курсовая работа [50,6 K], добавлен 29.10.2003Понятие и история происхождения денег, их классификация и типы. Изобретение бумажных денег, их появление и распространение в России. Выполняемые функции: средство обращения, накопления и платежа, мера стоимости. Отличия полноценных и неполноценных денег.
курсовая работа [44,9 K], добавлен 23.10.2014Расхождение кейнсианской и монетаристской теории. Внутренняя стабильность в рыночной экономике. Влияние финансовой политики и роли денег в экономике. Изменения цены на товары и услуги. Определение скорости обращения денег. Количественная теория денег.
контрольная работа [33,2 K], добавлен 16.01.2011Причины, виды и факторы инфляции. Количественная теория денег и монетаризм. Методы регулирования гиперинфляции в России: монетизация экономики, уменьшение процентных ставок Центральных банков, регулирование обязательных резервов и валютного курса.
курсовая работа [1,9 M], добавлен 20.12.2012Предмет общей экономической теории и ее методологические основы. Понятия собственности, приватизации, земельной ренты, финансовой политики. Экономическая теория товара, стоимости, денег, цены. Формирование предпринимательского капитала и его оборот.
лекция [2,3 M], добавлен 12.02.2015