1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

С помощью МНК мы получили лишь оценки параметров уравнения регрессии, которые характерны для конкретного статистического наблюдения (конкретного набора значений x и y).

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

Чтобы проверить, значимы ли параметры, т.е. значимо ли они отличаются от нуля для генеральной совокупности используют статистические методы проверки гипотез.

В качестве основной (нулевой) гипотезы выдвигают гипотезу о незначимом отличии от нуля параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности. Наряду с основной (проверяемой) гипотезой выдвигают альтернативную (конкурирующую) гипотезу о неравенстве нулю параметра или статистической характеристики в генеральной совокупности.

Проверим гипотезу H0 о равенстве отдельных коэффициентов регрессии нулю (при альтернативе H1 не равно) на уровне значимости б=0.05.

В случае если основная гипотеза окажется неверной, мы принимаем альтернативную. Для проверки этой гипотезы используется t-критерий Стьюдента.

Найденное по данным наблюдений значение t-критерия (его еще называют наблюдаемым или фактическим) сравнивается с табличным (критическим) значением, определяемым по таблицам распределения Стьюдента (которые обычно приводятся в конце учебников и практикумов по статистике или эконометрике).

Табличное значение определяется в зависимости от уровня значимости (б) и числа степеней свободы, которое в случае линейной парной регрессии равно (n-2), n-число наблюдений.

Если фактическое значение t-критерия больше табличного (по модулю), то основную гипотезу отвергают и считают, что с вероятностью (1-б) параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности значимо отличается от нуля.

Если фактическое значение t-критерия меньше табличного (по модулю), то нет оснований отвергать основную гипотезу, т.е. параметр или статистическая характеристика в генеральной совокупности незначимо отличается от нуля при уровне значимости б.

tкрит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

Поскольку 0 < 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

Поскольку 4.73 > 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(-1.0E-5 - 2.306 * 0.000764; -1.0E-5 + 2.306 * 0.000764)

(-0.00177;0.00175)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(61.21 - 2.306 * 12.93; 61.21 + 2.306 * 12.93)

(31.4;91.02)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.

Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.

Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

где m - число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости б.

2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

2.15 Дисперсионный анализ

При анализе качества модели регрессии используется теорема о разложении дисперсии, согласно которой общая дисперсия результативного признака может быть разложена на две составляющие - объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

?(yi - ycp)2 = ?(y(x) - ycp)2 + ?(y - y(x))2

где

?(yi - ycp)2 - общая сумма квадратов отклонений;

?(y(x) - ycp)2 - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

?(y - y(x))2 - остаточная сумма квадратов отклонений.

Источник вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на 1 степень свободы	F-критерий
Модель	0.00194	1	0.00194	0
Остаточная	97.94	8	12.24	1
Общая	97.95	10-1

Показатели качества уравнения регрессии.

Показатель	Значение
Коэффициент детерминации	2.0E-5
Средний коэффициент эластичности	-0.00266
Средняя ошибка аппроксимации	3.95

2) При помощи теста ранговой корреляции Спирмена.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Присвоим ранги признаку ei и фактору X.

X	ei	ранг X, dx	ранг ei, dy
15387	7.06	3	10
15325	1.56	1	6
15340	2.84	2	7
15813	4.54	4	9
16308	3.44	5	8
16727	0.65	6	3
17262	1.45	7	4
17950	1.54	8	5
18969	0.23	9	1
19490	0.38	10	2

Матрица рангов.

ранг X, dx	ранг ei, dy	(dx - dy)2
3	10	49
1	6	25
2	7	25
4	9	25
5	8	9
6	3	9
7	4	9
8	5	9
9	1	64
10	2	64
55	55	288

Проверка правильности составления матрицы на основе исчисления контрольной суммы:

Сумма по столбцам матрицы равны между собой и контрольной суммы, значит, матрица составлена правильно.

По формуле вычислим коэффициент ранговой корреляции Спирмена.

Связь между признаком ei и фактором X сильная и обратная

ВТОРОЙ ВЫВОД: Добыча нефти снижается в зависимости от времени.

3. Проверка зависимости добычи нефти от объема капиталовложений

3.1 Корреляционный анализ. Уравнение парной регрессии

Для оценки параметров б и в - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?x = ?y

a?x + b?x2 = ?y*x

Для наших данных система уравнений имеет вид

10a + 963529 b = 610500

963529 a + 112094728619 b = 58943885800

Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии:

b = 0.00625, a = 60447.3406

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.00625 x + 60447.3406

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1)

X	Y	x2	y2	x * y
37211	54000	1384658521	2916000000	2009394000
42368	59500	1795047424	3540250000	2520896000
52361	63900	2741674321	4083210000	3345867900
68516	65600	4694442256	4303360000	4494649600
88133	64500	7767425689	4160250000	5684578500
96333	61700	9280046889	3806890000	5943746100
128903	59600	16615983409	3552160000	7682618800
137861	59500	19005655321	3540250000	8202729500
146258	60800	21391402564	3696640000	8892486400
165585	61400	27418392225	3769960000	10166919000
963529	610500	112094728619	37368970000	58943885800

Х - капиталовложения, Y - добыча нефти

Рис.6. Поле корреляции

1. Параметры уравнения регрессии

Выборочные средние.



Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

3.2 Коэффициент корреляции

Ковариация

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

0.1 < rxy < 0.3: слабая;

0.3 < rxy < 0.5: умеренная;

0.5 < rxy < 0.7: заметная;

0.7 < rxy < 0.9: высокая;

0.9 < rxy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X слабая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

3.3 Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии)

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.00625 x + 60447.34

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.00625 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.00625.

Коэффициент a = 60447.34 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Подставив в уравнение регрессии соответствующие значения х, можно определить выровненные (предсказанные) значения результативного показателя y(x) для каждого наблюдения.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 - прямая связь, иначе - обратная). В нашем примере связь прямая.

Ошибка аппроксимации.

Поскольку ошибка меньше 7%, то данное уравнение можно использовать в качестве регрессии.

Эмпирическое корреляционное отношение.

Где

Индекс корреляции.

Для линейной регрессии индекс корреляции равен коэффициенту корреляции rxy = 0.0877.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x не существенно влияет на y

Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

Данный коэффициент является универсальным, так как отражает тесноту связи и точность модели, а также может использоваться при любой форме связи переменных. При построении однофакторной корреляционной модели коэффициент множественной корреляции равен коэффициенту парной корреляции rxy.

В отличие от линейного коэффициента корреляции он характеризует тесноту нелинейной связи и не характеризует ее направление. Изменяется в пределах [0;1].

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции rxy.

3.4 Коэффициент детерминации

R2= 0.08772 = 0.00769

т.е. в 0.77 % случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами - точность подбора уравнения регрессии - низкая. Остальные 99.23 % изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)

x	y	y(x)	(yi-ycp)2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
37211	54000	60680.08	49702500	44623529.82	3497764335.61	0.12
42368	59500	60712.34	2402500	1469768.53	2914369428.01	0.0204
52361	63900	60774.84	8122500	9766603.63	1935287265.61	0.0489
68516	65600	60875.89	20702500	22317231.7	774893001.61	0.072
88133	64500	60998.59	11902500	12259893.63	67566756.01	0.0543
96333	61700	61049.88	422500	422661.82	396.01	0.0105
128903	59600	61253.59	2102500	2734364.64	1059509010.01	0.0277
137861	59500	61309.62	2402500	3274728.63	1722922365.61	0.0304
146258	60800	61362.14	62500	316003.55	2490519006.01	0.00925
165585	61400	61483.03	122500	6893.43	4793083670.41	0.00135
963529	610500	610500	97945000	97191679.38	19255915234.9	0.4

3.5 Оценка параметров уравнения регрессии. Значимость коэффициента корреляции

Для того чтобы при уровне значимости б проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции нормальной двумерной случайной величины при конкурирующей гипотезе H1 ? 0, надо вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости б и числу степеней свободы k = n - 2 найти критическую точку tкрит двусторонней критической области. Если tнабл < tкрит оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если |tнабл| > tкрит -- нулевую гипотезу отвергают.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости б=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:

tкрит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

где m = 1 - количество объясняющих переменных.

Если tнабл > tкритич, то полученное значение коэффициента корреляции признается значимым (нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляции, отвергается).

Поскольку tнабл < tкрит, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента корреляции. Другими словами, коэффициент корреляции статистически - не значим

В парной линейной регрессии t2r = t2b и тогда проверка гипотез о значимости коэффициентов регрессии и корреляции равносильна проверке гипотезы о существенности линейного уравнения регрессии.

3.6 Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал)

Доверительный интервал для коэффициента корреляции

r(-0.64;0.81)

3.7 Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 12148959.92 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 3485.54 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

3.8 Доверительные интервалы для зависимой переменной (добыча нефти)

Экономическое прогнозирование на основе построенной модели предполагает, что сохраняются ранее существовавшие взаимосвязи переменных и на период упреждения. Для прогнозирования зависимой переменной результативного признака необходимо знать прогнозные значения всех входящих в модель факторов.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bxp ± е)

Где

tкрит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 5

(60447.34 + 0.00625*5 ± 6132.26)

(54315.11;66579.63)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

3.9 Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

tкрит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306



Поскольку 0.25 < 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом b можно пренебречь.

Поскольку 22.73 > 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)

(0.00625 - 2.306 * 0.0251; 0.00625 + 2.306 * 0.0251)

(-0.0517;0.0642)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента b статистически незначима.

(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)

(60447.34 - 2.306 * 2659.38; 60447.34 + 2.306 * 2659.38)

(54314.82;66579.87)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Поскольку фактическое значение F < Fтабл, то коэффициент детерминации статистически не значим (Найденная оценка уравнения регрессии статистически не надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

Дисперсионный анализ

Источник вариации	Сумма квадратов	Число степеней свободы	Дисперсия на 1 степень свободы	F-критерий
Модель	753320.62	1	753320.62	0.062
Остаточная	97191679.38	8	12148959.92	1
Общая	97945000	0,1

ВЫВОД

Проведенный расчет позволяет сделать вывод о том, что в целом объем добычи слабо зависит от капитовложений. При этом отмечается прямая зависимость.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В состав нефтяной компании «Сургутнефтегаз» вошло нефтегазодобывающее предприятие «Сургутнефтегаз», Киришский нефтеперерабатывающий завод и ряд предприятий нефтепродуктообеспечения на Северо-Западе России.

Достаточно сложно было за короткий срок из разных и по структуре, и по техническому уровню подразделений, находящихся за сотни и тысячи километров друг от друга, создать единый технологический комплекс, который не просто обеспечивал бы объемы добычи, переработки сырья и сбыта, но работал бы эффективно и прибыльно.

Основополагающим для Компании стал ориентир на консолидацию активов на территории России, поддержание ресурсной базы и сохранение производственных мощностей и коллективов предприятий, вошедших в состав акционерного общества. Сургутнефтегаз преодолел все сложности организационного периода и стал самодостаточной, успешно управляемой, эффективно работающей и высокотехнологичной топливно-энергетической Компанией, обеспечивающей полный цикл нефтегазодобычи, переработки нефти, газа, выработки на его основе собственной электроэнергии, получения готового продукта и сырья для нефтехимии.

Технические, технологические и финансово-хозяйственные методики, применяемые в Компании в новых экономических условиях, позволяли преодолевать мировые финансово-экономические потрясения, обеспечивая при этом стабильные темпы производства, создавая и укрепляя научный и кадровый потенциал.

Высокопрофессиональный коллектив акционерного общества научился максимально эффективно оперировать природными, материальными и трудовыми ресурсами во благо развития надежного материально-сырьевого потенциала, совершенствования всех бизнес-процессов, обязательного соблюдения интересов акционеров и динамичного роста капитализации Компании. В планировании и управлении деятельностью подразделений

Компания всегда придерживалась принципа устойчивого развития, комплексного подхода к решению производственных, экономических, социальных и экологических задач. В результате все направления деятельности Компании - от разведочного бурения до сбыта топлива - достигли качественно нового уровня развития.

В частности, накопленный богатый опыт работы по добыче трудноизвлекаемых запасов с использованием 40 передовых методов повышения нефтеотдачи пластов, внедрение новой техники и технологий нефтедобычи позволяют сегодня повышать эффективность эксплуатации действующих месторождений, а также включать в разработку недоступные при обычных технологиях добычи запасы углеводородов.

Список литературы

1. Эконометрика: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2011, с. 90..176.

2. Магнус Я.Р., Катышев П.К., Пересецкий А.А. Эконометрика. Начальный курс. Учебное пособие. - 2-е изд., испр. - М.: Дело,2008, с. 43..124.

3. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 2012, с. 49..105.

Размещено на Allbest.ru