Оценка эффективности и риска лизинговых операций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оценка эффективности и риска лизинговых операций

1. Лизинг

1.1 Понятие и виды лизинга

Лизинг - это вид предпринимательской деятельности, направленной на инвестирование временно свободных или привлеченных финансовых средств, когда по договору финансовой аренды (лизинга) арендодатель (лизингодатель) обязуется приобрести в собственность обусловленное договором имущество у определенного продавца и предоставить это имущество арендатору (лизингополучателю) за плату во временное пользование для предпринимательских целей [1].

Любое определение лизинга является ограниченным и не может учесть всех форм проявления этого нового кредитного инструмента, но все-таки можно привести еще одно - определение Европейской федерации национальных ассоциаций по лизингу оборудования: «Лизинг - это договор аренды завода, промышленных товаров, оборудования, недвижимости для использования их в производственных целях арендатором, в то время как товары покупаются арендодателем, и он сохраняет за собой право собственности».

Лизинг представляет собой соглашение между собственником имущества (арендодателем) и арендатором о передаче имущества в пользование на оговоренный период по установленной ренте, выплачиваемой ежегодно, ежеквартально или ежемесячно.

Лизинг различают оперативный и финансовый.

Оперативный лизинг подразумевает передачу в пользование имущества многоразового использования на срок по времени короче его экономического срока службы. Он характеризуется небольшой продолжительностью контракта (до 3 - 5 лет) и неполной амортизацией оборудования за время аренды. После истечения срока оборудование может стать объектом нового лизингового контракта или возвращается арендодателю. Обычно в оперативный лизинг сдается строительная техника (например, экскаваторы), транспорт, ЭВМ и т.д.

Финансовый лизинг характеризуется длительным сроком контракта (от 5 до 10 лет) и амортизацией всей или большей части стоимости оборудования. Фактически финансовый лизинг представляет собой форму долгосрочного кредитования покупки. По истечении срока действия финансового лизингового контракта арендатор может вернуть объект аренды, продлить соглашение или заключить новое, а также купить объект лизинга по остаточной стоимости.

По объектам сделок лизинг подразделяется на лизинг движимого и недвижимого имущества. При лизинге недвижимости арендодатель строит или покупает недвижимость по поручению арендатора и предоставляет ему использование в коммерческих и производственных целях. Так же, как и в сделках с движимым имуществом, контракт заключается обычно на срок меньший или равный амортизационному периоду объекта; арендатор несет все риски, расходы и налоги во время действия контракта.

По отношению к арендуемому имуществу можно выделить договор чистого лизинга, когда дополнительные расходы по обслуживанию арендуемого имущества берет на себя арендатор, и договор полного лизинга, по которому арендодатель берет на себя техническое обслуживание и другие расходы, связанные с использованием объекта сделки.

Исходя из особенностей организации отношений между заемщиком и сдающим в наем выделяется прямой лизинг, когда изготовитель или владелец имущества выступает в качестве лица, сдающего его в аренду, и косвенный, при котором сдача в аренду ведется через третье лицо.

По методу финансирования различается срочный лизинг, при котором осуществляется одноразовая аренда, и возобновляемый (револьверный), при котором договор лизинга продолжается по истечении первого срока контракта.

На практике применяются и другие виды лизинга.

Возвратный лизинг (lease-back). Заключается в продаже промышленным предприятием части его собственного имущества лизинговой компании с одновременным подписанием договора об его аренде. В такой операции только два участника: арендатор имущества (бывший владелец) и лизинговая компания (новый владелец). Такая сделка дает возможность предприятию получить денежные средства за счет продажи средств производства, не прекращая их эксплуатацию, и использовать их для новых капитальных вложений. Рентабельность данной операции будет тем выше, чем доходы от новых инвестиций больше суммы арендных платежей. Операции возвратного лизинга вызывают уменьшение баланса предприятия, т. к. они ведут к изменению собственника имущества.

К такой сделке можно прибегать и тогда, когда у предприятия довольно низкий уровень доходов, и, следовательно, оно не может полностью воспользоваться льготами по ускоренной амортизации и налогообложению прибыли. Оно совершает сделку, и лизинговая компания получает его налоговые льготы. В ответ она снижает ставку арендной платы.

Так как часто лизинговой компании не хватает собственных средств для осуществления лизинговых операций, то она может привлекать их. Такая операция получила название лизинга с дополнительным привлечением средств. Подсчитано, что свыше 85% всех лизинговых сделок являются лизингом с привлечением средств. Арендодатель берет долгосрочную ссуду у одного или нескольких кредиторов на сумму до 80% стоимости сдаваемых в аренду активов (без права регресса на арендатора), причем арендные платежи и оборудование служит обеспечением ссуды.

Часто лизинг осуществляется не напрямую, а через посредника. Основной арендодатель получает преимущественное право на получение арендных платежей. В договоре обычно обуславливается, что в случае банкротства третьего звена (посредника) арендная плата будет поступать основному арендодателю непосредственно. Подобные сделки получили название «сублизинг».

Разновидностью лизинга стали сделки «дабл дин», применяемые в международной сфере. Их смысл заключается в комбинации налоговых выгод в двух и более странах. Например, в начале 80-х годов приобретение ряда самолетов было кредитовано через «дабл дин» между США и Великобританией. Выгоды от налоговых льгот в Великобритании больше, если арендодатель имеет право собственности, а в США - если арендодатель имеет только право владения. Лизинговая компания в Великобритании покупает самолет, отдает его в аренду американской лизинговой компании, а та, в свою очередь - местным авиакомпаниям. Такого рода сделки могут осуществляться между Францией и ФРГ, Францией и США, Японией и США и т.д.

В последнее время получила распространение практика заключения соглашения между производителями оборудования и лизинговыми компаниями. В соответствии с этими соглашениями производитель от лица лизинговой компании предлагает клиентам финансирование поставок своей продукции с помощью лизинга. Таким образом, лизинговая компания использует торговую сеть поставщика, а поставщик расширяет границы сбыта продукции. Эти сделки, получившие название «помощь в продаже» (sales-aid).

При постоянном и тесном сотрудничестве предприятий с лизинговыми компаниями возможно заключение соглашений по предоставлению «лизинговой линии» (lease-line). Эти соглашения аналогичны банковским кредитным линиям и позволяют арендатору брать дополнительное оборудование в лизинг без заключения каждый раз нового контракта.

1.2 Особенности лизинга

Причиной широкого распространения лизинга является ряд его преимуществ перед обычным кредитом:

- Лизинг предполагает 100%-ное кредитование и не требует немедленного начала платежей. При использовании обычного кредита для покупки имущества предприятие должно было бы около 15% стоимости покупки оплачивать за счет собственных средств. При лизинге контракт заключается на полную стоимость имущества. Арендные платежи обычно начинаются после поставки имущества арендатору, либо позже;

- Гораздо проще получить контракт по лизингу, чем кредит. Особенно это относится к мелким и средним предприятиям. Некоторые лизинговые компании даже не требуют от арендатора никаких дополнительных гарантий. Предполагается, что обеспечением сделки служит само оборудование. При невыполнении арендатором своих обязательств лизинговая компания сразу же забирает свое имущество;

- Лизинговое соглашение более гибко, чем ссуда. Ссуда всегда предлагает ограниченные сроки и размеры погашения. При лизинге арендатор может рассчитывать поступление своих доходов и выработать с арендодателем соответствующую, удобную для него схему финансирования. Платежи могут быть ежемесячными, ежеквартальными и т.д., суммы платежей могут отличаться друг от друга. Иногда погашение может осуществляться после получения выручки от реализации товаров, произведенных на оборудовании, взятом в лизинг. Ставка может быть фиксированной и плавающей;

- В случае лизинга арендатор может использовать сразу гораздо больше производственных мощностей, чем при покупке. Временно высвобожденные благодаря лизингу деньги он может пустить на какие-либо другие цели;

- Так как лизинг долгое время служил средством реализации продукции и развития производства, то государственная политика, как правило, направлена на поощрение и расширение лизинговых операций;

- Преимущества учета арендуемого имущества. Основными принципами Евролиза (Leaseurope - ассоциация европейских лизинговых компаний) по учету лизинговых операций является опубликование арендатором своих финансовых обязательств, вытекающих из лизинговых соглашений;

Считается, что опубликование арендатором своих обязательств будет играть важную роль в оценке его финансового положения. Цифровая информация по обязательствам на дату составления баланса должна удовлетворить все запросы третьих сторон. Эта публикация может быть сделана в форме приложения к балансу.

Во многих странах законодательство устанавливает для предприятий обязательное соотношение собственного и заемного капитала. Так как имущество по лизинговой сделке будет учитываться по балансу арендодателя, то арендатор может расширить свои производственные мощности, не затронув соотношения.

Несколько слов можно сказать и о недостатках лизинга:

- Если оборудование взято в финансовый лизинг и оно с течением времени устарело до окончания действия лизингового договора, то лизингополучатель продолжает платить арендные платежи до конца контракта;

- При оперативном лизинге риск устаревшего оборудования ложится на арендодателя, который вынужден брать за это большую плату с лизингополучателя;

- Еще одним недостатком финансового лизинга является то, что в случае выхода оборудования из строя, платежи производятся в установленные сроки, независимо от состояния оборудования;

- Если объектом лизингового договора является крупный и уникальный объект, то в связи с большим разнообразием условий арендных сделок подготовка договоров об их лизинге требует значительного времени и средств.

1.3 Риски, возникающие при лизинговых операциях

Лизинговые операции являются рисковыми, как и другие банковские операции. В зависимости от вида лизинговые риски можно классифицировать следующим образом.

Маркетинговые риски - риск не найти арендатора на все имеющееся оборудование. Он присущ в основном оперативному лизингу. Способом страхования является увеличение рисковой премии в лизинговом платеже; использование для сделок наиболее популярных видов оборудования и другой техники; продажа объекта сделки по окончании лизингового договора с учетом конъюнктуры рынка.

Риск ускоренного морального старения объекта сделки. Поскольку объектами лизинговых сделок, как правило, выступает продукция наукоемких отраслей, то они часто подвержены влиянию научно-технического прогресса. Основным способом минимизации этого риска является установление безотзывного периода, т.е. периода, в течение которого договор не может быть расторгнут.

Ценовой риск - риск потенциальной потери прибыли, связанный с изменением цены объекта лизинговой сделки в течение срока действия лизингового договора. Лизингодатель теряет потенциальную прибыль в случае повышения цен на объекты лизинговых сделок, заключенных по старым ценам. Лизингополучатель терпит убытки при падении цен на арендованное по старым ценам оборудование. Взаимная минимизация этого риска осуществляется путем установления фиксированной суммы каждого лизингового платежа на протяжении всего периода лизингового договора.

Риск гибели или невозможности дальнейшей эксплуатации - минимизируется путем страхования объекта сделки.

Риск несбалансированной ликвидности - возможность финансовых потерь, возникающих в случае, когда лизингодатель не в состоянии рефинансировать свои активные операции, сроки платежей по которым не наступили, за счет привлечения средств на рынке ссудных капиталов. Минимизация достигается путем увязки потоков денежных средств во времени и по объемам; создания резервного фонда; диверсификации пассивных операций.

Риск неплатежа - риск неуплаты лизингополучателем лизинговых платежей. Минимизация основана на анализе финансового положения лизингополучателя, лимитировании суммы одного лизингового договора, получении гарантий от третьих лиц, страховании риска неплатежа.

Процентный риск - опасность потерь, возникающих в результате превышения процентных ставок, выплаченных лизинговой компанией по банковским кредитам, над ставками, предусмотренными лизинговым договором. Снижение осуществляется путем купли-продажи финансовых фьючерсов или заключения сделки «процентный своп».

Валютный риск - возможность потерь в результате колебания валютных курсов. Минимизируются подобно процентному риску.

Политические и юридические риски тесно связаны между собой. Наиболее ярко проявляются при осуществлении международных лизинговых операций.

Политический риск - опасность финансовых потерь, связанных с изменением политической ситуации в стране, забастовками, изменением государственной экономической политики и т.п.

Юридический риск связан с потерями, возникающими в результате изменения законодательных актов.

Способы управления политическими и юридическими рисками:

анализ особенностей политической ситуации и налогового законодательства страны пребывания лизингополучателя;

увеличение рисковой премии пропорционально предполагаемой величине рисков;

межправительственные соглашения по гарантии инвестиций.

Согласно ст. 21 Закона «О лизинге» предмет лизинга может быть застрахован от рисков утраты (гибели), недостачи или повреждения имущества с момента поставки его продавцом и до момента окончания срока действия договора лизинга. При этом стороны, исполняющие обязанности страхователя и выгодоприобретателя, а также сроки страхования определяются договором лизинга. Таким образом, наиболее вероятно, что на практике время уплаты страховых взносов будет возложено на лизингополучателя, а выгодоприобретателем станет лизингодатель, учитывая, что предмет лизинга находится в течение действия договора лизинга в собственности лизингодателя [3].

1.4 Лизинговые контракты

Лизинг - операция, отличающаяся довольно сложной организацией. Во многих сделках имеют место как минимум три контракта[6]:

- между арендатором и арендодателем;

- между поставщиком и арендодателем;

- между арендодателем и его банком.

Обычно перед началом сделки производится тщательный анализ клиента, в который входит:

- оценка клиента по его способности выплатить арендные платежи и по его предварительным доходам от использования арендуемого оборудования;

- оценка товаров (спрос на них с точки зрения возможной перепродажи).

Если это международный лизинг, то особенно важны: выбор валюты контракта, оценка риска изменения курса валюты, таможенный режим арендатора, налог на фирму, применяемый к арендодателю, наличие соглашений о неприменении двойного налогообложения между странами, защита права собственности иностранного арендодателя в стране арендатора.

При лизинге с дополнительным привлечением средств особенно остро встают вопросы залогового права, страхования, различного рода гарантий. Важны также вопросы предоставления технических гарантий производителем.

Существуют три варианта приобретения оборудования при лизинге:

- арендодатель платит поставщику и передает арендатору право пользования;

- арендатор может договориться о поставке оборудования и тут же продать его арендодателю (но поставщику платит арендатор);

- арендодатель назначает арендатора своим агентом по заказу товара у поставщика.

В первом варианте арендодатели часто не хотят, чтобы поставщик был поставлен в известность о переуступке, так как они опасаются, что это может сказаться на их взаимоотношениях. Во втором варианте арендодатель должен быть уверен, что покупка сделана правильно, т.е. что товар нигде не заложен, не обложен комиссиями и т.д. В третьем случае надо учитывать, что если арендатор действует как агент, то он будет отвечать в случае банкротства арендодателя.

Арендодатель должен быть уверен, что как только поставщик поставит товар, арендатор будет готов принять его, следить за ним и платить за него аренду. Поэтому лизинговая компания особенно заинтересована в тесном сотрудничестве с арендатором и в заключении так называемых «генеральных соглашений» с ним. На протяжении всего контракта лизинговая компания осуществляет контроль за правильным использованием оборудования.

В лизинге очень важна гарантия того, что к концу контракта оборудование будет иметь определенную остаточную стоимость. Для этого существует система страхования остаточной стоимости.

Погашение лизинговых обязательств может происходить как в денежной, так и в другой форме. Так, при лизинге в развивающихся странах часто используются элементы бартерной сделки. В счет арендных платежей идет товар, производимый арендатором (нефть, алмазы, кожа и т.д.). Но здесь нужно привлекать третью сторону, которая будет заниматься продажей этих товаров за свободно конвертируемую валюту.

Необходимо отметить, что в области лизинга движимого имущества за последние годы были выработаны, хотя и с некоторыми нюансами, стандартные типы контрактов, в то время как в области лизинга недвижимого имущества отдельные пункты контрактов составляются, как правило, в индивидуальном порядке с учетом величины объектов и более продолжительных сроков действия заключаемых контрактов. Однако практически любой лизинговый контракт должен включать в себя следующие элементы.

- Объект;

- Срок поставки;

- Срок аренды;

- Право собственности арендодателя;

- Риски, ответственность, техгарантии;

- Использование оборудования;

- Уход, ремонт и модификации;

- Убытки, несчастные случаи;

- Страхование;

- Арендные платежи, комиссии;

- Пени за просрочку платежей;

- Возможность покупки;

- Условия расторжения договора;

- Возврат оборудования;

- Налоги, пошлины;

- Появление новых обстоятельств;

- Дополнительные права сторон;

- Улаживание споров и арбитраж;

- Задерживающие условия (контракт вступает в силу лишь по получении гарантий и т.д.);

- Обязательства предоставить необходимую информацию (например, баланс);

- Подписи сторон и тех, кто впоследствии будет правопреемником;

- Адрес нахождения сторон;

- Гарантия остаточной стоимости;

- Гарантия банка.

1.5 Субъекты и объекты лизинговых отношений

В лизинговой сделке обычно участвуют несколько субъектов:

- Лизингодатель - физическое или юридическое лицо, которое за счет привлеченных или собственных денежных средств приобретает в ходе реализации лизинговой сделки в собственность имущество и предоставляет его в качестве предмета лизинга лизингополучателю за определенную плату, на определенный срок и на определенных условиях во временное владение и в пользование с переходом или без перехода к лизингополучателю права собственности на предмет лизинга.

- Лизингополучатель - физическое или юридическое лицо, которое в соответствии с договором лизинга обязано принять предмет лизинга за определенную плату, на определенный срок и на определенных условиях во временное владение и в пользование в соответствии с договором лизинга.

- Продавец имущества (поставщик) - физическое или юридическое лицо, которое в соответствии с договором купли-продажи с лизингодателем продает лизингодателю в обусловленный срок производимое (закупаемое) им имущество, являющееся предметом лизинга. Продавец (поставщик) обязан передать предмет лизинга лизингодателю или лизингополучателю в соответствии с условиями договора купли-продажи.

- Банк (или другое кредитное учреждение), предоставляющее средства на приобретение предмета договора.

На рынке лизинговых услуг можно выделить и специальные субъекты, такие как:

- Страховые компании, осуществляющие страхование всевозможных рисков, возникающих при лизинговой сделке: страхование имущества лизингодателя, кредитов, предоставляемых лизингодателю кредитным учреждением, от возможных рисков неплатежей и многое другое.

- Российская Ассоциация Лизинговых Компаний («Рослизинг»), некоммерческое объединение лизинговых компаний, банков и иных предприятий, занимающихся лизингом, осуществляющая:

- координацию деятельности организаций, входящих в нее, и объединение их средств для осуществления совместных взаимовыгодных проектов;

- разработку, совместно с органами государственного управления, стратегических направлений и программы развития лизинга в России;

- подготовку проектов законодательных актов;

- участие в работе международных ассоциативных общественных организаций.

Любой из субъектов лизинга может быть резидентом Российской Федерации, нерезидентом Российской Федерации, а также субъектом предпринимательской деятельности с участием иностранного инвестора, осуществляющим свою деятельность в соответствии с законодательством Российской Федерации.

Изучение состояния финансового лизинга в развитых странах позволяет выделить основные группы оборудования, сдаваемого в лизинг:

- Транспортное (транспортные самолеты, автомобили, морские суда, железнодорожные вагоны и т.п.).

- Оборудование связи (радиостанции, почтовое оборудование и т.п.).

- Сельскохозяйственное оборудование.

2. Оценка лизинговых операций на основе нечетких продукционных систем

2.1 Введение в нечеткие множества

Теория нечетких множеств, основные идеи которой были предложены американским математиком Лотфи Заде (Lotfi Zadeh) более 50 лет назад, позволяет описывать качественные, неточные понятия и наши знания об окружающем мире, а также оперировать этими знаниями с целью получения новой информации. Ocнованные на этой теории методы построения информационных моделей существенно расширяют традиционные области применения компьютеров и образуют самостоятельное направление научноприкладных исследований, которое получило специальное название нечеткое моделирование [5].

Нечеткая логика, которая служит основой для реализации методов нечеткого управления, более естественно описывает характер человеческого мышления и ход его рассуждений, чем традиционные формально-логические системы. Именно поэтому изучение и использование математических средств для представления нечеткой исходной информации позволяет строить модели, которые наиболее адекватно отражают различные аспекты неопределенности, постоянно присутствующей в окружающей нас реальности.

2.2 Основные термины определения

Понятие нечеткого множества - эта попытка математической формализации нечеткой информации для построения математических моделей. В основе этого понятия лежит представление о том, что составляющие данное множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно принадлежать к данному множеству с различной степенью [4]. При таком подходе высказывания типа «такой-то элемент принадлежит данному множеству» теряют смысл, поскольку необходимо указать «насколько сильно» или с какой степенью конкретный элемент удовлетворяет свойствам данного множества.

Определение 1. Нечетким множеством (fuzzy set)  на универсальном множестве U называется совокупность пар (), где  - степень принадлежности элемента  к нечеткому множеству . Степень принадлежности - это число из диапазона [0, 1]. Чем выше степень принадлежности, тем в большей мерой элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Определение 2. Функцией принадлежности (membership function) называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Если универсальное множество состоит из конечного количества элементов , тогда нечеткое множество записывается в виде . В случае непрерывного множества U используют такое обозначение 

Примечание: знаки  и  в этих формулах означают совокупность пар  и u.

Определение 3. Лингвистической переменной (linguistic variable) называется переменная, значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.

Определение 4. Терм-множеством (term set) называется множество всех возможных значений лингвистической переменной.

Определение 5. Термом (term) называется любой элемент терм-множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Определение 6. Дефаззификацией (defuzzification) называется процедура преобразования нечеткого множества в четкое число.

В теории нечетких множеств процедура дефаззификации аналогична нахождения характеристик положения (математического ожидания, моды, медианы) случайных величин в теории вероятности. Простейшим способом выполнения процедуры дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимуму функции принадлежности. Однако пригодность этого способа ограничивается лишь одноэкстремальными функциями принадлежности. Для многоэкстремальных функций принадлежности в Fuzzy Logic Toolbox запрограммированы такие методы дефаззификации:

Centroid - центр тяжести;

Bisector - медиана;

LOM (Largest Of Maximums) - наибольший из максимумов;

SOM (Smallest Of Maximums) - наименьший из максимумов;

Mom (Mean Of Maximums) - центр максимумов.

Определение 7. Дефаззификация нечеткого множества по методу центра тяжести осуществляется по формуле

.

Физическим аналогом этой формулы является нахождение центра тяжести плоской фигуры, ограниченной осями координат и графиком функции принадлежности нечеткого множества. В случае дискретного универсального множества дефаззификация нечеткого множества  по методу центра тяжести осуществляется по формуле

.

Определение 8. Дефаззификация нечеткого множества  по методу медианы состоит в нахождении такого числа a, что

.

Геометрической интерпретацией метода медианы является нахождения такой точки на оси абцисс, что перпендикуляр, восстановленный в этой точке, делит площадь под кривой функции принадлежности на две равные части. В случае дискретного универсального множества дефаззификация нечеткого множества  по методу медианы осуществляется по формуле

.

Определение 9. Дефаззификация нечеткого множества по методу центра максимумов осуществляется по формуле:

,

где G - множество всех элементов из интервала , имеющих максимальную степень принадлежности нечеткому множеству .

В методе центра максимумов находится среднее арифметическое элементов универсального множества, имеющих максимальные степени принадлежностей. Если множество таких элементов конечно, то формула из определения 9 упрощается к следующему виду:

,

где  - мощность множества G.

В дискретном случае дефаззификация по методам наибольшего из максимумов и наименьшего из максимумов осуществляется по формулам  и , соответственно. Из последних трех формулы видно, что если функция принадлежности имеет только один максимум, то его координата и является четким аналогом нечеткого множества.

Определение 10. Нечеткой базой знаний (fuzzy knowledge base) о влиянии факторов  на значение параметра y называется совокупность логических высказываний типа:

- ЕСЛИ 

- ИЛИ  …

- ИЛИ ,

- ТО , для всех ,

где  - нечеткий терм, которым оценивается переменная  в строчке с номером jp ();

- количество строчек-конъюнкций, в которых выход y оценивается нечетким термом , ;

- количество термов, используемых для лингвистической оценки выходного параметра y.

С помощью операций  (ИЛИ) и  (И) нечеткую базу знаний из определения 10 перепишем в более компактном виде:

  (1)

Определение 11. Нечетким логическим выводом (fuzzy logic inference) называется апроксимация зависимости  с помощью нечеткой базы знаний и операций над нечеткими множествами.

Пусть  - функция принадлежности входа  нечеткому терму , , , , т.е. ;  - функция принадлежности выхода y нечеткому терму , , т.е. . Тогда степень принадлежности конкретного входного вектора   нечетким термам из базы знаний (1) определяется следующей системой нечетких логических уравнений:

, (2)

где  - операция максимума (минимума).

Нечеткое множество , соответствующее входному вектору , определяется следующим образом:

, (3)

где  - операция объединения нечетких множеств.

Четкое значение выхода y, соответствующее входному вектору  определяется в результате деффаззификации нечеткого .

2.3 Свойства нечетких множеств

Определение 12. Высотой нечеткого множества  называется верхняя граница его функции принадлежности: . Для дискретного универсального множества супремум становится максимумом, а значит высотой нечеткого множества будет максимум степеней принадлежности его элементов.

Определение 13. Нечеткое множество  называется нормальным, если его высота равна единице. Нечеткие множества не являющиеся нормальными называются субнормальными.

Нормализация - преобразование субнормального нечеткого множества в нормальное определяется так: . В качестве примера (Рисунок 1) показана нормализация нечеткого множества  с функцией принадлежности .

Рисунок 1 - Нормализация нечеткого множества

Определение 14. Носителем нечеткого множества  называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют ненулевые степени принадлежности: .

Определение 15. Нечеткое множество называется пустым, если его носитель является пустым множеством.

Определение 16. Ядром нечеткого множества  называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют степени принадлежности равные единице: . Ядро субнормального нечеткого множества пустое.

Определение 17. -сечением (или множеством -уровня) нечеткого множества  называется четкое подмножество универсального множества , элементы которого имеют степени принадлежности большие или равные : , . Значение  называют -уровнем. Носитель (ядро) можно рассматривать как сечение нечеткого множества на нулевом (единичном) -уровне.

Рисунок 2 иллюстрирует определения носителя, ядра, -сечения и -уровня нечеткого множества.

Рисунок 2 - Ядро, носитель и -сечение нечеткого множества

Определение 18. Нечеткое множество называется выпуклым если: , , . Альтернативное определение: нечеткое множество будет выпуклым, если все его -сечения - выпуклые множества. (Рисунок 3) приведены примеры выпуклого и невыпуклого нечетких множеств.

Рисунок 3 - К определению выпуклого нечеткого множества

Определение 19. Нечеткие множества  и  равны () если .

2.4 Операции над нечеткими множествами

Определения нечетких теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения могут быть обобщены из обычной теории множеств. В отличие от обычных множеств, в теории нечетких множеств степень принадлежности не ограничена лишь бинарной значениями 0 и 1 - она может принимать значения из интервала [0, 1]. Поэтому, нечеткие теоретико-множественные операции могут быть определены по-разному. Ясно, что выполнение нечетких операций объединения, пересечения и дополнения над не нечеткими множествами должно дать такие же результаты, как и при использование обычных канторовских теоретико-множественных операций. Ниже приведены определения нечетких теоретико-множественных операций, предложенных Л. Заде.

Определение 20. Дополнением нечеткого множества  заданного на  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности  для всех . (Рисунок 4) приведен пример выполнения операции нечеткого дополнения.

Рисунок 4 - Дополнение нечеткого множества

Определение 21. Пересечением нечетких множеств  и  заданных на  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности  для всех . Операция нахождения минимума также обозначается знаком , т.е. .

Определение 22. Объединением нечетких множеств  и  заданных на  называется нечеткое множество  с функцией принадлежности  для всех . Операция нахождения максимума также обозначается знаком , т.е. .

Обобщенные определения операций нечеткого пересечения и объединения - треугольной нормы (t-нормы) и треугольной конормы (t-конормы или s-нормы) приведены ниже.

Определение 23. Треугольной нормой (t-нормой) называется бинарная операция  на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых :

- (граничное условие);

- если  (монотонность);

- (коммутативность);

- (ассоциативность).

Наиболее часто используются такие t-нормы: пересечение по Заде - ; вероятностное пересечение - ; пересечение по Лукасевичу - . Примеры выполнения пересечения нечетких множеств с использованием этих t-норм показаны (Рисунок 5).

Рисунок 5 - Пересечение нечетких множеств с использованием различных t-норм

Определение 25. Треугольной конормой (s-нормой) называется бинарная операция  на единичном интервале , удовлетворяющая следующим аксиомам для любых :

1.  (граничное условие);

2.  если  (монотонность);

3.  (коммутативность);

4.  (ассоциативность).

Наиболее часто используются такие s-нормы: объединение по Заде - ; вероятностное объединение - ; объединение по Лукасевичу - . Примеры выполнения объединения нечетких множеств с использованием этих s-норм показаны (Рисунок 6).

Наиболее известные треугольные нормы приведены в Таблице 1.

Рисунок 6 - Объединение нечетких множеств с использованием различных s-норм

Таблица 1 - Примеры треугольных норм

		Параметр
		-
		-
		-
		-

2.5 Нечеткая арифметика

В этом разделе рассматриваются способы расчета значений четких алгебраических функций от нечетких аргументов. Материал основывается на понятиях нечеткого числа и принципа нечеткого обобщения. В конце раздела приводятся правила выполнения арифметических операций над нечеткими числами.

Определение 25. Нечетким числом называется выпуклое нормальное нечеткое множество с кусочно-непрерывной функцией принадлежности, заданное на множестве действительных чисел. Например, нечеткое число «около 10» можно задать следующей функцией принадлежности:

.

Определение 26. Нечеткое число  называется положительным (отрицательным) если ,  ().

Определение 27. Принцип обобщения Заде. Если  - функция от n независимых переменных и аргументы  заданы нечеткими числами , соответственно, то значением функции называется нечеткое число  с функцией принадлежности:

.

Принцип обобщения позволяет найти функцию принадлежности нечеткого числа, соответствующего значения четкой функции от нечетких аргументов. Компьютерно-ориентированная реализация принципа нечеткого обобщения осуществляется по следующему алгоритму:

Шаг 1. Зафиксировать значение .

Шаг 2. Найти все n-ки , , удовлетворяющие условиям  и , .

Шаг 3. Степень принадлежности элемента  нечеткому числу  вычислить по формуле: .

Шаг 4. Проверить условие «Взяты все элементы y?». Если «да», то перейти к шагу 5. Иначе зафиксировать новое значение  и перейти к шагу 2.

Шаг 5. Конец.

Приведенный алгоритм основан на представлении нечеткого числа на дискретном универсальном множестве, т.е. . Обычно исходные данные ,  задаются кусочно-непрерывными функциями принадлежности: . Для вычисления значений функции  аргументы ,  дискретизируют, т.е. представляют в виде . Число точек  выбирают так, чтобы обеспечить требуемую точность вычислений. На выходе этого алгоритма получается нечеткое множество, также заданное на дискретном универсальном множестве. Результирующую кусочно-непрерывную функцию принадлежности нечеткого числа  получают как верхнюю огибающую точек .

Применение принципа обобщения Заде сопряжено с двумя трудностями:

- большой объем вычислений - количество элементов результирующего нечеткого множества, которые необходио обработать, равно , где  - количество точек, на которых задан i-й нечеткий аргумент, ;

- необходимость построения верхней огибающей элементов результирующего нечеткого множества.

Более практичным является применение -уровневого принципа обобщения. В этом случае нечеткие числа представляются в виде разложений по -уровневым множествам: , где  - минимальное (максимальное) значение на -уровне.

Определение 28. -уровневый принцип обобщения. Если  - функция от n независимых переменных и аргументы заданы нечеткими числами , , то значением функции  называется нечеткое число , где и .

Применение -уровневого принципа обобщения сводится к решению для каждого -уровня следующей задачи оптимизации: найти максимальное и минимальное значения функции  при условии, что аргументы могут принимать значения из соответствующих -уровневых множеств. Количество -уровней выбирают так, чтобы обеспечить необходимую точность вычислений.

Применение -уровневого принципа обобщения позволяет получить правила выполнения арифметических операций над нечеткими числами. Правила выполнения арифметических операций для положительных нечетких чисел приведены в табл. 3. Эти правила необходимо применять для каждого -уровня.

3. Разработка приложения

3.1 Основные характеристики среды Matlab и пакета fuzzy

Система МА TLAB разработанная и постоянно обновляемая компанией MathWorks Inc. (США), является одной из наиболее известных систем компьютерной математики. К последним принято относить специализированные компьютерные программы, которые предназначены для решения широкого класса задач. связанных с тем или иным разделом теоретической или прикладной математики. При этом отдельные классы задач, которые позволяет решать система МАTLAB, имеют весьма условное отношение к классической математике, поскольку в настоящее время представляют собой узко специализированные области научных и прикладных исследований [5].

Архитектурно система МАTLAB состоит из базовой программ и нескольких десятков так называемых пакетов расширения, которые в своей совокупности обеспечивают исключительно широкий диапазон решаемых задач. Интеграция всех этих средств в единой рабочей среде обеспечивает необходимую гибкость использования сотен встроенных функций, реализующих разнообразные математических процедуры и вычислительные алгоритмов.

Нечеткое моделирование в среде MATLAB осуществляется с использованием пакета расширения Fuzzy Logic Toolbox, в котором реализованы десятки функций нечеткой логики и нечеткого вывода.

Для разработки и дальнейшего применения систем нечеткого вывода в интерактивном режиме могут быть использованы следующие графические средства, входящие в состав пакета FlIzzy Logic Toolbox.

Редактор систем нечеткого вывода FIS (FIS Еdit) или сокращенно редaктор FIS.

Программа просмотра поверхности системы нечеткого вывода (Sшfасе

Viewer) или сокращенно просмотрщик поверхности вывода.

Кроме этих графических средств в состав пакета Fuzzy Logic Toolbox также входят следующие специальные программы.

Редактор адаптивных систем нейро-нечеткоrо вывода (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference System Editor) или сокращенно редактор гибридных сетей или редактор ANFIS.

Программа нечеткой кластеризации методом нечетких с-средних (fuzzy с - means clustering).

В Таблице 1 представлены функции МАTLAB, которые могут быть использованы для вызова соответствующих графических средств.

Таблица 2 - Функции Matlab

Функция	Назначение
anfisedit	Редактор гибридных сетей ANFIS
findcluster	Программа нечеткой кластеризации
Fuzzy	Редактор системы нечеткого вывода FIS
Mfedit	Редактор функций принадлежности
Ruleedit	Редактор правил нечеткого вывода
Ruleview	Программа просмотра правил и диаграммы нечеткогo вывода
surfview	Программа просмотра поверхности нечеткого вывода

Редактор систем нечеткого вывода FIS (или просто редактор FIS) является основным средством, которое используется для создания или редактирования систем нечеткоrо вывода в графическом режиме. Редактор FIS может быть открыт с помощью ввода функции fuzzy или fuzzy (' fismat') в окне команд. Эта функция предоставляет пользователю возможность задавать и редактировать на высоком уровне свойства системы нечеткоrо вывода. такие как число входных и выходных переменных, тип системы нечеткоrо вывода, используемый метод дефаззификации и т.д.

Если функция fuzzy вызывается без аргументов, то редактор FIS вызывается для вновь создаваемой системы нечеткоrо вывода с именем Untitled по умолчанию (Рисунок 7). При этом по умолчанию также задается целый ряд параметров таких как тип системы нечеткоrо вывода (Мамдани), нечеткие логические операции, методы импликации, агрегирования и дефаззификации и некоторые другие. Пользователь может согласиться с этими значениями или изменить их.

Рисунок 7 - Редактор FIS

Редактор FIS обладает графическим интерфейсом и позволяет вызывать все другие редакторы и программы просмотра систем нечеткого вывода. Графический интерфейс этого редактора обладает максимальным удобством и гибкостью, необходимой для интерактивной работы с отдельными компонентами системы нечеткого вывода.

В верхней части рабочего интерфейса редактора FIS изображается диаграмма, представляющая в визуальной форме входы и выходы системы нечеткого вывода, в центре которых находится так называемый процессор нечетких правил.

Щелчок на прямоугольнике с изображением входа или выхода выделяет соответствующую переменную и делает ее текущей. Прямоугольник текущей переменной при этом выделяется красным цветом.

Двойной щелчок на прямоугольнике с изображением входной или выходной переменной вызывает редактор функций принадлежности с загруженной в него соответствующей переменной. Двойной щелчок на изображении процессора нечетких правил вызывает редактор правил для соответствующей системы нечеткого вывода. Если некоторая переменная существует в системе нечеткого вывода, но не используется в правилах вывода, то связь ее с процессором нечетких правил изображается не сплошной, а пунктирной линией. Редактор FIS имеет главное меню, которое позволяет пользователю вызывать другие графические средства работы с системой нечеткого вывода FIS. загружать и сохранять структуру FIS во внешних файлах и т.д.

3.2 Основная схема разработки нечеткой продукционной системы

Разработанная система для моделирования оценки лизингоспособности заёмщика, основана на нечетких базах с учетом 24 факторов. Оценкой лизингоспособности назовем число . Чем больше значение этой оценки, тем выше шансы у заёмщика получить лизинг[2]. На лизингоспособность заёмщика влияют финансовые, экономические, социальные, политические и другие факторы. Обозначим их через , где . Тогда модель оценки лизингоспособности заёмщика будет представлять функциональное отображение вида:, где  - вектор влияющих факторов.

Оценку лизингоспособности заёмщика предлагаем осуществлять на основании финансово-экономических и качественных показателей заемщика.

При оценке финансово-экономического состояния заемщика используются 15 количественных показателей.

Как правило, при оценке кредитоспособности заёмщика используются следующие качественные показатели отраслевой специфики: DROZ - динамика развития отрасли заемщика, PRO - перспективы развития отрасли, PRP - потребность рынка отрасли в подобного рода продукции (работе), показатели региональной специфики: DRER - динамика развития экономики региона, PRER - перспективы развития экономики региона, PRPR - потребность рынка региона в подобного рода продукции (работе), а так же такие качественные характеристики заемщика, как оценка профессионального уровня кадрового состава - OPUKC, оценка морально-психологической атмосферы на предприятии - OMPAP, достаточность срока пребывания предприятия на рынке - DCPPR.

Рисунок 8 - Дерево иейрархий

Поскольку число факторов велико, нами предложено их влияние классифицировать в виде иерархического дерева логического вывода (Рисунок 8). Элементы дерева интерпретируется следующим образом:

- корень дерева - лизингоспособность заёмщика (Q2);

- терминальные вершины - частные влияющие факторы (L1, L3, P1, F1, F2, F3, F4, A2, A4, A5, A6, R1, R2, R3, R4, DROZ, PRO, PRP, DRER, PRER, PRPR, OPUKC, OMPAP, DCPPR);

- нетерминальные вершины - свертки влияющих факторов (LP, F, A, R, OTR, REG, KACH);

- укрупненные влияющие факторы - свертки нетерминальных вершин (Q, Q1).

Таблица 3 - Часть нечеткой базы знаний для моделирования показателя ликвидности и платежеспособности предприятия

L1	L3	P1	LP
Высокое	Высокое	очень низкое	Среднее
Низкое	очень высокое	очень высокое	Высокое
очень низкое	Низкое	Среднее	Низкое
Низкое	Среднее	Высокое	Среднее
Высокое	очень низкое	Среднее	Среднее
Среднее	очень низкое	очень высокое	Среднее
очень низкое	очень высокое	Высокое	Среднее

Таблица 4 - Часть нечеткой базы знаний для моделирования показателя отраслевой специфики

DROZ	PRO	PRP	OTR
Низкое	Низкое	Среднее	Низкое
Низкое	Высокое	Низкое	Низкое
Среднее	Низкое	Среднее	Среднее
Высокое	Среднее	Среднее	Среднее
Низкое	Высокое	Высокое	Среднее
Высокое	Низкое	Среднее	Среднее

Таблица 5 - Часть нечеткой базы знаний для оценки лизингоспособности заёмщика

Q-колич. Показатель	Q1-качеств. Показатель	Q2=(Q+Q1*0.8)/2	Нечёткая Интерпретация
0,10	0,5	0,25	Низкий
0,20	0,1	0,14	очень низкий
0,20	0,9	0,46	средний1
0,30	0,1	0,19	очень низкий
0,30	0,5	0,35	средне-низкий
0,40	0,9	0,56	средний2
0,50	0,9	0,61	средне-высокий
0,60	0,1	0,34	средне-низкий
0,70	0,9	0,71	Высокий
0,90	0,9	0,81	очень высокий

В Таблицах 3, Таблицах 4, Таблицах 5 были приведены частичные примеры как задаются правила для нечетких продукционных систем.

Свертки LP, F, A, R, OTR, REG, KACH и Q, Q1 осуществляются ниже посредством логического вывода по нечетким базам знаний. Для моделирования укрупненных влияющих факторов используются экспертные нечеткие базы знаний типа Мамдани, часть которых приведена в табл. Элементы антецедентов нечетких правил связаны логической операцией «И». Для их моделирования используется функция принадлежности Гаусса:

(69)

где - функция принадлежности фактора нечеткому числу ; и - координата максимума и коэффициент концентрации.

3.3 Разработка приложения

Как уже говорилось в пункте 3.1 для того что бы построить нечеткую продукционную систему надо при запуски среды Matlab выполнить команду «fuzzy», у нас появится новое окно (Рисунок 7).

После того как у нас появляется окно «FIS Editor» мы с помощью панельного меню (Рисунок 9) добавляем входные переменные.



Рисунок 9. Добавление входных переменных

Далее начинаем построение первой ветки иерархического дерева (Рисунок 8).

Добавляем 3 входных переменных, они у нас будут принадлежать к простым функциям принадлежности Гаусса (Рисунок 10), так же они могут принимать 5 значений очень низко «ОН», низко «Н», средне «С», высоко «В», очень высоко «ОВ».

Рисунок 10. Задание типов функции

После того как мы задаем все переменные, как «Input» так и «Output»

Переходим к заданию правил, части которых приведены в Таблице 3, Таблица 4, Таблица 5.

Делаем мы это по двоенному нажатию кнопки по белому четырех угольнику который связывает входные и выходные данные.

После нажатия мы попадаем в окошко «Rule Editor» (Рисунок 11).

Рисунок 11. Rule Editor

Теперь мы можем запустить нашу нечеткую продукционную системы (Рисунок 12).

После того как мы задает все правила мы получаем готовую нечеткую продукционную систему, проделываем аналогичное и с другими ветками нашего иерархического дерева (Рисунок 8).

И в зависимости то значение которое мы получим (Q2) и будет являться показателем лизингоспособностью малого предприятия.



Рисунок 12. Rule Viewer

Заключение

В данной работе было рассмотрен один из подходов расчета эффективности лизинговых операций.

В первой главе рассматривается понятие лизинговых операций, особенности, риски, контракты, объекты и субъекты присущие таким операциям.

Во второй главе излагается математический аппарат нечетких продукционных систем.

В третей главе представлена реализация нечетких продукционных систем в системе Matlab применительно к оценки эффективности и риска лизинговых операций для заемщиков малого и среднего бизнеса.

Преимущество такого подхода заключается в том что позволяет рассчитывать не только количественные коэффициенты финансового состояния предприятия, но и качественные его характеристики. То есть мы получим данные оликвидность-платежеспособность (LP), финансовая устойчивость (F), деловая активность (A), рентабельность (R), показатель отраслевой специфики (OTR), показатель региональной специфики (REG), качественная характеристика (KACH), оценка количественных характеристик предприятия (Q), оценка качественных характеристик предприятия (Q1), результат (Q2).

Список источников

лизинг нечеткий заемщик риск

1 FinAnalis.ru URL: http://www.finanalis.ru/litra/334/9228.html (дата посещения 25.05.2013)

2 Барановская Т.П., Кармазин В.Н., Коволенко А.В., Утренов М.Х. Современные математические методы нализа финансово-экономического состояния предприятия / Т.П. Барановская 2009 г. 234 ст