Статистика и теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

№1. В мастерской по ремонту и обслуживанию бытовой радиоэлектронной аппаратуры по схеме собственно-случайной бесповторной выборки отобрано 50 рабочих дней прошедшего года и получены следующие данные о числе вызовов в день.

Найти:

а) границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число вызовов в день в предыдущем году;

б) вероятность того, что доля дней в предыдущем году, в которых число вызовов было более 20, отличается от выборочной доли таких вызовов не более чем на 0,1 (по абсолютной величине);

в) объем бесповторной выборки, при котором те же границы для среднего числа вызовов в день можно гарантировать с вероятностью 0,9901.

Решение:

n = 50 (рабочих дней)

N = 253 (рабочих дня)

Для определения числовых характеристик выборочной совокупности в качестве значений признака возьмем середины соответствующих интервалов и составим расчетную таблицу.

Среднее число вызовов в день в выборке составляет:

(вызовов)

Дисперсия равна:

Среднее квадратическое отклонение равно:

(вызова)

а). Средняя ошибка выборки для среднего значения составляет:

(вызовов)

Предельная ошибка выборки составляет:

где t - коэффициент доверия; для доверительной вероятности 0,95 он равен 1,96.

(вызовов)

Границы, в которых с вероятностью 0,95 заключено среднее число вызовов в день в предыдущем году, находим следующим образом:

- +

16,6 - 1,3 16,6 + 1,3

15,3 17,9

б). Количество дней, в которых число вызовов было более 20, в выборке составляет:

m = 10 + 3 = 13 (дней)

Доля таких дней равна:

или 26,0%

Средняя ошибка выборки для доли:

где дисперсия у² равна:

у² = * (1 - ) = 0,26 * (1 - 0,26) = 0,1924

Предельная ошибка выборки по условию составляет:

= 0,1

Вероятность того, что доля дней в предыдущем году, в которых число вызовов было более 20, отличается от выборочной доли таких вызовов не более чем на 0,1 (по абсолютной величине) находим по формуле:

где Ф(t) - функция Лапласа.

в). Для доверительной вероятности 0,9901 коэффициент доверия равен: t = 2,58;

= 1,329

Объем повторной выборки, при котором те же границы для среднего числа вызовов в день можно гарантировать с вероятностью 0,9901, составит:

(дней)

Объем бесповторной выборки равен:

(дней)

№2. По данным задачи 1, используя критерий ²-Пирсона, при уровне значимости б = 0,05 проверить гипотезу о том, что случайная величина Х - число вызовов в день - распределена по нормальному закону. Построить на одном чертеже гистограмму эмпирического распределения и соответствующую нормальную кривую.

Решение

Критерий ²-Пирсона определим по формуле

где n_i - эмпирические частоты;

np_i - теоретические частоты.

Теоретические частоты определим следующим образом:

np_i = 50 *p_i

где p_i = Дх * ц(х) = 5*ц(х)

где ц(х) - функция плотности распределения.

где ?(t) - функция Гаусса.

Расчет представлен в таблице:

Получили расчетное значение критерия Пирсона:

ч² = 0,668

Табличное значение критерия Пирсона при уровне значимости а = 0,05 составляет

ч²_а;k = ч²_{0,05; 3} = 3,84

где k = m - s - 1 = 4 - 2 - 1 = 1

m - число интервалов после объединения

s - число параметров теоретического закона распределения

Расчетное значение критерия Пирсона меньше табличного, следовательно, случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а = 16,6 и у = 5,356.

По точкам А_i(х_i; np_i) построим нормальную кривую на одном чертеже с гистограммой эмпирического распределения.

№3. Распределение 120 служащих компании по сумме начислений на заработную плату, вызванной ростом производительности труда, Х (у.е.) и потерям рабочего времени Y (%) представлено в таблице.

Необходимо:

1) вычислить групповые средние и и построить эмпирические линии регрессии;

2) предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найти уравнения прямых регрессии и построить их графики на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии;

б) вычислить коэффициент корреляции, на уровне значимости б = 0,05 оценить его значимость и сделать вывод о тесноте и направлении связи между переменными Х и Y;

в) используя соответствующее уравнение регрессии, оценить средний процент потерь рабочего времени служащих, у которых сумма начислений на заработную плату, вызванную ростом производительности труда, равна 60 у.е.

выборка ошибка распределение коэффициент

Решение

1). Вычислим групповые средние значения :

у₁ = 4%

(у.е.)

у₂ = 6%

(у.е.)

у₃ = 8%

(у.е.)

у₄ = 10%

(у.е.)

у₅ = 12%

(у.е.)

В таблице записана функциональная зависимость между и у_j, или корреляционная зависимость х по у.

Вычислим групповые средние значения :

х₁ = 25 (у.е.)

%

х₂ = 35 (у.е.)

%

х₃ = 45 (у.е.)

%

х₄ = 55 (у.е.)

%

х₅ = 65 (у.е.)

%

х₆ = 75 (у.е.)

%

В таблице записана функциональная зависимость между и x_i, или корреляционная зависимость у по х.

Построим эмпирические линии регрессии

2). Предполагая, что между переменными X и Y существует линейная корреляционная зависимость:

а) найдем уравнения прямых регрессии.

Случайная величина Х - сумма начислений на заработную плату, у.е.

(у.е.)

Случайная величина Y - потери рабочего времени, %.

%

Найдем ковариацию :

где

Вычислим коэффициент регрессии у по х и составим уравнение этой зависимости:

у = -0,117 х + 14,318

Вычислим коэффициент регрессии х по у и составим уравнение соответствующей зависимости:

х = -5,555 у + 97,388

Построим графики прямых регрессии на одном чертеже с эмпирическими линиями регрессии

б) Вычислим коэффициент корреляции:

Т.е. связь между переменными Х и Y (суммой начислений на заработную плату, вызванную ростом производительности труда, и потерями рабочего времени) обратная, очень тесная.

Оценим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента:

Расчетное значение критерия Стьюдента больше табличного

t_{табл.(б=0,05; k=118)} = 1,98, следовательно коэффициент корреляции является значимым.

в) Определим, используя уравнение регрессии у по х, средний процент потерь рабочего времени служащих, у которых сумма начислений на заработную плату, вызванную ростом производительности труда, равна 60 у.е.:

х = 60 (у.е.)

у = -0,117*60 + 14,318 = 7,298 %

Т.е. средний процент потерь рабочего времени служащих, у которых сумма начислений на заработную плату 60 у.е., составит 7,3%.

Размещено на Allbest.ru