Абсолютные и относительные величины в статистике

Размещено на http://www.allbest.ru

Задача 1

Цена 1 т. продукта "А" на внутреннем и мировом рынках составляла, усл. ден. ед.:

Месяц	Внутренний рынок	Мировой рынок
Январь	848	816
Июль	896	824

Выполните сравнительный анализ цены продукта «А» всеми возможными видами относительных величин, назовите их виды

Решение

В статистике используют несколько видов относительных величин:

Для выражения данного показателя могут использоваться как коэффициенты, так и проценты.

Относительная величина структуры характеризует состав изучаемой совокупности и показывает, какой удельный вес в общем итоге составляет каждая ее часть. Рассчитанные в данной таблице проценты представляют собой относительные показатели структуры (в данном случае - удельные веса).

Месяц	Внутренний рынок	Уд.вес,%	Мировой рынок	Уд.вес,%
Январь	848	94,6	816	99,0
Июль	896	100	824	100

Относительные величины динамики выражают степень изменения явления во времени, т.е. они измеряют скорость (темп) развития. Относительная величина динамики есть отношение значения (уровня) показателя за данный период (месяц, квартал, год) к его уровню за предыдущее время. Поэтому для исчисления относительных величин динамики необходимо располагать данными за несколько периодов.



Месяц	Январь	Июль	Темп роста, %
Внутренний рынок	848	896	105,6
Мировой рынок	816	824	100,9

Относительная величина сравнения характеризуют количественное соотношение одноименных показателей, относящихся к различным объектам статистического наблюдения, но за один и тот же период.

Месяц	Внутренний рынок	Мировой рынок	Темп роста, %
Январь	848	816	96,2
Июль	896	824	91,9

Относительная величина координации характеризует соотношение между отдельными частями статистической совокупности и показывает, во сколько раз сравниваемая часть совокупности больше или меньше части, которая принимается за основание или базу сравнения. Они являются дополнением к характеристике структуры изучаемого явления. Например:

Месяц	Внутренний рынок	Мировой рынок
Январь	848 (Р1)	816 (Р3)
Июль	896 (Р2)	824 (Р4)

Р2/Р1	Р3/Р1	Р4/ Р1
1,05	0,96	0,97

Задача 2

Имеются данные об оплате труда работников малых предприятий:

№ предприятия	Фонд заработной платы, р.	Среднесписочная численность работников, чел.	Среднемесячная заработная плата, р.	Удельный вес работников, %
А	1	2	3	4
1	540000	600	9000	60
2	480000	400	12000	40

Определить среднюю заработную плату работников предприятий, используя показатели: а) гр. 1 и 2; б) гр. 2 и 3; в) гр. 1 и 3; г) гр. 3 и 4.

Решение

а) Зср = (Фо+ Ф1) / (То + Т1) = (540000 + 480000) / (600+ 400)= 1020 руб.

б) Среднюю зарплату работников определим по формуле средней арифметической взвешенной:

руб.

f -численность работников;

x- средняя месячная заработная плата работников;

определяющий показатель- общий фонд заработной платы-

в)Ср. зарплату определим по формуле средней гармонической взвешенной:

руб.

w -фонд заработной платы;

-средняя месячная заработная плата работников;

определяющий показатель -

где - численность работников.

г)

где «р»- удельный вес -выраженный в процентах.

З/п ср = (9000 * 60 %)+ (12000 * 40 %) = 10200 руб.

100 %

Задача 3

По данным выборочного 2%-ного обследования вкладчиков по размеру вклада в Сбербанке района получены следующие результаты:

Размер вклада, тыс. р.	Число вкладчиков, чел.
До 40	32
40-60	56
60-80	120
80-100	104
Свыше 100	88
Итого:	400

Определить:

1) по выборочным данным: а) средний размер вклада; б) моду и медиану по размеру вклада; в) показатели вариации: размах вариации, среднелинейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации;

2) по всем вкладчикам района с вероятностью 0,954: а) средний размер вклада; б) долю вкладчиков с размером вклада более 100 тыс. р.

Решение

Ряд распределения - вариационный дискретный.

Приведем группировку к стандартному виду с равными интервалами и серединами интервалов для каждой группы. Результаты представлены в таблице:



Размер вклада, тыс. р.	Размер вклада, тыс. р.	Середина интервала xi	Число вкладчиков, fi
До 40 40-60 60-80 80-100 Свыше 100	20-40 40-60 60-80 80-100 100-120	30 50 70 90 110	32 56 120 104 88
итого		350	400

Интервал в нашем примере равный, можем найти середины интервалов. Сначала найдем середины трех внутренних интервалов. (40+60/2 = 50; 60+80/2 = 70; 80+100 / 2 = 90).

Заметим, что середины интервалов отстают друг от друга на длину интервала, равную 20 тыс. руб. Значит, и середины открытых интервалов отстоят на такую же длину. Т.е., середина первого открытого интервала будет равна 50 - 20 = 30 тыс.руб. А середина последнего открытого интервала 90 +20 = 110 тыс.руб.

Номер интервала i	Размер вклада (тыс.руб.)	Середина интервала xi	Число вкладчиков, fi	xi * fi
1	До 40	30	32	30*32 = 960
2	40 - 60	50	56	50 * 56 =2800
3	60 - 80	70	120	70 *120 = 8400
4	80 - 100	90	104	90* 104 =9360
5	Свыше 100	110	88	110*88 = 9680
	Сумма??	350	400	31 200

а)

Получили, что средний размер вклада составляет 78 тыс.руб.

Для интервальных рядов распределения с равными интервалами мода определяется по формуле:

где - начальное значение интервала, содержащего моду;

- величина модального интервала;

- частота модального интервала;

- частота интервала, предшествующего модальному;

- частота интервала, следующего за модальным.

Введем следующие обозначения:

=70, =30, =120, =56, =104

Подставим эти значения в формулу моды и произведем вычисления:

= 70 + 30 * 120 - 56___________ = 94 тыс.р.

|120-56| + |120 -104|

Медиана интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:

где -- начальное значение интервала, содержащего медиану;

-- величина медианного интервала;

-- сумма частот ряда;

-- сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

-- частота медианного интервала.



Размер вклада, тыс. р.	Середина интервала xi	Сумма накопительных частот
20-40 40-60 60-80 80-100 100-120	30 50 70 90 110	30 80 (30+50) 150 (80+70) 240 (150+90) 110+90
	Итого 350	-

Определим прежде всего медианный интервал. В данной задаче сумма накопленных частот, превышающая половину всех значений (240), соответствует интервалу 80 - 100. Это и есть медианный интервал, в котором находится медиана. Определим ее значение по приведенной выше формуле.

Известно, что:

Следовательно,

.

2)Найдем дисперсию по данным, включенным в выборку. Дисперсия определяется по формуле:

Для нахождения среднего квадратического отклонения извлечем корень квадратный из дисперсии:

Коэффициент вариации находим по следующей формуле:

Определим в целом с вероятностью 0,954 пределы, в которых можно ожидать средний размер вклада:

Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так при вероятности p = 0,954 коэффициент доверия t = 2. Поскольку дана 2 %-ная выборка, то

,

где: n - объем выборочной совокупности,

N - объем генеральной совокупности.

Считаем также, что дисперсия . Тогда предельная ошибка выборочной средней равна:

Определим долю вкладчиков по каждой группе.

Номер интервала i	Размер вклада (тыс.руб.)	Середина интервала xi	Число вкладчиков, fi	Доля вкладчиков, wi	xi * wi
1	До 40	30	32	32/400=0,08	30*0.08 = 2.4
2	40 - 60	50	56	56/400=0,14	50 * 0.14 =7
3	60 - 80	70	120	120/400=0,3	70 *0.3 = 21
4	80 - 100	90	104	104/400=0,26	90* 0.26 =23.4
5	Свыше 100	110	88	88/400=0,22	110*0.22 = 24.2
	Сумма??		400	1	78

Определим долю вкладчиков с размером вклада более 100 тыс. р.:

Задача 4

Имеется информация о ценах на продукцию «А» по одной из фирм:

Месяц	Цена изделия, р.
Январь	16,0
Февраль	17,8
Март	19,4
Апрель	20,5
Май	22,0

Определить:

1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста и прироста;

2) абсолютное содержание 1% прироста;

3) среднюю цену изделия за изучаемый период;

4) среднемесячный абсолютный прирост;

5) среднемесячные темпы роста и прироста;

6) прогнозируемую цену на конец года, предполагая, что выявленная закономерность изменения цены сохранится и в дальнейшем, и используя в качестве закономерности: а) средний абсолютный прирост; б) средний темп роста; в) трендовую модель по уравнению прямой.

Решение

1) а) Базисный абсолютный прирост -

у_и = 17,8-16,0 = 1,8

у_и = 19,4 -16,0 = 3,4

у_и = 20,5-16,0 = 4,5

у_и = 22,0-16,0 = 6

Цепной абсолютный прирост -

у_и = 17,8-16,0 =1,8

у_и = 19,4-17,8 = 1,6

у_и = 20,5-19,4 = 1,1

у_и = 22,0-20,5 = 1,5

б) Темпы роста:

базисные (база --месяц январь) темпы роста: *100

Кфевраль/январь = 17,8 / 16,0 * 100 = 111,2 %

Кмарт/январь = 19,4 / 16,0 * 100 = 121,2 %

Капрель/январь = 20,5 / 16,0 * 100 = 128,1 %

Кмай/январь = 22,0 / 16,0 * 100 = 137,5 %

Цепные темпы роста: *100

Кфевраль/январь = 17,8 / 16,0 * 100 = 111,2 %

Кмарт/февраль = 19,4 / 17,8 * 100 = 108,9 %

Капрель/март = 20,5 / 19,4 * 100 = 105,6 %

Кмай/апрель = 22,0 / 20,5 * 100 = 107,3 %

Цепные темпы прироста:  или К0 = К0 - 100 %

Кфевраль/январь =Размещено на http://www.allbest.ru

111,2 %- 100 % = 11,2 %

Кмарт/февраль =Размещено на http://www.allbest.ru

108,9 % - 100 % = 8,9 %

Капрель/мартРазмещено на http://www.allbest.ru

= 105,6 % - 100 % = 5,6 %

Кмай/апрель =Размещено на http://www.allbest.ru

107,3 % - 100 % = 7,3 %

Базисные темпы прироста:  или Ка = Ка - 100 %

Кфевраль/январь =Размещено на http://www.allbest.ru

111,2 % - 100 % = 11,2 %

Кмарт/январь =Размещено на http://www.allbest.ru

121,2 % - 100 % = 21,2 %

Капрель/январь =Размещено на http://www.allbest.ru

128,1 % - 100 % = 28,1 %

Кмай/январь =Размещено на http://www.allbest.ru

137,5 % - 100 % = 37,5 %

2)Абсолютное значение (содержание) одного процента прироста рассчитывают как отношение абсолютного прироста к темпу прироста за тот же период времени (в %), где  и - абсолютный базисный или цепной прирост;

- уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;

 - уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения i-го цепного абсолютного прироста

Абсолютное значение 1 % базисного прироста: 1,8 / 11,2 = 0,16%

Абсолютное значение 1 % цепного прироста: 1,8 / 8,9 = 0,20 %

3) Среднюю цену изделия за изучаемый период определим по методу средней хронологической.

Р = (16/2 +17,8 +19,4 +20,5 +22,0/2) / 4 = 19,1 р.

4) Рассчитаем среднемесячный уровень прироста (снижения). Для вычисления используем формулу:

yпр= ?y / n



где у - абсолютные уровни ряда;

n- число уровней ряда.

yпр= (16,0+17,8+19,4+20,5+22,0) / 5= 19,1 руб.

Для вычисления среднемесячного абсолютного прироста (снижения) используем формулы:

?y1=??y1/ n

?y0=??y0/ n

где n- число абсолютных приростов цепных или базисных;

?y1-цепные абсолютные приросты;

?y0-базисные абсолютные приросты

?y1= (1,8+1,6+1,1+1,5) / 4 = 1,5 руб.

?y0= (1,8+ 3,4+4,5+6) / 4 = 3,9 руб.

5) Рассчитаем среднемесячный темп роста и прироста, %:

Среднемесячный темп роста:

Месяц	январь	февраль	март	апрель	май
цена	16,0	17,8	19,4	20,5	22,0
Темп роста (цепной)	-	1,11	1,08	1,05	1,07
Темп роста (базисный)	-	1,11	1,21	1,28	1,37

Темп рост определяется по формуле:

yi - уровень сравниваемого периода;

y i -1 - уровень предшествующего периода;

y i -1 - - уровень базисного (начального) периода;

?Т= n-1vПТ^цр * 100 % - 100 % = ⁴v1,11*1,08*1,05*1,07 * 100 % - 100 % = 7 %

Темп прироста можно получить из темпа роста:

Тпр = 7 % - 100 % = -93 %

Интересно, что ввиду асимметрии темпа прироста и темпа сокращения при равных их величинах общий темп прироста всегда отрицателен.

Задача 5

В течение I квартала имели место следующие изменения величины остатков вклада:

	Дата изменения размера вклада, р.
Вклад	05.01	17.01	02.02	21.02	13.03	20.03	28.03
I	+1500	-2000	-	+500	-	-	+100
II	-	-	+300	+150	-550	-200	+400

Определить средние остатки по вкладам, если на 1 января остаток по первому вкладу составлял 32000 р., а по второму - 45000 р.

Решение

Определим размеры вкладов



Вклад	01.01.	05.01	17.01	02.02	21.02	13.03	20.03	28.03
I	32 000	33 500	31500	31500	32 000	32 000	32 000	32 100
II	45 000	45 000	45 000	45 300	45 450	44 900	44 700	45 100

Используем формулу средней хронологической:

,

где y_i - значение показателя на i-1 момент времени.

Подставив исходные данные, получим средние остатки по первому вкладу:

y_i = Ѕ* 32 000 +33 500+31500+31500+32 000+32 000+32 000+Ѕ*32100 = 7

= 224550/7 = 32078,5 р.

Средние остатки по второму вкладу:

y_i = Ѕ*45 000+45 000+45 000+45 300+45 450+44 900+44 700+Ѕ*45 100 =

7

315400 / 7 = 45 057,1 р.

Задача 6

По 8 однородным магазинам имеются следующие данные:

Товарооборот, тыс. р.	Уровень издержек обращения по отношению к товарообороту, %
70	10,0
100	9,0
150	7,5
200	6,0
300	6,3
450	5,8
600	5,4
1200	5,0

Для выявления зависимости уровня издержек обращения от размера товарооборота определить:

1) коэффициент регрессии;

2) коэффициент корреляции;

3) коэффициент относительной эластичности.

Сделать выводы.

Решение

Общий вид уравнения регрессии:

Система нормальных уравнений в общем виде:

Здесь х - уровень издержек обращения по отношению к товарообороту, у - товарооборот.

Приведём расчётную таблицу:

х	у	х2	ху
10	70	100	700
9	100	81	900
7,5	150	56,25	1125
6	200	36	1200
6,3	300	39,69	1890
5,8	450	33,64	2610
5,40	600	29,16	3240
5	1200	25	6000
55	3070	400,74	17665

Система нормальных уравнений с вычисленными коэффициентами

Решение системы:

Построенное уравнение регрессии:

Коэффициенты эластичности рассчитаем в таблице

Товарооборот, тыс. руб.	70	100	150	200	300	450	600	1200
Уровень издержек обращения по отношению к товарообороту, %	10,0	9,0	7,5	6,0	6,3	5,8	5,4	5,0
		-3	-3,33	-3,33	33,33	-30	-37,5	-150

Коэффициент корреляции рассчитаем по формуле:

Можно сделать вывод, что связь между показателями обратная и достаточно сильная.

Задача 7

Имеются данные о производственной деятельности строительных фирм:

Фирма компании	Построено жилья, тыс. м2	Себестоимость 1 м2, тыс. р.
	Базисный период	Отчетный период	Базисный период	Отчетный период
1	106	136	54	62
2	90	64	58	68

Определить:

1) индивидуальные индексы себестоимости;

2) общие индексы себестоимости переменного и постоянного состава, индекс структурных сдвигов, их взаимосвязь. Объяснить экономический смысл индексов;

3) изменение средней себестоимости 1 м2 в абсолютном выражении всего и за счет: а) изменения себестоимости по фирмам; б) изменения структуры производства.

Решение

1) Изменение себестоимости 1 м² по каждой фирме оценивается с помощью индивидуальных индексов:



по первому предприятию: 114,8 %,

по второму предприятию: .

2) Абсолютная экономия (перерасход) за счет изменения себестоимости:

по первому предприятию: Д_z = z₁ - z₀ = 62 - 54 = 8 тыс. руб.

по второму предприятию: Д_z = z₁ - z₀ = 68-58 = 10 тыс. руб.

3) Средняя себестоимость:

в базисном периоде:

в отчетном периоде:

условная (в базисном периоде при структуре отчетного периода):

Рассчитаем среднюю себестоимость по данным таблицы:

№ пред-приятия	Базисный период	Отчетный период	Затраты на производство, тыс. руб.
	Построе-но жилья, тыс. м2.	Себестои-мость 1 м2 тыс.руб.	Построе-но жилья, тыс. м2.	Себестои-мость 1 м2 тыс.руб.	Базисный период	Отчетный период	Отчетный период по базисной стоимости
	q0	z0	q1	z1	z0q0	z1q1	z0q1
1	106	54	136	62	5724	8432	7344
2	90	58	64	68	5220	4352	3712
Итого	196	112	200	130	21952	26000	22400

Средняя себестоимость составит:

в базисном периоде:

тыс. руб.

в отчетном периоде:

тыс. руб.

условная (в базисном периоде при структуре отчетного периода)

тыс. руб.

4) изменение средней себестоимости по группе предприятий в отчетном периоде по сравнению с базисным измеряется с помощью индекса себестоимости переменного состава:

5) Влияние изменения себестоимости 1 м² на отдельных предприятиях на изменение средней себестоимости оценивается с помощью индекса себестоимости постоянного состава:

6) Влияние на изменение средней себестоимости структурных сдвигов в составе продукции определяется индексом структурных сдвигов:

7) Рассчитаем абсолютное изменение затрат на производство:

; Дз = 26000-21952= 4048 тыс. руб.

а) в том числе за счет увеличения объема продукции:

= (200-196) *55,8 = 223,2 тыс. руб.

б) 3а счет изменения средней себестоимости:

= (63,9-55,8) *200 = 1620 тыс. руб.

в том числе:

за счет изменения себестоимости по отдельным предприятиям:

= 26000-22400 = 3600 тыс. руб.

за счет изменения структуры:

22400- 21952 = 448 тыс. руб.

Вывод: Себестоимость 1 м² по первому предприятию увеличилась на 8 тыс. руб., по второму предприятию - на 10 тыс. руб. за м².

Средняя себестоимость в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 14,5 % (114,5-100), в том числе за счет роста себестоимости на первом предприятии - на 15,6 % (115,6-100), а за счет изменений в структуре производства - снизилась на 1,1 % (98,9 -100).

Затраты на производство продукции в отчетном периоде по сравнению с предыдущим выросли на 4048 тыс. руб. В том числе за счет увеличения объема продукции - на 223,2 тыс. руб. За счет роста средней себестоимости продукции затраты на производство возросли на 1620 тыс. руб., в том числе за счет изменения себестоимости по отдельным предприятиям - на 3600 тыс. руб., а за счет изменения структуры производства затраты на производство продукции выросли на 448 тыс. руб.

Задача 8

При снижении цены единицы товара с 1200 до 950 р. реализация изделий в день увеличилась со 120 до 160 единиц. Определить абсолютную и относительную эластичность. Сделать выводы.

Решение

Относительная величина динамики составила i = 950 /1200 = 0,8

В процентном выражении это 80 % (темп роста).

Обозначим цену Р, а величину спроса Q, показатель (коэффициент) ценовой эластичности спроса Е_р.

Абсолютная величина показателя

Например, снижение цены единицы товара на 80 % вызвало увеличение спроса на него на 133 %. Показатель эластичности будет равен:

133 Ер =1,66

80

Абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса больше 1, значит, мы имеем дело с относительно эластичным спросом. Иными словами, изменение цены в данном случае приведет к большему количественному изменению величины спроса.

Снижение цены с Р₀ до Р₁ на 250 руб. (на 80%) приведет к росту величины спроса с Q₀ до Q₁ на 40 ед. (на 133 %). Коэффициент эластичности будет равен 1,6 (133:80), т.е. он больше 1, и спрос эластичен.

При неэластичном спросе фирма не будет снижать цену своей продукции, не без основания опасаясь снижения своих доходов.

Таким образом, абсолютная величина показателя ценовой эластичности спроса может изменяться от нуля до бесконечности.

 ЭС = (40 / (-250)) х ((1 200+ 950) / 2) / ((120+160) / 2) = -1,2

Данный товар принадлежит к классическим и спрос на него высокоэластичен: снижение цены на 1% приводит к увеличению спроса на 1,2%.

Достоинством коэффициента эластичности является простота расчета. Однако именно в этом заключается и его недостаток. При определении эластичности делается важная оговорка: “при прочих равных условиях”. Для того, чтобы свести к минимуму данный недостаток, можно рассчитать совокупное влияние нескольких показателей конъюнктуры на величину спроса. 

На участках эластичного спроса снижение цены и рост объема продаж приводят к увеличению общей выручки от реализации продукции фирмы, на участке неэластичного спроса к уменьшению выручки. Поэтому каждая фирма будет стремиться избегать того участка спроса на свою продукцию, где коэффициент эластичности меньше единицы.



Список использованной литературы

1. Бендина Н.В. Общая теория статистики (конспект лекций).- М.: Финансы и статистика, 2002

2. Воронин В.Ф., Жильцова Ю.В.Статистика. -М.: Экономистъ, 2004.

3. Гусаров В.М. Статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003

4. Елисеева М.А. Общая теория статистики, М.: Статистика, 2008.

5. Харченко Н.М. Статистика: Учебник.-М.: Издательство-торговая корпорация «Дашков и К0», 2007.

6. Чернова Т.В. Экономическая статистика. Учебное пособие. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2006. средняя зарплата прирост вклад

7. Шмайлова Р.А. Практикум по теории статистики. - М.:Финансы и статистика, 2009.

Размещено на Allbest.ru