Основы эконометрики
Расчет параметров линейной и степенной парной регрессии. Показатели корреляции и детерминации, методика их расчета. Средняя ошибка аппроксимации. Оценка с помощью F-критерия Фишера статистической надежности результатов регрессионного моделирования.
| Рубрика | Экономика и экономическая теория |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.11.2014 |
| Размер файла | 25,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Исходные данные
аппроксимация регрессия статистический детерминация
Известны следующие статистические данные, представленные в таблице 1.
Таблица 1 - Исходные статистические данные
|
Район |
Средняя заработная плата и выплаты социального характера, тыс. руб., x |
Потребительские расходы на душу населения, тыс. руб., y |
|
|
Республика Башкортостан |
912 |
461 |
|
|
Удмурдская республика |
809 |
524 |
|
|
Курганская область |
748 |
298 |
|
|
Оренбургская область |
847 |
351 |
|
|
Пермская область |
1087 |
624 |
|
|
Свердловская область |
1074 |
584 |
|
|
Республика Алтай |
682 |
277 |
|
|
Алтайский край |
697 |
321 |
|
|
Кемеровская область |
1251 |
573 |
|
|
Новосибирская область |
967 |
576 |
2. Расчет параметров линейной и степенной парной регрессии
Уравнение линейной регрессии и его параметры
Для расчетов параметров уравнения линейной регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов.
Формально критерий МНК можно записать так:
S = ?(yi - y*i)2 > min
Система нормальных уравнений.
a*n + b?x = ?y
a?x + b?x2 = ?y*x
Для представленных исходных данных система уравнений имеет вид
10a + 9074 b = 4589
9074 a + 8549206 b = 4356519
Домножим уравнение (1) системы на (-907.4), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-9074a -8233747,6 b = -4164058,6
9074 a + 8549206 b = 4356519
Получаем:
315458,4 b = 192460,4
Откуда b = 0,6101
Найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
10a + 9074 b = 4589
10a + 9074 * 0,6101 = 4589
10a = -947,03
a = -94,7025
Получаем коэффициенты регрессии:
b = 0,61, a = -94,7
Уравнение регрессии:
y = 0,61 x - 94,7
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2)
Произведем расчет параметров уравнения линейной регрессии.
Выборочные средние.
Таблица 2 - Вспомогательная таблица для расчета параметров линейной регрессии
|
x |
y |
x2 |
y2 |
x * y |
|
|
912 |
461 |
831744 |
212521 |
420432 |
|
|
809 |
524 |
654481 |
274576 |
423916 |
|
|
748 |
298 |
559504 |
88804 |
222904 |
|
|
847 |
351 |
717409 |
123201 |
297297 |
|
|
1087 |
624 |
1181569 |
389376 |
678288 |
|
|
1074 |
584 |
1153476 |
341056 |
627216 |
|
|
682 |
277 |
465124 |
76729 |
188914 |
|
|
697 |
321 |
485809 |
103041 |
223737 |
|
|
1251 |
573 |
1565001 |
328329 |
716823 |
|
|
967 |
576 |
935089 |
331776 |
556992 |
|
|
9074 |
4589 |
8549206 |
2269409 |
4356519 |
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Уравнение степенной парной регрессии и его параметры
Построению уравнения степенной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения.
Система нормальных уравнений.
a*n + b?ln(x) = ?ln(y)
a?ln(x) + b?ln(x2)= ?ln (y*x)
Для представленных исходных статистических данных система уравнений имеет вид
10a + 67,92 b = 60,86
67,92 a + 461,66 b = 413,86
Умножим уравнение (1) системы на (-6.79), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.
-67,92a -461,18 b = -413,25
67,92 a + 461,66 b = 413,86
Получаем:
0,48 b = 0,61
Откуда b = 1,3447
Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):
10a + 67,92 b = 60,86
10a + 67.92 * 1,3447 = 60,86
10a = -30.47
a = -3.047
Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1,3, a = -3
Уравнение регрессии:
y = e-3x1.3 = 0,05x1.3
Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 3)
Рассчитаем параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.
Таблица 3 - Вспомогательная таблица для расчетов параметров степенной парной регрессии
|
ln(x) |
ln(y) |
ln(x)2 |
ln(y)2 |
ln(x) * ln(y) |
|
|
6.82 |
6.13 |
46.45 |
37.62 |
41.8 |
|
|
6.7 |
6.26 |
44.83 |
39.21 |
41.93 |
|
|
6.62 |
5.7 |
43.79 |
32.46 |
37.7 |
|
|
6.74 |
5.86 |
45.45 |
34.35 |
39.51 |
|
|
6.99 |
6.44 |
48.88 |
41.42 |
45 |
|
|
6.98 |
6.37 |
48.71 |
40.58 |
44.46 |
|
|
6.53 |
5.62 |
42.58 |
31.63 |
36.7 |
|
|
6.55 |
5.77 |
42.86 |
33.31 |
37.78 |
|
|
7.13 |
6.35 |
50.86 |
40.33 |
45.29 |
|
|
6.87 |
6.36 |
47.25 |
40.4 |
43.69 |
|
|
67.92 |
60.86 |
461.66 |
371.3 |
413.86 |
Выборочные дисперсии:
Среднеквадратическое отклонение
Таким образом, в данном пункте контрольной работы были получены уравнения парной регрессии: линейной и степенной с использованием метода наименьших квадратов. Далее, согласно варианта задания, проведем оценку уравнений регрессии.
3. Показатели корреляции и детерминации
Линейной парной регрессии
Опираясь на вспомогательные данные, которые рассчитаны в табл. 2, рассчитываем показатель тесноты связи.
Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, рассчитываемый с использованием формулы.
По результатам расчета коэффициента корреляции можно сделать вывод, что связь между факторным и результативным признаком прямая и сильная (по шкале Чеддока).
Квадрат коэффициента корреляции называется коэффициентом детерминации, который показывает долю вариации результативного признака, объясненную вариацией факторного признака.
Обычно, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.8472 = 0.7181
т.е. в 71.81% случаев изменения факторного признака приводит к изменению и результатирующего признака. Точность подбора уравнения регрессии довольно высокая. Остальные 28.19% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.
Степенной парной регрессии
Тесноту связи результатирующего и факторного признака для степенной парной регрессии определим с использованием коэффициента корреляции:
Подставив известные данные, получим:
Показатель детерминации.
= 0,69
т.е. в 69% случаев изменения факторного признака приводит к изменению и результатирующего признака. Точность подбора уравнения регрессии - средняя. Остальные 31% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели.
4. Средняя ошибка аппроксимации
Линейной парной регрессии
Оценим качество уравнения регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.
Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
Степенной парной регрессии
Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:
Ошибка аппроксимации в пределах 5%-7% свидетельствует о хорошем подборе уравнения регрессии к исходным данным.
Поскольку ошибка больше 7%, то данное уравнение не желательно использовать в качестве регрессии.
5. Оценка с помощью F-критерия Фишера статистической надежности результатов регрессионного моделирования
Линейной парной регрессии
Коэффициент детерминации R2 используется для проверки существенности уравнения линейной регрессии в целом.
Проверка значимости модели регрессии проводится с использованием F-критерия Фишера, расчетное значение которого находится как отношение дисперсии исходного ряда наблюдений изучаемого показателя и несмещенной оценки дисперсии остаточной последовательности для данной модели.
Если расчетное значение с k1=(m) и k2=(n-m-1) степенями свободы больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.
где m - число факторов в модели.
Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости б.
2. Далее определяют фактическое значение F-критерия:
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы:
k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
Степенной парной регрессии
Аналогично линейной парной регрессии проведем оценку степенной парной регрессии
где m - число факторов в модели.
1. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что уравнение в целом статистически незначимо: H0: R2=0 на уровне значимости б.
2. Определяем фактическое значение F-критерия:
;
где m=1 для парной регрессии.
3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.
Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости б. Уровень значимости б - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно б принимается равной 0,05 или 0,01.
4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то говорят, что нет основания отклонять нулевую гипотезу.
В противном случае, нулевая гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-б) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения в целом.
Табличное значение критерия со степенями свободы:
k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32
Поскольку фактическое значение F > Fтабл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).
По результатам анализа делаем вывод, что коэффициенты детерминации как для линейной парной регрессии, так и для степенной парной регрессии являются статистически значимыми.
Поскольку линейная парная регрессии имеет выше коэффициент (показательно) детерминации, считаем, что именно она адекватно описывает зависимость между факторным и результатирующим признаком.
6. Прогнозное значение для среднего значения
Выборочное среднее для линейной парной регрессии составляет 907,4 тыс. руб. Подставляя данное значение в уравнение линейной регрессии y = 0,61 x - 94,7, получим прогнозное значение для среднего значения:
0,61*907,4-94,7=458,8 тыс. руб.
Выводы
Для представленных исходных статистических данных был проведен расчет параметров уравнения регрессии (линейной и степенной). Результаты расчетов приведены в итоговой таблице 4.
Таблица 4 - Итоговая таблица расчета
|
Показатель |
Линейная зависимость |
Степенная зависимость |
|
|
Уравнение |
y = 0,61 x - 94,7 |
y = 0,05x1.3 |
|
|
Коэффициент корреляции |
0,847 |
0,83 |
|
|
Коэффициент детерминации |
0,7181 |
0,69 |
|
|
Ошибка аппроксимации |
12,82 |
12,09 |
|
|
Фактическое значение F-критерия |
20,38 |
17,81 |
Таким образом, по результатам работы выяснено, что между средней заработной платой, выплатами социального характера и потребительскими расходами на душу населения существует прямая положительная связь, которая описывается линейной зависимостью.
Список использованной литературы
1. Вентцель Е.С. Введение в исследование операций. - М., Советское радио, 1964. - 390 с.
2. Таха, Хемди А. Введение в исследование операций, 7-е издание.: Пер. с англ. - М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. - 912 е.
3. Бережная E.В. Математические методы моделирования экономических систем: учебное пособие / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.
4. Питере Т.В поисках эффективного управления / Т. Питере, Р.В. Уотер-ман. - М.: Прогресс, 1986. - 424 с.
5. Эддаус М. Методы принятия решений: уч. пособие / М. Эддаус, Р. Стенсфилд. - К.: МАУП, 2000. - 256 с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Проверка выполнения предпосылок МНК. Значимость параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента и F-критерия Фишера. Средняя относительная ошибка аппроксимации. Гиперболические, степенные и показательные уравнения нелинейной регрессии.
контрольная работа [253,4 K], добавлен 17.03.2011Параметры уравнений линейной, степенной парной. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации, качества уравнений с помощью средней ошибки аппроксимации. Определение прогнозного значения от среднего значения заданного параметра.
контрольная работа [150,5 K], добавлен 22.02.2016Расчет параметров уравнения линейной регрессии, экономическая интерпретация регрессии. Определение остаточной суммы квадратов. Выполнение предпосылок МНК. Расчет коэффициента детерминации, проверка значимости уравнения регрессии с помощью критерия Фишера.
контрольная работа [317,0 K], добавлен 11.05.2009Оценка силы вариации признака. Построение регрессионной модели. Парный линейный коэффициент корреляции. Оценка статистической надежности результатов. Значение коэффициента детерминации. Оценка силы связи признаков. Фактическое значение критерия Фишера.
контрольная работа [165,8 K], добавлен 27.05.2015Основные этапы многофакторного корреляционного анализа и интерпретация его параметров. Назначение коэффициентов эластичности и стандартизированных бетта-коэффициентов. Расчет значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью f-критерия Стьюдента.
контрольная работа [605,2 K], добавлен 29.07.2010Построение корреляционного поля между ценой акции и доходностью капитала. Гипотеза о тесноте и виде зависимости между доходностью и ценой. Расчет коэффициента детерминации. Оценка статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера.
контрольная работа [274,3 K], добавлен 25.09.2013Составление матрицы парных коэффициентов корреляции переменных. Построение линейного уравнения регрессии, характеризирующее зависимость цены от факторов. Оценка статистической значимости параметров в регрессионной модели с помощью t-критерия Стьюдента.
лабораторная работа [1,6 M], добавлен 13.04.2010Порядок построения линейного уравнения парной регрессии, расчет коэффициентов и оценка статической значимости параметров регрессии и корреляции. Точность прогноза. Множественная регрессия и корреляция. Системы эконометрических уравнений. Временные ряды.
контрольная работа [1,3 M], добавлен 24.09.2013Парная линейная регрессия. Полный регрессионный анализ. Коэффициент корреляции и теснота линейной связи. Стандартная ошибка регрессии. Значимость уравнения регрессии. Расположение доверительных интервалов. Расчет параметров множественной регрессии.
контрольная работа [932,7 K], добавлен 09.06.2012Экономическая интерпретация коэффициентов регрессии. Графическое представление фактических и модельных значений точки прогноза, уравнений регрессии (гиперболической, степенной, показательной). Нахождение коэффициентов детерминации и эластичности.
контрольная работа [324,1 K], добавлен 13.04.2010
