Теории надёжности, как самостоятельной науке, уже более 50 лет, за которые она проделала большой путь. Первые работы в рамках данной науки содержали методологические понятия, математические модели создания высоконадёжных технических систем и задачи математической статистики. Данные научные исследования давали представление о различных характеристиках надёжности, заключали в себе методологию по оценке надёжности имеющегося изделия или системы, состоящей из различных изделий. Однако в этих трудах отсутствовало описание рационального поведения технического персонала, не было практических инструкций для повышения надёжности объектов на практике.

Необходимость в подобного рода исследованиях заставила учёных обратить внимание на данное направление. Стали появляться научные работы, в которых авторы изучали оптимальную стратегию для профилактики отдельно работающего изделия. Следующим этапом стали исследования по обслуживанию сложных многоэлементных систем. Данная область в силу своей специфики является широкой и в то же время высоко востребованной. Моя работа в свою очередь также заключена в рамках этой проблемы.

Начав исследование с разбора базовых понятий и обзора накопленного материала по тематике, я приведу свою собственную задачу, а также результаты, которые мне удалось получить.

теория надежность массовое обслуживание

Обзор литературы

Ключевые понятия теории массового обслуживания

Процессы восстановления

Говоря о теории массового обслуживания, в первую очередь стоит обратить внимание на процессы восстановления. “Процесс восстановления является частным случаем случайного потока однородных событий о (t), для которого область значений есть целые неотрицательные числа, и все траектории являются неубывающими ступенчатыми функциями. Чаще всего такой процесс задаётся с помощью совместного распределения случайной последовательности {t_n= t_n (щ), 1?n<?}, которая определяет моменты скачков, а номер n определяет номер скачка процесса о (t). Рекуррентным потоком с запаздыванием называется процесс восстановления, у которого функция распределения времени первого скачка отличается от функции распределения остальных скачков. Ступенчатый случайный процесс о (t) называется потоком с ограниченным последействием, если случайные величины, задающие периоды времени между скачками, взаимно независимы. Простой процесс восстановления можно определить как последовательность независимых положительных одинаково распределённых величин, задаваемых функцией распределения интервала времени между скачками F (t).

Функцией восстановления называют математическое ожидание функции о (t)

Стационарным процессом восстановления называется процесс восстановления, у которого распределение числа восстановлений, произошедших на любом интервале заданной длины, не зависит от расположения этого интервала.

Альтернирующим процессом восстановления называется процесс восстановления, у которого четные и нечётные скачки распределены по двум разным функциям распределения." [2]

Пуассоновский процесс

“Простейшим (пуассоновским) потоком о (t) называется простой процесс восстановления, у которого интервалы между моментами восстановления распределены по экспоненциальному закону

с параметром ." [2]

Пуассоновский процесс обладает рядом свойств:

· Стационарность

· Отсутствие последействия - марковское свойство;

· Ординарность - равенство нулю вероятности нулевой длительности интервала.

Марковский процесс

“Случайный процесс о (t) с непрерывным временем и дискретным множеством состояний E (конечным или счётным) называется марковским, если для любого целого n>0, любого набора моментов 0<t₁<t₂<…<t_n<t_n+1<? и любого набора состояний (e₁,e₂,…e_n,e_n+1), , k=1,2,…,n,n+1 для условных вероятностей справедливо равенство

Полумарковские процессы

В данной части обзора рассмотрим основные понятия, связанные с надёжностью в её математическом понимании, используя трактовки из [1]. В первую очередь, под изделием будем понимать рассматриваемый нами объект или совокупность объектов. “Эксплуатация изделия понимается как совокупность всех фаз его существования: транспортировка, хранение, подготовка к использованию по назначению, обслуживание и ремонт”. Говоря о надёжности элемента, в первую очередь стоит сказать о его качестве. “Качество изделия - совокупность свойств, определяющих степень пригодности изделия для использования его по назначению” [1]. Авторы делают существенный акцент на последнем, подтверждая свои слова примерами из радиоэлектроники.

В течение эксплуатации изделия внутри структуры происходят необратимые процессы, оказывающие, в том числе, влияние на свойства надёжности объекта. Под надёжностью авторы подразумевают склонность изделия к сохранению этих свойств. Иными словами, это процесс изменения качества системы во времени. Что же именно представляет из себя теория надёжности. В книге [1] приведено следующее определение: “Теория надёжности - это новая научная дисциплина, изучающая общие закономерности, которых следует придерживаться при проектировании, испытаниях, изготовлении, приемке и эксплуатации изделий для получения максимальной эффективности от их использования" [1].

Первым базисным понятием в данной науке является безотказность. Под безотказностью авторы понимают “способность изделия сохранять работоспособность (т.е. не иметь отказов) в течение определённого интервала времени в определённых условиях эксплуатации” [1]. Отказ, в свою очередь, представляет из себя нарушение в изделии, ведущее к полной или частичной потере работоспособности. Для наглядности авторы приводят лампы накаливания в качестве изделия, максимально удобного для работы в рамках теории надёжности. Отказы подразделяются на постепенные, в результате постепенного износа изделия, и внезапные, связанные с качеством изделия. Так же авторы приводят третий вид отказов - самоустраняющиеся отказы, которые характерны преимущественно для вычислительных машин.

Другим ключевым термином теории надёжности является долговечность. “Под долговечностью изделия понимают его способность к длительной эксплуатации при необходимом техническом обслуживании, в которое могут входить и различные виды ремонтов” [1]. По окончанию срока, определяющего долговечность, изделие либо невозможно восстановить, либо не выгодно экономически. Измеряться долговечность может как временем работы объекта, так и числом циклов его работы или объемом произведённой работы. Авторы обращают внимание, что для некоторых систем или объектов понятия долговечности и безотказности могут быть синонимичны, однако в общем случае это две разные характеристики надёжности.

Третий показатель надёжности связан с изделиями, которые в течение своего обслуживания подвергаются ремонту и называется ремонтопригодностью. Ремонтопригодность характеризует такие аспекты как время обнаружения отказа, время и стоимость ремонтных работ и прочее. Классификация ремонтно-восстановительных работ приведена в следующей Tаблице 1.

Таблица 1.

Таким образом, теория надёжности, как наука, базируется на трёх вышеупомянутых терминах, совокупность которых и определяет то, что мы называем надёжностью изделия. В свою очередь, качество и надёжность изделия напрямую связаны с экономическими показателями изделия. Перед производителем практически всегда стоит вопрос, какое выбрать сочетание цены и качества изделия, для получения наилучших показателей экономической эффективности. По мнению авторов, необходимо разработать систему, связывающую факторы, влияющие на надёжность изделия, и его себестоимость. Приведу слова авторов о задачах теории надёжности как науки в их понимании. “Теория надёжности устанавливает и изучает количественные характеристики (критерии) надёжности, исследует связь между показателями экономичности, эффективности и показателями надёжности;

разрабатывает методы проведения испытаний на надёжность и методы обработки и оценки результатов этих испытаний;

разрабатывает методы контроля надёжности, методы оптимальных режимов профилактических (регламентных) работ при эксплуатации изделий, методы обоснования норм запасных частей (элементов, деталей).

В теории надёжности разрабатываются методы установления режимов и выбора характеристик, обеспечивающих оптимальную надёжность, методы выбора оптимальных конструкций и схем, обеспечивающих заданную надёжность, оптимальные методы отыскания неисправностей в сложной аппаратуре и т.п.

При решении задач теория надёжности использует результаты исследований физических и химических процессов, лежащих в основе явлений, связанных с потерей качества” [1].

Авторы приводят перечень основных математических методов, используемых в теории надежности. Это базовые методы таких дисциплин, как:

· теория вероятностей и математическая статистика

· теория информации

· теория массового обслуживания

· линейное и нелинейное программирование

· математическая логика

· статистическое моделирование

В завершение раздела авторы приводят различные примеры, показывающие что в различных ситуациях приоритетными оказываются разные характеристики надёжности, и решать каждую задачу нужно отталкиваясь от специфики эксплуатации изделия.

Надёжность элемента, работающего до первого отказа

Завершив раздел, связанный с основными понятиями, авторы [1] изучают характеристики надёжности элементов, работающих до первого отказа.

За t=0 обозначим момент начала работы изделия, а t=ф является моментом отказа, при этом ф будем называть временем жизни элемента. Время жизни изделия является случайной величиной, распределённой по следующему закону распределения

Величина Q (t) отражает вероятность отказа элемента до момента времени t. Авторы обращают внимание на то, что предположение о моделировании ф как случайной величины является серьезным допущением по ряду факторов, однако является лучшим на данный момент математическим средством.

Наряду с временем жизни часто употребляется другая функция

подразумевающая вероятность безотказной работы за время t. Иначе эту функцию называют функцией надёжности. Она представляет из себя монотонно убывающую функцию, равную 1 в нуле и имеющую предел

Примерный вид этой функции приведён ниже на рис.1.

Рис. 1.

Далее авторы рассматривают такую характеристику надёжности как опасность отказа. Фактически, она выражается следующим образом

Решив это уравнение относительно P (t), получим

.

Накопленный опыт в данной области показывает, что обычно функция выглядит подобно тому, как это изображено на рис. 2.

Рис. 2.

Как мы видим на рисунке, график разделён на три области. Первая область именуется периодом приработки и большие значения функции связаны с тем, что на этом этапе происходит выявление бракованных изделий или других проблем, связанных с эксплуатацией.

После периода приработки следует область нормальной работы, а низкие значения функции объясняются тем, что бракованные изделия уже сломались, а остальные изделия имеют маленькую вероятность отказа в связи с небольшим износом.

Последний этап, называемый периодом старения, связан с постепенным возрастанием значений функции из-за необратимых процессов в изделии, связанных с износом.

Согласно этой структуре, авторы говорят о том, что первый период обычно не продолжительный и не берётся в рассмотрение, а срок службы изделия по документации заканчивается раньше периода старения. Исходя из этих соображений, можем принять, что

,

а, следовательно, функция надёжности выглядит как

Иными словами, мы пришли к экспоненциальному закону распределения с вероятностью отказа

и плотностью

По этому поводу авторы говорят следующее: “Экспоненциальный закон очень популярен в теории надёжности. Эта популярность объясняется тем, что экспоненциальный закон физически очень естественный, прост и удобен для использования. Почти все задачи, возникающие в теории надёжности для экспоненциальных законов распределения, оказываются на порядок проще чем для произвольных законов. Почти все формулы в теории надёжности в случае экспоненциального закона резко упрощаются.

Основная причина этого состоит в том, что экспоненциальный закон надёжности обладает следующим важным свойством: для экспоненциального закона вероятность безотказной работы на данном интервале (t,t+ ф) не зависит от времени предшествующей работы t, а зависит только от длины интервала ф". Из теории массового обслуживания это свойство мы знаем как марковское свойство. Математически оно выглядит следующем образом

Несмотря на участившуюся критику в сторону использования экспоненциального закона в связи с частыми случаями, когда его использование не оправдано контекстом задачи, оно остаётся самым распространённым и самым часто применяемым на практике.

Надёжность восстанавливаемого элемента

Постановка новой задачи