Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство науки и образования РК

Актюбинский Государственный университет им. К. Жубанова

КУРСОВАЯ РАБОТА

на тему:

Продуктивность и прибыльность модели Леонтьева

Актобе, 2010 г.

Содержание

Пусть потребность непроизводственной сферы выражается вектором спроса, т.е. вектором С, вектор выпуска - вектором Х, структурная матрица экономики, т.е. матрица, элементами которой являются коэффициенты прямых затрат, - матрицей А, то соотношение баланса в матричной форме будет иметь вид:

С = Х - А*Х или С = (Е - А)*Х,

где Е - единичная матрица

Одна из основных задач межотраслевого баланса - найти при заданной структурной матрице экономической системы в условиях баланса совокупный выпуск, необходимый для удовлетворения заданного спроса. То есть необходимо найти вектор производства, удовлетворяющий уравнению баланса, при этом, учитывая экономическую интерпретацию, этот вектор производства должен быть неотрицательным. Поэтому говорят, что модель Леонтьева продуктивна, если уравнение X - AX = C имеет неотрицательное решение для любого С ? 0, т.е. матрица А позволяет произвести любой неотрицательный вектор потребления.

Теорема. Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если существует неотрицательная матрица, обратная к Е - А.

В самом деле, пусть Е - A имеет обратную матрицу и эта матрица (Е - А)-1 неотрицательна, тогда Х = (Е - А)-1С и поскольку С ? 0, то и Х ? 0.

Рассмотрим еще один критерий продуктивности. Пусть модель Леонтьева задана матрицей размерами nЧn. Обозначим через N множество {1, …, n}. Пусть S N (S - подмножество N). Говорят, что подмножество S изолировано, если a_ij = 0, всякий раз, когда j S, i N\S (N без S, т.е. N-S). Понятие изолированности подмножества S допускает прозрачную экономическую интерпретацию: отрасли, номера которых принадлежат S, не используют товары, производимые в отраслях с номерами, не принадлежащими S.

Матрица называется неразложимой, если в ней нет изолированных подмножеств, кроме S = N или S = Ш (пустое множество). Понятие неразложимости также имеет прозрачный экономический смысл: любая отрасль использует, хотя бы косвенно, продукцию всех отраслей. Ведь если a_ij ? 0, то j-я отрасль непосредственно использует продукцию i-й отрасли. Но если даже a_ij = 0, т.е. j-я отрасль не использует продукцию i-й отрасли непосредственно, все равно при неразложимой матрице от данной отрасли до любой другой можно найти цепочку отраслей, использующих продукцию друг друга.

Для неразложимых матриц условие продуктивности выглядит так: если сумма элементов каждой строки не больше единицы и хотя бы для одной строки строго меньше единицы, то модель Леонтьева с этой матрицей продуктивна.

Для продуктивности действительно есть основания: продукции каждой отрасли хватает для нужд самого производства, более того, есть отрасль, продукция которой даже остается на потребление, а неразложимость, т. е. взаимосвязанность всех отраслей, позволяет надеяться на то, что этот остаток может преобразоваться в остатки на потребление и продукции других отраслей.

Для матрицы А число л называется собственным числом, если найдется ненулевой вектор Y, такой, что AY = лY. Такой вектор также называется собственным вектором, отвечающим данному собственному числу л (вектор Y не определяется по л однозначно - всякий вектор, ему пропорциональный, также будет собственным вектором, отвечающим этому же собственному числу л).

Модель Леонтьева с матрицей А продуктивна, если и только если матрица имеет собственное число лА<1, которое к тому же является наибольшим по модулю из всех собственных чисел матрицы.

2.2 Цены в системе межотраслевых связей

Цены в открытой системе межотраслевых связей определяются из системы уравнений, каждое из которых устанавливает, что цена единицы продукции производящего сектора должна быть равна совокупным издержкам производства в расчете на единицу выпущенной в этом секторе продукции. В издержки входят не только плата за ресурсы, приобретенные в данной отрасли и других отраслях, но и добавленная стоимость (зарплата, прибыль предпринимателей, правительственные налоги и др.).

Обозначим:

v_i - суммарные платежи за одну единицу произведенной i-м сектором продукции;

p_j - цена единицы продукции j-го сектора;

b_i,j - объем товаров и услуг i-го сектора, потребляемых при производстве продукции в j-м секторе. Тогда

n

x_i p_i = ?b _ji + v_i x_i,

j=1

но поскольку b_ij = a_ij.x_j,

n

то x _i p_i = ? a _ji x _i p _j + v_i x _i.

j=1

Разделив на ненулевые xi, получим для искомых цен систему уравнений в матричной форме:

(Е-А)Т.Р = V,

где А - структурная матрица экономики;

V - заданный вектор платежей;

Р - искомый вектор цен.

Тогда цены Р можно найти по формуле

Р = ((Е-А)Т)-1V,

или, что то же самое

Р = ((Е-А)-1)ТV.

Поскольку ХТV = XT(Е-А)ТP = ((Е-А)X)T = CTP, то для рассмотренной модели межотраслевого баланса справедливо тождество:

n n

?x _i v_i = ? c_i p_i

i =1 i =1

Левая часть этого тождества равна общей сумме добавленных стоимостей, выплачиваемых в сектор конечного спроса, а правая часть - суммарная стоимость продукции, поставленной производственными секторами в сектор конечного спроса. Другими словами, приведенное тождество подтверждает совпадение произведенного и использованного национального дохода.

2.3 Прибыльность модели Леонтьева

n

x_i - ? a_ijx_j = y_i, i = 1, …, n (1)

j =1

Балансовая модель Леонтьева называется работоспособной или продуктивной, если она разрешима в неотрицательных x_i ? 0, i = 1, …, n.

Двойственной к системе (1) называется следующая система линейных уравнений для цен продуктов j:

n

p_j - ? a_ij p_i = v_j, j = 1, …, n, (2)

j =1

где v_j добавленная стоимость на единицу выпуска j-й отрасли. n j =1

Поскольку ? a_ij p_i сумма издержек на единицу выпуска j-й отрасли, то в левой части каждого уравнения (2) стоит чистый доход от единичного выпуска j-ой отрасли, который и приравнивается к добавленной стоимости v_j.

Система (2) называется прибыльной, если она разрешима в неотрицательных p_j? 0, j = 1, …, n.

Продуктивность (1) и прибыльность (2) эквивалентны: из продуктивности (1) следует прибыльность (2) и наоборот.

2.4 Практический пример

Пусть все народное хозяйство состоит из двух отраслей: сельского хозяйства (производство пшеницы) и промышленности (изготовление ткани). Производимая продукция распределяется на производственное потребление в указанных отраслях и на конечное использование (непроизводственное потребление, накопление и т. п.). На производство каждого вида продукции расходуются средства производства (два вида) и труд. Все показатели экономики за год систематизируются в таблице (табл. 1).

межотраслевой балансовый продуктивность прибыльность

Таблица 1

Межотраслевой баланс в натуральном выражении

Строки 1, 2 характеризуют распределение продукции на различные нужды, столбцы 1, 2 содержат данные о затратах на производство. Поэтому каждый элемент выделенной жирной линией таблицы 2 Ч 2 имеет двоякое содержание, например, число (*) - это, с одной стороны, часть распределенной продукции сельского хозяйства, с другой стороны - элемент затрат на производство промышленной продукции. Строка 3 - распределение затрат труда, столбец 3 - натуральный состав конечного использования продукции, а также затраты труда в непроизводственной сфере (40 единиц). Итоговый столбец суммирует общие объемы производственной, распределенной продукции и затраты труда.

Возможно построение МОБ в ценностном выражении. Пусть цена 1 кг пшеницы составляет 2 у.е., 1 м ткани - 5 у.е., стоимость, создаваемая за один чел./год, - 1 у.е. Для построения таблицы МОБ в ценностном выражении необходимо умножить строки табл. МОБ в натуральном выражении на 2, 5 и 1, соответственно. Получим таблицу (табл. 2).

Таблица 2

МОБ в ценностном выражении (в у.е.)

Таблица характеризует структуру валового и конечного общественного продукта по материально-вещественному и стоимостному составу. Ценностные измерители позволяют определить общие затраты на производство продукции отраслей и основные макроэкономические показатели. Итоги строк и столбцов совпадают. В табл. 2 пронумерованные ячейки имеют следующие значения:

1) - валовой общественный продукт или сумма продукции отраслей;

2) - промежуточный продукт или сумма потоков (сумма элементов) выделенной таблицы 2Ч2 равна 50 + 40 + 70 + 30 = 190;

3) - учет продукции или общих доходов непроизводственной сферы.

Для построения МОБ для отраслевой экономической модели вводят следующие обозначения и определения.

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А - квадратная, невырожденная, продуктивная, ее определитель не равен нулю. Y - вектор конечной продукции. Матрица коэффициентов полных материальных затрат В определяется с помощью матрицы А, исходя из следующих соотношений.

Точный способ определения матрицы полных материальных затрат:

, (1)

где Е - единичная матрица соответствующей размерности, такой же, как у А.

По приближенному способу, выражение для B имеет вид

. (2)

При этом способе вычислений учитываются только косвенные материальные затраты до некоторого порядка, например, третьего, как это показано в (2). Вектор X - валовой продукции - определяется по формуле векторного произведения:

. (3)

В итоге, получаем МОБ в виде таблицы (табл. 3).

Таблица 3

МОБ производства и распределения продукции

Заключение

Развитие любого общества неизбежно связано с изменениями объёмов производства и структуры межотраслевых поставок продукции. Изменение объёмов и структуры поставок продукции может иметь различные последствия для функционирования национальной экономики. Для оценки ожидаемых изменений параметров производства и распределения продукции в масштабах страны современная экономическая теория рекомендует использование модели межотраслевого баланса «Затраты - Выпуск», называемой также моделью В. Леонтьева.

Модель В. Леонтьева представляет собой шахматную таблицу, отражающую связи между объёмами затрат на производство продукции (в отраслевом разрезе), с одной стороны, и объёмами производимой отраслями продукции, с другой стороны. В работе рассмотрены продуктивность и прибыльность модели Леонтьева.

Список литературы

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М., 1984

2. Бахтин А.Е. Математическое моделирование в экономике. Учеб. пособие. Новосибирск. Изд-во НГАЭиУ, 1995

3. Березнева Т.Д. Некоторые асимптотические свойства оптимальных траекторий динамической межотраслевой модели. Экономика и математические методы. 1972. Т. 12. №4

4. Волконский В.А. Принципы оптимального планирования. М., 1973

5. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М. Наука, 1979

6. Колемаев В.А. Математические модели макроэкономической динамики. М. ГАУ им. С. Орджоникидзе, 1996

7. О построении оптимального экономического плана. С.В. Дубовский, Л.Н. Дюкалов, Ю.Н. Иванов, В.В. Токарев, Л.П. Уздемир, Ю.М. Фаткин. Автоматика и телемеханика. 1972. Вып. 8

8. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. М. Наука, 1975

9. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимального управления. М. Наука, 1976.

10. Цевелев В.В., Савиных В.Н., Ивасенко А.Г. Математические методы и модели рыночной экономики. Ч. I. Методические указания и задания к курсу ЭММ. Москва, 1996.

Размещено на Allbest.ru