Використання диференціального числення до дослідження операцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

КРАСНОАРМІЙСЬКИЙ ІНДУСТРІАЛЬНИЙ ІНСТИТУТ

ДЕРЖАВНОГО ВИЩОГО НАВЧАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ

ДОНЕЦЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

КУРСОВА РОБОТА

з предмету «Основи моделювання господарських рішень»

на тему

Використання диференціального числення до дослідження операцій

Виконав

Грязнов Ігор Олександрович

Красноармійськ - 2011

РЕФЕРАТ

диференційне числення економічний аналіз

У роботі розглядається диференційне числення та його застосування в економічному аналізі. Досліджуються умови, які використовуються при аналізі функцій. Також у роботі вивчається застосування диференційного числення до дослідження економічних операцій та розрахунків.

Предмет дослідження: Диференціальне числення.

Метою дослідження є - розглянути застосування математичних методів в економічному аналізі.

Об'єктом дослідження є дослідження функцій, та умови існування їх параметрів

В цілому при виконанні роботи застосовувались теоретичного дослідження, що і дозволяє, до певної міри дослідити об'єкт.

Ключові слова: ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ, ФУНКЦІЯ, ЕКСТРЕМУМ, ТОЧКА, АСИМПТОТИ, ЕКОНОМІЧНИЙ АНАЛІЗ, ОБСЯГ ВИРОБНИЦТВА

ПЛАН

ВСТУП

1. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

1.1 Зростання і спадання функцій

1.2 Необхідна і достатня умови зростання і спадання функцій

2. ПОНЯТТЯ ЕКСТРЕМУМУ ФУНКЦІЇ

2.1. Необхідні умови існування екстремуму

2.2. Достатні умови існування екстремуму

3. ОПУКЛІСТЬ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ. ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ

3.1 Опуклість графіка функції

3.2 Точки перегину

4. АСИМПТОТИ КРИВОЇ

5. ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЕКОНОМІЦІ

ВИСНОВОК

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

ВСТУП

Сучасна економічна наука характеризується широким використанням математики. Математичні методи стали складовою частиною методів будь-якої економічної науки, включаючи економічну теорію. Її використання в єдності з докладним економічним аналізом відкриває нові можливості для економічної науки й практики.

Сучасна економічна теорія, як на мікро-, так і на макрорівні, включає як природний, необхідний елемент математичні моделі й методи.Використання математики в економіці дозволяє, по-перше, виділити й формально описати найбільш важливі, істотні зв'язки економічних змінних й об'єктів: вивчення настільки складного об'єкта припускає високий ступінь абстракції.По-друге, із чітко сформульованих вихідних даних і співвідношень методами дедукції можна одержувати висновки, адекватні досліджуваному об'єкту тією самою мірою, що й зроблені передумови.По-третє, методи математики й статистики дозволяють індуктивним шляхом одержувати нові знання про об'єкт: оцінювати форму й параметри залежностей його змінних, найбільшою мірою відповідним наявним спостереженням.Нарешті, по-четверте, використання мови математики дозволяє точно й компактно викладати положення економічної теорії, формулювати її поняття й висновки.

Використання диференціального числення до аналізу економічних операцій дозволяє провести дослідження функцій для прийняття оптимальних рішень, а також для інших економічних задач. Допомогає у вирішенні задач, пов'язаних з обсягом випуску, витратами, доходом та прибутком.

1. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ

Диференційне числення -- розділ математики, в якому вивчаються похідні, диференціали та їх застосування в дослідженні властивостей функцій. Формування диференціального числення пов'язано з іменами Ісаака Ньютона та Ґотфріда Лейбніца. Саме вони чітко сформували основні положення та вказали на взаємообернений характер диференцюювання та інтегрування. Створення диференціального числення (разом з інтегральним) відкрило нову епоху у розвитку математики. З цим пов'язані такі дисципліни як теорія рядів, теорія диференціальних рівнянь та багато інших. Методи математичного аналізу знайшли використання у всіх розділах математики. Дуже поширилася область застосування математики у природничих науках та техніці.[2]

1.1 Зростання і спадання функцій

Розглянемо спочатку найпростіший випадок - постійну (на деякому інтервалі) функцію. Зі сталості функції випливає рівність нулю її похідній. У цьому випадку говорять, що рівність нулю похідній на деякому інтервалі є необхідна умова сталості функції на цьому інтервалі. Можна легко довести, що й, навпаки, з рівності нулю похідної функції на деякому інтервалі показує її сталість на цьому інтервалі. У цьому випадку говорять, що сталість функції на деякому інтервалі є достатню умову рівності нулю похідної цієї функції на тім же інтервалі.[1, c.60]

1.2 Необхідна і достатня умови зростання і спадання функцій

Перейдемо тепер до розгляду зростаючих й спадаючих функцій. Ми сформулюємо необхідні й достатні умови зростання й убування функцій на деякому інтервалі.

Необхідна умова зростання функції. Якщо диференційована функція y=f(x), х є (а;b), зростає на інтервалі (а;b), то f(х₀) 0 для будь-якого х₀ є (а;b).

З визначення зростаючої функції маємо: для будь-яких x₀ є (а;b), x є (а,b)з х > х₀ витікає, що f(x) >f(x₀). а з х < х₀ витікає, що f(x)>f(x₀).

В обох випадках , а отже, , f(x₀)

Необхідна умова спадання функції. Якщо диференційована функція y=f(x), х є (а;Ь), спадає на інтервалі (а;Ь), то f(x₀), для будь-якого х₀ є (а;b).

Доказ цього твердження аналогічно попередньому. Достатні ознаки монотонності функції випливають із наступних двох тверджень, які ми приводимо без доказу.

Достатня умова зростання функції. Якщо функція,y=f(x), х є (а;b), має позитивну похідну в кожній точці інтервалу (а;b), то ця функція зростає на інтервалі (а;b).

Рис. 1. Зростання та спадання ф-цій.

Достатня умова спадання функції. Якщо функція y=f(x), х є(а;b), має негативну похідну в кожній точці інтервалу (а;b), то ця функція спадна на інтервалі (а;b).

Проілюструємо ці умови на мал. 4.1а, на якому наведена функція, що зростає в інтервалах -< х < х₂і х₄< х< + йспадна в інтерваліх₂< х < х_4.

2. ПОНЯТТЯ ЕКСТРЕМУМУ ФУНКЦІЇ

Точка з області визначення функціїf(х) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться така - околиця(х₀ - ; х₀ +) точки х₀, що для всіх x х₀ із цієї околиці виконується нерівність f(x)<f(x₀) . [1, c.61]

Точка х₀ з області визначення функціїf(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться така - околиця (x₀ - ;х₀ + ) точких₀, що для всіхх х₀ із цієї околиці виконується нерівністьf(x)<f(x₀).

Точки мінімуму й максимуму називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках називаються екстремумами функції. Розглянемо графік функції y=f(x), х є [а;b], (Рис. 2). Точки х₁ іх₃ є точками максимуму, а х₂і х₄ точками мінімуму. З мал. 4.16 видно, що мінімум у точці х₄ більше максимуми даної функції у точці x₁. Це пояснюється тим, що екстремум функції пов'язаний з певною- околицею.

Рис. 2

Точки екстремуму, а не з усією областю визначення функції. Із цієї причини вживається термін "локальний екстремум", тобто екстремум, пов'язаний з даним місцем. Цим же пояснюється й той факт,що точкиa іb не відносять до точок екстремуму . Для них не існує - околиці, що належить області визначення функції.

2.1 Необхідні умови існування екстремуму

Необхідні умови існування екстремуму дає теорема Ферма, якщо точка х₀ є точкою екстремуму функції y=f(x) і в цій точка існує похідна f(х₀), то f(х₀) =0.

Ця теорема має простий геометричний зміст: дотична до графіка функції y=f(х) у точці, що задовольняє умовам теореми Ферма, паралельна осі абсцис (Рис 2.1) [1,c.62]

Рис. 2.1. Теорема Ферма.

Рис. 2.2 Рис. 2.3

Точка, у яких похідна функції перетворюється в нуль або не існує, називаються критичними точками (першого роду).

Приклад 1. Похідна функції f(x) = х² у крапці х₀=0 перетворюється в нуль , як видно з мал. (Рис 2.2), у цій точці дана функція має екстремум (мінімум). Теорема Ферма дає лише необхідну умову існування екстремуму, але не достатнє.

Приклад 2. Похідна функції f(x) = х³ у крапці х₀ = 0 перетворюється в нуль, а екстремуму в цій точці функція не має (Рис 2.3) Як показують наступні приклади, і в тих критичних крапках, у яких похідна не існує, функція також може мати або не мати екстремум.

Приклад 3. Функція f(x)=точці х₀ = 0 не має похідної (Рис 2.3). Однак, як видно з мал. 4.3в, у точці x₀ = 0 вона має екстремум (мінімум).

Приклад 4. Розглянемо функцію f(x)= (Рис. 2.4). За графіком видно, що в точці х₀ = 0 дана функція екстремуму не має. Похідна у розглянутій точці не існує.

Таким чином, екстремум функції, якщо він існує, може бути тільки в критичних точках. Однак не у всякій критичній точці функція має екстремум. Щоб з'ясувати, у яких критичних точках функція має екстремум, розглянемо достатні умови існування екстремуму.

Рис. 2.3 Рис 2.4

2.2 Достатні умови існування екстремуму

Перша достатня умова екстремуму. Нехай функціяy=f(x) безперервна в точці х₀ ів деякій її околиці має похідну, інколи самої крапки х₀. [1, c.63]

Тоді:

1) якщо похідна f(х) при переході через точку х₀ змінює знак із плюса на мінус, то х₀ є точкою максимуму.

2) якщо похідна f (х) при переході через точку х₀ змінює знак з мінуса на плюс, то х₀ є точкою мінімуму.

3) якщо похіднаf (х) при переході через точку не змінює знак, то в точці х₀ функція f(x) не має екстремуму.

Приклад 5. Дослідити на екстремум функцію y=f(х)=(2х+1

1) Знаходимо похідну даної функції

2) Знаходимо критичні точки:

а) вирішуючи рівняння одержимо х = 1.

б)f(x) не існує при х = 2.

Отже, критичні точки: х₁ = 1 і х₂ -- 2.

3) Методом пробних точок визначаємо знак похідній у кожному з інтервалів: (-?; 1), (1; 2), (2; +?) (Рис. 2.5) Звідси випливає х₁ = 1 - точка максимуму, а х₂ = 2 -точка мінімуму.

4) Обчислюємо значення даної функції в точках екстремуму

y_max=f(1)=3; y_min=f(2)=0

Рис. 2.5

Друга достатня умова екстремуму. Якщо функціяy=f(х) визначена й двічі диференційована в деякій околиці точки х₀, причому f(x₀)=0, f'(x₀)0, то в точці х₀ функція f(х) має максимум, якщо f''(x₀) < 0, і мінімум, якщоf"(х₀) > 0.

Приклад 6.

Дослідити на екстремум функціюy= (х³)-2х²+Зх-4.

1) Знаходимо похіднуf(х)=((х³)-2х²+Зх-4)'=х²-4х+З. .

2) Вирішуючи рівняння х² - 4х + 3 = 0, знаходимо критичні точки: х₁ = 1 і х₂ = 3.

3) Знаходимо другу похідну:f'(х) = (f(x))' = 2х - 4.

4) Визначаємо знак другої похідної в критичних точках, для чого обчислюємоf'(1) = -2 < 0 і f'(3) = 2 > 0. Отже, х₁ = 1 - точка максимуму, а х₂ = 3 - точка мінімуму.

5) Обчислюємо максимальне й мінімальне значення функції

y_max=f(1)= -, y_min=f(3)=-4 Помітимо, що у випадку, коли друга похідна в критичній точці обертається в нуль або не існує, друге правило знаходження екстремуму за допомогою другої похідної незастосовно. У цьому випадку дослідження функції на екстремум можна проводити за першим правилом.

Приклад 7.

Дослідити на екстремум функцію f(х) = х⁴ - 2.

1) Знаходимоf(х) = 4x³.

2) Вирішуючи рівняння 4х³ = 0, одержуємо критичну точку х=0.

3) Знаходимо f'(х) =12х².

4) Обчислюємоf'(0)=0.У критичній точці друга похідна обертається в нуль, тому дослідження проводимо за першим правилом. Тому щоf(х) < 0 при х < 0, аf(х) > 0 при х > 0, то в точці х = 0 дана функція має мінімум, причому f_min=f(0) = -2. [1,c.64]

3. ОПУКЛІСТЬ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ. ТОЧКИ ПЕРЕГИНУ

3.1 Опуклість графіка функції

При дослідженні поводження функції й форми її графіка корисно встановити, на яких інтервалах графік функції звернений опуклістю нагору, а на яких - опуклістю вниз. Насамперед з'ясуємо поняття опуклості графіка функції, що має на деякому інтервалі безперервну похідну.

Визначення. Графік функціїy=f(х), х є (а;b) називається опуклим нагору (увігнутим униз) на інтервалі (а;b), якщо графік розташований нижче (точніше не вище) будь-якій своїй дотичній (див. мал. 5). Сама функція f(х) також називається опуклою нагору (увігнутою вниз).

Визначення. Графік функціїy=f(х), х є (а;b) називається опуклим униз (увігнутим нагору) на інтервалі (а;b), якщо він розташований вище (точніше не нижче) будь-якій своїй дотичній (Рис. 3.1). Сама функція f(x) також називається опуклою вниз (увігнутою вверх).

На інтервалі опуклості нагору (увігнутості вниз) похідна функції убуває. Справді, з рис 3.1 видно, що зі зростанням аргументу х величина кута б, утвореного дотичній з позитивним напрямком осі Ох, убуває, приймаючи значення

Рис. 3.1 Рис. 3.2

між і -. При цьому tga = f(x) також убуває, приймаючи значення між +? і -?.

З рис. 3.2 аналогічним образом бачимо, що на інтервалі опуклості вниз (увігнутості нагору) похідна f(х) зростає. Можна показати, що мають місце й зворотні твердження. Достатня умова опуклості графіка функції. Якщо на інтервалі (а;b) двічі диференцюєма функціяy=f(х), х є (а;b) має негативну (позитивну) другу похідну, то графік функції є опуклим нагору (униз). Допустимо для визначеності, що f(x) < 0 для всіх х є (а;b). Розглянемо похідну f(х) як функцію від х, аf'(х) - як її першу похідну. Тоді функція f(х) убуває на інтервалі (а;b), а отже, по відзначеному вище графік функціїy=f(х) на цьому інтервалі є опуклим нагору. Аналогічно, якщо f'(x)> 0 для всіх х є (а;b), тj графік функціїy=f(х) на інтервалі (а;b) є опуклим униз. Досліджувати на опуклість графік функціїy=f(х) означає знайти ті інтервали з області її визначення, у яких друга похідна f'(x) зберігає свій знак. Помітимо, що f(x) може міняти свій знак лише в точках, де f"(х)=0 або не існує. Такі точки прийнято називати критичними точками другого роду.

Приклад 8.

Дослідити на опуклість графік функції f(х)= х³ - Зх² + 2х + 1. Дана функція визначена на всій числовій прямій. Знаходимо критичні точки другого роду f(х) = Зх³ - 6х + 2,f'(х) = 6х - 6, 6х - 6 = 0, тобто х = 1. Отже, х = 1 - критична точка другого роду. Методом подібних точок визначаємо знакf'(х) у кожному зінтервалів (-?;1) і (1,+?), Так, при х = 0 є (-?,1) маємо,

f'(0) = -6 < 0, а прих = 2 є (1,+?) маємо f'(2) = 6 > 0, отже, у точці х = 1 похідна f'(х) міняє знак з мінуса на плюс. Отже, на інтервалі (-?;1) графік даної функції звернений опуклістю нагору, а на інтервалі (1,+?) - опуклістю вниз. (Рис. 3.3).

Рис. 3.3

3.2 Точки перегину

Визначення. Точка графіка безперервної функції f(х), у якій існує дотична й при переході через яку графік функції міняє напрямок опуклості, називається крапкою перегину. Відповідно до визначення в точці перегину дотична до графіка функції з однієї сторони розташована вище графіка, а з іншого боку - нижче, тобто в крапці перегину дотична перетинає криву (Рис.3.4) [1, c.65]

Рис 3.4

Необхідна умова існування точки перегину. Якщо функціяy =f(х) має безперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі (а;b) і крапка (х₀, f(х₀)), де х₀ є (а;b), є точкою перегину графіка функції f(х), то f"(х₀) = 0.

Так як точка (х₀; f(x₀)) є точкою перегину, то ліворуч і праворуч від х₀ функція f (х) має різні знаки. Але тоді в силу безперервності другій похідній маємо f'(x₀) = 0.

Достатня умова існування точки перегину. Якщо функція y=f(х), х є (а,b) двічі диференційована на інтервалі (а;b) і при переході через х₀ є (а,b) друга похіднаf'(x) міняє знак, то точка кривої з абсцисою х = х₀ є точкою перегину.

4. АСИМПТОТИ КРИВОЇ

Пряма, що має рівнянняy=kx+b, називається похилої асимптотою графіка функції y=f(х) при х>?, якщо.

Звідси.

Має місце й зворотне: з останніх співвідношень треба, що пряма y=kx=b є похилою асимптотою графіка функції у=f(x). По виведених формулах обчислюються кутовий коефіцієнтk і початкову ординатуb двох асимптотy=kx+b окремо при х>+? й при х>-?. Очевидно, що якщоk = 0, то рівняння асимптоти прийме вид y=b. [1, c.66]

Визначення. Асимптота, обумовлена рівнянням у=b, називається горизонтальної асимптотою.

Визначення. Пряма, що має рівняння х=а, називається вертикальної асимптотою, якщо .

Для визначення вертикальних асимптот варто відшукати ті значення х, поблизу який функція f(х) необмежено зростає по модулю. Звичайно це точки розриву другого роду даної функції.

Приклад 9. Знайти асимптоти графіка функції f(x)=.

Так як=, то пряма х = 2 є вертикальною асимптотою. Знаходимо

Рис. 4.1

Отже, пряма, що має рівнянняy = х + 2, є похилою асимптотою графіка даної функції при х>±?. Таким чином, графік даної функції має вертикальну асимптоту, що має рівняння х = 2, і похилу асимптоту, що має рівнянняy = х + 2 (Рис. 4.1).

Загальна схема дослідження функцій і побудови графіків

З обліком викладеного вище можна рекомендувати наступну схему дослідження функції й побудови її графіка:

1) знайти область визначення функції;

2) дослідити функцію на парність і непарність;

3) дослідити функцію на періодичність

4) дослідити функцію на безперервність, знайти точки розриву;

5) знайти критичні точки першого роду;

6) знайти інтервали монотонності й екстремуми функції;

7) знайти критичні точки другого роду;

8) знайти інтервали опуклості й точки перегину;

9) знайти асимптоти графіка функції;

10) знайти точки перетинання графіка функції з осями координат (якщо це можливо);

11) побудувати графік функції.

5.ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ В ЕКОНОМІЦІ

Як приклад розглянемо задачу вибору оптимального обсягу виробництва фірмою, функція прибутку якої може бути змодельована залежністю

1. Знаходимо похідну цієї функції

2. Дорівнюємо похідну нулю

Чи є об'єм випуску, рівний чотирьом оптимальним для фірми? Щоб відповісти на це питання, треба проаналізувати характер зміна знака похідній при переході через точку екстремуму.

3. Аналізуємо характер зміни знака похідній

Приq<q_extr = 4>р'(q) < 0 і прибуток убуває.

Приq<q_extr = 4>р'(q) > 0 і прибуток зростає.

Отже, у точці екстремумуq_extr = 4 прибуток приймає мінімальне значення, і в такий спосіб цей обсяг виробництва не є оптимальним для фірми.

4. Ухвалення рішення.

Яким же буде оптимальний об'єм випуску для фірми? Відповідь на це питання залежить від додаткового дослідження виробничих потужностей фірми. Якщо фірма не може робити за розглянутий період більше 8 одиниць продукції (р(q=8)=р(q=0)=10), то оптимальним рішенням для фірми буде взагалі нічого не робити, а одержувати доход від здачі в оренду приміщень та/або встаткування. Якщо ж фірма здатна робити за розглянутий період більше 8 одиниць продукції, то оптимальним рішенням для фірми буде випуск на межі своїх виробничих потужностей. [1, c.70]

ВИСНОВОК

Так як сучасні економічні відносини потребують прийняття швидкісних, точних рішень то до прийняття їх повинні проводитись розрахунки та дослідження можливого позитивного або негативного результату. Також потрібен розрахунок оптимального об'єму випуску відносно витрат та доходу. Використання диференціального числення дозволяє проводити відносно точні розрахунки.

Економічний аналіз як наука являє собою систему спеціальних знань, які базуються на законах розвитку і функціонування систем і направлені на пізнання методології оцінки, діагностики і прогнозування фінансово-виробничої діяльності суб'єктів господарювання.

Використання математичних методів в науках стало невід'ємною частиною дослідження, це не обходить і економічну теорію. Диференціальне числення використовується в економічному аналізі, це дає нові можливості для економічної науки й практики.

Розкривши тему диференціального числення, та його використання до дослідження операцій в економіці неможливо не помітити наскільки важливе дослідження функцій для прийняття оптимальних рішень, а також для інших економічних задач.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Замков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. - М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис», 1999. -- 368 с.

2. http://uk.wikipedia.org/

3. http://slovari.yandex.ru/~книги/БСЭ/Дифференциальное%20исчисление/

4. http://bse.sci-lib.com/ “Большая Советская Энциклопедия (БСЭ)”

5. http://econom-analiz.ru/

Размещено на Allbest