Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления
Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией. Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией. Метод параллельной декомпозиции.
| Рубрика | Экономико-математическое моделирование |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 23.02.2010 |
| Размер файла | 2,2 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Анализ объекта управления
1.1 Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
1.2.1 Матрица Фробениуса
1.2.2 Метод параллельной декомпозиции
2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом
3. Оптимальная l - проблема моментов
3.1 Оптимальная l - проблема моментов в пространстве «вход-выход»
3.2 Оптимальная l - проблема моментов в пространстве состояний
4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий - минимизация энергии)
5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (акор)
5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени
5.1.1 Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации
5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния
5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени
5.3 Задача акор - стабилизации для компенсации известного возмущающего воздействия.
5.4 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. i подход
5.5 Задача акор для отслеживания известного задающего воздействия. ii подход (линейный сервомеханизм)
5.6 Задача акор - слежения со скользящими интервалами.
6. Синтез наблюдателя полного порядка
Литература
Приложение
PlotTimeFrHaract.m
ProstranstvoSostoyanii.m
SimplexMetod2.m
Optimal_L_problem_moments.m
Gramian_Uprav.m
AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m
AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m
Sravnenie_stabilizacii.m
AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m
AKOR_slegenie_na_konech_interval_I_podxod.m
AKOR_slegenie_na_konech_interval_II_podxod.m
AKOR_slegenie_so_skolz_intervalami_Modern.m
Sintez_nablyud_polnogo_poryadka.m
Solve_Riccati_Method_Diag.m
Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m
Vozmyshyayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers.m
Zadayushee_Vozdeistvie_Discrete_Revers_Modern.m
1. Анализ объекта управления
1.1 Анализ линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
Передаточная функция данного объекта имеет вид:
,
где:
, ;
, , , , , .
или
.
Нули передаточной функции:
Полюса передаточной функции (полученные стандартными функциями среды Matlab 7.4):
Рис.1. График расположения нулей и полюсов передаточной функции объекта на комплексной плоскости.
Найдем временные характеристики объекта управления.
К временным характеристикам относятся и .
- переходная характеристика;
- импульсная переходная функция;
Для нахождения и воспользуемся пакетом Matlab 7.4.
,
Аналитическое выражение для :
В этом случае имеет вид
Рис.2. График переходной характеристики .
Рис.3. График переходной характеристики на интервале (увеличенное).
,
Аналитическое выражение для :
.
В этом случае имеет вид
Рис.4. График импульсной переходной характеристики .
Рис.5. График импульсной переходной характеристики на интервале (увеличенное).
Найдем частотные характеристики объекта управления.
К частотным характеристикам относятся:
амплитудно - частотная характеристика (АЧХ),
фазо - частотная характеристика (ФЧХ),
амплитудно - фазовая частотная характеристика (АФЧХ),
Аналитическое выражение для АЧХ:
.
В этом случае АЧХ имеет вид
Рис.6. График АЧХ
Рис.7. График АЧХ на интервале (увеличенное). Аналитическое выражение для ФЧХ:
В этом случае ФЧХ имеет вид
Рис.8. График ФЧХ .
Рис.9. График ФЧХ на интервале (увеличенное).
Рис.10. График АФЧХ.
Рис.11. График АФЧХ (увеличенное).
Аналитическое выражение для ЛАЧХ:
.
В этом случае ЛАЧХ имеет вид
Рис.12. График ЛАЧХ.
Аналитическое выражение для ЛФЧХ:
В этом случае ЛФЧХ имеет вид
Рис.13. График ЛФЧХ.
1.2 Получение математической модели в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления, заданного передаточной функцией
Передаточная функция данного объекта имеет вид:
,
где:
, ;
, , , , , .
или
Описание системы в пространстве состояний имеет следующий вид:
Переходя в область изображений описание системы в пространстве состояний будет иметь следующий вид:
1.2.1 Матрица Фробениуса
Получим выражения, которые определяют вектор состояний и выход заданного объекта в общем виде:
.
.
Тогда получим:
(1)
(2)
Числитель передаточной функции имеет вид: .
Знаменатель передаточной функции:
.
Тогда согласно равенству (1) и (2) имеем
,
.
Перейдем из области изображений в область оригиналов
,
и затем перейдем к нормальной форме Коши
.
Запишем матрицы состояний
, ,
Численное значение матриц состояний:
, ,
1.2.2 Метод параллельной декомпозиции
Запишем передаточную функцию объекта в другом виде, а именно:
или
.
Согласно формуле получим
Рассмотрим каждое из слагаемых в отдельности согласно принципу параллельной декомпозиции.
a. ,
.
b. ,
.
c. ,
,
,
d. ,
Получим выход системы:
Запишем матрицы состояний
, ,
Вычисление коэффициентов разложения дробной рациональной функции на сумму элементарных дробей и проверка правильности получения матриц состояния сделано с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт ProstranstvoSostoyanii.m)
Получены следующие результаты:Матрица СЛАУ:
, ,
,
Численное значение матриц состояний:
, ,
.
2. Решение задачи быстродействия симплекс-методом
Дана система:
(3)
1. Проверим управляемость данной системы.
Запишем систему ДУ в матричном виде:
,
где .
Данная система является стационарной, её порядок , поэтому матрица управляемости имеет вид:
Найдем матрицу управляемости:
Ранг матрицы управляемости равен порядку системы, следовательно, данная система является управляемой.
следовательно .
Собственные числа матрицы найдем из уравнения :
Действительные части собственных значений матрицы являются неположительными, следовательно, все условия управляемости выполнены.
2. Ссылаясь на решение задачи быстродействия из ДЗ№2 по СУЛА «Решение задачи быстродействия» имеем:
Запишем зависимости , , полученные при решении систем дифференциальных уравнений:
:
:
:
:
Перейдем к дискретной модели заданной системы. Имеем
(4)
где шаг дискретизации и соответствующие матрицы
(5)
Пусть управление ограничено интервальным ограничением
(6)
Тогда на шаге имеем
(7)
Известны начальная и конечная точки
где - оптимальное число шагов в задаче быстродействия.
Решается задача быстродействия
а) Формирование задачи быстродействия как задачи линейного программирования
Конечная точка в дискретной модели представлена в виде
(8)
Получаем - равенств
(9)
Для приведения ограничений (9) к канонической форме сделаем необходимое преобразование в правой и левой частях, чтобы правые части были неотрицательными (если правая часть меньше нуля, то домножаем на (-1) левую и правую части). Отметим проведенные изменения точкой в правом верхнем углу соответствующих векторов
. (10)
Для того чтобы получить необходимый допустимый базис для задачи линейного программирования, добавим формально остаточные искусственные переменные (). Таким образом, уравнения (10) представляются в виде
(11)
Так как текущее управление - управление имеет любой знак, то сделаем необходимую замену
Тогда уравнения (11) примут вид
(12)
Введем остаточные переменные в ограничения на управление
(13)
При объединении выражений (12) и (13) получаем ограничений.
Начальный допустимый базис состоит из остаточных и остаточных искусственных переменных
Формируем целевую функцию (по второму методу выбора начального допустимого базиса)
(14)
б) Решение задачи быстродействия
Предположим, что , где - оптимальное число шагов. Так как значение нам неизвестно (но известно точно), выбираем некоторое начальное и решаем задачу линейного программирования (12)-(14).
При этом
Общее число столбцов в симплекс-таблице:
Число базисных переменных:
Сформируем строку. Имеем
Выразим из уравнения (12) начальные базисные переменные
и подставим в целевую функцию. Получим - строку
(15)
Решаем задачу (12) - (14) симплекс-методом.
В случае,
если , - малое число
иначе
1) если увеличить и целое,рвернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования;
2) если (не все управления будут равны предельным, могут быть, в том числе нулевые)), , уменьшить , вернуться к первому шагу формирования задачи линейного программирования.
Решения данной задачи получено с помощью пакета Matlab 7.4 (скрипт SimplexMetod2.m):
Рис. 14. График фазовой координаты .
Рис. 15. График фазовой координаты .
Рис. 16. График .
Рис. 17. График оптимального управления .
Выводы: Сравнивая полученные результаты с результатами полученными в ДЗ№2 по СУЛА, можно сделать вывод, что решения совпадают, с точностью до .
3. Оптимальная L - проблема моментов
3.1 Оптимальная L - проблема моментов в пространстве «вход-выход»
Укороченная система данного объекта имеет вид:
,
где:
;
;
;
;
;
.
Полюса укороченной передаточной функции:
;
;
;
;
.
Заданы начальные и конечные условия:
, , .
Для определения начальных и конечных условий для воспользуемся следующей формулой:
,
Где матрица имеет следующий вид
,
где , .
ИПФ укороченной системы:
Составим фундаментальную систему решений:
ФСР: .
Составим матрицу .
, где - матрица Вронского
,
Тогда
.
Составим моментные уравнения (связь между входом и выходом):
Моментные функции определяются по следующей формуле
Составим моментные функции:
Найдем моменты по следующей формуле:
.
Числовое значение найденных моментов:
Составим функционал качества, который имеет следующий вид:
при условии, что :, т.е.
Выразим из данного условия , тогда получим следующее равенство:
.
Подставляя полученное равенство в функционал и заменяя их правыми частями получаем
Найдем частные производные и приравняем их к нулю. Решая полученную систему уравнений, определяем оптимальные значения коэффициентов , а вычислим по формуле
.
Т.о. имеем:
Минимальная энергия:
Найдем управление по следующей формуле:
Тогда оптимальное управление
.
3.2 Оптимальная L - проблема моментов в пространстве состояний
Система задана в виде:
Решение ДУ имеет вид:
, при имеем:
.
Составим моментные уравнения:
Подставляя необходимые данные в выше приведенные формулы, получим следующие моменты и моментные функции:
Числовое значение найденных моментов:
Моментные функции:
Заметим, что моменты и моментные функции совпадают с моментами и моментными функциями, найденными в пункте (а).
Из этого следует, что функционал, значения , управление и минимальная энергия будут иметь точно такие же числовые значения и аналитические выражения, как и в пункте (3.1).
Оптимальное управление имеет вид:
Проверим правильность полученного решения.
Эталонные значения координат в начальный и конечный момент времени:
,
,
Найденные значения координат в начальный и конечный момент времени:
,
,
Вычислим погрешность полученных результатов:
,
,
Ниже представлены графики полученного решения с помощью скрипта Optimal_L_problem_moments.m.
Рис. 18. Графики фазовых координат системы при переходе из в .
Рис. 19. Графики выходных координат системы при переходе из в .
Рис.20. График оптимального управления .
Выводы: Задача перевода системы из начальной точки в конечную с помощью L-проблемы моментов в пространстве состояний и в пространстве вход-выход была решена с точностью до 12-го знака после запятой. Результаты, полученные при переводе системы из начальной точки в конечную, полностью совпадают.
4. Нахождение оптимального управления с использованием грамиана управляемости (критерий - минимизация энергии)
Система имеет вид:
с начальными условиями:
,
.
Составим матрицу управляемости и проверим управляемость системы:
.
Составим грамиан управляемости для данной системы:
Найдем грамиан по формуле:
Тогда управление имеет вид:
.
или
Ниже представлен график оптимального управления полученного с помощью скрипта Gramian_Uprav.m.:
Рис.21. График оптимального управления .
Графики фазовых координат аналогичны, как и в оптимальной L - проблеме моментов.
Сравним управление, полученное в начальной и конечной точках в пунктах 3 и 4 соответственно:
и
Выводы: Как видно, значения граничных управлений совпадают. А это значит, что задача перевода объекта из начального состояния в конечное решена с высокой степенью точности и с минимальной энергией.
Графическое сравнение оптимальных управлений из пунктов 3 и 4:
Рис.21. Сравнение графиков оптимального управления .
5. Аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР)
5.1 Стабилизации объекта управления на полубесконечном интервале времени
Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме
Необходимо получить закон управления
минимизирующий функционал вида
Начальные условия для заданной системы
Моменты времени фиксированы. Матрицы -- симметричные неотрицательно определенные:
матрица -- положительно определенная:
Матричное дифференциальное уравнение Риккати имеет вид:
Если линейная стационарная система является полностью управляемой и наблюдаемой, то решение уравнения Риккати при стремится к установившемуся решению не зависящему от и определяется следующим алгебраическим уравнением:
В рассматриваемом случае весовые матрицы и в функционале не зависят от времени.
Оптимальное значение функционала равно
и является квадратичной функцией от начальных значений отклонения вектора состояния.
Таким образом, получаем, что при оптимальное управление приобретает форму стационарной обратной связи по состоянию
где -- решение алгебраического матричного уравнения Риккати.
5.1.1. Решение алгебраического уравнения Риккати методом диагонализации
Для решения данной задачи найдем весовые матрицы и :
Выберем произвольно , тогда
Взяв значения из решения задачи L - проблемы моментов получим:
Матрицы системы имеют вид:
, .
Введем расширенный вектор состояния .
Тогда матрица Z будет иметь следующий вид: ,
или в численном виде
.
Собственные значения матрицы : .
Зная собственные значения и собственные вектора матрицы Z, построим матрицу
По определению все решения должны быть устойчивы при любых начальных условиях , т.е. при . Чтобы не оперировать комплексными числами, осуществим следующий переход. Пусть:
Тогда матрица формируется следующим образом:
.
Можно показать, что матрицу можно получить из прямой матрицы собственных векторов:
,
.
Установившееся решение уравнения Риккати, полученное с помощью скрипта Solve_Riccati_Method_Diag.m. имеет вид:
5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния
Весовые матрицы и такие же как и в пункте (5.1.1).
Матрицы тоже аналогичны.
Запишем уравнение Риккати
.
Зная, что , решаем уравнение методом обратного интегрирования на достаточно большом интервале (примерно 10 с.), получим установившееся решение с помощью скрипта
Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m.:
Рис.22. Графики решения уравнения Риккати.
Найдем разницу между решениями уравнения Риккати в пунктах 5.1.1 и 5.1.2:
Выводы: сравнивая решения полученные в пунктах 5.1.1 и 5.1.2 можно сказать, что решения уравнения Риккати первым и вторым методами совпадают с заданной точностью. Погрешность расхождения решений невелика.
Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m получим коэффициенты регулятора, фазовые координаты системы и управление.
Рис.23. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.
Рис.24. Графики фазовых координат.
Рис.25. График управления.
Выводы: т.к. решения уравнения Риккати методом диагонализации и интегрирования в обратном времени дают практически одинаковый результат, то можно считать, что задача АКОР - стабилизации на полубесконечном интервале решена с заданной точностью.
5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени
Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме
Начальные условия для заданной системы
Время стабилизации .
Необходимо получить закон управления
минимизирующий функционал вида
Закон оптимального управления в данной задаче имеет вид
Матричное дифференциальное уравнение Риккати будет иметь следующий вид:
Если обозначить то можно записать
Уравнение замкнутой скорректированной системы примет вид
Матрицы заданы в пункте 5.1.1.
Весовые матрицы и имеют следующий вид:
, .
Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m получили следующие результаты:
Рис.26. Графики решения уравнения Риккати.
Рис.27. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.
Рис.28. Графики фазовых координат.
Рис.29. График управления.
Сравним, как стабилизируется система управления с постоянными и переменными коэффициентами регулятора обратной связи на начальном этапе:
Рис.30. Графики фазовых координат.
Выводы: из графиков видно, что система, у которой коэффициенты регулятора меняются со временем, стабилизируется не хуже, чем, система, у которой коэффициенты регулятора не изменяются.
5.3 Задача АКОР - стабилизации для компенсации
известного возмущающего воздействия
Рассмотрим систему вида
,
где - возмущающее воздействие.
Матрицы заданы в пункте 5.1.1.
Весовые матрицы и имеют следующий вид:
, .
Начальные условия для заданной системы .
Время стабилизации .
Задаем возмущающее воздействие только на первую координату, так как только она имеет значение
и .
Решение задачи стабилизации сводится к решению уравнения Риккати
с начальными условиями:
Введём вспомогательную вектор-функцию , ДУ которой имеет вид:
с начальными условиями: .
Управление определяется по формуле:
.
Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m, получили следующие результаты:
Рис.31. Графики решения уравнения Риккати.
Рис.32. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.
Рис.33. График возмущающего воздействия.
Рис.34. График вспомогательной вектор - функции.
Рис.35. Графики фазовых координат.
Рис.36. График управления.
Рис.37. График возмущающего воздействия.
Рис.38. График вспомогательной вектор - функции.
Рис.39. Графики фазовых координат.
Рис.40. График управления.
Выводы: По графикам фазовых координат при различных воздействиях видно, что влияние возмущающего воздействия не существенно и фазовые координаты устанавливаются в ноль. При этом видно, что графики первой фазовой координаты при различных воздействиях мало отличаются друг от друга, т.е. система отрабатывает любое возмущение.
5.4 Задача АКОР для отслеживания известного задающего воздействия. I подход
Система задана в виде:
Матрицы заданы в пункте 5.1.1.
Весовые матрицы и имеют следующий вид:
, .
Начальные условия для заданной системы .
Время слежения .
Задающее воздействие в виде системы ДУ
Начальные условия для воздействия:
.
Введем расширенный вектор состояния и расширенные матрицы
,
,
.
Тогда новое описание системы имеет вид:
с начальными условиями: .
Решением уравнения Риккати будет матрица:
с н.у.
Тогда оптимальное управление, находится по формуле:
Используя скрипт AKOR_slegenie_na_konech_interval_I_podxod, получили следующие результаты:
Рис.41. Графики решения уравнения Риккати.
Рис.42. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.
Рис.43. Графики фазовых координат.
Рис.44. График управления.
Выводы: На данном этапе была решена задача АКОР-слежения. В качестве отслеживаемого воздействия была взята исходная система, но с другими начальными условиями, поэтому графики фазовых координат отличаются от заданных, но только на начальном участке движения.
5.5 Задача АКОР для отслеживания известного задающего воздействия. II подход (линейный сервомеханизм)
Система задана в виде:
Матрицы заданы в пункте 5.1.1.
Весовые матрицы и имеют следующий вид:
, .
Начальные условия для заданной системы .
Задающее воздействие имеет вид:
, .
Время слежения
Введём вспомогательную вектор-функцию , ДУ которой определяется
,
,
НУ определяются из соотношения
Зная закон изменения и , можно определить управление:
.
Используя скрипт AKOR_slegenie_na_konech_interval_II_podxod, получили следующие результаты:
Рис.45. Графики решения уравнения Риккати.
Рис.46. График задающего воздействия.
Рис.47. Графики коэффициентов регулятора обратной и прямой связи.
Рис.48. Графики фазовых координат.
Рис.49. График управления.
Выводы: На данном этапе была решена задача построения линейного сервомеханизма. В качестве отслеживаемого воздействия была задана экспоненциальная функция. Анализируя выше приведенные графики, можно сказать, что все состояния заданной системы, особенно первая фазовая координата, отслеживается с заданной точностью.
5.6 Задача АКОР - слежения со скользящими интервалами
Пусть интервал времени является объединением нескольких отрезков. Известно некоторое задающее воздействие заданное аналитическим выражением, причем информация о задающем сигнале на следующем отрезке времени поступает только в конце предыдущего. Таким образом, зная задающий сигнал только на одном отрезке времени, мы будем синтезировать управление на этом отрезке.
Разобьем весь интервал на 3 равных отрезка.
Данная задача похожа на задачу отслеживания известного задающего воздействия, заданного аналитическим выражением, но с некоторыми изменениями:
1. Поскольку в уравнение Риккати относительно матрицы входят только параметры системы и функционала качества, то решать его будем один раз на первом отрезке, так как на остальных отрезках решение будет иметь тот же вид, но будет смещено по времени:
2. Начальными условиями для системы на каждом отрезке будет точка, в которую пришла система на предыдущем отрезке:
3. Вектор необходимо пересчитывать на каждом отрезке.
4. В остальном данная задача аналогична задаче построения линейного сервомеханизма (пункт 5.5).
Используя скрипт AKOR_slegenie_so_skolz_intervalami_Modern, получили следующие результаты:
Рис.50. Графики решения уравнения Риккати.
Рис.51. Графики фазовых координат.
Рис.52. График управления.
Выводы: при сравнении полученных результатов, можно сказать, что различия в фазовых координатах при наличии трех участков и при наличии одного участка несущественные. Если сравнивать скорость вычислений и используемые ресурсы, то скорость увеличивается почти в 3 раза, а памяти требуется в 3 раза меньше для решения поставленной задачи. В точках соединения участков наблюдаются скачки, связанные с тем, что требуется значительные затраты на управление, но для первой координаты этот скачок незначительный.
6. Синтез наблюдателя полного порядка
Наблюдателями называются динамические устройства, которые позволяют по известному входному и выходному сигналу системы управления получить оценку вектора состояния. Причем ошибка восстановления .
Система задана в виде:
Начальные условия для заданной системы .
Матрицы заданы в пункте 5.1.1.
Весовые матрицы и имеют следующий вид:
, .
Построим наблюдатель полного порядка и получим значения наблюдаемых координат таких, что:
В качестве начальных условий для наблюдателя выберем нулевые н.у.:
Ранг матрицы наблюдаемости:
- матрица
наблюдаемости.
.
.
Т. е. система является наблюдаемой.
Коэффициенты регулятора:
,
тогда
Собственные значения матрицы :
Коэффициенты наблюдателя выберем из условия того, чтобы наблюдатель был устойчивым, и ближайший к началу координат корень матрицы лежал в 3 - 5 раз левее, чем наиболее быстрый корень матрицы . Выберем корни матрицы
Коэффициенты матрицы наблюдателя:
.
Используя скрипт Sintez_nablyud_polnogo_poryadka, получили следующие результаты:
Рис.53. Графики решения уравнения Риккати.
Рис.54. Графики фазовых координат.
Рис.55. Графики управлений.
Выводы: Так как система является полностью наблюдаема и полностью управляема, то спектр матрицы может располагаться произвольно. Перемещая собственные значения матрицы левее, относительно собственных значений матрицы мы улучшаем динамику системы, однако, наблюдатель становится более чувствителен к шумам.
Литература
1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5 - и т. Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. Н.Д. Егупова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 748 с.
2. Краснощёченко В.И.: Методическое пособие: «Методы теории оптимального управления».
Приложение.
PlotTimeFrHaract.m
clc
clear all
close all
b1 = 9;
b0 = 5;
a4 = 0.1153;
a3 = 1.78;
a2 = 3.92;
a1 = 14.42;
a0 = 8.583;
% syms s w
% W_s_chislit = b1 * s + b0;
% W_s_znamen = s * (a4 * s^4 + a3 * s^3 + a2 * s^2 + a1 * s + a0);
%
% W_s_obj = W_s_chislit/W_s_znamen;
%A_w = collect(simplify(abs(subs(W_s_obj, s, i*w))))
%----------------------Построение АЧХ-------------------------------------%
figure('Name', '[0,10]');
w = 0 : 0.01 : 10;
A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));
plot(w,A_w,'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('w')
ylabel('A(w)')
title('Function ACHX(w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
r_ch = roots([b1 b0])
r_zn = roots([a4 a3 a2 a1 a0 0])
%----------------------Построение ФЧХ-------------------------------------%
figure('Name', '[0,100]');
w = 0 : 0.01 : 100;
fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...
-atan((w+2.7677)/0.5850) - atan(w/(0.6848)))*180/pi;
plot(w,fi_w, 'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('w')
ylabel('fi(w)')
title('Function FCHX(w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение АФЧХ------------------------------------%
figure('Name', '[0,100]');
w = 0 : 0.01 : 100;
A_w = sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2));
fi_w = (atan(w/0.5556)-atan(w/0)-atan(w/13.5832)-atan((w-2.7677)/0.5850)...
-atan((w+2.7677)/0.5850) - atan(w/(0.6848)));
polar(fi_w,A_w, 'k');
grid on
xlabel('Re(W(jw))')
ylabel('Im(W(jw))')
title('Function AFCHX(fi_w,A_w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение ЛАЧХ------------------------------------%
figure('Name', '[0,100]');
w = -100 : 0.01 : 100;
LA_w = 20*log(sqrt((b0^2 + b1^2.*w.^2)./((-a1*w.^2+a3*w.^4).^2+(a0*w-a2*w.^3+a4*w.^5).^2)));
plot(w,LA_w,'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('w')
ylabel('L(w)')
title('Function L(w)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение ФАЧХ------------------------------------%
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение h(t)------------------------------------%
figure('Name', '[0,50]');
t = 0 : 0.01 : 50;
h_t = 0.0024 * exp(-13.5832.*t) - 0.2175 * exp(-0.6848.*t)...
+ 0.1452 * exp(-0.5850.*t).* cos(2.7677.*t)...
- 0.2217 * exp(-0.5850.*t).* sin(2.7677.*t)...
+ 0.5825 .* t + 0.0699;
plot(t,h_t, 'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('t')
ylabel('h(t)')
title('Function h(t)')
%-------------------------------------------------------------------------%
%----------------------Построение k(t)------------------------------------%
figure('Name', '[0,50]');
t = 0 : 0.01 : 50;
k_t = - 0.0329 * exp(-13.5832.*t) + 0.1489 * exp(-0.6848.*t)...
- 0.6986 * exp(-0.5850.*t).* cos(2.7677.*t)...
- 0.2721 * exp(-0.5850.*t).* sin(2.7677.*t)...
+ 0.5826;
plot(t,k_t, 'k', 'LineWidth', 2);
grid on
xlabel('t')
ylabel('k(t)')
title('Function k(t)')
%-------------------------------------------------------------------------%
x1=tf([b1 b0],[a4 a3 a2 a1 a0 0]);
ltiview(x1)
ProstranstvoSostoyanii.m
clc
clear all
%format rational
b1 = 9;
b0 = 5;
a5 = 0.1153;
a4 = 1.78;
a3 = 3.92;
a2 = 14.42;
a1 = 8.583;
a0 = 0;
%1. Матрица Фробениуса
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
A=[0 1 0 0 0;
0 0 1 0 0;
0 0 0 1 0;
0 0 0 0 1;
0 -a1/a5 -a2/a5 -a3/a5 -a4/a5]
B=[0; 0; 0; 0; 1/a5]
C=[b0 b1 0 0 0]
%Проверка
syms s
W_s = collect(simplify(C*(s.*eye(5)-A)^(-1)*B),s)
pretty(W_s)
%2. Параллельная декомпозиция
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
b1 = b1/a5;
b0 = b0/a5;
s1 = 0;
s2 = -6615/487;
s3 = -1022/1747 + 4016/1451*i;
s4 = -1022/1747 - 4016/1451*i;
s5 = -415/606;
alfa = real(s3);
beta = imag(s3);
syms s A B C D E
W_s_etal = collect(((b1*s+b0)/((s-s1)*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5))),s)
%pretty(W_s_etal)
Slag_1 = simplify(collect(A*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_2 = simplify(collect(B*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_3 = simplify(collect(C*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s2),s));
Slag_4 = simplify(collect((D*s+E)*(s-s1)*(s-s2)*(s-s5),s));
Chislit_W_s =collect(Slag_1 + Slag_2 + Slag_3 + Slag_4,s);
%Решение системы линейных уравнений
MS =double( [1 1 1 1 0;
6753029497/515578134 -513659/1058682 10560977/850789 4210795/295122 1;
77456808434995506239663107/126764366837761533378822144 1874500571398143988939141/260296441145300889894912 -3300780600401725219142291/418364246989311991349248 915075/98374 4210795/295122;
26189071674868424275768861465/253528733675523066757644288 2853037197681682345182805/520592882290601779789824 45476725452203201718998205/418364246989311991349248 0 915075/98374;
6290947020888109571128085025/84509577891841022252548096 0 0 0 0])
PCH = [0; 0; 0; b1; b0];
Koeff = MS^(-1)*PCH
%Проверка
MS*[Koeff(1);Koeff(2);Koeff(3);Koeff(4);Koeff(5)];
Slag_1 = simplify(collect(Koeff(1)*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_2 = simplify(collect(Koeff(2)*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s));
Slag_3 = simplify(collect(Koeff(3)*(s-s1)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s2),s));
Slag_4 = simplify(collect((Koeff(4)*s+Koeff(5))*(s-s1)*(s-s2)*(s-s5),s));
Chislit_W_s =collect((Slag_1 + Slag_2 + Slag_3 + Slag_4),s);
Znamena_W_s = collect((s-s1)*(s-s2)*((s+alfa)^2+beta^2)*(s-s5),s);
W_s = collect(simplify(Koeff(1)/(s-s1)+Koeff(2)/(s-s2)+(Koeff(4)*s+Koeff(5))/((s+alfa)^2+beta^2)+Koeff(3)/(s-s5)),s)
pretty(W_s)
%Расчет матриц состояния
A = [s1 0 0 0 0;
0 s2 0 0 0 ;
0 0 0 1 0;
0 0 -(alfa^2+beta^2) -2*alfa 0;
0 0 0 0 s5]
B = [Koeff(1); Koeff(2); 0; 1; Koeff(3)]
C = [1 1 Koeff(5) Koeff(4) 1]
%Проверка
W_s = collect(simplify(C*(s.*eye(5)-A)^(-1)*B),s)
pretty(W_s)
%ВСЕ ПОДСЧИТАНО ВЕРНО!!!
SimplexMetod2.m
function SimplexMetod2
clc
clear all
close all
format short
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ВВОДИМЫЕ ДАННЫЕ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Матрицы системы
A = [0 2;
-3 0];
B = [0; 2];
% Координаты начальной и конечной точки
X_0 = [14; 0];
X_N = [0; 0];
% Ограничение на управление
u_m = -3;
u_p = 5;
eps = 1e-10;% погрешность сравнения с нулем
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
N = 195;% число шагов
%h = t1/N;% шаг дискретизации
h = 0.0162;
alfa = 1;
a = 0;
b = 0;
%t1 = 796/245;% время перехода в конечное состояние
n = size(A);
n = n(1);% порядок системы
% Нахождение матричного экспоненциала
syms s t
MatrEx = ilaplace((s*eye(n)-A)^(-1));
MatrEx_B = MatrEx*B;
% Вычисление матриц F и G
F = subs(MatrEx, t, h);
G = double(int(MatrEx_B, t, 0, h));
%%%%%%%%%%ФОРМИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ КАК ЗАДАЧИ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for index = 1 : 1e+10
% Вычисление правой части
PravChast = X_N - F^N * X_0;
% Вычисление произведения F на G
FG = zeros(n, N);% формирование матрицы для хранения данных
for j = 1 : n
for i = 0 : N - 1
fg = F^(N-i-1) * G;
if PravChast(j) < 0
fg = -fg;
end
FG(j, i+1) = fg(j);
end
end
% Построение z-строки
z_stroka = zeros(1, 4*N+n+2);% формирование матрицы для хранения данных
% Первый элемент z-строки
z_stroka(1) = 1;
% Суммирование правых частей
for j = 1 : n
z_stroka(4*N+n+2) = z_stroka(4*N+n+2) + abs(PravChast(j));
end
% Формирование элементов z-строки между 1-м и последним элементами
%при 2N небазисных переменных, т.е. при управлениях
for i = 2 : 2 : 2 * N
for j = 1 : n
z_stroka(i) = z_stroka(i) + FG(j, i/2);
end
for j = 1 : n
z_stroka(i+1) = z_stroka(i+1) - FG(j, i/2);
end
end
% Формирование симплекс-таблицы
CT = zeros(n+2*N+1, 4*N+n+2);
% Построение симплекс-таблицы начиная с z-строки
CT(1,:) = z_stroka(1,:);
% Формирование R-строк в симплекс-таблице
for j = 2 : n + 1
% Формирование правой части в R-строках
CT(j, 4*N+n+2) = abs(PravChast(j-1));
% Формирование элементов R-строк между 1-м и последним элементами
%при 2N небазисных переменных, т.е. при управлениях
for i = 2 : 2 : 2 * N
CT(j, i) = FG(j-1, i/2);
CT(j, i+1) = -FG(j-1, i/2);
end
end
% Формирование S-строк в симплекс-таблице
l = 2;
for j = n + 2 : 2 : n + 2 * N + 1
% Формирование правой части в S-строках
CT(j, 4*N+n+2) = u_p;
CT(j+1, 4*N+n+2) = abs(u_m);
% Формирование элементов S-строк между 1-м и последним элементами
%при 2N небазисных переменных, т.е. при управлениях
CT(j, l : l+1) = [1 -1];
CT(j+1, l : l+1) = [-1 1];
l = l + 2;
end
% Формирование базиса в симплекс-таблице, т.е коэффициентов, стоящих при
%базисных переменных от 2N небазисных переменных до правой части (до 4*N+n+1)
CT(2 : n+2*N+1, 2*N+2 : 4*N+n+1) = eye(n+2*N, n+2*N);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ БЫСТРОДЕЙСТВИЯ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%СИМПЛЕКС-МЕТОДОМ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Цикл смены базисных переменных
nn = size(find(CT(1,2:2*N+1) >= eps));
while nn > 0
[znach, N_stolb] = max(CT(1, 2 : 2*N+1));
N_stolb = N_stolb + 1; % т.к. при небазисн. перемен.
PravChast = CT(:, 4*N+n+2);
for j = 2 : n + 2 * N + 1
if CT(j, N_stolb) > 0
PravChast(j) = PravChast(j) / CT(j, N_stolb);
else
PravChast(j) = inf;
end
end
[znach, N_str] = min(PravChast(2 : n+2*N+1));
N_str = N_str + 1;
% Формирование матрицы перехода B
B = eye(n+2*N+1, n+2*N+1);
B(:, N_str) = CT(:, N_stolb);
% Обращение матрицы B
RE = B(N_str, N_str);
for j = 1 : n + 2 * N + 1
if j == N_str
B(j, N_str) = 1 / RE;
else
B(j, N_str) = -B(j, N_str) / RE;
end
end
%B = inv(B);
% Получение новой симплекс таблицы
CT = B * CT;
nn = size(find(CT(1,2:2*N+1) >= eps));
end
u = zeros(1,N);
% Формирование управления
for j = 2 : n + 2 * N + 1
for i = 2 : 2 * N + 1
if CT(j, i) >= eps
if mod(i, 2) < eps
u(i/2) = CT(j, 4*N+n+2);
else
u((i-1)/2) = -CT(j, 4*N+n+2);
end
end
end
end
% Формирование x1 и x2
X = zeros(n, N);
X(:, 1) = F * X_0 + G * u(1);
for i = 2 : N
X(:, i) = F * X(:, i-1) + G * u(i);
end
% Объединение с начальными условиями
X1 = [X_0(1) X(1, :)];
X2 = [X_0(2) X(2, :)];
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% проверка на окончание выбора количества шагов
XX = [X_0 X];
% Вычисление нормы вектора состояния
normaXX = norm(XX(:,N))
% Вычисление значения переменной R
R = abs(X_N - F^N * X_0) - FG * u';
R = R';
z = sum(R);
% Погрешность приближения к точному решению
pogresh = 0.3;
if (normaXX < pogresh)
N_opt = N;
break;
else
if (z > h)
if a == 1
alfa = ceil(alfa/2);
end
N = N + alfa;
a = 0;
b = 1;
else
if b == 1
alfa = ceil(alfa/2);
end
N = N - alfa;
a = 1;
b = 0;
end
end
t_perevoda = N * h;
end
N_opt
h
t_perevoda
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ОФОРМЛЕНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%В ГРАФИЧЕСКОМ ВИДЕ%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Построение графика x1(t);
figure(1)
t = (0 : 1 : length(X1)-1) * h;
plot(t, X1, 'b', 'LineWidth', 2);
hl=legend('x_1(t)');
set(hl, 'FontName', 'Courier');
xlabel('t, cek'); ylabel('x_1(t)');
grid on
% Построение графика x2(t);
figure(2)
t = (0 : 1 : length(X2)-1) * h;
plot(t, X2, 'b', 'LineWidth', 2);
hl=legend('x_2(t)');
set(hl, 'FontName', 'Courier');
xlabel('t, cek'); ylabel('x_2(t)');
grid on
% Построение графика x2 = x2(x1);
figure(3)
plot(X1, X2, 'm', 'LineWidth', 2);
hl=legend('x_2 = x_2(x_1)');
set(hl, 'FontName', 'Courier');
xlabel('x_1(t)'); ylabel('x_2(x_1(t))');
grid on
% Построение графика u(t)
figure(4)
t = (0 : 1 : length(u)-1) * h;
plot(t, u, 'r', 'LineWidth', 2);
hl=legend('u(t)');
set(hl, 'FontName', 'Courier');
xlabel('t, cek'); ylabel('u(t)');
grid on
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Optimal_L_problem_moments.m
clc
close all
clear all
format long
% ------------------------------------------------------------------------%
b_0 = 5;
b_1 = 9;
% Укороченная система данного объекта
a_5 = 0.1153;
a_4 = 1.78;
a_3 = 3.92;
a_2 = 14.42;
a_1 = 8.583;
a_0 = 0;
% ------------------------------------------------------------------------%
% Приведение системы
b0 = b_0/a_5;
b1 = b_1/a_5;
a5 = a_5/a_5;
a4 = a_4/a_5;
a3 = a_3/a_5;
a2 = a_2/a_5;
a1 = a_1/a_5;
a0 = a_0/a_5;
% ------------------------------------------------------------------------%
% Порядок системы
poryadok = 5;
% Начальные и конечные условия относительно вектора Y
Y_0 = [3 2 1 5]';
Y_T = [0 -1 0 3]';
% Конечное время перехода
T = 3;
% Матрица перехода от Н.У. Y к Н.У. X
B_ = [b0 b1 0 0 0;
0 b0 b1 0 0;
0 0 b0 b1 0;
0 0 0 b0 b1];
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Начальные условия для упорядоченной системы
X_0 = B_' * inv(B_ * B_') * Y_0
X_T = B_' * inv(B_ * B_') * Y_T
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Представление системы в пространстве состояний
A = [0 1 0 0 0;
0 0 1 0 0;
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1;
-a0 -a1 -a2 -a3 -a4]
B = [0; 0; 0; 0; 1]
C = [b0 b1 0 0 0]
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Вычисление матричной экспоненты
syms s t
MatrEx = simplify (vpa(ilaplace(inv(s*eye(5) - A)), 50))
% ------------------------------------------------------------------------%
RETURN = 1;
while RETURN == 1
disp('L - проблема моментов в пространстве вход-выход: 1')
disp('L - проблема моментов в пространстве состояний : 2')
reply = input('Выберете метод решения [1 или 2]: ', 's');
switch reply
case '1'
disp('L - проблема моментов в пространстве вход-выход')
% ------------------------L - проблема моментов---------------------------%
% ----------------------в пространстве вход-выход-------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Передаточная функция
W_obj_s = 1/(a5*s^5 + a4*s^4 + a3*s^3 + a2*s^2 + a1*s + a0);
% Полюса передаточной функции
polyusa_TF = roots([a5 a4 a3 a2 a1 a0]);
% ИПФ
K_t = simplify (vpa (ilaplace(1 / (a5*s^5 + a4*s^4 + a3*s^3 + ...
a2*s^2 + a1*s + a0)),50))
% K_t = vpa(K_t,6)
% ------------------------------------------------------------------------%
% Составление матрицы Вронского
for i = 1 : poryadok
Matrix_Vron (i, 1) = diff (exp (polyusa_TF(1) *t), t, i - 1);
Matrix_Vron (i, 2) = diff (exp (polyusa_TF(2) *t), t, i - 1);
Matrix_Vron (i, 3) = diff (exp (real(polyusa_TF(3))*t) * ...
cos(imag(polyusa_TF(3))*t), t, i - 1);
Matrix_Vron (i, 4) = diff (exp (real(polyusa_TF(4))*t) * ...
sin(imag(polyusa_TF(4))*t), t, i - 1);
Matrix_Vron (i, 5) = diff (exp (polyusa_TF(5) *t), t, i - 1);
end
% Матрица Вронского при t = 0;
Matrix_Vron_t_0 = double(subs(Matrix_Vron,t,0));
% Матрица Вронского при t = T;
T = 3;
Matrix_Vron_t_T = double(subs(Matrix_Vron,t,T));
% vpa(Matrix_Vron_t_0,6)
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Определение неизвестных коэффициентов C
C_ = inv(Matrix_Vron_t_0) * X_0;
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Нахождение моментных функций
K_Tt_1 = subs (K_t,t, T - t);
K_Tt = diff (K_t);
K_Tt_2 = subs (K_Tt, t, T - t);
K_Ttt = diff (K_Tt);
K_Tt_3 = subs (K_Ttt, t, T - t);
K_Tttt = diff (K_Ttt);
K_Tt_4 = subs (K_Tttt, t, T - t);
K_Ttttt = diff (K_Tttt);
K_Tt_5 = subs (K_Ttttt, t, T - t);
h1_Tt = K_Tt_1
h2_Tt = K_Tt_2
h3_Tt = K_Tt_3
h4_Tt = K_Tt_4
h5_Tt = K_Tt_5
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Нахождение моментов
for i = 1 : poryadok
Matrix_a(i) = X_T(i) - C_' * Matrix_Vron_t_T(i,:)';
end
Matrix_a = Matrix_a'
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
RETURN = 2;
case '2'
disp('L - проблема моментов в пространстве состояний')
% ------------------------L - проблема моментов---------------------------%
% ----------------------в пространстве состояний--------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
Matr_Ex_T = subs(MatrEx, t, T);
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Нахождение моментов
for i = 1 : poryadok
Matrix_a(i) = X_T(i) - Matr_Ex_T(i,:) * X_0;
end
Matrix_a = Matrix_a'
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Нахождение моментных функций
Matr_Ex_Tt = subs(MatrEx, t, T - t);
h_Tt = vpa(expand(simplify(Matr_Ex_Tt * B)),50);
h1_Tt = h_Tt(1)
h2_Tt = h_Tt(2)
h3_Tt = h_Tt(3)
h4_Tt = h_Tt(4)
h5_Tt = h_Tt(5)
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
RETURN = 2;
otherwise
disp('Неизвестный метод.')
RETURN = 1;
end
end
% h1_Tt = vpa(h1_Tt,6)
% h2_Tt = vpa(h2_Tt,6)
% h3_Tt = vpa(h3_Tt,6)
% h4_Tt = vpa(h4_Tt,6)
% h5_Tt = vpa(h5_Tt,6)
% ------------------------------------------------------------------------%
% --------Нахождение управления и вычисление минимальной энергии----------%
% ------------------------------------------------------------------------%
syms ks1 ks2 ks3 ks4 ks5
% ------------------------------------------------------------------------%
% Формирование функционала
d_v_2 = vpa (simplify (int ((ks1*h1_Tt + ks2*h2_Tt + ks3*h3_Tt + ...
ks4*h4_Tt + ks5*h5_Tt)^2, t, 0, T)), 50);
% Выражаем ks1 через остальные
ks1 = vpa ((1 - ks2*Matrix_a(2) - ks3*Matrix_a(3) - ...
ks4*Matrix_a(4) - ks5*Matrix_a(5))/Matrix_a(1), 50);
% Подставляем в функционал ks1
d_v_2 = vpa (expand (subs (d_v_2, ks1)), 50);
% Находим частные производные по ksi
eq_1= diff(d_v_2, ks2);
eq_2= diff(d_v_2, ks3);
eq_3= diff(d_v_2, ks4);
eq_4= diff(d_v_2, ks5);
% Решаем СЛАУ относительно ksi
ksi= solve(eq_1, eq_2, eq_3, eq_4);
% Полученные значения ksi
ks2= double(ksi.ks2)
ks3= double(ksi.ks3)
ks4= double(ksi.ks4)
ks5= double(ksi.ks5)
ks1 = double(vpa ((1 -ks2*Matrix_a(2) -ks3*Matrix_a(3) -ks4*Matrix_a(4) - ...
ks5*Matrix_a(5))/Matrix_a(1), 50))
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Проверка условия полученного результата
ks1*Matrix_a(1) + ks2*Matrix_a(2) + ks3*Matrix_a(3) + ...
ks4*Matrix_a(4) + ks5*Matrix_a(5)
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Вычисление управления и минимальной энергии
d_v_2 = vpa (simplify (int ((ks1*h1_Tt + ks2*h2_Tt + ks3*h3_Tt + ...
ks4*h4_Tt + ks5*h5_Tt)^2, t, 0, T)), 50)
% d_v_2 = double(d_v_2)
gamma_v_2 = 1/d_v_2
% gamma_v_2 = double(gamma_v_2)
u = vpa (expand(simplify(gamma_v_2 * (ks1*h1_Tt + ks2*h2_Tt + ks3*h3_Tt + ...
ks4*h4_Tt + ks5*h5_Tt))), 50)
% u = vpa(u,6)
u_0 = subs(u,t,0)
u_T = subs(u,t,T)
ezplot(u, [0 T], 1)
hl=legend('u(t)');
set(hl, 'FontName', 'Courier');
title ('u(t)');
xlabel('t')
grid on
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Нахождения X
% Вычисление матричной экспоненты
MatrEx = simplify (vpa(ilaplace(inv(s*eye(5) - A)), 50));
syms t tay
X_svob = MatrEx * X_0;
X_vinyg = int ((subs(MatrEx, t, t - tay))*B*(subs (u, t, tay)), tay, 0,t);
X_real = X_svob + X_vinyg;
save Sostoyaniya X_real u
X_real = vpa (expand (simplify(X_real)), 50)
X_real_0 = double(subs (X_real, t, 0))
X_real_T = double(subs (X_real, t, T))
% Погрешность X
delta_X_T = double(vpa(X_T - X_real_T, 50))
delta_X_0 = double(vpa(X_0 - X_real_0, 50))
% Нахождение Y
for i = 1 : poryadok - 1
Y_real(i) = B_(i,:) * X_real;
end
Y_real = vpa (expand(simplify(Y_real')), 50)
Y_real_0 = double(subs (Y_real, t, 0))
Y_real_T = double(subs (Y_real, t, T))
% Погрешность Y
delta_Y_T = double(vpa(Y_T - Y_real_T, 50))
delta_Y_0 = double(vpa(Y_0 - Y_real_0, 50))
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Вычисление max значений для задачи АКОР
h = 0.01;
tic
tt = 0 : h : T;
for i = 1 : poryadok
X_max(i) = max(abs(subs(X_real(i),t,tt)));
end
U_max = max(abs(subs(u,t,tt)));
toc
save Sostoyaniya X_max U_max
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Построение результатов X(t)
ezplot (X_real(1), [0 T],2)
title ('x_1(t)');
grid on
ezplot (X_real(2), [0 T],3)
title ('x_2(t)');
grid on
ezplot (X_real(3), [0 T],4)
title ('x_3(t)');
grid on
ezplot (X_real(4), [0 T],5)
title ('x_4(t)');
grid on
ezplot (X_real(5), [0 T],6)
title ('x_5(t)');
grid on
% Построение результатов Y(t)
ezplot (Y_real(1), [0 T],7)
title ('y_1(t)');
grid on
ezplot (Y_real(2), [0 T],8)
title ('y_2(t)');
grid on
ezplot (Y_real(3), [0 T],9)
title ('y_3(t)');
grid on
ezplot (Y_real(4), [0 T],10)
title ('y_4(t)');
grid on
% ------------------------------------------------------------------------%
Gramian_Uprav.m
clc
close all
clear all
format long
% ------------------------------------------------------------------------%
b_0 = 5;
b_1 = 9;
% Укороченная система данного объекта
a_5 = 0.1153;
a_4 = 1.78;
a_3 = 3.92;
a_2 = 14.42;
a_1 = 8.583;
a_0 = 0;
% ------------------------------------------------------------------------%
% Приведение системы
b0 = b_0/a_5;
b1 = b_1/a_5;
a5 = a_5/a_5;
a4 = a_4/a_5;
a3 = a_3/a_5;
a2 = a_2/a_5;
a1 = a_1/a_5;
a0 = a_0/a_5;
% ------------------------------------------------------------------------%
% Порядок системы
poryadok = 5;
% Начальные и конечные условия относительно вектора Y
Y_0 = [3 2 1 5]';
Y_T = [0 -1 0 3]';
% Конечное время перехода
T = 3;
% Матрица перехода от Н.У. Y к Н.У. X
B_ = [b0 b1 0 0 0;
0 b0 b1 0 0;
0 0 b0 b1 0;
0 0 0 b0 b1];
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Начальные условия для упорядоченной системы
X_0 = B_' * inv(B_ * B_') * Y_0
X_T = B_' * inv(B_ * B_') * Y_T
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Представление системы в пространстве состояний
A = [0 1 0 0 0;
0 0 1 0 0;
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1;
-a0 -a1 -a2 -a3 -a4];
B = [0; 0; 0; 0; 1];
C = [b0 b1 0 0 0];
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Вычисление матричной экспоненты
syms s t
MatrEx = simplify (vpa(ilaplace(inv(s*eye(5) - A)), 50));
MatrEx_T = vpa(subs(MatrEx, t, T),50);
MatrEx_Tt = vpa(subs(MatrEx, t, T-t),50);
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Вычисление матрицы управляемости
M_c = [B A*B A^2*B A^3*B A^4*B]
rank_M_c = rank(M_c); %ранк = 5 - система управляема
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Вычисление грамиана управляемости
W_Tt = double(vpa(simplify(int(MatrEx_Tt*B*B'*MatrEx_Tt',t,0,T)),50))
% ------------------------------------------------------------------------%
% ------------------------------------------------------------------------%
% Формирование управления
u = vpa(expand(simplify(B'*MatrEx_Tt'*inv(W_Tt)*(X_T-MatrEx_T*X_0))),50)
u_0 = subs(u,t,0)
u_T = subs(u,t,T)
u = vpa(u,6)
% ------------------------------------------------------------------------%
ezplot(u, [0 T], 1)
title ('u(t)');
xlabel('t')
grid on
tt = 0 : 0.01 : T;
u2 = -20.605579750692850622177761310569*exp(-40.749492463732569440253455897187+13.583164154577523146751151965729*t)+19.011167813350479567880663060491*exp(-2.0544534472800777280645828326668+.68481781576002590935486094422228*t)+1.3356706538317879679656856470126*exp(-1.7550088311372150108106250409710+.58500294371240500360354168032368*t)*cos(-8.3032397968812277095785721047505+2.7677465989604092365261907015835*t)+7.2830359327562658520685140088852*exp(-1.7550088311372150108106250409710+.58500294371240500360354168032368*t)*sin(-8.3032397968812277095785721047505+2.7677465989604092365261907015835*t)-8.6096491449877801097840179781687;
Подобные документы
Особенности управления состоянием сложных систем. Способы нахождения математической модели объекта (системы) методом площадей в виде звена 2-го и 3-го порядков. Формы определения устойчивости ЗСАУ. Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР.
курсовая работа [112,5 K], добавлен 04.02.2011Модели оптимальных систем автоматического управления с объектами, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями второго порядка. Моделирование объекта с передаточной функцией. Расчет стоимости разработки программы. Расчет освещения.
дипломная работа [1,8 M], добавлен 24.04.2013Определение передаточной функции объекта управления. Построение кривой разгона на выходе объекта. Вычисление и построение комплексно–частотной характеристики объекта, границ устойчивости. Выбор настроек ПИ-регулятора по методике Кона и Копеловича.
курсовая работа [292,8 K], добавлен 03.05.2012Построение экономической модели по оптимизации прибыли производства. Разработка математической модели задачи по оптимизации производственного плана и её решение методами линейного программирования. Определение опорного и оптимального плана производства.
дипломная работа [311,3 K], добавлен 17.01.2014Линеаризация математической модели регулирования. Исследование динамических характеристик объекта управления по математической модели. Исследование устойчивости замкнутой системы управления линейной системы. Определение устойчивости системы управления.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 07.08.2013Транспортная задача линейного программирования, закрытая модель. Создание матрицы перевозок. Вычисление значения целевой функции. Ввод зависимостей из математической модели. Установление параметров задачи. Отчет по результатам транспортной задачи.
контрольная работа [202,1 K], добавлен 17.02.2010Цель работы: изучить и научиться применять на практике симплекс - метод для решения прямой и двойственной задачи линейного программирования. Математическая постановка задачи линейного программирования. Общий вид задачи линейного программирования.
реферат [193,4 K], добавлен 28.12.2008Подсчет запасов устойчивости контуров по амплитуде и фазе в трактовке критерия Найквиста. Проверка устойчивости объекта по двум замкнутым контурам. Составление цифровой модели объекта для системы Simulink. Переходные характеристики объекта управления.
курсовая работа [748,6 K], добавлен 19.02.2012Методика формирования математической модели в операторной форме, а также в форме дифференциального уравнения и в пространстве состояний. Построение графа системы. Оценка устойчивости, управляемости, наблюдаемости системы автоматического управления.
контрольная работа [200,4 K], добавлен 03.12.2012Построение экономико-математической модели задачи, комментарии к ней и получение решения графическим методом. Использование аппарата теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.
контрольная работа [2,2 M], добавлен 27.03.2008
