Моделирование случайного процесса

Построение и изучение математической модели случайного стационарного эргодического процесса с вероятностными характеристиками: ожидание и дисперсия. Построение графиков динамики изменения эмпирических данных и гистограмм распределения для всех выборок.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид курсовая работа
Язык русский
Дата добавления 18.03.2012
Размер файла 217,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аннотация

В данной работе было произведено моделирование случайного процесса.

Так как исследования случайных нестационарных процессов затруднены сложностью описания математически, было принято, что рассматривается стационарный эргодический процесс. В ходе выполнения данной работы рассчитаны теоретические и эмпирические значения моделируемого процесса, с помощью методов математической статистики произведена обработка экспериментальных данных, построены графики динамики изменения эмпирических данных для различных результатов исследуемого процесса в зависимости от изменения объёма выборки. Все вычисления производились в пакете Mathcad 14.

Annotation

In this work has been made the modeling of casual process.

As research of casual non-stationary processes is complicated with difficulties of their mathematic describing, the assumption of considering stationary ergodic process was accepted. This work consists of 3 parts, where all calculations of theoretical and empiric values of modeled process were depicted.

Processing of experimental data was made by means of math-statistics methods. Schedules of dynamics of change of empirical data for different results of investigated process depending on change of volume of sample were constructed. All the calculations were made in MathCAD 14 package.

Оглавление

Аннотация

Список используемых обозначений (сокращений)

Введение

Раздел 1. Анализ задания

Раздел 2. Математическое моделирование

Раздел 3.Обработка результатов машинного эксперимента

Annotation

Заключение

Список использованной литературы

Список используемых обозначений (сокращений)

Заданные:

m(t)- математическое ожидание;

D(t) - дисперсия;

f(x) - плотность распределения;

F(x) - функция распределения;

R(ф) - корреляционная функция;

Расчетные:

п - вектор, хранящий индексы для вычисления з1, з 2, з 3 и о1, о 2, о 3;

j- вектор, хранящий индексы для вычисления ковариационной и корреляционной функции;

з1,( з 2, з 3) - вектор, хранящий 100, 1000, 10000 случайных величин, распределенных по данному закону распределения;

о1,( о 2, о 3)- вектор, хранящий 100, 1000, 10000 значений моделируемого процесса;

mз1,( mз 2,m з 3) - оценка математического ожидания для 100, 1000, 10000 значений з1, з 2, з 3;

Dз1,( Dз 2,D з 3) - оценка дисперсии для 100, 1000, 10000 значений з1, з 2, з 3;

dm, dD, 1, 2 - функция динамики для математического ожидания, дисперсии, коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса;

kl, (k2, k3) - оценка ковариационной функции для 100, 1000, 10000 значений;

p1, (р2, рЗ) - оценка корреляционной функции для 100, 1000, 10000 значений;

Введение

Математическое моделирование -- процесс построения и изучения математических моделей.

Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути занимаются математическим моделированием: заменяют реальный объект его моделью и затем изучают последнюю.

Математическое моделирование является быстро развивающейся областью науки и техники. Средства моделирования (методы, программы, накопленные знания о решении классов задач), отвечающие современным требованиям, и своевременное информирование научной общественности, включая эффективные и надежные системы коммуникации просто необходимы для успешного развития моделирования. Совершенствование такой быстро развивающейся области знания связано с разработкой систем накопления знаний, систем информирования и систем обучения. В настоящее время математические модели и методы постоянно используются при решении задач теории надежности, теории массового обслуживания, теории запасов, а также других прикладных областях вычислительной техники и информационных систем.

Использование математики для таких целей позволяет выделить и формально описать наиболее важные связи изучаемых объектов и их переменных; а также позволяют индуктивным путём получать новые знания об объекте, а, следовательно, оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям.

Параметры каждого случайного процесса изменяются во времени, поэтому описать математически такие нестационарные процессы очень сложно. Вследствие этого обычного рассматривается не весь процесс, а только отдельные участки, поэтому нестационарный процесс можно рассматривать как стационарный, то есть как процесс, параметры которого не могут быть изменены во времени.

Процесс называется эргодическим, если его среднее значение дисперсия и корреляционная функция, полученные усреднением процесса по множеству реализаций, совпадают со средним значением, дисперсией и корреляционной функцией при усреднении процесса по времени.

Все характеристики эргодических процессов можно легко определить. Однако такие процессы неадекватно отражают реальное поведение моделей, которое характеризуется своей нестационарностью эргодических процессов. И только такие процессы можно моделировать.

Моделируемый процесс задается математическим ожиданием, дисперсией плотностью распределения и корреляционной функцией. Для моделирования любого процесса, задаётся математическое ожидание, дисперсия, плотность распределения и корреляционная функция. Математическое ожидание и дисперсия являются детерминированными функциями, определёнными по множеству реализации этого процесса. Плотность распределения и корреляционная функция могут быть определены или для процесса о(t), при условии, что он является эргодическим, или для процесса з(t) если это не так.

Определение математического ожидания связано с обычным понятием о среднем значении. Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеивания, разбросанности значений случайной величины около ее математического ожидания. Плотность распределения характеризует рассеивание случайной величины около своего среднего значения по всем направлениям.

Модели позволяют выявить особенности функционирования объекта и на основе этого предсказать будущее поведение объекта при изменении каких-либо параметров. В модели все взаимосвязи переменных могут быть оценены количественно, что позволяет получить более качественный и надёжный прогноз.

По своему определению любая модель абстрактна и, следовательно, неполна. Выделяя наиболее существенные факторы, определяющие закономерности функционирования рассматриваемого объекта, модель абстрагируется от других факторов, которые, несмотря на свою относительную малость, могут определять не только отклонения в поведении объекта, но и само его поведение. Состав учтенных в модели факторов и её структура могут быть уточнены в ходе совершенствования модели.

Чтобы задать конкретную модель процесса в общем случае необходимо определить его n-мерную плотность распределения и корреляционную функцию, но на практике это невозможно. Единственное, что удаётся определить для каждого конкретного процесса -- это его одномерную плотность распределения f(x) корреляционную функцию при предположении, что моделируемый процесс является приводимым.

Раздел 1. Анализ задания

В данной работе моделировался процесс, заданный следующим образом:

Функция математического ожидания:

Функция дисперсии:

Рисунок 1.1 График математического ожидания

Закон распределения:

1) Математическое ожидание:

Закон распределения (равномерный):

2) Дисперсия:

График дисперсии

3) Плотность распределения эргодического процесса:

Рисунок 1.2 Функция распределения:

Рисунок 1.3 График плотности распределении

4)

Рисунок 1.4 График функции распределения

г1 - коэффициент асимметрии;

г2 - коэффициент эксцесса;

5) Корреляционная функция:

Рисунок 1.5 График корреляционной функции

Теперь переходим к моделированию стохастических процессов о(t) и з(t). Стохастические (случайные) зависимости характерны для многих явлений в природе и технике. Стохастическая зависимость между двумя случайными величинами в общем случае имеется тогда, когда существую случайные факторы, влияющие на обе случайные величины, и некоторые факторы, влияющие только на первую или только на вторую случайную величину.

Раздел 2. Математическое моделирование

Организуем 3 выборки для процессов о(t) и з(t), при размере выборки n= 100,1000,10000для трех опытов соответственно.

1) Для объема выборки n=100 элементов

о(t)-случайный процесс

Рисунок 2.1 График процесса о(t) с выборкой 100

Рисунок 2.2 График процесса з(t) с выборкой 100

2) Для объема выборки n=1000 элементов

Рисунок 2.3 График процесса о(t) с выборкой 1000

Рисунок 2.4 График процесса з(t) с выборкой 1000

3) Для объема выборки n=10000 элементов

Рисунок 2.5 График процесса о(t) с выборкой 10000

Рисунок 2.6 График процесса з(t) с выборкой 10000

Раздел 3. Обработка результатов машинного эксперимента

В результате машинного эксперимента получены данные r|(t), представляющие собой статистические аналоги модулируемого процесса. Так как процесс r|(t) является эргодическим, то каждую его конкретную реализацию можно представить некоторой временной выборкой.

Построим гистограммы распределения (статистические аналоги плотности распределения) для трех различных выборок.

1) Расчет моментов и построение гистограммы распределения для выборки из n=100 элементов

модель случайный эргодический вероятностный

Рисунок 3.1 Гистограмма распределения для выборки, п=100

2) Расчет моментов и построение гистограммы распределения для выборки из n=1000 элементов

Рисунок 3.2 Гистограмма распределения для выборки, п=1000

3) Расчет моментов и построение гистограммы распределения для выборки из n=10000 элементов

Рисунок 3.3 Гистограмма распределения для выборки, п=10000

Построение графиков динамики значений характеристик

Постоим графики динамики показателей мат. ожидания, дисперсии, коэффициентов экстремума и эксцесса процессов для всех трех выборок.

1) Динамика значения мат. ожидания (рис. 3.4)

Рисунок 3.4

2) Динамика значения дисперсии (рис. 3.5)

Рисунок 3.5

3) Динамика значения коэффициента экстремума (рис.3.6)

Рисунок 3.6

4) Динамика значения коэффициента эксцесса (рис. 3.7)

Рисунок 3.7

Построение корреляционных функций

Построим графики корреляционной функции для всех трех выборок

Корреляция -- статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми).

Ковариация в теории вероятностей -- это мера линейной зависимости случайных величин.

1) Для выборки n=100

Рисунок 3.8 График корреляционной функции для выборки n=100

2) Для выборки n=1000

Рисунок 3.9 График корреляционной функции для выборки n=1000

3) Для выборки n=10000

Рисунок 3.10 График корреляционной функции для выборки n=1000

Заключение

В ходе выполнения данной работы были показаны принципы моделирования процессов. Мы осуществили моделирование случайного процесса о(t) с использованием эргодического процесса з(t).

Моделирование состояло из нескольких этапов, сформировавших разделы данной курсовой работы.

1) были заданы важнейшие вероятностные характеристики (математическое ожидание и дисперсия), кроме того, были заданы плотность распределения и корреляционная функция для эргодического процесса. В дополнение были построены графики всех данных.

2) было произведено описание проводимого машинного эксперимента. Получены результаты трех выборок (100,1000,10000) для трех процессов о(t) и з(t).

3) была проведена обработка результатов машинного эксперимента. Были построены гистограммы распределение для всех трех выборок, получены значения математического ожидания, дисперсии, коэффициентов асимметрии и эксцесса эргодического процесса. Построены графики корреляционных функций для r(t).

Список использованной литературы

Д. Кирьянов, «Mathcad 13 наиболее полное руководство», БХВ-Петербург, С-Пб 2006

Е.В. Шикин, «Математические методы и модели в управлении», Дело, М. 2002г.

Е. Гмурман, «Теория вероятностей и математическая статистика», Высшая школа, М. 1997г

Р.А. Шмойловой, «Теория статистики», М. 2000г.

Бережная Е.В., Бережной В.И. "Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие для вузов. Изд.2", 2005

Самарский А.А., Михайлов А.П. "Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры", 2005

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • Сущность экономико-математической модели, ее идентификация и определение достаточной структуры для моделирования. Построение уравнения регрессии. Синтез и построение модели с учетом ее особенностей и математической спецификации. Верификация модели.

    контрольная работа [73,9 K], добавлен 23.01.2009

  • Создание бизнес-модели процесса выдачи потребительских кредитов. Организационное обеспечение кредитного процесса. Моделирование и документирование бизнес-процессов в программе BPwin. Построение модели AS IS. Предложение по автоматизации бизнес-процесса.

    курсовая работа [401,5 K], добавлен 07.01.2012

  • Определение нижней и верхней цены игры, заданной платежной матрицей. Имеет ли игра седловую точку? Решение геометрически задачи линейного программирования. Построение графа состояний случайного процесса. Предельные вероятности для заданной системы.

    контрольная работа [280,0 K], добавлен 04.02.2011

  • Построение графиков сечений заданных поверхностей с помощью экспериментальных данных, полученных при моделировании электропотенциального поля в проводящей среде эквипотенциальных поверхностей. Построение графика распределения разностей потенциалов.

    контрольная работа [160,0 K], добавлен 18.11.2013

  • Проверка однородности дисперсии и эффективности математической модели. Перевод уравнения регрессии из кодированных обозначений факторов в натуральные. Построение графиков зависимости выходной величины от управляемых факторов. Упрессовка сырого шпона.

    курсовая работа [85,8 K], добавлен 13.01.2015

  • Составление и проверка матрицы планирования. Получение математической модели объекта. Проверка адекватности математического описания. Применение метода случайного баланса для выделения наиболее существенных входных переменных многофакторного объекта.

    курсовая работа [568,7 K], добавлен 31.08.2010

  • Построение имитационной схемы для модели Солоу и прослеживание ее динамики на протяжении 30 лет. Вычисление стационарного значения фондовооруженности. Проверка "золотого правила накопления". Изучение поведения модели при смене некоторых параметров.

    лабораторная работа [722,3 K], добавлен 11.12.2012

  • Построение адаптивной мультипликативной модели Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора. Коммерческий расчет экспоненциально скользящей средней цены с использованием интервала сглаживания. Построение графиков фактических, расчетных и прогнозных данных.

    контрольная работа [626,5 K], добавлен 28.04.2011

  • Характеристика моделируемого процесса - организация угодий. Оценка деятельности АО "Россия". Построение экономико-математической задачи. Обозначение неизвестных и формулирование систем ограничений. Построение числовой модели и решение задачи на ЭВМ.

    курсовая работа [24,8 K], добавлен 25.04.2012

  • Выборочная ковариация как мера взаимосвязи между двумя переменными. Основные правила расчета ковариации исходя из данных выборок. Математическое ожидание, дисперсия и теоретическая ковариация по ряду наблюдений. Коэффициент корреляции как её показатель.

    контрольная работа [30,1 K], добавлен 15.12.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.