.

Введем в рассмотрение вектор-строку коэффициентов прямой трудоемкости t=(t₁, t₂,…,t_n) и вектор-строку коэффициентов полной трудоемкости T=(T₁, T₂,…,T_n).

Тогда с использованием уже рассматриваемой выше матрицы коэффициентов прямых материальных затрат А (в натуральном выражении) систему уравнений можно переписать в матричном виде:

Т = ТА + t.

Произведя очевидные матричные преобразования с использованием единичной матрицы Е

Т -ТА = ТЕ -ТА = Т(Е -A) = t,

получим следующее соотношение для вектора коэффициентов полной трудоемкости:

Т = t(E -A)^-1.

Т = tB=t(I-A)^-1.

Обозначим через L величину совокупных затрат живого труда по всем видам продукции, которая с учетом формулы будет равна

Используя соотношения, приходим к следующему равенству:

,

tX = ТУ.

Лекция 8

Тема: Одноотраслевые динамические макроэкономические модели

План

1. Дискретная и непрерывная одноотраслевая динамические модели.

2. Открытая одноотраслевая динамическая модель.

3. Использование одноотраслевых динамических моделей.

1.Рассмотрим модель экономики, являющейся декомпозицией общей вербальной модели (рис. 8.1). Пусть ПС производства выпускает продукцию только одного вида (так называемая однопродуктовая или односекторная модель)

Рис. 7.1

X_t=W_t+C_t+A_t+I_t.

На рисунке показаны факторы, характеризующие производственный процесс:

L - трудовые ресурсы,

ОПФ - ОПФ или основной капитал,

N - природные ресурсы,

W - предметы труда, возвращенные в производство как часть валового продукта X.

В блоке распределения P_x разделяется на W и конечный продукт Y. В блоке распределения Py разделяется на непроизводственное потребление C и инвестиции I. Инвестиции разделяются на амортизационные отчисления A и чистые инвестиции I_1.

В блоке V чистые инвестиции I₁ превращаются в прирост производственного капитала ?K.

В модели рассмотрим взаимосвязи: x, y, L, I, I`, C. Предположим, что валовые инвестиции I в том же году полностью используются на прирост ОПФ и амортизацию.

В дискретном варианте эта связь имеет вид:

I_t=q??K_t+A_t, (8.1)

где ?K_t= K_t- K_t-1 - прирост капитала в году t, q - коэффициент пропорциональности (параметр модели), At=??K_t - амортизационные отчисления,

? - коэффициент амортизации,

K_t - производств. капитал в году t.

В непрерывном варианте аналог уравнения (8.1) есть :

I(t)=q dK(t)/dt+?K(t).

Отсюда выведем уравнение движения капитала _,

Вернёмся к дискретному варианту:

x_t=W_t+y_t;

y_t=I_t+C_t;

Так как I_t=q?K_t+A_t, то

x_t=W_t+y_t=W_t+I_t+C_t=W_t+q?K_t+A_t+C_t ;

Если предположить, что промежуточные затраты W являются пропорциональными выпуску валовой продукции XW_t = ax_t, то

x_t = ax_t+q?K_t+?K_t-C_t,

или?K_t=(1/q)[(1-a)x_t-?K_t-C_t] - дискретная однопродуктовая динамическая модель. Здесь a - коэффициент производственных затрат.

В непрерывном варианте :

K`(t)=(1/q)[(1-a)x(t)-?K(t)-C(t)] - непрерывная однопродуктовая динамическая модель.

2.Предположим, что все валовые инвестиции I направлены на введение в действие новых ОПФ (основной производственный капитал не изнашивается), при этом прирост выпуска продукции

?x_t = x_t+1-x_t,

пропорциональный инвестициям

It = ??x_t,

? - коэффициент использования инвестиций,

тогда

W_t =ax_t,

a - коэффициент производственных затрат.

x_t=W_t+y_t,

y_t=I_t+C_t ;

xt=axt+??xt+Ct;

В непрерывном варианте эта модель имеет вид

x(t)=ax(t)+? dx(t)/dt+C(t).

3.Рассмотренные динамические модели односекторной экономики могут быть использованы для разных целей. С одной стороны на их основе можно создавать более сложные, но и более реальные многосекторные модели. С другой стороны их можно использовать для поиска путей наилучшего развития экономики. Это приводит к задачам оптимального управления.

Из непрерывной однопродуктовой динамической модели

K`(t)=(1/q)[(1-a)x(t)-?K(t)-C(t)],

можно записать:

x(t)=ax(t)+qK`(t)+?K(t)+C(t).

Наилучшим путем развития экономики на отрезке времени [t₀, t₁], t₁<t₀ может быть тот, что максимизирует дисконтированное суммарное потребление

,

где C(t) - непроизводственное потребление,

D(t) - функция дисконтирования, которая изображает меру предпочтений потребления продукции в данный момент времени t, по сравнению с другим моментом времени.

Выпуск продукции x(t) ограничивается производственными возможностями, которые определяются моментом времени t, капиталом K(t), трудовыми ресурсами L(t) и задаются функцией

X = F( t, K(t), L(t) ),

которая является производственной функцией. Для всех t используется неравенство

0?x(t) ?F( t, K(t), L(t) ),

Изменение капитала ограничено снизу

K(t) ? K_min, t₀ ? t ? t₁.

Кроме этого считается, что в начальный момент времени известен выпуск

x(t₀)=x₀.

РЕКОМЕНДОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1 Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. - К.: КНЕУ, 2003.- 408с.

2 Пономаренко О.І. Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі.: Навч.посібник. К.-Либідь,1995. - 240с.

3 Клебанова Т.С., Забродський В.О., Полякова О.Ю., Петренко В.Л. Моделювання економіки: Навч. посібник. - Харків: Видавництво ХДЕУ, 2001.-140 с., рос. мовою.

4 Бережна О.В., Бережной В.Г. Математичні методи моделювання економічних систем. Навч. посібник. - М.: Фінанси та статистика, 2001. - 368с., рос. мовою.

5 Хачатрян С.Р. Прикладні методи математичного моделювання економічних систем. Науково-метод. Посібник / Московська академія економіки та права. - М.: “Екзамен”, 2002. - 192с., рос. мовою.

6 Губин Н.М. и др. Экономико-математические методы и модели в планировании и управлении в отрасли связи: Учеб. пособие / Губин Н.М., Добронравов А.С., Дорохов Б.С. - М.: Радио и связь, 1993. -376с.

7 Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: Учебно-практическое пособие. - М.: Издательство УРАО, 1998. - 160с.

8 Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов и др.; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 1999. - 391с.

9 Лопатников Л.И. Популярный экономико-математический словарь - М.: Знание, 1990. - 256с.

10 Методичні вказівки до практичних занять з курсу "Економіко-математичні методи та системи в менеджменті" для студентів усіх форм навчання спеціальностей "Інформаційні системи в менеджменті", "Економічна кібернетика" / Упоряд. Н.Б. Івченко. - Харків: ХТУРЕ, 1999.- 40с.