Планирование эксперимента

Если в распоряжении исследователя имеется экспериментальная оценка дисперсии S² (y_к) с небольшим конечным числом степеней свободы, то доверительные ошибки рассчитывают с помощью критерия Стьюдента t (P; f):

,

где Р - доверительная вероятность (Р=1-q, q - уровень значимости).

Проверка надёжности полученных результатов по критерию Стьюдента для проведенного числа опытов m при избранной доверительной вероятности (надёжности) Р=0,95; 0,99. Это значит, что 95% или 99% абсолютных отклонений результатов лежит в указанных пределах. Критерий t (P; f) с доверительной вероятностью Р показывает во сколько раз модуль разности между истинным значением определённой величины y и средним значением ? больше стандартного отклонения среднего результата.

8. Определение грубых ошибок среди результатов повторностей опыта

При статистическом анализе экспериментальных данных для процессов, негативный результат которых не создает ситуаций, опасных для жизни людей или утраты больших материальных ценностей, доверительная вероятность обычно принимают равной Р=0,95

Среди результатов y_k повторностей опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других. Это может быть связано либо с какой-то грубой ошибкой, либо с неизбежным случайным влиянием неучтенных факторов на результат данной повторности опыта.

Признаком наличия «выделяющегося» результата среди других является большая величина отклонения ¦^y_k¦= y_k - y?.

Если ^y_k>y_пред, то такие результаты относятся к грубым ошибкам. Предельное абсолютное отклонение определяют в зависимости от сложившейся ситуации различными методами. Если, например, проводиться статистический анализ экспериментальных данных опыта с эталонным процессом (известно истинное значение результата опыта и ^y_k=y_k-y) и если исследователь имеет в своем распоряжении оценку дисперсии S²(y_k) с таким большим числом степеней свободы, то может принять f>? и S²(y_k)=?², то для определения грубых ошибок можно применить правило «2-х сигм»: все результаты, абсолютные отклонения которых по модулю превышают величину двух среднеквадратичных отклонений с надежностью 0,95 считаются грубыми ошибками и исключаются из массива экспериментальных данных (вероятность исключения достоверных результатов равна уровню значимости q=0,05).

Если доверительная вероятность отличается от 0,95 то пользуются правилом «одной сигмы» (Р=0,68) или правилом «трех сигм» (Р=0,997), или по заданной вероятности Р=2Ф(t) - 1 находят Ф(t) по справочным данным и параметр t, по которому и рассчитывают абсолютное отклонение:

Если в распоряжении исследователя имеется лишь приближенная оценка дисперсии с небольшим (конечным) числом степеней свободы, то применение правила «сигм» может привести либо к необоснованному исключению достоверных результатов либо к необоснованному оставлению ошибочных результатов.

В этой ситуации для определения грубых ошибок можно применить критерий максимального отклонения r_max(P, m), взятый из соответствующих таблиц. Для этого r_max сравнивают с величиной r, равной

(22)

Если r > r_max, то данный результат должен исключаться из дальнейшего анализа, оценка y^? должна быть пересчитана, изменяются абсолютные отклонения ^y_k и соответственно оценка дисперсии S²(y_k) и S²(y?). Анализ на грубые ошибки повторяют при новых значениях оценок y? и S²(y_k), прекращают его при r <= r_max.

При пользовании формулой (22) следует применять оценку дисперсии, полученную по результатам повторностей опыта, среди которых находится сомнительный результат.

Для определения грубых ошибок существуют и другие методы, среди которых наиболее быстрым является метод «по размаху», основанный на оценке максимальных различий полученных результатов. Анализ по этому методу проводят в такой последовательности:

1) располагают результаты y_k в упорядоченный ряд, в котором максимальному результату присваивается номер первый (y1), а максимальному - наибольший (y_m).

2) Если результатом, вызывающим сомнение, будет y_m, рассчитывают отношение

(23)

если сомнительным результатом будет y₁ - отношение

(24)

3) при заданном уровни значимости q и известном числе повторностей m по приложению 6 находят табличное значение критерия ?_Т.

4) если ? > ?_Т, то подозреваемый результат является ошибочным и его следует исключить.

После исключения грубой ошибки находят по таблице новую величину ?_Т и решают судьбу следующего «подозреваемого» результата, сравнивая ?_Т и рассчитанный для него ?.

Если есть основание предполагать, что 2 наибольших (2 наименьших) результата являются «промахами», то их можно выявить в один прием, используя соответствующий столбец таблицы приложения 6 для определения ?_Т и рассчитывая ? по формуле:

(25)

или

(26)

Средневзвешенные оценки дисперсии. Анализ однородности исходных оценок дисперсии

Если в распоряжении экспериментатора имеются результаты многократных измерений величин критерия оптимальности в опытах при различных условиях ведения процесса, то появляется возможность расчета средневзвешенной оценки дисперсии единичного результата, единой для всех опытов эксперимента.

В каждом из N опытов (номер опыта и = 1+N) оценка дисперсии единичного результата равна

где т_и - число повторностей и-го опыта.

Средневзвешенная оценка дисперсии единичного результата рассчитывается по всем оценкам дисперсии единичного результата опытов:

а) при различных т_и

где - число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии; т_и - 1 = f_u - «вес» соответствующей и-ой оценки дисперсии, равный числу степеней свободы f_u;

б) при т_и = т = const

где N (m-1)=f - число степеней свободы средневзвешенной оценки дисперсии.

Прежде чем пользоваться соотношениями (28) и (29) для расчета средневзвешенных уточненных оценок дисперсии (чем больше число степеней свободы, тем более точной будет оценка дисперсии), надо доказать однородность исходных оценок дисперсии.

Определение «однородные» в статистике означает «являющиеся оценкой одного и того же параметра» (в данном случае - дисперсии ? ²).

Если измеряемая случайная величина у_ик распределена по нормальному закону во всем исследуемом диапазоне, то независимо от значений _и дисперсия ? не будет изменять своей величины и оценки этой дисперсии должны быть однородными. Однородность этих оценок проявляется в том, что они могут отличаться друг от друга лишь незначительно, в пределах, зависящих от принятой вероятности и объема экспериментальных данных.

Если т_и = т и f = const, то однородность оценок дисперсий можно проанализировать при помощи критерия Кохрена G_kp. Вычисляют отношение максимальной дисперсии S²(y_uk)_max к сумме всех дисперсий

и сравнивают это отношение с величиной критерия Кохрена G_kp (P; f; N). Если G < Gkp, то оценки однородны.

Таблица значений критерия Кохрена в зависимости от числа степеней свободы числителя f_u, числа сравниваемых дисперсий N и принятого уровня значимости q = 1 - Р дана в приложении.

Если число повторностей в опытах различно (f_lt ? const), однородность оценок дисперсии можно проанализировать с помощью критерия Фишера F_Т. Для этого из N оценок дисперсии выбирают 2: максимальную S²(y_uk)_max и минимальную S²(y_uk)_min. Если вычисленное значение F их отношения меньше Ft,

то все N оценок дисперсии будут однородны.

Значения критерия Фишера F_T даны в приложении в зависимости от принятого уровня значимости q и числа степеней свободы f₁ и f₂ оценок S²(y_uk)_max и S²(y_uk)_min соответственно.

Если оценки дисперсии непосредственно измеряемого параметра у оказались неоднородными, т.е. оценками различных дисперсий, то средневзвешенная оценка не может быть рассчитана. И кроме того, величины у_к уже нельзя считать подчиняющимися нормальному закону, при котором дисперсия может быть лишь одной и неизменной при любом у.

Причиной нарушения нормального закона распределения может быть наличие оставшихся грубых ошибок (анализ на грубые ошибки либо не проводился, либо проведен недостаточно тщательно).

Другой причиной может быть наличие активного фактора, ошибочно отнесенного исследователем к неактивным и не снабженного системой стабилизации. Поскольку условия изменились, этот фактор стал значимо влиять на процесс.

9. Планирование и обработка результатов однофакторных экспериментов

9.1 Формализация экспериментальных данных методом наименьших квадратов

Влияние какого-либо фактора на выход процесса может быть выражено зависимостью у = f(C). Если конкретному значению С_и соответствует единственное значение у_и, то такая зависимость называется функциональной. Эту зависимость получают путем строгих логических доказательств, не нуждающихся в опытной проверке. Например, площадь квадрата ? может быть представлена функциональной зависимостью от размера стороны квадрата а: ? = а².

Если у_и остается неизменным в то время как С_и изменяется, то у не зависит от С. Например, угол при вершине квадрата равный ?/2, не зависит от размера стороны а_и.

Если для оценки величин у_и и С_и используются данные наблюдений, величины случайные, то функциональная зависимость между ними существовать не может.

Измерив отдельно сторону а и площадь ? квадрата, можно убедиться, что полученные результаты не могут быть представлены с абсолютной точностью зависимостью ? = а ².

К формализации экспериментальных данных, т.е. построению по ним описывающей процесс зависимости, исследователь прибегает, когда не может составить эвристическую (детерминированную) математическую модель из-за недостаточного понимания механизма процесса или его чрезмерной сложности.

Полученная в результате формализации экспериментальных данных эмпирическая математическая модель имеет меньшую ценность, чем отражающая механизм процесса эвристическая математическая модель, которая может предсказать поведение объекта за пределами изученного диапазона изменения переменных.

Приступая к эксперименту с целью получения эмпирической математической модели, исследователь должен определить необходимый объем опытных данных с учетом количества принятых к исследованию факторов, воспроизводимости процесса, предполагаемой структуры модели и обеспечения возможности проверки адекватности уравнения.

Если по результатам эксперимента, состоящего из двух опытов, получено линейное однофакторное уравнение у = b₀ + b₁С, то построенная по этому уравнению прямая обязательно пройдет через эти экспериментальные точки. Следовательно, для того чтобы проверить, насколько хорошо эта зависимость описывает данный процесс, надо поставить опыт хотя бы еще в одной точке. Этот дополнительный опыт дает возможность осуществить корректную процедуру проверки пригодности уравнения. Однако проверку обычно проводят не по одной дополнительной точке, которая не участвовала в определении коэффициентов уравнения, а по всем экспериментальным точкам, число которых (N) должно превышать число коэффициентов уравнения (N^')

Так как N > N', решение такой системы требует специального подхода.

9.2 Симметричный и равномерный план однофакторного эксперимента

Задача в значительной степени упростится, если при планировании эксперимента, можно будет обеспечить условие:

?C_u=0 (1)

При натуральной размерности факторов выполнить условие ?C_u=0 невозможно, т. к. в этом случае величина фактора должна иметь как положительные значения, так и отрицательные.

Если же точку отсчета величины фактора перенести в середину диапазона изменения фактора (центр эксперимента)

то появляется возможность удовлетворить условию в виде , где С^'_u=С_u - С_0.

Для равномерного плана С_u - С_(u-1) = ? = const,

где ? - интервал варьирования фактора.

Условие  может быть выполнено, если для обозначения величины фактора использовать безразмерные выражения:

x_u = ,

отсюда легко увидеть, что условие  эквивалентно условию  и такие планы называют симметричными.

При составлении плана диапазон фактора ориентировочно ограничивают величинами С_min и С_max, назначенными после изучения литературы по теме исследования. От опыта к опыту предусматривают такое изменение величины фактора, которое позволило бы достоверно уловить имеющимися в распоряжении исследователя приборами изменение выхода процесса .

С учетом величины ? и диапазона (С_max - C_min) определяют число опытов, округляя его до нечетного N:

.

Затем определяют величины факторов в каждом из N опытов и уточняют исследуемый диапазон фактора С_N - С₁:

=,

где х_u - безразмерное выражение фактора, аналогичное полученному по соотношению

Для расчета коэффициентов уравнения используем формулу:

,

множители а_ju и знаменатель l_j берем из приложения.

Число опытов эксперимента может быть четным или нечетным, и, как правило, должно быть больше числа коэффициентов N' уравнения.

Чем больше разность (N - N'), тем с большей точностью можно получить оценки коэффициентов данного уравнения и тем в большей степени эти оценки будут освобождены от влияния случайных неуточненных факторов.