Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Планирование и организация эксперимента

Тема: Исследование свойств случайных величин, планирование эксперимента и анализ данных

Оглавление

• Введение
• 1 Одномерные случайные величины
• 1.1 Получение функции отклика показателя качества Y2 и формирование выборки объёмом 15
• 1.1.1 Вычисление среднего и дисперсии
• 1.1.2 Проверка наличия грубых погрешностей
• 1.1.3 Оценка нормальности распределения по показателям асимметрии и эксцессу
• 1.1.4 Определение доверительного интервала для математического ожидания
• 1.1.5 Определение доверительного интервала для сигмы
• 1.2 Получение второй выборки объемом более 60
• 1.2.1 Вычисление среднего и дисперсии выборки объемом 70
• 1.2.2 Проверка наличия грубых погрешностей
• 1.2.3 Проверка нормальности выборки объемом 70
• 1.2.4 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий этих двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий
• 1.2.5 Оценка доверительного интервала для среднего первой выборки на основе данных второй выборки
• 2 Двумерные случайные величины
• 2.1 Выбор двух функций и построение корреляционного поля
• 2.2 Изучение зависимости выбранного Y от одного из факторов Х
• 2.2.1 Условные средние Y для фиксированных значений Х
• 2.2.2 Условные дисперсии Y для фиксированных значений Х
• 2.2.3 Построение линии регрессии Y2 по Х2 эмпирической и приближенной
• 3. Дисперсионный анализ и планирование эксперимента
• 3.1 Краткое описание продукции. Наименования факторов (Х) и показателей качества (Y)
• 3.2 Составление плана эксперимента
• 3.3 Составление матрицы эксперимента и графика его выполнения
• 3.4 Проведение модельного эксперимента с назначенными значениями факторов
• 3.5 Дисперсионный анализ гипергреко-латинского квадрата
• 3.5.1 Проверка на нормальность выборок Y1 и Y2(объемом 49) по показателям асимметрии и эксцессу
• 3.5.2 Проверка на однородность дисперсий выборки Y1 и Y2 по критерию Кохрена
• 3.5.3 Проведение дисперсионного анализа
• 3.6 Анализ по критерию Дункана
• 4 Корреляционный анализ
• 5 Регрессионный анализ
• 5.1 Определение коэффициентов регрессии
• 5.2 Оценивание значимости коэффициентов регрессии
• 5.3 Проверка адекватности уравнения по критерию Фишера
• Заключение
• Список используемой литературы

Введение

Целью данной курсовой работы является изучение показателей качества, как случайных величин, и доказательство факта влияния на них нескольких факторов, действующих одновременно, проверка различных статистических гипотез. Этому будут посвящены первые два раздела работы. В третьем разделе будут рассмотрены показатели качества (ПК) газобетона как случайные величины и влияющие на него факторы, действующие одновременно. Значения показателей качества будут получены по имитационной (машинной) модели эксперимента для исследуемой продукции. Модель является таблицей EXCEL.

Задачей данного раздела является выявление тех факторов и их градаций, которые достоверно влияют на выбранные показатели качества. На основании этого анализа можно будет выделить такие технологические приемы, которые будут достоверно влиять на прочность и плотность и смоделировать оптимальную, с точки зрения получения высококачественной продукции, технологию изготовления газобетонных блоков.

1 Одномерные случайные величины

1.1 Получение функции отклика показателя качества Y2 и формирование выборки объёмом 15

Используя модель переменных, выбираем функцию отклика Y2 и формируем выборку объемом 15. ПК (Y2) - плотность газобетона.

Таблица 1- Выборка объёмом 15

№ п/п	Y2
1	136,87
2	144,7
3	149,3
4	144,1
5	150,3
6	153,5
7	149,9
8	155,3
9	144,7
10	142,3
11	142,1
12	149,7
13	149,9
14	148,1
15	135,5

1.1.1 Вычисление среднего и дисперсии

Определяем среднее выборки по формуле:

, (1)

где n - объем выборки;

yi - наблюдаемые значения выборки.

Определяем дисперсию D выборке по формуле:

, (2)

Для данной выборки:

n=15;

= 146,4;

= 31,9;

S=5,7.

1.1.2 Проверка наличия грубых погрешностей

Грубая погрешность, или промах, - это погрешность результата отдельного измерения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором.

При многократных измерениях для обнаружения промахов используют следующие статистические критерии:

- Критерий “трех сигм”. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |xi - x| < 3у, где у - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен при числе измерений n > 20…70.

- Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение:

(x - xi)/ Sx =

в - сравнивается с критерием Т, выбранным по таблице. Если Т, то результат xi считается промахом и отбрасывается.

- Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n > 20).

- Вариационный критерий Диксона - удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок).

Т. к. n<20 воспользуемся критерием Романовского.

Вычисляем для каждого значения выборки отношение по формуле:

(y - yi)/ S = (3)

И сравниваем его с табличным значением Т, на уровне значимости 0,05 для n=15 Т = 2,64.

(146,4 - 136,87)/ 5,7=1,672

(146,4 - 144,70)/ 5,7=0,304

(146,4 - 149,30)/ 5,7=0,503

(146,4 - 144,10)/ 5,7=0,409

(146,4 - 150,30)/ 5,7=0,679

(146,4 - 153,50)/ 5,7=1,240

(146,4 - 149,90)/ 5,7=0,609

(146,4 - 155,30)/ 5,7=1,556

(146,4 - 144,70)/ 5,7=0,304

(146,4 - 142,30)/ 5,7=0,725

(146,4 - 142,10)/ 5,7=0,760

(146,4 - 149,70)/ 5,7=0,573

(146,4 - 149,90)/ 5,7=0,609

(146,4 - 148,10)/ 5,7=0,293

(146,4 - 135,50)/ 5,7=1,918

Все полученные значения меньше т, значит можно сделать вывод о том, что грубых погрешностей нет.

1.1.3 Оценка нормальности распределения по показателям асимметрии и эксцессу

О нормальности распределения можно судить вычислив особые параметры выборочной совокупности результатов анализа, носящих название асимметрии А и эксцесса Е. Это приближенный метода проверки нормальности распределения - метод, связанный с оценками центральных моментов третьего м3 и четвертого м4 порядков.

Для удобства сравнения подсчитывают безразмерные характеристики:

Асимметрия:

А = (1/nу3)У(xi-x)3, (4)

А = -0,056653.

Эксцесс:

Е = (1/nу4)У(xi-x)4, (5)

E = 2,059045318.

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками:

1. Для асимметрии:

уА = v6(n-1)/[(n+1)(n+3)], (6)

уA = v6(15-1)/[(15+1)(15+3)] = 0,54006

2. Для эксцесса:

уЕ = v24n(n-2)(n-3)/[(n-1)2(n+3)(n+5)], (7)

уE = v24*15(15-2)(15-3)/[(15-1)2(15+3)(15+5)] = 0,9374

Зная уА и уЕ можно оценить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если выполняются следующие неравенства:

Р?Р?3уА и РEР?5уЕ ,

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным

В нашем случае: Р-0,056651Р? 1,62 и Р2,059045318Р? 4,42.

Так как значение асимметрии и эксцесса близки к нулю, а их значения не превышают соответствующие значения дисперсий, то мы можем сделать вывод о нормальности распределения.

1.1.4 Определение доверительного интервала для математического ожидания

Доверительные интервалы для математического ожидания м находим, используя критерий Стьюдента.

Рассмотрим случайную величину , которая согласно следствию из теоремы о распределении выборочных характеристик распределена по закону Стьюдента . При заданном значении , пользуясь таблицей, вычислим значение из условия:

, (8)

где - надежность интервальной оценки.

б - генеральное среднее.

Из условия (8) получаем:

 (9)

Таким образом, интервальная оценка надежности для неизвестной генеральной средней а имеет границы:

(10)

Выразим границы интервала через исправленную дисперсию . Так как

=, то . Поэтому

(11)

Значит, границы доверительного интервала можно записать так:

, (12)

По выборке объема 15 нормально распределенной найдено среднее значение 146,4. Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью г =0,95.

Пользуясь таблицей находим величину t(0,95;15)=2,15.

Тогда доверительные границы для математического ожидания с доверительной вероятностью 0,95:



Окончательно с надежностью 0,95 получаем, что параметр а заключен в интервале:

1.1.5 Определение доверительного интервала для сигмы

Пусть случайная , распределённая по закону чІ с k степенями свободы.

k=n-1=14

Тогда

, (13)

где чІлев,г - квантиль чІn-1- распределения уровня б/2,

чІпр,г- квантиль чІn-1- распределения уровня 1-б/2,

б- уровень значимости, б=1-г, где г-надёжность интервальной оценки.

Тогда имеет место равенство:

(14)

Следовательно, интервал

(15)

является интервальной оценкой для уІ с надёжностью г.

По выборке объёма 15 из генеральной совокупности вычислено значение дисперсии выборки D=31,9. Построим интервальную оценку для параметра уІ с надежностью г=0,95.

По таблице квантилей чІ - распределения находим:

чІлев,г=23,7; чІпр,г=6,57.

Интервал принимает вид:

,

20,19< уІ <72,83,

Искомый доверительный интервал: 4,49<у<8,53

1.2 Получение второй выборки объемом более 60

Формируем вторую выборку Y2 объемом 70, представим выборку в виде таблицы 2.

Таблица 2 - Выборка объёмом 70

№ п/п	Y2	№ п/п	Y2	№п/п	Y2	№ п/п	Y2	№ п/п	Y2
1	141,87	15	137,87	29	142,67	43	142,87	57	151,07
2	149,87	16	155,47	30	144,87	44	157,47	58	145,87
3	145,07	17	155,87	31	159,67	45	137,67	59	151,27
4	148,27	18	147,07	32	143,87	46	147,27	60	143,47
5	152,27	19	154,87	33	142,07	47	146,87	61	165,47
6	138,67	20	150,07	34	142,87	48	143,07	62	138,67
7	149,07	21	146,47	35	138,67	49	152,87	63	149,87
8	148,27	22	151,27	36	136,67	50	140,07	64	152,07
9	155,67	23	148,87	37	154,67	51	143,67	65	142,87
10	153,87	24	145,67	38	135,07	52	141,07	66	158,67
11	138,47	25	147,47	39	144,07	53	146,87	67	130,87
12	140,67	26	156,87	40	147,07	54	136,47	68	153,27
13	138,87	27	149,47	41	152,27	55	144,87	69	133,87
14	138,67	28	148,87	42	146,87	56	157,47	70	143,67

1.2.1 Вычисление среднего и дисперсии выборки объемом 70

По формуле (1) при n=70:

=146,67;

По формуле (2):

=47,868.

1.2.2 Проверка наличия грубых погрешностей

Для определения наличия грубых погрешностей воспользуемся критерием «трех сигм»

,

,

;

уmax=165,47; 165,47-146,67= 18,8 < 20,76;

уmin=130,87; 130,87-146,67= 15,8 < 20,76.

Т.к. условие выполняется при уmax и при уmin, то данное условие будет выполняться и при остальных уi, входящих в интервал [130,87; 165,47]. Следовательно, можно сделать вывод о том, что грубых погрешностей нет.

1.2.3 Проверка нормальности выборки объемом 70

Для оценки нормальности распределения выборки при большом числе измерений (n > 50) возможно применение критерия Пирсона.

Критерий Пирсона заключается в вычислении величины ч2 (хи-квадрат):

l l

ч2 = ?((mi - Ni)2 / Ni) = ? ((mi - nPi)2 / nPi), (16)

i=1 i=1

где mi, Ni - экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения;

l - число интервалов разбиения;

Pi - значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; n = ? mi.

При n ? случайная величина ч2 имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы k = l-1-r, где r - число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения r=2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров - математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения ч2 меньше определённого из таблицы значения чтабл2, то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Если же ч2 выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

В качестве нулевой гипотезы H0 принимаем гипотезу о том, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону N(a,у).

Для применения критерия Пирсона найдём наибольшее и наименьшее значения выборки:

a=min(y1,…,yn)=130,87;

b=max(y1,…,yn)=165,47.

Интервал [a,b] разобьём на l интервалов длиной h.

Число интервалов можно подсчитать по формуле Старджесса:

l = 1+3,32lgn, (17)

l = 1+3,32lg70 = 6,94.

Примем число интервалов равное 7.

Длина интервала h вычисляется по формуле:

h = (уmax-уmin)/l, (18)

h=(b-a)/l=(165,47-130,87)/7=4,94.

Найдем границы интервалов:

у0 = уmin = 130,87; у4 = у3 +h = 150,63;

у1 = у0+h = 135,81; у5 = у4 +h = 155,57;

у2 = у1 +h = 140,75; у6 = у5 +h = 160,51;

у3 = у2 +h = 145,69; у7 = у6 +h = 165,47.

Оформим полученные даныt в таблицу 3.

Таблица 3 - Расчёт математического ожидания и дисперсии выборки n=70

№ п/п	Интервал	Частота mi	Час- тость pi=mi/n	Среднее значение интервала Yi*	Yi*pi	Центрированное значение уi=Yi*-mу	уi2	уi2pi
1	[130,87;135,81)	3	0,043	133,27	5,7306	-13,28	176,23	7,578
2	[135,81;140,75)	12	0,171	138,45	23,675	-8,095	65,529	11,20
3	[140,75;145,69)	17	0,243	143,45	34,858	-3,095	9,579	2,328
4	[145,69;150,63)	18	0,257	148,026	38,043	1,481	2,1934	0,564
5	[150,63;155,57)	12	0,171	152,937	26,152	6,392	40,858	6,987
6	[155,57;160,51)	7	0,10	158,04	15,804	11,495	132,14	13,21
7	[160,51;165,47)	1	0,014	162,99	2,2819	16,445	270,44	3,786
?		70	1		146,545			45,66

По результатам таблицы получаем:

Математическое ожидание:

mу*=? Yipi; (19)

mу*=146,545.

Дисперсия:

Dу=? уi2pi; (20)

Dу=45,66.

Среднее квадратическое отклонение:

у=vDу (21)

у=v45,66=6,76.

Для вычисления ч2 составим таблицу 5, в которой:

Pi = F(zi+1)-F(zi), (22)

где F - функция нормального распределения, равная

F(z) = Ф[(zв-mx)/уx] - Ф[(zн-mx)/ уx] (23)

где zн и zв - нижние и верхние границы интервала, Ф - нормированная функция Лапласа.

Р1=Ф[(140,75-146,545)/6,76]-Ф[(- ? -107,57)/ 6,76]= 0,1949;

Р2= Ф[(145,69-146,545)/6,76]-Ф[(140,75-146,545)/ 6,76]= 0,2534;

Р3= Ф[(150,63-146,545)/6,76]-Ф[(145,69-146,545)/ 6,76]=0,2774;

Р4= Ф[(155,57-146,545)/6,76]-Ф[(150,63-146,545)/ 6,76]=0,1825;

Р5= Ф[(?-146,545)/6,76]-Ф[(155,57-146,545)/ 6,76]=0,0918;

Таблица 4 - Статистическая проверка гипотезы нормальности распределения результатов измерений

№ п/п i	Интервал	Частота mi	Pi	nPi	(mi-nPi)2/nPi
1	(- беск; 140,75)	15	0,1949	13,643	0,13497
2	[140,75; 145,69)	17	0,2534	17,738	0,0307
3	[145,69; 150,63)	18	0,2774	19,418	0,10355
4	[150,63; 155,57)	12	0,1825	12,775	0,04702
5	[155,57; беск)	8	0,0918	6,426	0,38554
?		70			0,70178

Из таблицы ч2=0,70178

Число степеней свободы k=5-1-2=2. При уровне значимости б=0,05 получаем чтабл2(0,05;2)=5,99.

Так как ч2=0,70178<чтабл2(0,05;2)=5,99, то можно сделать вывод о том, что нулевая гипотеза H0 принимается при уровне значимости 0,05.

Построим гистограмму, используя расчеты:

Рисунок 1 - Гистограмма.

По виду гистограммы также можно сказать, что распределение является нормальным.

1.2.4 Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий этих двух выборок при условии равенства их генеральных дисперсий

Пусть генеральные совокупности У1 и У2 объемом n=15 и m=16 распределены по нормальному закону. Их средние квадратические отклонения известны и равны соответственно уу1=5,7 и уу2=6,76.

Проверим нулевую гипотезу H0: M(У1)=M(У2) на уровне значимости 0,05.

Построим критерий проверки этой гипотезы, основываясь на следующем соображении: так как приближённое представление о математическом ожидании даёт выборочное среднее, то в основе проверки гипотезы должно лежать сравнение выборочных средних . Найдём закон распределения разности . Эта разность является случайной величиной.

Если гипотеза Н0 верна, то

, (22)

Пользуясь свойствами дисперсии, получим:

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы выберем пронормированную случайную величину:

(24)

Таким образом, если гипотеза верна, случайная величина Zнаб имеет нормальное распределение N (0,1).

Теперь на уровне значимости б построим критические области и проверим гипотезу для трёх видов альтернативной гипотезы Н1.

1) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y)>М(Y') (25)

В этом случае критическая область есть интервал (Yпр,б,+?); где критическая точка Yпрб определяется из условия: Р(N(0,1)> Yпрб)=б. Подставляем числовые значения, найдём значение случайных величин У1 и У2 и значение критерия Zнаб. Если Zнаб> Yпрб, то гипотеза Н0 отвергается и принимается гипотеза Н1. Таким образом, можно допустить ошибку первого рода с вероятностью б.

2) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y1)<М(Y2) (26)

В этом случаи критическая область имеет вид (-?, Yлев,б), где критическая точка Yлев,б находится из уравнения P(N(0,1)< Yлев,б)=б. Вычислим числовое значение Zнаб. Если оно попадает в критическую область, то принимается гипотеза Н1, в противном случае - гипотеза Н0.

3) Альтернативная гипотеза имеет вид

Н1: М(Y1)?М(Y2) (27)

В этом случае наибольшая мощность критерия достигается при двусторонней критической области, состоящей из двух интервалов (-?, Yлев,б) и (Yпр,б,+?).

Р (N(0,1)< Yлев,б/2)=б/2; (28)

P (N(0,1)> Yпр,б/2)=б/2. (29)

В силу симметрии плотности распределения N(0,1) относительно нуля имеет место Yлев,б/2=-Yпр,б/2. Если числовые значения критерия Zнаб попадает в интервал (-?, Yлев,б/2) или в (Yпр,б/2,+?), то принимаем гипотезу Н1; если Yлев,б/2<Zнаб< Yпр,б/2 , то принимаем гипотезу Н0.

По двум независимым выборкам, объёмы которых равны n=15, m=70, извлечённым из нормальных генеральных совокупностей, вычислены средние значения =146,4, 146,67.

При уровне значимости б=0,05 проверяем гипотезу Н0: М(Y1)=М(Y2) при конкурирующей гипотезе Н1: М(Y1)?М(Y2).

Наблюдаемое значение критерия равно:

(30)

По таблице функции Лапласа находим критическую точку по равенству

(31)

Ф(Zкр)=0,475.

Получаем Yпр,б/2 = 1,96, Yлев,б/2 = - 1,96, т.к. критерий симметрично расположен относительно 0.

Т.к. -1,96<Zнабл <1,96, то наблюдаемое значение попало в область допустимых значений. Поэтому гипотеза Н0 о равенстве математических ожиданий подтверждается на уровне значимости б=0,05.

1.2.5 Оценка доверительного интервала для среднего первой выборки на основе данных второй выборки

Чтобы оценить доверительный интервал для среднего 1-ой выборки, используя данные 2-ой выборки, воспользуемся формулой:

(32)

Причём у=6,76 используем из 2-ой выборки, а остальные параметры из 1-ой выборки, т.е.: n=15, г=0,95, =146,4.

Используя таблицу функции , находим, что при xг=1,96.

146,4 - 1,96*6,76/v15 < a < 146,4 + 1,96*6,76/v15

142,98 < a < 149,82.

Получаем интервал:

(142,98 < < 149,82).

Доверительный интервал покрывает истинное значение математического ожидания с надежностью 0,95.

2 Двумерные случайные величины

2.1 Выбор двух функций и построение корреляционного поля

Корреляционное поле используется для выявления и демонстрации зависимостей между двумя связанными наборами данных и для подтверждения предполагаемых зависимостей между ними. Корреляционное поле представляет графически исследуемые зависимости между двумя связанными наборами данных. Корреляционное поле показывает пары чисел как скопление точек. Зависимости между связанными наборами данных устанавливают по форме этих скоплений.

Для экспериментального изучения зависимости между величинами проведем 50 опытов. Результат каждого опыта дает пару значений (Y1 , Y2). Положительная зависимость между Y1 и Y2 означает, что увеличение значений Y1 связано с увеличением значений Y2. При отрицательной зависимости увеличение Y1 связано с уменьшением Y2.

Таблица 5 - Значения Y1 и Y2 при постоянных уровнях всех действующих факторов - 10

Y1	Y2	Y1	Y2	Y1	Y2	Y1	Y2	Y1	Y2
4226,5	2618,37	4342,5	2576,37	4016,1	2577,97	4877,3	2609,17	3517,1	2577,97
3675,5	2575,37	3701,3	2601,17	4511,5	2575,37	5343,5	2578,37	5384,5	2622,37
5194,1	2585,97	3874,9	2602,77	5524,7	2594,57	4875,3	2607,17	3882,5	2608,37
4178,5	2573,37	4711,9	2611,77	5900,1	2630,97	4516,1	2579,97	5047,5	2623,37
3512,5	2568,37	4199,3	2600,17	4693,7	2598,57	5878,3	2609,17	5344,5	2576,37
3861,7	2590,57	4196,3	2591,17	4523,7	2590,57	3882,9	2608,77	3546,9	2606,77
5533,7	2598,57	4559,5	2625,37	4024,1	2581,97	5208,9	2604,77	4544,9	2609,77
4342,5	2577,37	3526,3	2592,17	5707,9	2612,77	5706,9	2612,77	5047,9	2605,77
4869,7	2596,57	4573,1	2635,97	4521,1	2578,97	5225,5	2626,37	5396,1	2636,97
5034,7	2601,57	3871,9	2605,77	4859,7	2593,57	4869,3	2600,17	4985,417	2610,057

Строим корреляционное поле.



Рисунок 2 - Корелляционное поле Y1 и Y2

Для количественной оценки величины связи находим выборочный коэффициент корреляции по формуле:

СКО вычисляем так:

(33)

По виду корреляционного поля и небольшому коэффициенту корреляции можно сделать вывод, что между Y1 и Y2 существует слабая корреляция. Так как коэффициент положителен, значит увеличение значений Y1 связано с увеличением значений Y2.

2.2 Изучение зависимости выбранного Y от одного из факторов Х

Значения Y2 сводим в таблицу, изменяя значение фактора X2=0, X2=1, X2=2.

Таблица 6 - Значения Y2 при Х2

№	Х2=0	Х2=1	Х2=2
1	110,27	126,87	151,07
2	120,47	128,87	149,47
3	124,87	135,37	134,27
4	111,87	144,37	149,67
5	112,87	126,37	145,47
6	106,87	134,87	152,27
7	118,47	127,87	145,87
8	120,87	144,87	137,07
9	115,07	138,37	146,47
10	118,87	146,37	148,07
11	120,27	141,87	146,27
12	115,67	142,37	159,27
13	110,07	139,87	158,47
14	127,67	138,87	155,07
15	125,27	143,37	155,07
16	128,27	142,37	138,47
17	133,67	120,87	153,47
18	117,67	138,87	139,67
19	127,27	138,87	147,27
20	119,67	137,87	138,67

2.2.1 Условные средние Y для фиксированных значений Х

Вычисляем среднее арифметическое результатов наблюдений по формуле (1):

(Х=0)= 119,3;

(Х=1)= 136,97;

(Х=2)= 147,57;

2.2.2 Условные дисперсии Y для фиксированных значений Х

Вычисляем дисперсии результатов наблюдений по формуле (2):

D(X=0) = 49,71;

D(X=1) = 51,57;

D(X=2) = 50,92.

2.2.3 Построение линии регрессии Y2 по Х2 эмпирической и приближенной

Регрессией У от Х называется функциональная зависимость между значениями х2 и соответствующими условными средними значениями У2(х). Линия, которая соединяет условные средние функции при конкретных значениях аргументов.

Уравнение регрессии (34) можно определить с помощью коэффициентов b0 (35) и b1 (36).

= b0 + b1·х

b0 =14,135;

b1 =120,48;

Уравнение регрессии принимает вид:

=14,135х + 120,48.



Рисунок 2 - Линия эмпирической и приближенной регрессии Y2 по X2

3. Дисперсионный анализ и планирование эксперимента

3.1 Краткое описание продукции. Наименования факторов (Х) и показателей качества (Y)

На заводе по производству газобетонных блоков требуется подобрать оптимальный состав смеси для изготовления качественных изделий.

Газобетонные блоки -- это современный, эффективный, экологически чистый и экономичный при строительстве и эксплуатации материал. Их популярность в последнее время, обусловлена рядом преимуществ перед другими материалами. Обладая плотностью древесины, они абсолютно не горючи, химически нейтральны. По сравнению с традиционными строительными материалами (камень, кирпич, бетон) газобетонные блоки превышают их по тепло- и звукоизоляционным характеристикам. Имея большие размеры, они позволяют значительно уменьшить время и трудозатраты на возведение наружных стен и внутренних перегородок.

Газобетон относится к ячеистым бетонам (одна из разновидностей легкого бетона). В его составе нет ни крупного, ни мелкого заполнителя, а их роль выполняют мелкие сферические поры (ячейки).

Газобетон на 60-85% по объему состоит из замкнутых пор (ячеек) размером 0,2-2 мм. Ячеистые бетоны получают при затвердевании насыщенной газовыми пузырьками смеси вяжущего, кремнеземистого заполнителя и воды.

Благодаря высокопористой структуре средняя плотность газобетона невелика (1000 кг/мі), он имеет низкую теплопроводность (теплопроводность в сухом состоянии - 0,29 Вт/(м·К)) при достаточной прочности (прочность на сжатие - 10МПа).

Наиболее важным условием получения качественных газобетонных блоков является правильный подбор смеси.

В данной части курсовой работы мы попытаемся ответить на вопрос о влиянии различных факторов на выбранные показатели качества и определить оптимальное соотношение этих факторов для достижения требуемого и желаемого уровня качества газобетонных блоков.

Исследуемыми показателями качества (ПК) выбраны:

Y1 - предел прочности при сжатии от 2,5 до 50 МПа;

Y2 - плотность от 300 до 1200кг/м3.

На качество блоков влияют факторы:

x1 - вид вяжущего - портландцемент (ПЦ):

1- ПЦ марки 400;

2 - быстротвердеющий портландцемент марки 400 (БТПЦ);

3 - ПЦ марки 500;

4 - БТПЦ марки 500;

5 - БТПЦ марки 600;

6 - Шлакопортландцемент марки 400;

7 - Шлакопортландцемент марки 500.

x2 -фракции песка:

1 - 0,1;

2 - 0,2;

3 - 0,3;

4 - 0,4;

5 - 0,5;

6 - 0,6;

7 - 0,7.

x3 - количество добавок:

1 - 1,5%;

2 - 2%;

3 - 2,5%;

4 - 3%;

5 - 3,5%;

6 - 4%;

7 - 4,5%.

x4 - модуль крупности песка:

1 - 2;

2 - 2,1;

3 - 2,2;

4 - 2,3;

5 - 2,4;

6 - 2,5;

7 - 2,6.

x5 - алюминиевая пудра:

1 - марки ПАП - 1 с содержанием примесей не более 0,01%;

2 - марки ПАП - 1 с содержанием примесей не более 0,02%

3 - марки ПАП - 2 с содержанием примесей не более 0,01%;

4 - марки ПАП - 2 с содержанием примесей не более 0,02%;

5 - любой марки с содержанием железа не более 0,50;

6 - любой марки с содержанием железа не более 0,55;

7 - любой марки с содержанием железа не более 0,57.

x6 -вода для затворения:

1 - обычная пресная вода;

2 - вода, содержащая сахаристые вещества;

3 - болотная вода;

4 - морская вода с содержанием солей менее 5000 мг/л;

5 - вода, содержащая сульфаты;

6 - вода, прошедшая предварительную очистку;

7 - вода из местного водоема.

x7 - давление в автоклаве:

1 - 11,0 атм.;

2 - 11,5 атм.;

3 - 12,0 атм.;

4 - 12,5 атм.;

5 - 13,0 атм;

6 - 13,5 атм;

7 - 14 атм.

x8 - температура воды, вводимой в раствор;

x9 - водоцементное отношение (В/Ц);

х10 - температура растворной смеси.

x1, x2, x3, x4, x5, x6, х7 - изменяются на семи уровнях: 1,2,3,4,5, 6, 7;

x8, x9,х10- исследуются на постоянном уровне 2.

Для оптимизации производства газобетонных блоков будем использовать статистическую модель эксперимента - гипергреко-латинский квадрат 7х7. По этой модели проводится эксперимент из 49 опытов. Такая модель наиболее оптимальна для данного количества факторов.

3.2 Составление плана эксперимента

Для удобства используем следующие обозначения: х1 - А; х2 - В; х3 - С; х4 - D; х5- E; х6- F; х7 - G.

Таблица 7 - План эксперимента

A	B
		1	2	3	4	5	6	7
	1	C=1 D=1 E=1 F=1 G=1	C=2 D=2 E=2 F=2 G=2	C=3 D=3 E=3 F=3 G=3	C=4 D=4 E=4 F=4 G=4	C=5 D=5 E=5 F=5 G=5	C=6 D=6 E=6 F=6 G=6	C=7 D=7 E=7 F=7 G=7
	2	C=2 D=3 E=4 F=5 G=6	C=3 D=4 E=5 F=6 G=7	C=4 D=5 E=6 F=7 G=1	C=5 D=6 E=7 F=1 G=2	C=6 D=7 E=1 F=2 G=3	C=7 D=1 E=2 F=3 G=4	C=1 D=2 E=3 F=4 G=5
	3	C=3 D=5 E=7 F=2 G=4	C=4 D=6 E=1 F=3 G=5	C=5 D=7 E=2 F=4 G=6	C=6 D=1 E=3 F=5 G=7	C=7 D=2 E=4 F=6 G=1	C=1 D=3 E=5 F=7 G=2	C=2 D=4 E=6 F=1 G=3
	4	C=4 D=7 E=3 F=6 G=2	C=5 D=1 E=4 F=7 G=3	C=6 D=2 E=5 F=1 G=4	C=7 D=3 E=6 F=2 G=5	C=1 D=4 E=7 F=3 G=6	C=2 D=5 E=1 F=4 G=7	C=3 D=6 E=2 F=5 G=1
	5	C=5 D=2 E=6 F=3 G=7	C=6 D=3 E=7 F=4 G=1	C=7 D=4 E=1 F=5 G=2	C=1 D=5 E=2 F=6 G=3	C=2 D=6 E=3 F=7 G=4	C=3 D=7 E=4 F=1 G=5	C=4 D=1 E=5 F=2 G=6
	6	C=6 D=4 E=2 F=7 G=5	C=7 D=5 E=3 F=1 G=6	C=1 D=6 E=4 F=2 G=7	C=2 D=7 E=5 F=3 G=1	C=3 D=1 E=6 F=4 G=2	C=4 D=2 E=7 F=5 G=3	C=5 D=3 E=1 F=6 G=4
	7	C=7 D=6 E=5 F=4 G=3	C=1 D=7 E=6 F=5 G=4	C=2 D=1 E=7 F=6 G=5	C=3 D=2 E=1 F=7 G=6	C=4 D=3 E=2 F=1 G=7	C=5 D=4 E=3 F=2 G=1	C=6 D=5 E=4 F=3 G=2

3.3 Составление матрицы эксперимента и графика его выполнения

Таблица 8 - матрица эксперимента

№	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	Х10	у1	у2
1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2
2	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2
3	1	3	3	3	3	3	3	2	2	2
4	1	4	4	4	4	4	4	2	2	2
5	1	5	5	5	5	5	5	2	2	2
6	1	6	6	6	6	6	6	2	2	2
7	1	7	7	7	7	7	7	2	2	2
8	2	1	2	3	4	5	6	2	2	2
9	2	2	3	4	5	6	7	2	2	2
10	2	3	4	5	6	7	1	2	2	2
11	2	4	5	6	7	1	2	2	2	2
12	2	5	6	7	1	2	3	2	2	2
13	2	6	7	1	2	3	4	2	2	2
14	2	7	1	2	3	4	5	2	2	2
15	3	1	3	5	7	2	4	2	2	2
16	3	2	4	6	1	3	5	2	2	2
17	3	3	5	7	2	4	6	2	2	2
18	3	4	6	1	3	5	7	2	2	2
19	3	5	7	2	4	6	1	2	2	2
20	3	6	1	3	5	7	2	2	2	2
21	3	7	2	4	6	1	3	2	2	2
22	4	1	4	7	3	6	2	2	2	2
23	4	2	5	1	4	7	3	2	2	2
24	4	3	6	2	5	1	4	2	2	2
25	4	4	7	3	6	2	5	2	2	2
26	4	5	1	4	7	3	6	2	2	2
27	4	6	2	5	1	4	7	2	2	2
28	4	7	3	6	2	5	1	2	2	2
29	5	1	5	2	6	3	7	2	2	2
30	5	2	6	3	7	4	1	2	2	2
31	5	3	7	4	1	5	2	2	2	2
32	5	4	1	5	2	6	3	2	2	2
33	5	5	2	6	3	7	4	2	2	2
34	5	6	3	7	4	1	5	2	2	2
35	5	7	4	1	5	2	6	2	2	2
36	6	1	6	4	2	7	5	2	2	2
37	6	2	7	5	3	1	6	2	2	2
38	6	3	1	6	4	2	7	2	2	2
39	6	4	2	7	5	3	1	2	2	2
40	6	5	3	1	6	4	2	2	2	2
41	6	6	4	2	7	5	3	2	2	2
42	6	7	5	3	1	6	4	2	2	2
43	7	1	7	6	5	4	3	2	2	2
44	7	2	1	7	6	5	4	2	2	2
45	7	3	2	1	7	6	5	2	2	2
46	7	4	3	2	1	7	6	2	2	2
47	7	5	4	3	2	1	7	2	2	2
48	7	6	5	4	3	2	1	2	2	2
49	7	7	6	5	4	3	2	2	2	2

После составления матрицы эксперимента составляют график выполнения самих экспериментов, где случайным образом (рандомизация) назначают их даты проведения.

3.4 Проведение модельного эксперимента с назначенными значениями факторов

Согласно графику были проведены эксперименты и заполнена матрица эксперимента, представленная в таблице 8.

Таблица 9 - Модель эксперимента

№	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	Х10	у1	у2
1	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	72,87	63,27
2	1	2	2	2	2	2	2	2	2	2	132,9	119,9
3	1	3	3	3	3	3	3	2	2	2	237,4	227,5
4	1	4	4	4	4	4	4	2	2	2	406,6	353,4
5	1	5	5	5	5	5	5	2	2	2	690,1	522,7
6	1	6	6	6	6	6	6	2	2	2	770,8	719,4
7	1	7	7	7	7	7	7	2	2	2	1052	947,9
8	2	1	2	3	4	5	6	2	2	2	389,5	318,9
9	2	2	3	4	5	6	7	2	2	2	639,4	467,6
10	2	3	4	5	6	7	1	2	2	2	301,3	210,9
11	2	4	5	6	7	1	2	2	2	2	621,1	444,3
12	2	5	6	7	1	2	3	2	2	2	531,7	429,3
13	2	6	7	1	2	3	4	2	2	2	457,7	339,2
14	2	7	1	2	3	4	5	2	2	2	373,1	368,0
15	3	1	3	5	7	2	4	2	2	2	713,4	535,0
16	3	2	4	6	1	3	5	2	2	2	470,3	362,0
17	3	3	5	7	2	4	6	2	2	2	630,8	517,4
18	3	4	6	1	3	5	7	2	2	2	744,8	498,0
19	3	5	7	2	4	6	1	2	2	2	284,8	179,9
20	3	6	1	3	5	7	2	2	2	2	394,1	310,7
21	3	7	2	4	6	1	3	2	2	2	492,4	442,5
22	4	1	4	7	3	6	2	2	2	2	224,7	206,8
23	4	2	5	1	4	7	3	2	2	2	352,2	210,2
24	4	3	6	2	5	1	4	2	2	2	611,4	438,5
25	4	4	7	3	6	2	5	2	2	2	987,5	621,0
26	4	5	1	4	7	3	6	2	2	2	980,4	726,1
27	4	6	2	5	1	4	7	2	2	2	708,9	599,6
28	4	7	3	6	2	5	1	2	2	2	369,6	393,4
29	5	1	5	2	6	3	7	2	2	2	990,9	636,6
30	5	2	6	3	7	4	1	2	2	2	509,3	252,9
31	5	3	7	4	1	5	2	2	2	2	391,0	200,9
32	5	4	1	5	2	6	3	2	2	2	315,8	325,3
33	5	5	2	6	3	7	4	2	2	2	568,9	502,4
34	5	6	3	7	4	1	5	2	2	2	951,0	859,2
35	5	7	4	1	5	2	6	2	2	2	694,8	615,4
36	6	1	6	4	2	7	5	2	2	2	383,1	248,8
Окончание таблицы 9
37	6	2	7	5	3	1	6	2	2	2	978,0	692,9
38	6	3	1	6	4	2	7	2	2	2	954,8	791,9
39	6	4	2	7	5	3	1	2	2	2	510,5	501,4
40	6	5	3	1	6	4	2	2	2	2	622,9	474,4
41	6	6	4	2	7	5	3	2	2	2	548,8	497,1
42	6	7	5	3	1	6	4	2	2	2	745,0	453,4
43	7	1	7	6	5	4	3	2	2	2	793,3	655,6
44	7	2	1	7	6	5	4	2	2	2	941,1	529,8
45	7	3	2	1	7	6	5	2	2	2	659,9	370,3
46	7	4	3	2	1	7	6	2	2	2	894,8	740,0
47	7	5	4	3	2	1	7	2	2	2	654,4	408,4
48	7	6	5	4	3	2	1	2	2	2	664,3	571,5
49	7	7	6	5	4	3	2	2	2	2	732,7	575,9

Для удобства вычислений проведем масштабирование значений Y с учетом номинальных значений:

уиспр=а*у+b. (37)

Y1 - пределе прочности на сжатие, изменяется в пределах 2,5 - 50МПа.

Минимальному пределу прочности при сжатии 2,5МПа соответствует минимальное значение выборки 72,87; максимальному пределу прочности 50 МПа - 1052,2. Решая систему уравнений, находим для Y1 а=0,049, b=-1,364, т.е.:у1i,испр = 0,049у1i - 1,364. (38)

Y2- плотность, измеряется кг/м3. Минимальной плотности 300 кг/м3 соответствует значение выборки 63,27. Максимальному значению плотности 1200кг/м3 - 947,9. Решая систему уравнений для Y2 - а=1,017, b= 235,63, т.е.:

у2i,испр = 1,017у2i - 235,63. (39)

Полученные значения представлены в таблице 11:

Таблица 11 - масштабированные значения Y1и Y2

№ опыта	Y1, МПа	Y2, кг/м3
1	2,2	300,0
2	5,1	357,5
3	10,3	467,0
4	18,6	595,0
5	32,4	767,2
6	36,4	967,2
7	50,2	1199,6
8	17,7	559,9
9	30,0	711,1
10	13,4	450,1
11	29,1	687,5
12	24,7	672,2
13	21,1	580,6
14	16,9	609,9
15	33,6	779,7
16	21,7	603,8
17	29,5	761,8
18	35,1	742,1
19	12,6	418,6
20	17,9	551,6
21	22,8	685,6
22	9,6	445,9
23	15,9	449,4
24	28,6	681,6
25	47,0	867,2
26	46,7	974,0
27	33,4	845,4
28	16,7	635,7
29	47,2	883,0
30	23,6	492,8
31	17,8	439,9
32	14,1	566,4
33	26,5	746,5
34	45,2	1109,4
35	32,7	861,5
36	17,4	488,6
37	46,6	940,3
38	45,4	1041,0
39	23,7	745,5
40	25,3	562,5
41	29,2	718,1
42	25,5	741,2
43	35,1	696,7
44	37,5	902,3
45	44,7	774,4
46	31,0	612,2
47	42,5	988,2
48	30,7	650,9
49	31,2	816,8

3.5 Дисперсионный анализ гипергреко-латинского квадрата

Задачей дисперсионного анализа является исследование влияния тех или иных факторов на изменчивость средних.

Дисперсионный анализ применяем в тех случаях, если:

а) члены анализируемой выборки случайной величины;

б) на фиксированном уровне факторов наблюдения распределение нормально;

в) дисперсия распределений при разных значениях факторов одинакова.

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость изучаемой случайной величины. Для этого производится разложение суммарной выборочной дисперсии на составляющие, обусловленные независимыми факторами. Каждая из этих составляющих представляет собой оценку дисперсии генеральной совокупности.

Сначала проверим условия применимости дисперсионного анализа.

Члены анализируемой выборки случайны, т.к. выборка взята случайным образом из модели эксперимента.

3.5.1 Проверка на нормальность выборок Y1 и Y2(объемом 49) по показателям асимметрии и эксцессу

Для Y1 и Y2 найдем показатели А и Е по формулам (4) и (5):

Асимметрия:

АУ1=0,15;

АУ2=0,176.

Эксцесс:

ЕУ1=0,26;

ЕУ2=0,06;

Обе эти характеристики должны быть малы, если распределение нормально. О малости этих характеристик обычно судят по сравнению с их средними квадратическими ошибками:

Для асимметрии находим квадратическую ошибку по формуле (6):

уA = v6(49-1)/[(49+1)(49+3)] = 0,333.

Для эксцесса находим квадратическую ошибку по формуле (7):

уE = v24*49(49-2)(49-3)/[(49-1)2(49+3)(49+5)] = 0,63.

Зная уА и уЕ можно оценить, значимо ли выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса отличаются от нуля. Если выполняются следующие неравенства:

Р?Р ?3уА и РEР?5уЕ ,

то наблюдаемое распределение можно считать нормальным

В нашем случае: Р0,15Р? 0,999 и Р0,28Р? 1,89 для Y1 и Р0,176Р? 0,999 и Р0,16Р? 1,89 для Y2.

Так как значения асимметрии и эксцесса близки к нулю, а их значения не превышают соответствующие значения дисперсий, то мы можем сделать вывод о нормальности распределения выборок Y1 и Y2.

3.5.2 Проверка на однородность дисперсий выборки Y1 и Y2 по критерию Кохрена

Проведем дополнительные эксперименты для Y1 и Y2. Выборочные дисперсии получены по выборкам одинаковых объёмов m1=m2=…=m6=m7=m=10. Критерий Кохрена заключается в следующей формуле:

G=.(40)

Таблица 12 - Результаты дополнительных экспериментов

Y1	Y2
44,7	36,8	44,7	41,3	852,8	840,2	859,5	844,1
41,9	32,3	29,9	43,3	840,8	822,9	816,2	844,5
36,8	40,2	39,7	30,5	823,9	830,0	834,3	825,0
41,8	40,7	36,2	34,1	824,3	853,4	829,8	823,5
42,5	43,1	31,1	30,6	835,5	831,9	833,5	828,6
40,0	34,1	40,4	37,2	833,7	820,9	840,6	832,9
36,9	32,8	29,9	40,7	830,6	844,3	816,8	823,9
32,8	38,2	35,2	43,5	813,8	828,2	838,2	854,4
41,0	41,2	35,7	32,4	832,3	822,3	817,2	826,2
37,7	32,9	35,1	32,9	831,7	832,1	830,0	821,5

Таблица 13 - Значения дисперсий для дополнительных экспериментов

Факторы	si2	fi
Y1	1	12,4	9
	2	16,1	9
	3	23,1	9
	4	27,2	9
?		78,88
Y2	1	109,41	9
	2	110,18	9
	3	175,92	9
	4	127,35	9
?		522,9

Для Y1: G1=27,2/78,88=0,345;

Для Y2: G2=175,92/522,9=0,337.

В таблице приложения квантиль G(0,95;4;9)=0,5017.

Значение критерия по выборочным дисперсиям для факторов G1<G(0,95;4;9), G2<G(0,95;4;9). Таким образом дисперсии можно считать однородными при выбранном уровне значимости р=0,05.

3.5.3 Проведение дисперсионного анализа

Так как условия применимости дисперсионного анализа подтвердились для данных выборок, то можно проводить дисперсионный анализ.

Дисперсионный анализ проводим по следующему алгоритму:

1) Находим итоги по строкам - Аi;

2) Находим итоги по столбцам - Вj;

3) Находим итоги по латинской букве - Сq, Dl, Еh, Fk, Gp;

4) Считаем сумму квадратов всех наблюдений по формуле

; (41)

5) Считаем сумму квадратов итогов по строкам, деленную на число наблюдений в строке по формуле

; (42)

6) Считаем сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце по формуле

; (43)

7) Считаем сумму квадратов итогов по латинской букве, деленную на число наблюдений по формуле

; (44)

8) Считаем квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений в квадрате по формуле

; (45)

9) Считаем общую сумму квадратов по формуле

; (46)

10) Считаем суммы квадратов для Х1 (А), Х2 (В), Х3 (С), Х4 (D), Х5 (Е), Х6 (F), X7(G):

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

(52)

(53)

11) Считаем остаточную сумму квадратов по формуле

(54)

12) Считаем дисперсии факторов Х1 (А), Х2 (В), Х3 (С), Х4 (D), Х5 (Е), Х6 (F), X7(G):

(55)

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61)

13) Считаем дисперсию ошибки по формуле

(62)

14) Составляем таблицу дисперсионного анализа

15) Находим наблюдаемые значения критерия Фишера по каждому фактору:

(63)

(64)

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

16) Определяем критическое значение критерия Фишера в соответствии со степенями свободы и проводим сравнение

 (70)

Проведем дисперсионный анализ по Y1.

1. Найдем итоги по строкам и по столбцам:

По строкам:

А1=155,2;

А2=152,8;

А3=173,3;

А4=198,0;

А5=207,1;

А6=213,1;

А7=252,7.

По столбцам:

В1=162,9;

В2=180,3;

В3=189,8;

В4=198,5;

В5=210,7;

В6=213,9;

В7=196,0.

Найдем итоги по латинской букве:

С1=180,8; С2=173,9; С3=192,1; С4=167,6; С5=210,4; С6=197,0; С7=226,2;	D1=177,1; D2=167,4; D3=184,6; D4=183,9; D5=204,7; D6=211,0; D7=220,5;	E1=156,2; E2=146,5; E3=175,7; E4=186,6; E5=200,4; E6=229,6; E7=257,0;	F1=216,9; F2=219,3; F3=201,7; F4=182,5; F5186,5; F6=173,0; F7=172,3;	G1=122,9; G2=136,1; G3=152,0; G4=191,4; G5=225,5; G6=194,0; G7=283,8.

2. Сумма квадратов всех наблюдений:

SS1=44283,65.

3. Сумма квадратов итогов по факторам, деленная на число наблюдений в строке:

SS2=38403,69;SS4=37454,37;SS6=38649,83;SS8=37478,55.

SS3=37580,88;SS5=37465,91;SS7=37645,27;

4. Корректирующий член:

SS9=37314,25.

5. Общая сумма квадратов:

SSобщ=6969,38.

6. Суммы квадратов:

SSA=1089,44;SSE=1335,58;

SSB=266,63;SSF=331,02;

SSC=140,12;SSG=164,3.

SSD=151,66;

7. Остаточная сумма квадратов:

SSост=3490,64.

8. Дисперсии факторов:

S2A=181,57;S2E=222,60;

S2B=44,44;S2F=55,17;

S2C=23,35;S2G=27,38.

S2D=25,58;

9. Дисперсия ошибки:

S2ош=581,77.

10. Составляем таблицу дисперсионного анализа:

Таблица 14 - Таблица дисперсионного анализа для гипер-греко-латинского квадрата 7Ч7 ПК Y1

Источник дисперсии	Число степеней свободы f	Сумма квадратов	Дисперсия фактора	Fнабл
A	n-1=6	1089,439	181,5731	0,312
B	n-1=6	266,6255	44,43759	0,076
C	n-1=6	140,1221	23,35368	0,040
D	n-1=6	151,6593	25,27655	0,043
E	n-1=6	1335,585	222,5974	0,382
F	n-1=6	331,0232	55,17053	0,095
G	n-1=6	164,3032	27,38386	0,047
ОСТ (ошибка)	(n-1)(n-k+1)=6	3490,641	581,7735
ОБЩ	nІ-1=48	6969,398	145,2

11. Наблюдаемые значения критерия Фишера:

F1=0,312;F5=0,382;

F2=0,076;F6=0,095;

F3=0,040;F7=0,047.

F4=0,043;

12. Найдем критическое значение критерия Фишера для уровня значимость 0,05 Fкрит(0,95,6,6)=4,3.

На ПК Y2 не влияет ни один из рассматриваемых факторов, т.к. для всех факторов Fрасч<Fкрит.

Аналогично проводим дисперсионный анализ для Y2.

Оформим результаты в таблицу 15:

Таблица 15 - Таблица дисперсионного анализа для гипер-греко-латинского квадрата 7Ч7 ПК Y2

Источник дисперсии	Число степеней свободы f	Сумма квадратов	Дисперсия фактора	Fнабл
A	n-1=6	146693	24448,84	0,049
B	n-1=6	153976,1	25662,69	0,052
C	n-1=6	21701,71	3616,952	0,007
D	n-1=6	1140048	190008	0,387
E	n-1=6	221382,9	36897,14	0,075
F	n-1=6	106495,3	17749,21	0,036
G	n-1=6	548904	91484	0,186
ОСТ (ошибка)	(n-1)(n-k+1)=6	2943322	490553,6
ОБЩ	nІ-1=48	1904618	39679,54

По таблице находим критическое значение критерия Фишера:

Fтабл (0,95;6;6)=4,3.

На ПК Y2 все факторы не оказывают значимого влияния, т. к. для всех факторов Fрасч<Fтабл.

3.6 Анализ по критерию Дункана

Вычисляем критерий Дункана по таким показателям качества, для которых обнаружено факторное влияние. В данном случае анализ по критерию Дункана необходимо провести для ПК Y1 - прочность на сжатие. При расчёте по этому показателю факторное влияние отсутствует, но теоретически мы предположим, что фактор Х1 (тип вяжущего) оказывает влияние.

Для этого найдем средние по градациям, расположим их в порядке возрастания. По таблице критерия Дункана выписываем значения рангов числом n-1=6 c уровнем значимости 0,05. Затем умножаем ранги на значение S, которое находится по формуле:

(71)

Для удобства проведения анализа сведем все полученные значения в таблицу 13.

S=9,12.

Таблица 16 - Анализ по Критерию Дункана для Y1 (X1)

	1	2	3	4	5	6	7
Среднее значение y1 для уровней фактора х1	21,84	22,17	24,74	28,27	29,59	30,44	36,1
Значение ранга	-	3,35	3,47	3,54	3,58	3,60	3,61
Критерий Дункана (S= 9,12)		30,55	31,64	32,28	32,65	32,82	32,92

Найдем разности и сравним их с критериями Дункана:

=	14,26	<	32,92	незначимая разность;
=	13,93	<	32,82	незначимая разность;
=	11,36	<	32,65	незначимая разность;
=	7,83	<	32,28	незначимая разность;
	6,51	<	31,64	незначимая разность;
=	5,66	<	30,55	незначимая разность.

Вывод: на ПК Y1 (предел прочности на сжатие) не влияет ни одна из градаций фактора x1 (тип вяжущего). Т.е. на данном производстве тип вяжущего не оказывает значимого влияния на предел прочности на сжатие газобетона.

4 Корреляционный анализ

Если необходимо исследовать корреляционную связь между многими величинами, то пользуются уравнениями множественной регрессии.

(72)

Уравнение представляет собой гиперповерхность при k>2, которая называется поверхностью отклика. При построении поверхности отклика на координатных осях факторного пространства откладываются численные значения факторов. Исходный статистический материал представлен в табл. 17, где х2 - фракции песка, х3 - количество добавок, х7 - давление в автоклаве, у2 - плотность.

Таблица 17 - Исходный статистический материал

№	х2	х3	х7	у2
1	0,1	1,5	12	300
2	0,5	2	14	1000
3	0,7	4,5	11,5	1200
4	0,6	2,5	13,5	700
5	0,4	3	11	500
6	0,2	3,5	12,5	800
7	0,3	1,5	13	1100
8	0,1	4	12	600
9	0,5	2	11	900
10	0,7	3,5	14	400
средние	0,41	2,8	12,45	750
s2	0,052	1,123	1,303	91666,6
s	0,228	1,059	1,141	302,76

Перейдем от натурального масштаба к новому, проведя нормировку всех случайных величин по формулам (73):

; (74)

; (75)

i=1,2,…,n; j=1,2,…,k

где , - нормированные значения соответствующих факторов;

, - средние значения факторов;

, - среднеквадратичные отклонения факторов:

;(76)

. (77)

В таблице 18 приведен исходный статистический материал в новом масштабе:

Таблица 18 - Исходный статистический материал в новом масштабе

№
1	-1,35799	-1,22717	-0,39426	-1,4863
2	0,394255	-0,75518	1,35799	0,825723
3	1,270378	1,604758	-0,83232	1,486301
4	0,832316	-0,28319	0,919929	-0,16514
5	-0,04381	0,188795	-1,27038	-0,82572
6	-0,91993	0,660783	0,043806	0,165145
7	-0,48187	-1,22717	0,481867	1,156012
8	-1,35799	1,13277	-0,39426	-0,49543
9	0,394255	-0,75518	-1,27038	0,495434
10	1,270378	0,660783	1,35799	-1,15601
среднее	0	0	0	0
S2	1	1	1	1
S	1	1	1	1

Вычислим коэффициенты корреляции по формулам:

, (78)

, (79)

где l, m=1,2,…, k, l > m.

Вычисленный по формуле (76) выборочный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе .

;

;

;

;

;

.

Вычисленный выборочный коэффициент корреляции равен коэффициенту корреляции между переменными, выраженными в натуральном масштабе. Уравнение регрессии между нормированными переменными не имеет свободного члена и принимает вид:

(80)

Коэффициенты уравнения находятся из условия:

 (81)

Система нормальных уравнений имеет следующий вид:

(82)

В системе уравнений .

Составим систему нормальных уравнений с учетом вычисленных коэффициентов:

a1 + 0,24a2 - 0,26a3= 0,313;

- 0,26a1 + a2 - 0,17a3 = 0,203;

- 0,17a1 + 0,24a2 + a3 = - 0,01.

Решая систему получим:

a1=0,24;

a2=0,26;

a3= - 0,03.

Рассчитаем коэффициент множественной корреляции R:

(83)

R=0,358.

.

Чем меньше число степеней свободы выборки f=n-1, тем больше завышается сила связи, оцениваемая коэффициентом множественной корреляции. Формула для коррекции:

= 0,453,

где - скорректированное значение коэффициента множественной корреляции;

l - число коэффициентов множественной корреляции, l=k+1;

n - количество экспериментов.

От уравнения можно перейти к натуральному масштабу по формулам:

, j=1,2,…,k; j0,

.(84)

y = 510,5+318,31x2 + 74,31x3 - 7,96x7.

5 Регрессионный анализ

5.1 Определение коэффициентов регрессии

Так как по дисперсионному анализу мы определи, что на показатели качества не влияет ни один фактор, то теоретически предположим, что на показатель качества Y2(плотность) влияет три фактора - фракции песка (х2), количество добавок (х3) и давление в автоклаве (х7).

При планировании по схеме полного факторного эксперимента (ПФЭ) реализуются все возможные комбинации факторов на всех выбранных для исследования уровнях,

Для упрощения условий эксперимента и обработки полученных данных натуральные значения факторов кодируют так, чтобы верхний уровень фактора соответствовал +1, нижний -1 , а основной нулю.

(85)

В нашем случае берем факторы, варьируемые на двух уровнях:

Х2 = 0,1 и 0,7 (фракции песка)

Х3= 1,5 и 4,5 (%)

Х7 = 11 и 14 (атм.).

Запишем в таблицу 19 значения факторов и уровни.

Таблица 19 - Уровни факторов.

Фактор	0	+1	-1
Х2	0,4	0,7	0,1
Х3	3	4,5	1,5
Х7	12,5	14	11

Число возможных комбинаций N из трёх факторов на двух уровнях равно N = 2і = 8. С помощью функции отклика и матрицы эксперимента получим следующие значения показателя качества (значения масштабированные).

План проведения экспериментов (матрица планирования) приведен в таблице 20.

Таблица 20 - Расширенная матрица планирования полного факторного эксперимента 2і

х0	х1	х2	х3	х1 х2	х1х3	х2 х3	х1 х2 х3	у1	у2	y3	yср
+1	-1	-1	-1	+1	+1	+1	-1	300	300	300	300
+1	+1	-1	-1	-1	-1	+1	+1	1200	800	1000	1000
+1	-1	+1	-1	-1	+1	-1	+1	1200	1200	1200	1200
+1	+1	+1	-1	+1	-1	-1	-1	500	900	700	700
+1	-1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	300	700	500	500
+1	+1	-1	+1	-1	+1	-1	-1	600	1000	800	800
+1	-1	+1	+1	-1	-1	+1	-1	1100	1100	1100	1100
+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	800	400	600	600

Используя данные, приведенные в таблице можно найти коэффициенты регрессии следующего уравнения:

,

коэффициенты находятся по формулам:

, (86)

, (87)

, (88)

где - значение среднего показателя качества;

- значение фактора;

- число вариантов в матрице планирования.

Для нахождения bi необходимо вычислить сумму произведений yn на значение (+1 или -1) фактора в соответствующем столбце матрицы планирования и разделить на результат n=8.

Уравнение регрессии приняло следующий вид:

.

5.2 Оценивание значимости коэффициентов регрессии

Значимость каждого коэффициента уравнения регрессии можно проверить по критерию Стьюдента, исключив из уравнения незначимый коэффициент. При этом выборочные коэффициенты bi оказываются так называемыми несмешанными оценками для соответствующих теоретических коэффициентов вi , т.е. значения коэффициентов уравнения регрессии характеризуют вклад соответствующего фактора в величину y. Диагональные коэффициенты ковариационной матрицы равны между собой, поэтому все коэффициенты определяются с одинаковой точностью:

, (89)

где находится по формуле:

. (90)

Для этого в центре плана поставлено три параллельных опыта и получены следующие результаты y:

= 750; = 800; =775;

= 775;

= 625, = 25,

= 8,84.

Оценим значимость коэффициентов по критерию Стьюдента:

= 31,

= 5,

= 5,

= -1,

= 40,

=3,

= -1,

= 7.

Табличное значение критерия Стьюдента для уровня значимости б = 0,05 и числа степеней свободы f = 2 tp(f) = 4,3. Таким образом, из уравнения следует исключить все коэффициенты с t<tp, т.е. t3, t13 и t23. После исключения коэффициента уравнение регрессии примет вид:

5.3 Проверка адекватности уравнения по критерию Фишера

корреляционный регрессионный дисперсионный анализ

Адекватность уравнения регрессии проверим по формуле:

, (91)

где находим по формуле:

, (92)

где l - число значимых коэффициентов в уравнении.

.

,

.

Табулированное значение критерия Фишера для б = 0,05, f1 = 7, f2 = 2:

F0,05 (7,2) = 19,36

Т.к. Fнабл>Fтабл, следовательно, уравнение адекватно описывает эксперимент.

Заключение

В первой и второй частях курсовой работы были изучены свойства случайных величин, получен опыт статистического анализа, что являлось основой для дальнейшего планирования, проведения и анализа эксперимента.

Выбрав показатели качества материала Y и, определив факторы X, которые предположительно оказывают влияние на них, был спланирован и проведен модельный эксперимент, проверены условия применимости дисперсионного анализа, после чего был проведен сам дисперсионный анализ с целью определения достоверности влияния факторов на поведение выбранных показателей качества.

По результатам дисперсионного анализа мы получили, что ни один из факторов не влияет на показатели качества. Далее было предположено, что фактор х1 (тип вяжущего) все-таки оказывает влияние на показатель качества Y1. По критерию Дункана определили достоверность различий градации фактора х1(тип вяжущего) на показатель качества Y1 (предел прочности на сжатие). Так как на показатели качества выбранные факторы значимого влияния не оказывают, то они будут приниматься по расчету и конструктивным соображениям в зависимости от области применения данных газобетонных блоков.

После этого был выбран показатель качества Y2 (плотность газобетона), проведен эксперимент и получен множественный коэффициент корреляции, вычислены коэффициенты регрессионного уравнения, проведен регрессионный анализ, полный факторный эксперимент и оценены величина и достоверность коэффициентов регрессии, и адекватность уравнения экспериментальным данным. Уравнение оказалось адекватно описывающим эксперимент.

Развитие рыночных отношений в строительном комплексе страны с каждым годом повышает требования к качеству строительной продукции за счет конкуренции, борьбы предприятий за свой потребительский рынок. Правильное, качественное изготовление строительной продукции возможно на основе всестороннего учета реальных условий их службы в сочетании с действительными физико-механическими и строительно-физическими их свойствами. И сейчас, когда наука не стоит на месте, этого достичь можно гораздо быстрее.

Список используемой литературы

1. Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: Учеб.пособие для хим.-технол. спец.вузов. - М.,Высш.шк., 1985.

2. Воскобойников Ю. Е. Математическая статистика: учебное пособие/ Ю. Е. Воскобойников, Е. И. Тимошенко. - Новосибирск: НГАСУ, 2000.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов /В.Е Гмурман. - М.: Высш. шк., 1997. - 480 с.

4. Шеффе Г. Дисперсионный анализ. М.: Наука, 1980

5. Стандарт предприятия. Курсовой проект НГАСУ, 2001

6. ГОСТ Р 1.5 Государственная система стандартизации РФ. Стандарты. Общие требования к построению, изложению, оформлению, содержанию и обозначению. - М.: ИПК Изд-во стандартов, 2004.

Размещено на Allbest.ru