Моделирование процессов и объектов в металлургии

,

где x(t) - фазовый вектор в произвольный момент времени, удовлетворяющий начальному условию x(t)=x; X(t,t), или X(t,) - фундаментальная матрица, которую вычисляют следующим образом.

На базе системы линейных дифференциальных неоднородных уравнений составляют систему однородных уравнений

.

Решая ее, выделяют n линейно независимых векторов-решений. Считая, что каждый из линейно независимых векторов z^(k)(t) являющихся решениями этой системы, есть вектор столбец, составляют матрицу

.

Фундаментальную матрицу описывают формулой

.

Рассмотрим простейшую задачу о быстродействии, имеющую большое практическое значение.

Дана некоторая система (механическая, электромеханическая и т.п.), движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением

.

Дано множество допустимых управлений Щ_u, которыми располагает система. Дано положение системы в начале движения

,

но момент окончания движения t=t_в неизвестен. Задача состоит в том, чтобы выбрать из множества допустимых управлений Щ_u такое u⁰=u⁰(t), при котором система в кротчайшее время T⁰=min(t_в-t_б) перешла бы из состояния в состояние .

Для решения сформулированной задачи обратимся к понятию области достижимости G. Пусть в некоторый фиксированный момент времени t_*<t_в процесс еще не завершился, система не достигла заданного состояния, точка x^в фазового пространства лежит еще вне области достижимости. Если следовать естественному ходу времени, то область достижимости будет смещаться по фазовому пространству и изменять свою форму. В некоторый момент времени t=t_в наступит такое положение, что область достижимости коснется заданной точки x^в. Момент касания областью достижимости точки x^в даст искомое наименьшее время T⁰=min(t_в-t_б) перехода системы из положения x^б в положение x^в. Следует заметить, что касание областью достижимости заданной точки x^в может наступить еще раз - в момент покидания областью достижимости точки x^в. Возникающая при этом неоднозначность решения легко устраняется выбором меньшего отрезка T=t_в-t_б, который будет решением задачи.

Рассмотрим область достижимости в фиксированный, но пока не известный момент времени t=t_в. Обозначим через x(t_в) значение фазового вектора в области достижимости, подсчитанное по формуле Коши в момент времени t=t_в для некоторого допустимого управления u. Множество значений фазового вектора на границе области достижимости обозначим . В каждую точку границы система приходит с помощью своего управления. Из множества точек надо выбрать ту (и соответствующее ей управление), для которой = x^в. Управление, обеспечивающее попадание системы в эту точку, будет искомым оптимальным управлением u⁰=u⁰(t).

Рисунок 3

Возьмем произвольный вектор l единичной длины перпендикулярный границе области достижимости. Из рисунка видно, что если перебрать все точки x(t_в), принадлежащие области достижимости в момент времени t_в то проекции их фазовых векторов на направление вектора l не будут превышать длину отрезка ОА. Отрезок ОА будет отвечать условию

.

Из этого условия, которое является принципом максимума, можно найти точки , лежащие на границе области достижимости. Если перебрать все l, то получим с помощью принципа максимума все граничные точки области достижимости.

С учетом формулы Коши условие максимума можно написать в виде

Так как вектор l задан, а первое слагаемое в формуле Коши постоянно, то максимизацию осуществляют лишь по второму слагаемому скалярного произведения, причем переменным для него уже будет управление. Итак получаем принцип максимума, который состоит в следующем: оптимальное управление u^o=u^o(t) на отрезке времени [t, t_в] в любой момент времени t[t, t_в] определяется из условия

,

где u - значение функции u(t) в фиксированный момент t[t, t_в].

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности, так как он «выводит» точку окончания процесса в области достижимости G|_t= t_в на ее границу, а на границе обязательно лежит x^в - решение задачи оптимизации по быстродействию.

Рассмотрим вторую задачу оптимизации процесса управления движением. Движение некоторой системы описывают дифференциальным уравнением

.

Движение управляется из множества допустимых управлений. Дано положение системы в начале движения

.

Дан отрезок времени управляемого движения [t_б, t_в]. Дано положение системы, в которое ее следует перевести к моменту времени t_в - x^в. Но система по каким-либо причинам в точности не может достичь x^в, то есть x(t_в)?x^в. Задача состоит в том, чтобы выбрать такое управление , при котором система наилучшим образом приближается к заданной цели, то есть будет достигнут min ||x(t_в)-x^в||. Изменением системы отсчета в фазовом пространстве всегда можно сделать так, чтобы x^в=(x₁^в, …, x_n^в)^т=(0, …, 0)^т=0.

Рассмотрим задачу оптимального управления процессом нагрева металла в камерной печи. Задача - за отведенный заданный промежуток времени T=t_в-t_б обеспечить наилучший нагрев: температура по телу металлической заготовки должна в результате нагрева максимально приблизиться к заданной по технологии температуре. Мощность нагревательных устройств может в процессе нагрева регулироваться, однако она ограничена.

Пусть тепловая мощность печи W ограничена W_max, т.е. 0?W?W_max. последнее в безразмерном виде записывается так:

,

где u=W/W_max - управление.

Согласно закону сохранения тепловой энергии мощность будет расходоваться на нагрев металла, находящегося в печи, на тепловые потери в атмосферу цеха через стенки печи и на повышение ее температуры. Это можно записать в виде

,

где с₁, с₂ и c₃ - известные размерные коэффициенты. Последнее уравнение в безразмерном виде (если принять и/и_с=x) таково:

,

где a₀, a₁, b₁, f₁ - известные коэффициенты.

Нагрев металла описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Если ограничиться случаем нагрева пластины, то уравнение имеет вид

.

Разделим мысленно пластину на слои. Если i - номер произвольного узла, то производные в этом узле можно аппроксимировать в виде

;

.

Уравнение теплопроводности, будучи записанным с учетом этих формул для отдельных узлов с номерами i=1, 2, …, n, n+1, может быть представлено системой обыкновенных дифференциальных уравнений

математический моделирование задача физика

В систему формальным образом вошли лишние неизвестные и₀ и и_n+2. Исключим их из граничных условий. Так, из-за симметрии пластины ?и_n+1/?z=0, тогда из первой формулы следует: и_n+2=и_n. Тепловой поток в нагреваемый металл соответствует граничным условиям третьего рода

.

Имея в виду первую формулу, последнее условие можно представить в виде

.

Приведем систему к безразмерному виду, поделив ее на известную и_с=const. Если учесть последнюю формулу и и_n+2=и_n, то она запишется в виде

Литература

1. Васильев С.Н, Матросов В.М., Москаленко А.И. Нелинейная теория управления и ее приложения. - М.:ФМЛ, 2008. - 320 с.

2. Веников В.А., Веников Г.В. Теория подобия и моделирования. - М.: Высшая школа, 1984.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология - М.: Высшая школа, 2007.

4. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Учебник. - СПб.: Лань, 2007.

5. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. - М.: Фазис, 2007.

6. Пелих А.С., Терехов Л.Л.,. Терехова Л.А Экономико-математические методы и модели управления производством. - Ростов-на-Дону. Феникс. 2009

7. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. 2007.

8. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. - М.: Физматлит, 2008.

9. Таран Т.А. Логические методы и модели поддержки принятия решений в конфликтных ситуациях. Переславль-Залесский. 2007.

10. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. - М.: Русская Деловая Литература, 2007.

11. Шебеко Ю.А. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнес-процессов принятия управленческих решений. - М.: Изд-во МАИ, 2007.

12. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении - М.: Дело 2009.

Размещено на Allbest.ru