Моделирование процессов и объектов в металлургии

Основы понятия регрессионного анализа и математического моделирования. Численное решение краевых задач математической физики методом конечных разностей. Решение стандартных и оптимизационных задач, систем линейных уравнений. Метод конечных элементов.

Рубрика Экономико-математическое моделирование
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 18.04.2015
Размер файла 227,1 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

,

где x(t) - фазовый вектор в произвольный момент времени, удовлетворяющий начальному условию x(t)=x; X(t,t), или X(t,) - фундаментальная матрица, которую вычисляют следующим образом.

На базе системы линейных дифференциальных неоднородных уравнений составляют систему однородных уравнений

.

Решая ее, выделяют n линейно независимых векторов-решений. Считая, что каждый из линейно независимых векторов z(k)(t) являющихся решениями этой системы, есть вектор столбец, составляют матрицу

.

Фундаментальную матрицу описывают формулой

.

Рассмотрим простейшую задачу о быстродействии, имеющую большое практическое значение.

Дана некоторая система (механическая, электромеханическая и т.п.), движение которой описывается линейным дифференциальным уравнением

.

Дано множество допустимых управлений Щu, которыми располагает система. Дано положение системы в начале движения

,

но момент окончания движения t=tв неизвестен. Задача состоит в том, чтобы выбрать из множества допустимых управлений Щu такое u0=u0(t), при котором система в кротчайшее время T0=min(tв-tб) перешла бы из состояния в состояние .

Для решения сформулированной задачи обратимся к понятию области достижимости G. Пусть в некоторый фиксированный момент времени t*<tв процесс еще не завершился, система не достигла заданного состояния, точка xв фазового пространства лежит еще вне области достижимости. Если следовать естественному ходу времени, то область достижимости будет смещаться по фазовому пространству и изменять свою форму. В некоторый момент времени t=tв наступит такое положение, что область достижимости коснется заданной точки xв. Момент касания областью достижимости точки xв даст искомое наименьшее время T0=min(tв-tб) перехода системы из положения xб в положение xв. Следует заметить, что касание областью достижимости заданной точки xв может наступить еще раз - в момент покидания областью достижимости точки xв. Возникающая при этом неоднозначность решения легко устраняется выбором меньшего отрезка T=tв-tб, который будет решением задачи.

Рассмотрим область достижимости в фиксированный, но пока не известный момент времени t=tв. Обозначим через x(tв) значение фазового вектора в области достижимости, подсчитанное по формуле Коши в момент времени t=tв для некоторого допустимого управления u. Множество значений фазового вектора на границе области достижимости обозначим . В каждую точку границы система приходит с помощью своего управления. Из множества точек надо выбрать ту (и соответствующее ей управление), для которой = xв. Управление, обеспечивающее попадание системы в эту точку, будет искомым оптимальным управлением u0=u0(t).

Рисунок 3

Возьмем произвольный вектор l единичной длины перпендикулярный границе области достижимости. Из рисунка видно, что если перебрать все точки x(tв), принадлежащие области достижимости в момент времени tв то проекции их фазовых векторов на направление вектора l не будут превышать длину отрезка ОА. Отрезок ОА будет отвечать условию

.

Из этого условия, которое является принципом максимума, можно найти точки , лежащие на границе области достижимости. Если перебрать все l, то получим с помощью принципа максимума все граничные точки области достижимости.

С учетом формулы Коши условие максимума можно написать в виде

Так как вектор l задан, а первое слагаемое в формуле Коши постоянно, то максимизацию осуществляют лишь по второму слагаемому скалярного произведения, причем переменным для него уже будет управление. Итак получаем принцип максимума, который состоит в следующем: оптимальное управление uo=uo(t) на отрезке времени [t, tв] в любой момент времени t[t, tв] определяется из условия

,

где u - значение функции u(t) в фиксированный момент t[t, tв].

Принцип максимума является необходимым условием оптимальности, так как он «выводит» точку окончания процесса в области достижимости G|t= tв на ее границу, а на границе обязательно лежит xв - решение задачи оптимизации по быстродействию.

Рассмотрим вторую задачу оптимизации процесса управления движением. Движение некоторой системы описывают дифференциальным уравнением

.

Движение управляется из множества допустимых управлений. Дано положение системы в начале движения

.

Дан отрезок времени управляемого движения [tб, tв]. Дано положение системы, в которое ее следует перевести к моменту времени tв - xв. Но система по каким-либо причинам в точности не может достичь xв, то есть x(tв)?xв. Задача состоит в том, чтобы выбрать такое управление , при котором система наилучшим образом приближается к заданной цели, то есть будет достигнут min ||x(tв)-xв||. Изменением системы отсчета в фазовом пространстве всегда можно сделать так, чтобы xв=(x1в, …, xnв)т=(0, …, 0)т=0.

Рассмотрим задачу оптимального управления процессом нагрева металла в камерной печи. Задача - за отведенный заданный промежуток времени T=tв-tб обеспечить наилучший нагрев: температура по телу металлической заготовки должна в результате нагрева максимально приблизиться к заданной по технологии температуре. Мощность нагревательных устройств может в процессе нагрева регулироваться, однако она ограничена.

Пусть тепловая мощность печи W ограничена Wmax, т.е. 0?W?Wmax. последнее в безразмерном виде записывается так:

,

где u=W/Wmax - управление.

Согласно закону сохранения тепловой энергии мощность будет расходоваться на нагрев металла, находящегося в печи, на тепловые потери в атмосферу цеха через стенки печи и на повышение ее температуры. Это можно записать в виде

,

где с1, с2 и c3 - известные размерные коэффициенты. Последнее уравнение в безразмерном виде (если принять и/ис=x) таково:

,

где a0, a1, b1, f1 - известные коэффициенты.

Нагрев металла описывается дифференциальным уравнением теплопроводности. Если ограничиться случаем нагрева пластины, то уравнение имеет вид

.

Разделим мысленно пластину на слои. Если i - номер произвольного узла, то производные в этом узле можно аппроксимировать в виде

;

.

Уравнение теплопроводности, будучи записанным с учетом этих формул для отдельных узлов с номерами i=1, 2, …, n, n+1, может быть представлено системой обыкновенных дифференциальных уравнений

математический моделирование задача физика

В систему формальным образом вошли лишние неизвестные и0 и иn+2. Исключим их из граничных условий. Так, из-за симметрии пластины ?иn+1/?z=0, тогда из первой формулы следует: иn+2n. Тепловой поток в нагреваемый металл соответствует граничным условиям третьего рода

.

Имея в виду первую формулу, последнее условие можно представить в виде

.

Приведем систему к безразмерному виду, поделив ее на известную ис=const. Если учесть последнюю формулу и иn+2n, то она запишется в виде

Литература

1. Васильев С.Н, Матросов В.М., Москаленко А.И. Нелинейная теория управления и ее приложения. - М.:ФМЛ, 2008. - 320 с.

2. Веников В.А., Веников Г.В. Теория подобия и моделирования. - М.: Высшая школа, 1984.

3. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология - М.: Высшая школа, 2007.

4. Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Учебник. - СПб.: Лань, 2007.

5. Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. - М.: Фазис, 2007.

6. Пелих А.С., Терехов Л.Л.,. Терехова Л.А Экономико-математические методы и модели управления производством. - Ростов-на-Дону. Феникс. 2009

7. Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. 2007.

8. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи, методы, примеры. - М.: Физматлит, 2008.

9. Таран Т.А. Логические методы и модели поддержки принятия решений в конфликтных ситуациях. Переславль-Залесский. 2007.

10. Трояновский В.М. Математическое моделирование в менеджменте. Учебное пособие. - М.: Русская Деловая Литература, 2007.

11. Шебеко Ю.А. Имитационное моделирование и ситуационный анализ бизнес-процессов принятия управленческих решений. - М.: Изд-во МАИ, 2007.

12. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. Математические методы и модели в управлении - М.: Дело 2009.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.