Министерство образования и науки РФ

Хабаровская государственная академия экономики и права

Кафедра высшей математики

Факультет «Финансист»

Специальность: «Финансы и кредит»

Специализация: ГМФ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Вариант № 6

Выполнил: Алепов А.В.

студ. 3ФК курса,

г. Южно-Сахалинск 2006 г.

№6

Привести систему к системе с базисом, найти соответствующее базисное решение и сделать проверку, подставив решение в исходную систему:

Решение:

Составим таблицу:

Получили систему с базисом:

Здесь , , - базисные неизвестные, - свободное неизвестное. Положим . Получим , , .

Подставим решение в исходную систему:

,

решение найдено верно.

№26

Предположим, что для производства двух видов продукции А и В можно использовать только материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия А расходуется 2 кг материала, 3 кг материала второго сорта, 4 кг материла третьего сорта. На изготовление единицы изделия В расходуется 5 кг материала, 2 кг материала второго сорта, 3 кг материла третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта 45 кг, второго сорта - 27 кг, третьего сорта - 38 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль 7 тыс. рублей, а от продукции вида В прибыль составляет 5 тыс. рублей.

Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В. Решить задачу симплексным методом и графически.

Решение:

1. Решение с помощью симплексного метода.

Составим математическую модель задачи. Обозначим через х₁ и х₂ выпуск продукции А и В соответственно. Затраты материала первого сорта на план составят 2х₁ + 5х₂ и они недолжны превосходить запасов 45 кг:

Аналогично, ограничения по материалу второго сорта

И по материалу третьего сорта:

Прибыль от реализации х₁ изделий А и х₂ изделий В составит

целевая функция задачи.

Получили модель задачи:

Вводом балансовых переменных приводим модель к каноническому виду:

Запишем начальное опорное решение:

Симплекс-таблицу заполняем из коэффициентов при неизвестных из системы ограничений и функции:

в индексной строке содержатся две отрицательные оценки , наибольшая по абсолютной величине (-7)

В индексной строке содержится отрицательная оценка (-1/3).

в индексной строке нет отрицательных оценок

Так как все оценки положительные записываем оптимальное решение:

При этом плане прибыль от реализации изделий х₁ = 5 и х₂ = 6 составит Z_max = 65; х₄ = 0 и х₅ = 0 означает, что материал второго и третьего сорта использован полностью, а х₃ = 5 говорит о том, что осталось еще 5 кг материала первого сорта.

Получили Z_max = 65 тыс. руб. при .

2. Графическое решение:

Рассмотрим систему линейных неравенств.

Строим область допустимых решений данной задачи. Для этого строим граничные линии в одной системе координат:

(I),

(II),

(III),

х₁ = 0 (IV), х₂ = 0 (V).

Для построения прямых берем по две точки:

Областью решений является пятиугольник ABCDO.

Затем строим на графике линию уровня

и вектор

или

Теперь перемещаем линию уровня в направлении вектора . Последняя точка при выходе из данной области является точка С - в ней функция

достигает своего наибольшего значения.

Определим координаты точки С из системы уравнений (II) и (III):

Подставим найденные значения в целевую функцию:

.

Т.е. максимальная прибыль от реализации изделий А и В составит 65 тыс. рублей.

№46

Для модели предыдущей задачи составить двойственную, из симплексной таблицы найти ее решение и проверить по основной теореме.

Решение:

Модель предыдущей задачи:

Двойственная ей задача имеет вид:

Для предыдущей задачи ее решение: при

Следовательно, по основной теореме для двойственной задачи: при

Проверка:

верно.

№ 66

Решить транспортную задачу.

Решение:

1. Занесем данные задачи в таблицу:

2. Составляем математическую модель задачи: для этого вводим неизвестные х_ij, которыми являются количество единиц товара, перевозимого от каждого поставщика к каждому потребителю.

ограничения по поставкам

ограничение по потребителям

(,( ограничения по здравому смыслу.

Цель задачи (стоимость всей перевозки) в математической форме:

Задача разрешима, т.к.

.

3. Находим оптимальный план по методу наименьшего элемента

- план невырожденный

Дадим оценку полученному плану методом потенциалов. Каждому поставщику А_i ставим в соответствие число (, называемое потенциалом поставщика; каждому потребителю B_j - число (, называемое потенциалом потребителя. Причем и выбираем так, чтобы в любой загруженной клетке сумма их равнялась тарифу этой клетки, т.е.

Всего занятых клеток m + n - 1 = 8 (план не вырожденный). Придаем одному из неизвестных значение 0.

Для определения потенциалов составляем систему:

Откуда

Вычисляем оценки для свободных клеток по формуле

и запишем их в левом углу свободных клеток. В клетке (2; 1) получили отрицательную оценку. Строим для нее цикл

вдоль которого перемещаем

.

Получаем следующий план перевозок:

- план невырожденный

Дадим оценку полученному плану. Всего занятых клеток m + n - 2 = 7 (план не вырожденный). Придаем двум из неизвестных значение 0.

Для определения потенциалов составляем систему:

Откуда

Вычисляем оценки для свободных клеток и записываем их в левом углу свободных клеток.

Все оценки положительны, значит, план оптимален.

Оптимальный план можем представить в виде

транспортные расходы по этому плану составят

условных единиц.