Экономико-математические методы

7

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГУМАНИТАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, УПРАВЛЕНИЯ И ПРАВА

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

Контрольная работа

По «Экономико-математическим методам»

Фисай А.А.

студента2-го курса

заочной формы обучения

Москва 2009г

Вариант 2.

№1.

Исследовать методом Жордана - Гаусса систему линейных уравнений, в случае совместности системы найти общее решение, некоторое частое небазисное решение, все базисные решения, указав при этом опорные решения:

х₁+х₂-х₃+2х₄=2

-х₁+х₂-3х₃-х₄=1

3х₁-х₂+5х₃+4х₄=3.

Решение:

+II;• (-3)+III

• 2+III; :2

Получим эквивалентную систему уравнений

Последнее уравнение системы не имеет решений, исходная система несовместна, т.е. не имеет решений.

№2

Решить графическим методом следующие задачи линейного программирования: min f(x) = -6x₁+9x₂

х₁, х₂ ?0.

Решение.

(*)

х₁, х₂ ?0.

Построим граничные прямые

(1) х₁ 0 3

х₂ 3 2

(2) х₁ 0 1

х₂ 5 7

(3) х₁ 0 0

х₂ 0 2

Выбираем нужные полуплоскости (смотри (*))

Получим область решений Д.

Построим =(-6;9); - линия уровня, . Параллельным переносом линии уровня определяем точки, в которых функция достигает минимума. Это все точки луча АВ прямой (3).

Задача имеет бесконечное множество решений. При этом значение функции ограничено и для любого X* составляем величину, равную 0.

Ответ: (3;2) + (6;4), ; min

№3.

Решить симплексным методом следующие задачи линейного программирования min f() = - 2x₁ - 3x₂

Решение.

f() = - 2x₁ - 3x₂ + 0х₃ + 0х₄ +0х₅ min

x_j0, j =

Все полученные оценки не положительны. План оптимален.

X* = (х₁ = 3; х₂ = 2)

f min = f (X*) = -2 • 3 - 3 • 2 = -12,

f min = -12.

Ответ: X* = (х₁ = 3; х₂ = 2);

f min = f (X*) = -12.

№4.

Решить следующие транспортные задачи (здесь А - вектор мощностей поставщиков, В - вектор мощностей потребителей, С - матрица транспортных издержек на единицу груза):

А = (300; 350; 160; 200), С = ;

В = (400; 400; 200),

Решение

н₁=0 н₂=1 н₃=-1

u₁ = 0

u₂ = 3

u₃ = 1

u₄ = 1

Опорное решение получили по правилу «минимальных издержек». Занятых клеток должно быть m + n - 1 = 4 + 3 - 1 = 6.

Определим потенциалы:

u₁ + н₂ = 1; u₂ + н₁ = 3; u₂ + н₂ = 4; u_{2 +} н₃ = 2;

u₃ + н₁ = 1; u₄ + н₁ = 1.

Пусть u₁ = 0, тогда u₂ = 3; u₁ = 0; u₃ = -1; u₃ = 1; u₄ = 1.

Оценки свободных клеток

Ѕ₁₁=4-(0+0)>0; Ѕ₁₃=2-(0-1)>0; Ѕ₃₂=3-(1+1)>0;

Ѕ₃₃=1-(1-1)>0; Ѕ₄₂=4-(1+1)>0; Ѕ₄₃=3-(1-1)>0.

План оптимален, т.к. все оценки положительны. Получим план перевозок

X* = ;

минимальная стоимость Z min = Z (X*) = 300•1 + 50•3 + 100•4 + •200•2 + + 150•1 + 200•1 =•1600.

№5.

Для выпуска четырех видов продукции требуются затраты сырья, рабочего времени и оборудования. Исходные данные приведены в таблице:

Сформулировать экономико-математическую модель задачи на максимум прибыли и найти оптимальный план выпуска продукции.

Решение.

Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ объем выпуска каждого из четырех видов продукции. Модель задачи примет вид: max Z = 30х₁ + 25х₂ + 8х₃ + 16х₄

х_j0 (j = ).

Перейдем к задаче в каноническом виде:

х_j0 (j = ).

min

Z (X) = 30х₁ + 25х₂ + 8х₃ + 16х₄ + 0х₅ +0х₆ +0х₇ max

Теперь все оценки не отрицательны. План оптимален.

Получили оптимальный план выпуска продукции X* = (12,8; 0; 0; 0). При этом максимальная прибыль составит

max Z = Z(X*) = 30•12,8 + 25•0 + 8•0 + 16•0 = 384.

Ответ: Следует выпускать только продукцию первого вида в количестве 12,8 ед. Максимальная прибыль составит 384 ден. ед.