Методи оптимізації при вирішенні економічних задач

1. Класифікація задач прийняття рішень

Загальний опис задачі прийняття рішень.

ОПР. особа яка приймає рішення.

1) Ціль (мета) формулюється в явному або не в явному вигляді.

2) ОПР повинна мати засоби впливу для прийняття рішень.

В ролі засобів, які впливають на результат можуть виступати якісь програми, дії.

Спрощено можна вважати, що прийняття рішень являє собою вибір якогось варіанту із існуючого.

Означення

Задача прийняття рішень(ЗПР). це така задача, яка може бути сформульована в термінах цілі, засоби, результати.

Математична модель ЗПР являє собою формальний опис елементів які її складають (цілі, засоби, результати), а також зв. язки між засобами і результатами. Треба звернути

увагу, що в математичній моделі ЗПР повинен повністю описуватись весь набір засобів (явно / неявно).

Класифікація ЗПР

Класифікація ЗПР здійснюється в двох аспектах:

1) Класифікація по опису засобів, результатів та зв. язків між ними.

2) Класифікація по опису цілі ЗПР.

Визначимо три множини:

1. X. множина альтернатив, тобто засобів, що ми вибираємо.

2. S. множина станів зовнішнього середовища, яка характеризує прояв невизначеності в процесі прийняття рішення.

3. Z. множина наслідків, результат розв. язку ЗПР.

Відображення X Ч S>Z. відображає зв. язок між засобами і рішеннями.

Основні класи задач.

1) Найпростіший тип зв. язку - детермінований, коли кожна альтернатива приводить до одного наслідку. В цьому випадку існує функціональна залежність між альтернативою x і наслідком z. Такі ЗПР називаються детермінованими.

2) Не детермінований тип, тобто кожній альтернативі відповідає не один і той самий наслідок. Якщо відомо з якою ймовірністю кожній альтернативі буде відповідати наслідок, тоді маємо статистичну залежність між x й z. В цьому випадку ЗПР називається задачею в умовах ризику або стохастичної невизначеності.

3) ЗПР проходить в умовах невизначеності, тобто відображення між множинами X та Z неоднозначне, але статистична залежність відсутня. Тут існують два випадки:

- якщо S поводить себе пасивно до ОПР (є проявом стихії, природи), то маємо ЗПР в невизначених умовах.

- якщо S поводить себе активно до ОПР, тобто приймає участь інша особа, тварина і т.д. ЗПР в умовах конфлікту (гри).

4) Якщо хоч одна з множин є нечіткою, чи нечітким є відображення X Ч S >Z тоді кажуть, що ПР проходить в умовах нечіткої інформації.

Цілі ЗПР:

1. Функціональна ціль.

В математичних ЗПР ціль ототожнюють з максимізацією, або мінімізацією деякої функції, яка визначена на множині Z й приймає дійсні значення. Оскільки в основному наслідки характеризуються не одним числом, а набором чисел, які називаються показниками чи критеріями, то ціль визначається оптимізацією усіх цих показників (тобто має місце векторна оптимізація).

2. Ціль яка задана відношенням переваги.

Основною характеристикою цілі є пов'язана з нею перевага на множині можливих наслідків. Тобто, якщо ми розуміємо ціль, але не можемо побудувати числові оцінки засобів, то принаймні ми можемо сказати що є краще, а що є гірше. В цьому випадку будуємо відношення переваги, що буде задавати ціль.

ЗПР в умовах визначеності з числовою оцінкою наслідків

Зв'язок між множиною альтернатив Х i множиною наслідків Z є детермінованим, тобто F: X >Z, f: Z > Em, кожній альтернативі відповідає один наслідок, ціль ототожнюється з максимізацією чи мінімізацією деякої дійсної функції, яка визначена на множині усіх наслідків. Можемо побудувати f ?: X > Em (m - вимірний Евклідів простір).

ЗПР в умовах визначеності при числовій оцінці наслідків є задачею оптимізації (мінімізації чи максимізації) дійсної вектор функції, яка визначена на множені альтернатив X.

2. Множина Парето

Оптимум Парето - такий стан системи, при якому значення кожного окремого критерію, що описує стан системи, не може бути покращено без погіршення становища інших елементів.

Принцип, за словами Вільфредо Парето проголошує: «Слід вважати, що будь-яка зміна, яка нікому не завдає збитків і яка приносить людям користь (за їх власною оцінкою), є поліпшенням». Таким чином визнається право на всі зміни, які не приносять нікому додаткової шкоди.

Множина станів системи, оптимальних за Парето, називають «множиною Парето», «множиною альтернатив, оптимальних в сенсі Парето», або «множиною оптимальних альтернатив».

Ситуація, коли досягнута ефективність за Парето - це ситуація, коли всі вигоди від змін вичерпані.

Оптимум Парето є одним з центральних понять для сучасної економічної науки. На основі цього поняття будуються перша та друга фундаментальні теореми добробуту. Одним з застосувань Парето-оптимальності є т.зв. Парето-розподіл ресурсів (трудових ресурсів і капіталу) при міжнародній економічній інтеграції, тобто економічне об'єднання двох і більше держав. Цікаво, що Парето-розподіл до і після міжнародної економічної інтеграції було адекватно математично описано (Далімов Р.Т., 2008). Аналіз показав, що додана вартість секторів і доходи трудових ресурсів рухаються назустріч згідно з добре відомим рівнянням теплопровідності аналогічно газу або рідини в просторі, що дає можливість застосувати методику аналізу, що використовується у фізиці, щодо економічних завдань з міграції економічних параметрів.

Оптимум за Парето проголошує, що добробут суспільства досягає максимуму, а розподіл ресурсів стає оптимальним, якщо будь-яка зміна цього розподілу погіршує добробут хоча б одного суб'єкта економічної системи.

Стан ринку оптимальний за Парето - ситуація, коли не можна поліпшити положення будь-якого учасника економічного процесу, одночасно не знижуючи добробуту як мінімум одного з інших.

Відповідно до критерію Парето (критерію росту суспільного добробуту), рух у бік оптимуму можливий лише при такому розподілі ресурсів, що збільшує добробут принаймні однієї людини, не завдаючи шкоди нікому іншому.

Вектор розв'язку називається оптимальним за Парето якщо не існує такого, що для всіх та для бодай одного i. Множину оптимальних за Парето розв'язків можна позначити як P(S). Цільовий вектор є оптимальним за Парето, якщо відповідний йому вектор з області визначення також оптимальний за Парето. Множину оптимальних за Парето цільових векторів можна позначити як P(Z).

Множина оптимальних за Парето векторів є підмножиною оптимальних за Парето в слабкому сенсі векторів. Вектор є слабким оптимумом за Парето тоді, коли не існує вектора такого, що для всіх .

Діапазон значень оптимальних за Парето розв'язків в області допустимих значень дає корисну інформацію про досліджувану задачу якщо цільові функції обмежено областю визначення. Нижні границі оптимальної за Парето множини представлено в «ідеальному цільовому векторі» . Його компоненти zi отримані шляхом мінімазації кожної цільової функції у межах області визначення.

Множину оптимальних за Парето розв'язків також називають Парето-фронтом (англ. Pareto-frontier).

Завдання 1

Сформуйте варіант виготовлення бензину АІ-80 і АІ-95, що забезпечить максимальний прибуток від продажу, якщо є 5 т суміші 1-го сорту і 30 т суміші 2-го сорту. На виготовлення бензину АІ-80 йде 60% суміші 1-го сорту і 40% суміші 2-го сорту, на виготовлення бензину АІ-95 йде 80% суміші 1-го сорту і 20% суміші 2-го сорту. Реалізується 1 т бензину АІ-80 за 5000 руб., а 1 т АІ-95 - за 6000 руб.

Завдання до виконання лабораторної роботи:

1. побудувати математичну модель лінійної оптимізації;

2. за допомогою пакету MS Excel знайти розв'язок задачі;

3. визначити дефіцитні та найбільш цінні ресурси;

4. зробити необхідні висновки.

Розв'язок.

Розв'язок задачі проводимо у два етапи. На першому етапі складаємо математичну модель оптимізаційної задачі, що включає в себе формулювання цільової функції та множини обмежень, що на неї накладаються. На другому етапі застосовуємо аналітичні методи розв'язування задачі. Із розвитком комп'ютерної техніки поширилися програмні продукти, що містять готові процедури розв'язання вказаних задач. Так, наприклад, подібні процедури містить і програма MS Excel із пакетом «Поиск решения». Таким чином, на другому етапі достатньо ввести побудовану математичну модель в MS Excel для отримання відповіді на поставлену задачу. Розглянемо послідовно кожний із етапів розв'язання задачі.

Перший етап.

1. Визначаємо цільову функцію. З умови задачі цільовою функцією виступає виторг від продажу бензину, який необхідно максимізувати.

2. Визначаємо параметри, що впливають на цільову функцію. З умови задачі цільова функція - виторг залежить від кількості виготовленого бензину. Оскільки його оптимальна кількість не відома, то вводимо наступні позначення:

х₁ - кількість бензину марки АІ-80, т.;

х₂ - кількість бензину марки АІ-95, т.

3. Складаємо математичний вираз цільової функції. За прийнятих позначень математичний запис цільової функції набуде вигляду:

, (1.1)

де - виторг від реалізації тон бензину марки АІ-80 за ціною 5000 руб./т.;

- виторг від реалізації тон бензину марки АІ-95 за ціною 6000 руб./т.

4. Складаємо обмеження, що накладаються на цільову функцію.

Першими обмеженнями, що випливають із умови задачі, виступають ресурси суміші для виготовлення бензину. Виходячи із даних наведених в умові задачі, можемо записати:

За кількістю суміші 1-го сорту:

, (1.2)

де - кількість суміші 1-го сорту необхідної для виготовлення 1 т бензину марки АІ-80;

- кількість суміші 1-го сорту необхідної для виготовлення 1 т бензину марки АІ-95;

Аналогічно, за ресурсом суміші 2-го сорту:

, (1.3)

де - кількість суміші 2-го сорту необхідної для виготовлення 1 т бензину марки АІ-80;

- кількість суміші 2-го сорту необхідної для виготовлення 1 т бензину марки АІ-95;

Зрозуміло, що кількість виготовленого бензину не може бути від'ємною, тому вводимо додаткові обмеження:

x₁ ? та x₂ ? (1.4)

Таким чином, математична модель лінійної оптимізації для даної моделі матиме вигляд:

,

(1.5)

де - цільова функція;

(А) - множина (комплекс) обмежень на цільову функцію.

Другий етап.

На цьому етапі розрахунки проводимо за допомогою надбудови «Поиск решения» меню «Сервис» програми MS Excel. Для активізації цієї можливості у меню «Сервис» програми MS Excel викликаємо підменю «Надстройки», і у діалоговому вікні, яке відображено на екрані, ставимо позначку проти «Поиск решения».

Спочатку вводимо математичну модель у робочий лист MS Excel (рис. 1.1).



Рисунок - 1.1. Запис математичної моделі оптимізаційної задачі на робочому листі MS Excel

Безпосередньо на робочому листі записуються цільова функція (1.1) та умови (1.2) та (1.3), щодо умов (1.4), то їх відмічаємо у діалоговому вікні «Поиск решения».

Після запису необхідних формул на робочому листі MS Excel, викликаємо підменю «Поиск решения» меню «Сервис» програми MS Excel та вказуємо на комірки, у яких були введені формули математичної моделі (рис. 1.2).

Рисунок - 1.2. Діалогове вікно «Поиск решения»

Для введення обмежень на цільову функцію спочатку помістимо курсор у вікно «Ограничения», а далі скористатися командою «Добавить», у наслідок чого з'явиться додаткове діалогове вікно для уведення обмежень (рис. 1.3).

Рисунок - 1.3. Діалогове вікно для введення обмежень на цільову функцію

У цьому діалоговому вікні у вікні «Ссылка на ячейку» вказуємо на комірку, де міститься формула для лівої частини обмежень, у середньому вікні із спадаючого списку вибираємо необхідний знак відношень, а у вікні «Ограничение» вказуємо на комірку, що містить праву частину обмежень. Послідовно, натискаючи на клавішу «Добавить» вводимо всі обмеження.

Для зазначення пошуку невід'ємних значень невідомих параметрів поставимо позначки проти опції «Неотрицательные значения» у діалоговому вікні «Параметры поиска решения» (рис. 1.4), яке викликається із діалогового вікна «Поиск решения» (рис. 1.2) натисканням на кнопку «Параметри», крім того, оскільки розглядається лінійна модель, то ставимо відповідну позначку у цьому ж вікні (забезпечує прискорення пошуку рішення лінійної задачі за рахунок застосування симплекса-методу).



Рисунок - 1.4. Діалогове вікно «Параметры поиска решения»

Після зазначення параметрів моделі, натискаємо кнопку «ОК» у діалоговому вікні «Параметры поиска решения» (рис. 1.4), завдяки чому переходимо до діалогового вікна «Поиск решения» (рис. 1.2) і натисканням на кнопку «Выполнить» здійснюємо розрахунок (рис. 1.5).

Рисунок - 1.5. Результати розрахунків оптимізаційної моделі

За результатами розрахунку математичної моделі для отримання максимального прибутку у розмірі 41666,66 руб. необхідно виготовити 8,33 т бензину марки АІ-80.

Дефіцитними ресурсами, що обмежують подальше збільшення прибутків від реалізації бензину виступають ресурс суміші 1-го сорту, оскільки він повністю вичерпався (ліва частина обмежень після розрахунків співпадає із правою (див. рис. 1.5)).

Для визначення, який з даних дефіцитних ресурсів є цінним необхідно визначити вплив кожного із дефіцитних ресурсів на цільову функцію. Для цього почергово збільшуємо кожний із знайдених дефіцитних ресурсів (у правій частині обмежень) на 1% та повторюємо розрахунок моделі.

В результаті при ресурсі суміші 1-го сорту 5,05 т отримаємо максимальний прибуток (значення цільової функції) - 42083,33 руб.

Аналогічні розрахунки при ресурсі суміші 2-го сорту у кількості 30,3 т дають максимальний прибуток (значення цільової функції) - 41666,66 руб.

Оцінку впливу кожного з ресурсів здійснюємо за формулою (1.6)

, (1.6)

де ДZ (A*) - приріст цільової функції при комплексі умов А (1.5), в яких змінено лише ресурс Ri на величину ДRi.

Тоді для першого ресурсу (суміш 1-го сорту) отримаємо:

Для другого ресурсу (суміш 2-го сорту) отримаємо:

Таким чином, найбільш цінним ресурсом є суміш 1-го сорту, а це значить, що найбільш вигідним для збільшення прибутків від реалізації бензину є вкладення коштів у збільшення ресурсу 1-го сорту.

Завдання 2

Складіть оптимальний план перевезення автомобілів з міст Львів, Київ, Донецьк в міста Миколаїв, Кривий Ріг і Суми. Вартість перевезення одного автомобіля складає 10 грн. за км. Відстань між містами, обсяги заявок і замовлень представлені в таблиці.

Міста	Міста	Запаси, шт.
	Миколаїв	Кривий Ріг	Суми
Львів	950	1400	1500	20
Київ	800	900	300	65
Донецьк	1000	400	700	80
Замовлення, шт.	100	50	15

Складіть оптимальний план перевезень, що забезпечує мінімальні витрати на перевезення.

Розв'язок

Перший етап. Формулювання математичної моделі.

1. Шуканими величинами або змінними у даній задачі є обсяги перевезень з 3-х пунктів відправлення (Львів, Київ, Донецьк) у 3 пункти призначення (Миколаїв, Кривий Ріг, Суми). Позначаємо ці обсяги через x_ij (i = 1…3; j = 1…3).

2. Метою оптимізації є вибір таких обсягів перевезень x_ij, завдяки яким транспортні витрати будуть мінімальними.

3. Задача збалансована, оскільки загальний об'єм запасів (пропозицій) складає: 20+65+80=165 шт. продукції і дорівнює загальному об'єму замовлення (попиту), який також складає: 100+50+15=165 шт. продукції.

4. На цільову функцію та змінні повинні бути накладені наступні обмеження:

- загальний об'єм вивезеної продукції зі Львова в усі пункти призначення повинен дорівнювати 20 шт. продукції. Аналогічно із Києва - 65 шт., та з Донецька - 80;

- загальний об'єм завезеної продукції з усіх пунктів постачання в Миколаїв повинен дорівнювати 100 шт. продукції. Аналогічно ввезена продукція у Кривий Ріг - 50 та в Суми - 15;

- об'єми продукції x_ij, що перевозяться повинні мати невід'ємні та цілі значення.

Узагальнений математичний запис моделі матиме вигляд системи (рис. 2.1).

Другий етап. Розв'язання задачі за допомогою пакету MS Excel.

Вводимо сформульовану вище математичну модель у робочий лист пакету MS Excel (рис. 2.1).

У комірку F12 робочого листа вводимо формулу для підрахунку цільової функції з врахуванням вартості перевезення одного автомобіля 10 грн. за 1 км:

=СУММПРОИЗВ (B2:D4; B8:D10)*10

Рисунок 2.1 - Запис математичної моделі транспортної задачі на робочому листі MS Excel

В комірках E12 та F11 підраховані загальні обсяги потреб та пропозицій, що дає можливість проконтролювати збалансованість задачі.

Після введення всіх формул у робочий лист пакету MS Excel викликаємо діалогове вікно «Поиск решения» через меню «Сервис» програми MS Excel. Заповнення цього вікна представлено на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 - Приклад заповнення діалогового вікна «Поиск решения»

Перед тим як скористатися командою «Выполнить» діалогового вікна «Поиск решения», поставимо позначки проти опцій «Линейная модель» та «Неотрицательные значения» у діалоговому вікні, що відкривається командою «Параметры» вікна «Поиск решения».

Результати розв'язку транспортної задачі представлені на рис. 2.3.

В результаті розрахунків отримано, що мінімальні транспортні витрати у розмірі 1135000 грн. будуть досягнуті за умови дотримання плану перевезення продукції, який представлений на робочому листі (рис. 2.3).



Рисунок - 2.3. Результати розв'язку транспортної задачі

Завдання 3

Порівняти між собою країни: Великобританія, ФРН, Франція, Італія, Чехія, Болгарія, Румунія, Україна, Росія, Литва, Естонія за рівнем розвитку ІКТ.

1. вибрати найкращу альтернативу методом парних порівнянь;

2. знайти вагові коефіцієнти кожної з альтернатив методами парних порівнянь та МАІ;

3. здійснити перевірку узгодженості отриманих результатів і у разі необхідності скоригувати таблицю парних порівнянь та повторити розрахунки;

4. зробити необхідні висновки.

Країна	ІКТ
Великобританія	5,27
ФРН	5,17
Франція	5,17
Італія	4,16
Чехія	4,53
Болгарія	3,8
Румунія	3,97
Україна	3,88
Росія	3,77
Литва	4,10
Естонія	5,17

Розв'язок.

Введемо наступні числові еквіваленти результатів парних порівнянь, які будемо заносити у відповідну таблицю:

* якщо альтернатива А краще В (А > В) будемо позначати це числом 1;

* якщо А гірше В (А < В), то позначаємо цей факт числом 0;

* якщо альтернативи А й В рівноцінні (А = В), то числовий еквівалент - 0,5.

Тепер складемо таблицю парних порівнянь, і припустимо, що уподобання (порівняння) каналів проведено і представляється значеннями (числовими еквівалентами) представленими у таблиці 3.1.

Таблиця 3.1. - Таблиця парних порівнянь

	Великобри-танія	ФРН	Франція	Італія	Чехія	Болгарія	Румунія	Україна	Росія	Литва	Естонія	Сума Zi	Ранг	Вага wi
Великобританія	0,5	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	10,5	1	0,17355372
ФРН	0	0,5	0,5	1	1	1	1	1	1	1	0,5	8,5	2	0,14049587
Франція	0	0,5	0,5	1	1	1	1	1	1	1	0,5	8,5	2	0,14049587
Італія	0	0	0	0,5	0	1	1	1	1	1	0	5,5	4	0,09090909
Чехія	0	0	0	1	0,5	1	1	1	1	1	0	6,5	3	0,10743802
Болгарія	0	0	0	0	0	0,5	0	0	1	0	0	1,5	8	0,02479339
Румунія	0	0	0	0	0	1	0,5	1	1	0	0	3,5	6	0,05785124
Україна	0	0	0	0	0	1	0	0,5	1	0	0	2,5	7	0,04132231
Росія	0	0	0	0	0	0	0	0	0,5	0	0	0,5	9	0,00826446
Литва	0	0	0	0	0	1	1	1	1	0,5	0	4,5	5	0,07438017
Естонія	0	0,5	0,5	1	1	1	1	1	1	1	0,5	8,5	2	0,14049587
Сума	60,5		1

З аналізу структури таблиці 3.1 видно, що по головній діагоналі стоять значення 0,5, а інші елементи співвідносяться між собою відповідно до залежності:

A_ij = i - a_ji (i ? j) (3.1)

Виконання умови (3.1) дозволяє уникнути помилок оцінок виду «А краща за В і одночасно В краща за А». Для перевірки правильності заповнення таблиці парних порівнянь можна скористатися наступною формулою:

Фактично, співвідношення (3.2) означає, що сума елементів у однойменних стовпчиках і рядках дорівнює кількості альтернатив, що порівнюються.

Після заповнення таблиці парних порівнянь методом рядкових сум отримують загальну кількість оцінок (балів) Zi для кожної з n альтернатив за формулою:

(3.3)

На підставі значень Zi визначають ранг (місце) кожної із альтернатив. У даному випадку кращою альтернативою виявилася Великобританія.

Зрозуміло, що на практиці більш надійні результати вибору можна отримати із використанням критеріального аналізу, але і метод парних порівнянь інколи є надзвичайно корисним, особливо коли сформулювати критерії та їх значення не представляється можливим.

Крім того, метод парних порівнянь дозволяє виявити вагові коефіцієнти (ступінь важливості) кожної із альтернатив у виборі або у векторі (множині) переваг.

Так, в таблиці 3.1 представлені вагові коефіцієнти кожної із альтернатив, які були підраховані за наступною формулою:

(3.4)

Сума всіх вагових коефіцієнтів, отриманих за формулою (3.4), повинна дорівнювати 1, що може бути однією із умов правильності знаходження коефіцієнтів.

Знаходження вагових коефіцієнтів w_i або вектора переваг є достатньо важливим етапом при критеріальному виборі, оскільки на практиці частіше цей вектор є невідомим.

Недоліком розглянутого методу парних порівнянь є мала градація шкали порівняння. Фактично вона має дві градації - 1 або 0,5, у чому легко переконатися проаналізувавши формулу (3.1).

Одним із найбільш поширеним удосконаленням методу парних порівнянь є запропонований Т. Сааті метод аналізу ієрархій (МАІ). Відповідно до нього розглядається більш широка шкала при порівнянні альтернатив, яка задається числовими еквівалентами від 1 до 9. Визначення цих числових еквівалентів здійснюється за таблицею 3.2.

Таблиця 3.2 - Числові еквіваленти парних порівнянь за методом МАІ (Т. Сааті)

Числовий еквівалент	Визначення	Тлумачення
1	Рівна важливість	Об'єкти рівноцінні за переважністю
3	Помірна перевага одного над іншим	Перший об'єкт дещо кращий за другий
5	Істотна перевага одного над іншим	Перший об'єкт кращий за другий
7	Значна перевага одного над іншим	Перший об'єкт кращий за другий
9	Дуже сильна перевага одного над іншим	Перший об'єкт кращий за другий
2, 4, 6, 8	Відповідні проміжні значення	Використовуються у випадках. коли важко однозначно визначити непарний числовий еквівалент

Якщо при порівнянні першого фактору i з другим j отримано a_ij =b, то при порівнянні другого фактору з першим отримуємо обернену величину a_ji = 1 / b. Такий підхід обумовлює і іншу процедуру визначення вагових коефіцієнтів. В МАІ згортання задачі (зменшення розмірності) здійснюється не за формулою рядкових сум (3.3), а за геометричним середнім:

(3.5)

Ваговий коефіцієнт для кожної із альтернатив знаходиться за формулою:

(3.6)

Для перевірки узгодженості виставлених оцінок переважностей альтернатив використовують запропонований Сааті індекс узгодженості:

, (3.7)

де - найбільше власне число матриці А (матриці парних порівнянь), яке можна знайти за допомогою математичних пакетів, наприклад, MathCAD або інших спеціалізованих програм, або, наближено без застосування спеціальних програм.

Для оцінки наближеним методом можна скористатися наступною процедурою. Спочатку необхідно знайти проміжний вектор R, що є результатом добутку матриці парних порівнянь А на вектор-стовпчик w_i, знайдений за формулою (3.6):

R = A?w (3.8)

Тоді наближене значення буде дорівнювати сумі елементів вектора R:

(3.9)

Якщо значення індексу узгодженості І_с не перевищує 10% граничного значення (іноді допускається до 20%), яке визначається по таблиці 3.3, то вважається, що результати виставлених оцінок і знайдених коефіцієнтів ваги є задовільними. У противному випадку необхідно переглянути виставлені у таблиці парних порівнянь оцінки альтернатив, оскільки вони є суперечними між собою.

Таблиця 3.3 - Граничні значення показника узгодженості, залежно від кількості порівнюваних альтернатив

Кількість альтернатив	3	4	5	6	7	8	9	10
Граничне значення	0,58	0,9	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49

Зауважимо, якщо альтернатив більше за 10, то граничне значення можна прийняти рівним 1,49. Помилка, яка буде присутня при такому підході лише піде на користь надійності висновків і не впливатиме на результат.

Знаходимо вагові коефіцієнти кожної з альтернатив методами парних порівнянь та МАІ;

Таблиця 3.4 - Результати парних порівнянь

	Великобри-танія	ФРН	Франція	Італія	Чехія	Болгарія	Румунія	Україна	Росія	Литва	Естонія	Сума Zi	ІКТ	Вага wi
Великобританія	1	3	3	5	5	7	7	7	9	5	3		5,27
ФРН	1/3	1	1	3	3	5	5	5	7	3	1		5,17
Франція	1/3	1	1	3	3	5	5	5	7	3	1		5,17
Італія	1/5	1/3	1/3	1	1/3	5	5	5	7	3	1/3		4,16
Чехія	1/5	1/3	1/5	1	1	5	5	5	7	3	1/3		4,53
Болгарія	1/7	1/7	1/5	1/5	1/5	1	1/3	3	3	1/3	1/5		3,8
Румунія	1/7	1/5	1/5	1/7	1/5	3	1	3	3	1/3	1/5		3,97
Україна	1/7	1/5	1/5	1/5	1/5	1/3	1/3	1	3	1/3	1/5		3,88
Росія	1/9	1/7	1/7	1/7	1/7	1/3	1/3	1/3	1	1/3	1/7		3,77
Литва	1/5	1/3	1/3	1/3	1/3	3	3	3	3	1	1/3		4,10
Естонія	1/3	1	1	3	3	5	5	5	7	3	1		5,17
Сума

Всі розрахунки за формулами (3.6), (3.8) та (3.9) доцільно виконати в одній таблиці на робочому аркуші програми MS Excel. На рисунках 3.1 та 3.2 показані введення формул та отримані результати.

Рисунок 3.2 - Введення формул для обчислення вагових коефіцієнтів та оцінки максимального власного числа матриці парних порівнянь

Завдання 4

Для здійснення міждержавних розрахунків необхідно вибрати один з п'яти банків. За даними роботи банків і коефіцієнтами ваги критеріїв виберіть:

1. кращий банк, використовуючи адитивний метод.

2. гірший банк, використовуючи адитивний метод.

3. кращий банк, використовуючи мультиплікативний метод.

4. гірший банк, використовуючи мультиплікативний метод.

Найменування	Критерій
	Статутний капітал, млн. грн.	Кількість філій, шт.	Мін. Сума відкриття рахунку, грн.	Заборгованість, тис. грн.
Банк №1	830	22	1000	10
Банк №2	800	20	1500	5
Банк №3	650	30	2000	15
Банк №4	700	40	1400	12
Банк №5	600	50	3000	20
Вагові коефіцієнти	0,4	0,2	0,1	0,3

Розв'язок.

Розв'яжемо задачу методом адитивної згортки.

Задана критеріальна таблиця не відповідає умові однорідності критеріїв, тому потребує нормалізації.

Поставлена задача відповідає принципу максимальної ефективності (вибір найкращого варіанту). Визначаємо групи критеріїв, які будуть максимізуватися та мінімізуватися під час пошуку рішення.

Максимізуються наступні критерії: статутний капітал; кількість філій. До критеріїв, що потребують мінімізації відносяться: мінімальна сума відкриття рахунку; заборгованість.

Нормалізацію проводимо за формулами:

та

Введення формул та отримані результати показані на рис. 4.1, 4.2 та 4.3.

На рис. 4.1 показано фрагмент робочого аркушу пакету MS Excel, на якому виконані всі необхідні обчислення за адитивним методом. В рядках А9:E9 та А10:E10 визначаються максимальні та мінімальні значення кожного із критеріїв, які використовуються при нормалізації критеріальної таблиці. Нормалізована таблиця та обчислення узагальненого критерію за методом адитивної згортки представлені в комірках А12:F19.

Рисунок 4.1 - Результати розв'язку задачі за методом адитивної оптимізації



Рисунок 4.2 - Введення формул для нормалізації критеріальної таблиці.

На рис. 4.2 показано введення формул для нормалізації критеріїв.

Рисунок 4.3 - Введення формул для обчислення узагальненого критерію за методом адитивної згортки

На рис. 4.3 показано введення формули для згортки критеріїв на використанні якої базується метод адитивної оптимізації:



де a_ij - значення j-го критерію для і-тої альтернативи;

w_j - ваговий коефіцієнт j-го критерію, що визначає у кількісному вимірі ступінь переваги j-го критерію по відношенню до інших;

m - кількість часткових критеріїв за якими здійснюється вибір.

Для зручності відображення стовпчики C, D на рисунку сховані.

Кращий Банк №2, оскільки узагальнений критерій (0,741576087) є найбільшим у порівнянні із іншими банками. Відповідно найгірший Банк №5, оскільки має найнижчий критерій (0,2).

Розв'яжемо цю задачу методом мультиплікативної оптимізації.

У критеріальну таблицю вводимо додатково два рядки (рис. 4.4). В перший рядок вводимо значення напрямних коефіцієнтів w_j, керуючись формулою

Значення напрямного коефіцієнту bj задається наступним чином: 1 - якщо j й критерій максимізується та -1 - якщо j й критерій мінімізується.

Другий рядок заповнюємо значеннями добутку напрямних коефіцієнтів bj та вагових коефіцієнтів wj. Значення узагальненого критерію знаходимо за формулою:

Приклад введення формул показано на рис. 4.5.



Рисунок 4.4 - Результати розв'язання задачі методом мультиплікативної оптимізації

Рисунок 4.5 - Введення формули для мультиплікативної згортки критеріїв

Кращий банк №2 за методом мультиплікативної оптимізації, оскільки йому відповідає найбільше значення узагальненого критерію (6,856709865). Найгірший банк №5 (5,16456059)