1.1 Построить поля рассеяний для цены Y и возраста автомобиля X₁, а также для цены Y и мощности двигателя X₂. На основе их визуального анализа выдвинуть гипотезы о виде статистической зависимости Y от X₁ и Y от X₂ и записать их математически

1.2 Методом наименьших квадратов найти оценки линейных уравнений регрессии

, .

1.3 С помощью коэффициентов парной корреляции проанализировать тесноту линейной связи между ценой и возрастом автомобиля, а также между ценой и мощностью двигателя. Проверить их значимость с надежностью 0,9

1.4 Проверить статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9

1.5 Построить доверительные полосы надежности 0,95 для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также от мощности двигателя. Изобразить графически линии регрессии и доверительные полосы вместе с полями рассеяний

1.6 На продажу поступила очередная партия однотипных автомобилей. Их возраст 3 года, мощность двигателя 165 л.с. Рассчитать точечный и интервальный прогноз среднего значения цены поступивших автомобилей в зависимости от возраста и мощности двигателя с доверительной вероятностью 0,95

Решение

1.1. По исходным данным построим поля рассеяния переменной у в зависимости от и .

Рис. 1.1. Поле рассеяния «возраст-цена автомобиля»

На основе анализа поля рассеяния (рис. 1.1), можно выдвинуть гипотезу о наличии обратной линейной связи между ценой автомобиля () и его возраста (), т.е. с увеличением возраста автомобиля цена на него уменьшается. Зависимость описывается линейной моделью вида:

где и - неизвестные постоянные коэффициенты, а - случайное отклонение, вызванное влиянием неучтённых факторов и погрешностями измерений.

Аналогично, на основе анализа поля рассеяния (рис. 1.2) можно выдвинуть гипотезу между ценой автомобиля y и мощностью двигателя зависимость прямая, т.е. с увеличением мощности двигателя цена автомобиль возрастает. И зависимость описывается моделью:

Рис. 1.2 Поле рассеяния «мощность двигателя-цена автомобиля»

Найдем уравнения линейной регрессии

и

неизвестные коэффициенты находятся по формулам (используя метод наименьших квадратов (МНК)):

, ,

Для вычисления оценок параметров моделей составляем вспомогательную таблицу 1.1.

Таблица 1.1. Промежуточные расчеты для оценок параметров

Подставляя полученные значения найдем оценки параметров:

,

Таким образом,

Аналогично находятся оценки коэффициентов модели

Тогда ,

Таким образом, .

1.3 Коэффициент парной корреляции находится по формуле:

Подставляя соответствующие значения, получим

Так как-0,997<0, то связь между признаками обратная, т.е. с ростом уменьшается y. Используя таблицу Чедока при определяем, что связь между признаками сильная.

Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента. При уровне значимости 0,9 табличное значение =1,76. Тогда

то существенно отличается от 0 и существует сильная линейная отрицательная связь между y и .

Аналогично проверим неравенство для :

Так как>0, то связь между признаками прямая, т.е. с ростом возрастает y. Используя таблицу Чедока при 0,952 определяем, что связь между признаками сильная.

Проверим значимость коэффициента корреляции с помощью критерия Стьюдента. При уровне значимости 0,9 табличное значение =1,76. Тогда

,

значит, существенно отличается от 0 и существует сильная линейная положительная связь между y и .

1.4 Проверим статистическую значимость параметров и уравнений регрессии с надежностью 0,9 с помощью t - статистики Стьюдента и путем расчета доверительного интервала для каждого из показателей. Выдвигаем гипотезу о статистически незначимом отличии показателей от нуля:

уравнения

Табличное значение для числа степеней свободы и составляет .

Определим случайные ошибки , , .

, ,

Таблица 1.2 Расчетная таблица

Тогда

Так как <(1.76<142,98), < (1,76<44,85) и < (1.76<45,32), то гипотеза отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительный интервал для . Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

,

Доверительные интервалы:

для

для .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля. Следовательно, полученное уравнение линии регрессии статистически значимо в целом и его можно использовать для прогноза. Аналогично проведем оценку статистической значимости параметров , и уравнения регрессии

Определим случайные ошибки , , .

Составим расчетную таблицу

Тогда

Так как < (1.76<6,62), < (1.76<12,11), и <(1.76<11,61), то гипотеза отклоняется, т.е. , и не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для и .

Доверительные интервалы:

.

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью параметры и , находясь в указанных границах, не принимают нулевого значения, т.е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля. Следовательно, полученное уравнение линии регрессии статистически значимо в целом и его можно использовать для прогноза.

1.5. Доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля в зависимости от его возраста для уравнения регрессии находятся по формуле

где соответственно верхняя и нижняя границы доверительного интервала; значение независимой переменной для которого определяется доверительный интервал, квантиль распределения Стьюдента, доверительная вероятность, (n-2) - число степеней свободы;

, ,

Сначала рассмотрим уравнение

.

По условию задачи число степеней свободы 14 тогда, по таблице распределения Стьюдента находим t_0.95 = 2,14.

цена регрессия зависимость тренд

Получим

Рассмотрим уравнение

Построим доверительные полосы надежности для средней цены автомобиля в зависимости от его возраста, а также изобразим линию регрессии и поле рассеяний.

Построим доверительные полосы надежности для средней цены автомобиля в зависимости от его мощности двигателя, а также изобразим линию регрессии и поле рассеяний.

1.6 Аналогично, как в пункте 1.5. найдем доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля, если возраст автомобиля составляет 3

Заполним таблицу:

При возрасте автомобиля 3 года, средняя цена автомобиля будет находиться в интервале (15,572; 15,878) тыс.у.е.

Найдем доверительные интервалы для среднего значения цены автомобиля, если мощность двигателя составляет 165 л.с.

Заполним таблицу:

При мощности двигателя составляет 165 л.с., средняя цена автомобиля будет находиться в интервале (16,8; 18,347) тыс.у.е.

2. Множественная зависимость